Chuyên đề tính chất cơ bản của phân thức

(1)

TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1. Tính chất cơ bản của phân thức

* Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác đa thức 0 thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

. . A A M B  B M

với M là đa thức khác đa thức 0.

* Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

: : A A N B B N

với N là một nhân tử chung của cả A và B.

2. Quy tắc đối dấu

* Nếu đổi dấu cà tử và mẫu của một phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

A A.

B B

 



* Nếu đổi dấu tử hoặc mẫu đồng thời đổi dấu của phân thức thì được một phân thức bằng phân thức đã cho. Ta có:

 .

  



A A A

B B B

IL BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.DẠNG BÀI MINH HỌA

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tù ở hai vế;

Bước 2. Triệt tiêu các nhân tử chung và rút ra đa thức cần tìm.

(2)

Bài 1: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

a. 2 ³₂ 4 ²

, 2;

2 4

A x x

x x x

   

 

b. ⁵

 

5 ² 5 ² 3 ,

x y x y

x y A

   

c.

2 8 2 3 16 1

, 0,

2 1 2

x x x

x x

x A

    



d. , 2

2

y x x y x A x

 

 



Bài 2: Tìm bộ ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

2 3 , 1, 3.

3 4 3 27

A B C

x x

x  x x  x  

   

Bài 3: Tìm bộ ba đa thức A B C, , thỏa mãn chuỗi đẳng thức sau:

 

2 2 3

1 , 2

4 4 4 8

A x B C

x x x x x

    

   

Dạng 2: Biến đổi phân thức theo yêu cầu của đề bài.

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử hoặc lựa chọn tử thức (hay mẫu thức) thích hợp tùy theo yêu cầu đề bài;

Bước 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân thức (xem phần Tóm tắt lý thuyết) để đưa về phân thức mới thỏa mãn yêu cầu.

Bài 4: Tìm một phân thức mới có tử thức là đa thức 1 2x và có giá trị bằng phân thức

  

12 2 12 3

, 2, 5 6 3 5

x x

   

 

Bài 5: Biến đổi phân thức 1

4x3 thành một phân thức có mẫu thức là đa thức 4x² x 3 và giá trị của hai phân thức bằng nhau với 3

1; 4 x x 

(3)

Bài 6: Biến đổi cặp phân thức 4 2 x

x

 và ² 16 1

, , 0, 4

3 1 3

x x x x

x

    

 thành cặp phân thức mới có

cùng tử thức và bằng phân thức ban đầu.

Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.

Phương pháp giải: Thực hiện theo ba bước:

Bước 1. Phân tích tử thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;

Bước 2. Rút gọn từng phân thức;

Bước 3. Thay giá trị của biến vào phân thức và tính.

Bài 7: Tính giá trị phân thức sau:

a. ²₂ 2 3

, 1 2 1

x x

A x

x x

 

 

  tại 3x 1 0

b. ₂ 2

, 2; 3 5 6

B x x x

x x

   

  tại x² 4 0

Bài 8: Với giá trị x thỏa mãn 2x²7x 3 0 , tính giá trị của các phân thức sau:

a.

2 2

2 1

x x

 

 

b.

3 2

27 2 3 x

x x



 

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

Bước 1. Phân tích từ thức và mẫu thức của mỗi phân thức thành nhân tử;

Bước 2. Rút gọn từng phân thức, từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Chú ý: Trong nhiều trường hợp, có thể sử dụng định nghĩa hai

phân thức bằng nhau: A C

B D nếu A.D = B.C

Bài 9: Các cặp phân thức sau có bằng nhau không. Vì sao?

(4)

a. 3 6 4; 8

a a

 

  với x4;x8

b.

 

2

2 3

9 6 3 3 3

3 3 2 2 ; 1

x x x

x x x x

  

    với 2

1; 3 x  x

Bài 10: Cho cặp phân thức

2 2

1 3 4 x

x x



  và

2 2

2 3 2

x x

 

  với ^x^{ }



^1;2;4



a. Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b. Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

Dạng 5: Toán nâng cao.

Bài 11: Cho hai phân thức A B và C

D. Chứng minh rằng có vô số cặp phân thức cùng mẫu có dạng '

A

E và C'

E thỏa mãn điều kiện ' ' A A C; C

E  B E  D .

HƯỚNG DẪN

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử, sau đó rút gọn từng phân thức thì ta có

a) 2 ² ²

2 2 2

A x

x  x  

 

b)

    

   

5 5

3 3 3

x y x y x y

A x y

x y

  

   



c) ² ⁸ ^{2 (} ² ⁸⁾ ^{2 2}



¹



2 1

x x x

A x x

x A

 

   



d) (y )

2 2

y x x

x A A x

     

 Bài 2:



²



^, ^1, ^3.

3 ( 3)(x 1) 3 9 ( 3)

A B C

x x

x  x  x x x  

     



²



^, ^1, ^3.

1 (x 1) 3 9

A B C

x x

    

   ^Chọn

1 2 3 9; 1

A  C x  x B x 

Bài 3:

(5)

Tương tự bài 2 ta rút gọn và chọn ^{A x}^{   }² ^B ⁽^x^¹⁾⁽^x^^2);^C^



^x^¹

 x22x4

Bài 4:

     

2 2

12 12 3 3(2 1) 2 1 1 2

A , 2, 5

6 3 5 3 2 1 5 5 5

x x x x x

x x

x x x x x x

          

     

Bài 5:

  

2

1 1

4 3 4 3 4 3 1

B B

x  x x  x x   B x

    

Vậy phân thức cần tìm là ₂ 1

4 3

x x x



  Bài 6:

  

   

4 4 2

4 16

2 2 4 2 4

x x

x x x x x

 

   

  Và ta giữ nguyên biểu thức thứ 2

2 16 1

, , 0, 4

3 1 3

x x x x

x

    



Bài 7:

2 2

2 3 3

2 1 1

x x x

A x x x

  

 

  

Thay 1

3 2

x   A

b) ta có ² 2( )

4 0 2( )

x loai

x x tm

 

      ²

2 1

5 6 3

B x

x x x

  

  

Với 1

2 5

x B 

   

Bài 8:

2

3

2 7 3 0 1

2 x

x x

x

 

   

 

(6)

a) 1 1;2

x do vậy chỉ có x3là thỏa mãn 2 A 7

 

b) x 1;3 do vậy ta chỉ nhận 1

x 2 43 B 6

 

Bài 9:

a) 3 6

4; 8

a a

 

  ta xét tích chéo



^a^^{3 (}



â^{ }⁸⁾ â²^⁵â^²⁴^;



^a^⁴



^a^⁶



^^a²^²^a^²⁴ do vậy hai phân thức không bằng nhau.

b)

     

2 2

2 3 2

9 6 3 3 3 3 3( 1) 3

3 3 2 2 1; 1 1 1 1

x x x x x

x x x x x x x x x

    

  

        

Bài 10:

  

2 2

1 1

3 4 1 4 4

x x

x x x x x

 

 

 

     ;

  

2 2

1 3

2 3 3

2 1 2 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

    

a) Hai phân thức trên không bằng nhau với mọi x

b) ta xét 1 3

4 2

x x

   

 

7 x4 Bài 11:

Với hai phân thức A AD

B BDvà C CB

D  BD , để ta thấy ta nhân cả tử và mẫu của hai phân thức trên với đa thức M 0 thì ta luôn được mẫu số EBD M. . Do có vô số đa thức M nên ta có vô số phân thức cùng mẫu bằng hai phan thức đã cho.

B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN

Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Bài 1: Hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau:

a) ⁵

 

5 ² 5 ²

3 ...

x y  x  y với x y;

b)

3 2

2

2 4 ...

4 2

a a

 

  với a 2.

Bài 2: Tìm đa thức A thỏa mãn mỗi đẳng thức sau:

(7)

a)

2 2

6 9 3

4 9

b b b

b A

 

 với 3

2; b 

b) 2

n m m n

m A

 

  với m2.

Bài 3: Dùng tích chất cơ bản của phân thức, hãy tìm đa thức A biết:

2 2

2

x xy y A

x y y x

  

  

Bài 4: Cho phân thức 4₂ 3 5 x x



 . Biến đổi phân thức đã cho thành một phân thức bằng nó và có tử thức là đa thức A12x²9 .x

Bài 5: Biến đổi phân thức

  

8 2 8 2 4 2 15

x x

 

  thành một phân thức bằng nó và có tử thức là 1 2

A  x

Bài 6: Dùng tích chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức:

a) 3 2

x và 1 5 x

x

 b) 5

4 x

x

 và

2 25

2 3 x

x



 Dạng 3: Tính giá trị của phân thức.

Bài 7: Tính giá trị của phân thức:

a) ₂2 2 2 1 x

x x



  với x 1 tại x1

b)

2 2

3 3

1

x x

x



 với x 1 tại x 2

2 2

1

2 3 1

x

x x



  với 1

1; 2

x x tại 3x 1 0 Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

 

2

9 6

3 3 2 2

x

x x x



   ^và

2 3

3 3 3

1

x x

x

 

 với x1 và 2 3.

x Chứng tỏ cặp phân thức trên bằng nhau.

(8)

Bài 10: Cho hai phân thức

2 5 6

3 6

y y

y

 

 ^và

2 2 5 3

6 3

y y

y

 

 ^với^y^²^và 1.

y 2 Cặp phân thức này có bằng nhau hay không?

Dạng 5: Toán nâng cao.

2 2

1 3 4 x

x x



  và

2 2

2 3 2

x x

 

  với x 1;x2 và x4.

a) Hai phân thức này có luôn bằng nhau hay không?

b) Tìm giá trị cụ thể của x để hai phân thức bằng nhau.

a)

2 2

1

2 3 1

x

x x



  với x1 và 1

x 2tại 2x 1 3;

b)

2 2

3 10 3

4 3

x x

 

  với x2;x3 tại x²8x15 0.

(9)

HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm đa thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.

Bài 1:

a) Ta có:

    

   

2 2 2 2

5 5 5 5 5

3 3 3 3

x y

x y x y x y x y

x y x y x y

       

   .

b) Ta có:

 

  

3 2 2 2

2 2

2 4 2

... 2

4 2 2 2

a a a a a

     

   

Bài 2:

a) Ta có:

 

   

  

2

2 2 2

3 2 3 3 2 3

6 9 3

2 3

4 9 2 3 2 3 2 3 2 3

b b b b

b b b

A b

b b b b b

 

      

    

b) Ta có:

 

₂

2 2 2

n m m n m n

m m m A m

 

      

   .

Bài 3:

Ta có:

       

2 2 3

2 2

3

2 2

.

y xy x y x y x y x y x

x xy y

A x y

x y x y y x y x y x y x

         

         

     

Bài 4:

Ta có:

 

2

2 2 3

4 3 .3

4 3 12 9

5 5 .3 3 15

x x

x x x

x x x x x

    

  

Bài 5:

Ta có:

    

  

2 2

2 2 4 4 1 2 2 1

8 8 2 2 1 1 2

4 2 15 2 2 1 15 2 2 1 15 15 15

x x x

x x x x

x x x x x x x x

  

       

        .

Bài 6:

a) Ta có:

 



^3.



¹



²

3 3 3

2 2 1 2

x x

x x x x x

 

 

    

(10)

Ta có: 1



^{1 .3}



3 3

5 5 .3 15

x x x

    

b) Ta có:

   

 

2 2

5 . 5

5 25

4 4 . 5 4 20

x x

x x x x x

 

   

 

Ta có:

2 25

2 3 x

x



 .

Dạng 3: Tính giá trị của phân thức Bài 7:

a) Ta có:

 

²

2

2 1

2 2 2

2 1 1 1

x x

A x x x x

 

  

    .

Thay x1 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: 2 2 1 1 1 1 A x  

  .

b) Ta có:

 

  

2 2

3 1

3 3 3

1 1 1 1

x x x x x

B x x x x

 

  

   

Thay x 2 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức B ta được:

 

3 3. 2

1 2 1 2 B x

x

   

   . Bài 8:

Ta có: 1

3 1 0

x   x 3

Ta có:

  

2 2

1 1

2 3 1 1 2 1 2 1

x x

C x x x x x

 

  

    

Thay 1

x3 ( thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức C ta được:

1 1

1 3 4

2 1 2. 11 3 C x

x

 

   

 

.

Dạng 4: Chứng minh cặp phân thức bằng nhau.

Bài 9:

Ta có:

   

  

2 2 2

3 3 2

9 6 9 6 9 6 3

3 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 3 2 1

x x x x

x x x x x x x x x x x

   

   

          

 

¹

(11)

Ta có:

 

   

2 2

3 2

3 1

3 3 3 3

1 1 1 1

x x

x x x x x

     

    

 

²

Từ

   

^{1 , 2}

 

2

2 3

9 6 3 3 3

3 3 2 2 1

x x x

x x x x

  

 

   

Bài 10:

Ta có:

  

 

2 5 6 2 3 3

3 6 3 2 3

y y

y y y

y y

 

    

 

 

¹

Ta có:

  

 

2 3 2 1

2 5 3 3

6 3 3 2 1 3

y y

y y y

y y

 

  

 

 

 

²

Từ

   

^{1 , 2} ² ⁵ ⁶ ² ² ⁵ ³

3 6 6 3

y y y y

y y

   

 

  ^.

Bài 11:

a) Ta có:

  

2 2

1 1

3 4 1 4 4

x x

x x x x x

 

   

    

 

¹

Ta có:

  

2 2

3 1

2 3 3

2 2 1 2

x x

x x x

x x x x x

 

  

 

    

 

²

Từ

   

2 ² ²2

1 2 3

1 , 2

3 4 2

x x x

x x x x

  

 

    . b) Với x 1;x2 và x4

thì

2 2

1 2 3 1 3

3 4 2 4 2

x x x x x

x x x x x x

    

  

     



¹



²

 

⁴



³



² ³ ² ² ⁷ ¹² ⁴ ¹⁰ ⁵

x x x x x x x x x x 2

                .

Vậy 5

x2 thì hai phân thức đã cho bằng nhau.

Bài 12:

a) Loại trường hợp x = 1 và thay x = -2 được kết quả 1 5.

(12)

b) Loại trường hợp x = 3 và thay x = 5 được kết quả 7 2.

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========