PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
- Hai phân thức được gọi là nghịch đảo nếu tích của chúng bằng 1. Phân thức nghịch đảo của A
B là B A.
- Muốn chia phân thức A
B cho phân thức C
D khác 0, ta nhân A
B với phân thức nghịch đảo củaC
D - Ta có:
: .
A C A D
B D B C với C D≠ 0.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1. Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính Phương pháp giải: Áp dụng công thức:
: .
A C A D
B D B C với C D≠ 0.
Chú ý:
- Đối với phép chia có nhiều hơn hai phân thức, ta vẫn nhân với nghịch đảo của các phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải.
- Ưu tiên tính toán đối vói biểu thức trong dấu ngoặc trước (nếu có).
Bài 1: Làm tính chia các phân thức a) 7 14 2
3 1 6: 2 xy x y x x b) 342 2 3 2 17
2 2 :3 3
x y xy
xy y x c) x3x273 :
x26x9
d)
x22x1 :
2xx213Bài 2: Chia các phân thức sau a) 9 2 4 32 2
3 1 6: 2
x x
x x x
b) 52 15 3 4 : 2
x x
x x
c) 23
2
8: 2 4
4
x x x
x
d) 2 2 4 2 4 2 4 1
: 1
x x x x
x x x
Bài 3: Thực hiện phép chia a)
3x248 :
92xx86b)
3 6 x3x2
:x2x1c)
2
1 3
1 2
: :
2 3 4
x x
x x
x x x
d) xx311:
x2 x 1 :
xx11Bài 4: Làm tính chia a) 29 2 6 12 123 4 3
2 4 :4 32
x x x
x xy y x y
b) 22 3 2 2 2
6 : 4 4
x x x x
x x x x
c) 24 4 3 2 3 2
4 4 1: 6 12
x y x y xy
x x x
d) 22 4 4 22 103 203
2 2 2 : 5 5
x xy y x y
x xy y x y
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Phương pháp giải: Thực hiện theo hai bước:
Bước 1. Đưa phân thức cần tìm về riêng một vế;
Bước 2. Sử dụng quy tắc nhân và chia các phân thức đại số, từ đó suy ra phân thức cần tìm.
Bài 5: Tìm phân thức A, thoả mãn:
2
3 2
4 5 4
3 3: 2 3
x x x
x x x A x x
Bài 6: Tìm phân thức B, biết: 12 23 18 8 3 362 2 54 27 .
1 1
8 4 2
x x x x x
B x x x
Bài 7: Tìm phân thức C, thoả mãn: 62 6 : 42 2 2 42
10 10 5 10 5
x y x x y y
x xy C x xy y
Bài 8: Tìm phân thức D, biết:
2
22 3
1 6 1 9 16
3 3 . 3 3
x x x
x x D x x
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thứcA chia hết cho phân thứcBbiết:
3 2
11 2
x x x
A x
; 2
2 B x
x
.
Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức 152 5 16 1 4: 1
M x x
là số nguyên.
HƯỚNG DẪN Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia các phân thức
a) 2
2 2
2. 3 1
7 14 7 6 2 7 1
: . . .
3 1 6 2 3 1 14 3 1 14
xy x y xy x xy x
x x x x y x x y x
b)
2 3 2 3 2 3 2 3
2 2 2 2 2 3
3 1 102 . 1
34 17 34 3 3 34
: . . 3
2 2 3 3 2 2 17 2 1 17 34 1
x x y x
x y xy x y x x y
xy y x xy y xy y x xy xy x x
c)
3 3 3 2
2
2 2
3 3 9
27 3 1 1
: 6 9 . .
3 3 6 9 3 3
x x x
x x
x x
x x x x x x
2 2
2
3 9 3 9
3 3 9
x x x x
x x x
d)
2
2
2
2
2
1 2 3
1 2 3 2 3
2 1 : 2 1 . 1 .
2 3 1 1 1 1
x x
x x x
x x x x x
x x x x x
Bài 2: Chia các phân thức sau
a) 2 2
2 2 2
3 2 3 2 3 2 2 3 1
9 4 3 2 6 2
: . . 2 3 2
3 1 6 2 3 1 3 2 3 1 3 2
x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
b)
2
5. 3
5 15 3 2 5
: .
4 2 2 2 3 2
x x x x
x x x x x x
c)
3 3 3 2
2
2 2 2 2 2
2 2 4
8 2 1 1 1
: 2 4 . .
4 2 2 4 2 2 2 4 2
x x x
x x
x x
x x x x x x x x x
d)
2 2 2
2
2 2 2
2 . 1 2
2 4 4 4 1 2 4 1 1 2
: . .
1 4 4 1 . 1 2 1 2 1
x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
Bài 3: Thực hiện phép chia
a)
3x248 :
92xx86
3x248 .
92xx683.
x216 .
3. 32.
xx42
3. 3 2 9. 4 3 2
3. 4 4 .
2. 4 2
x x x
x x
x
b)
2
2
2
2
2
3 . 1
3 6 3 : 1 3. 1 2 . 3. 1 .
1 1 1 1
x x x x x
x x x x x
x x x x x
c)
2
1 3 1 3
1 2 1 3
: : . :
2 3 4 2 2 2 2
x x x x
x x x x
x x x x x x x
2
1 3 2 2 2
. 1 3 2
2
x x x x x
x x x
x
d) 3
2
2
2
1 1
1 1 1 1 1 1
: 1 : . : . 1
1 1 1 1 1 1 1
x x x
x x x x x
x x
x x x x x x x x
Bài 4: Làm tính chia
a)
2 2 3 3
2 3 3
2 2 3 3 2 2 2 2
4. 8
3 1 3 1
9 6 1 12 4 4 32
: . .
2 4 4 32 2 4 12 4 2 4 4. 3 1
x y
x x
x x x x y
x xy y x y x xy y x x xy y x
2 2 2
2 2
4. 2 2 4
3 1
. 3 1 2
2 4 4. 3 1
x y x xy y
x x x y
x xy y x
b)
2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 2 2
3 2 3 2 4 4
: . .
6 4 4 6 3 2 . 1 . 3
x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x
c)
2 2 2 2
4 4 2 2 4 4
2
2 2 2 2
6. 1 2
3 3 6 12
: . .
4 4 1 6 12 4 4 1 3 3 2 1 3 .
x y x y x
x y x y xy x y x
x x x x x x y xy x xy x y
2 2 2 2
2
6. 1 2 2
.3 . . 1 2
1 2
x y x y x y x x y x y
xy x y xy x
x
d)
2 3 3
2 2
2 2 3 3 2 2
2 5.
4 4 10 20
: .
2 2 2 5 5 2. 10. 2
x y x y
x xy y x y
x xy y x y x xy y x y
2 2 2
2 2
2 5. 2
. 10. 2 4
2.
x y x xy y
x y x y x y
x y x xy y
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 5: Tìm phân thức A, thoả mãn:
2
3 2
4 5 4
3 3: 2 3
x x x
x x x A x x
2
3 2
4 5 4
3 3: 2 3
x x x
A x x x x x
3 2 2
2 3
4 .
3 3 5 4
x x
A x
x x x x x
2 2
2 3
4 .
3 3 4 4
x x
A x
x x x x x x
3x 42 1. x 12 x 43
A x x x x
1x 22 1
A x x
Bài 6: Tìm phân thức B, biết: 12 23 18 8 3 362 2 54 27 .
1 1
8 4 2
x x x x x
B x x x
8 3 362 2 54 27 12 23 18 :
1 1
4 2 8
x x x x x
B x x x
3 3
2
2 3 2 1
.6 . 2 3 4 2 1
x B x
x x x x
2 3
2
1 1
2 3 2 4 2
. 6 . 2 3 4 2 1
x x x
B x
x x x x
2 3 .
2 12 6 x x
B x
Bài 7: Tìm phân thức C, thoả mãn: 62 6 : 42 2 2 42
10 10 5 10 5
x y x x y y
x xy C x xy y
62 6 : 42 2 2 42
10 10 5 10 5
x y x x y y
C x xy x xy y
3 3
2 2 2 2
4 2 2 4
5 2
10 .
x y x xy y
C x x y x x y y
22 2 4 2 2 4
4 2 2 4
. 5 10
x y x x y y x y
C x x y x x y y
.
2
32 1 2
x y x y x y x y
C x x y x
Bài 8: Tìm phân thức D, biết:
2
22 3
1 6 1 9 16
3 3 . 3 3
x x x
x x D x x
2
22 3
1 6 1 9 16
3 3 :3 3
x x x
D x x x x
2 2 3
2
1 6 1 3 3 3
3 . 1 . 16
x x x x
D x x x
2
2
2 2
3 1
1 3 .
3 . 1 4
x x x
D x x x
4 2 3 . 1 . 1
3 . 1 . 4 . 4
x x x x
D x x x x
4
1
4
x x
D x
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 9: Tìm giá trị của x để phân thứcA chia hết cho phân thứcBbiết:
3 2
11 2
x x x
A x
; 2
2 B x
x
.
Ta có 3 2 11 2 3 2 11 2 3 2 11 2 1
: : . 3 5
2 2 2 2 2 2
x x x x x x x x x x x
A B x x
x x x x x x
Để phân thứcA chia hết cho phân thứcBthì
1 x2 x Ư2
1 x 2
1;1 x
3; 1
Vậy x
3; 1
thì phân thứcA chia hết cho phân thứcB.Bài 10: Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức 152 5 16 1 4: 1
M x x
là số nguyên.
Giải
Ta có M 16x1521 4: x51
4x1 415
x1
.4x51 4x31Để giá trị của phân thức M là số nguyên thì
3 4 x1 4x Ư1
34x 1
3; 1;1;3
1;0; ;112 2
x
Vậy 1 1
;0; ;1
2 2
x
thì giá trị của phân thức M là số nguyên.
B.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức:
a)
2
3 2
15 :
7 2
x x
y y b)
2 4
2
3 11
8 : 4
x x
y y
c)
3 2
20 4
3 : 5
x x
y y
d)
2 5
25 2
3 :15
x y xy
x
Bài 2: Làm tính chia phân thức:
a)
2
3 3
4 12
: 4
4 x x x x
b) 7 32 14 2 4
3 :
x x
xy x y
c)
x y
: y2 xyx y
d)
5 15 3
2 3 12 8:
xy xy
x x Bài 3: Làm tính chia phân thức:
a) 2
5 10
: 2 4 7
x x
x
b)
x225 :
23xx107 c)
4x216 :
37xx62 d) 4x2x1: 1 2
x
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
a)
22
4 3 3
3 : 1 3
x x x
x x x
b) 8 12 3
3 1 5 15:
xy xy
x x c) d) 1 92 2 6 2 4 : 3
x x
x x x
Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4) a) 27 3 3
5 10 3: 6 a a
a a
b)
2b232 :
7bb42c) 3xx313:
x2 x 1
d) yy318:
y22y4
e) 4 6 4 2 12 3 9 2
1 : 1
x y x xy y
x x
f) 2 2 3 3
5 10 5 5: 5
x x x
x x x
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 6: Tìm Q, biết: a3 4b3. b2 2a2
a Q a
.
Bài 7: Tìm Q, biết: 22 22 2 3 3
a b ab. a b
a b ab Q a b
.
Bài 8: Tìm Q, biết: 4 4 2 24 4 : 22 22 2
a b a b
a a b b Q a b
.
Bài 9: Tìm Q, biết:
a) 3 3 22 2 22
x y . x xy y x y Q x xy y
. b) 3 3 32 2 3 2
x y . x xy
x y Q x xy y
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:
a) 22 5 6 2 2 6 9
7 12: 4
m m m m
m m m m
b) 22 4 4 22 43 8 3
2 2 2 :6 6
u uv v u v
u uv v u v
Bài 11: Rút gọn các biểu thức
a) 1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
b) 1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
HƯỚNG DẪN
Dạng 1: Sử dụng quy tắc chia để thực hiện phép tính.
Bài 1: Làm tính chia phân thức:
a)
2
3 2
15 :
7 2
x x
y y b)
2 4
2
3 11
8 : 4
x x
y y
c)
3 2
20 4
3 : 5
x x
y y
d)
2 5
25 2
3 :15
x y xy
x
Lời giải a)
2 2
3 2 3 2
15 15 2 30
: .
7 2 7 7
x x x y
y y y x xy b)
2 4 2 2
2 4 2
3 11 3 4 3
: .
8 4 8 11 22
x x x y y
y y y x x
c)
3
2 2 3 2
20 4 20 5 25
: .
3 5 3 4 3
x x x y
y y y x x y
d)
2 5 2 5 3
2
2
25 25 1 5
:15 .
3 3 15 9
x y x y y
x xy x xy
Bài 2: Làm tính chia phân thức:
a)
2
3 3
4 12
: 4
4 x x x x
b) 7 32 14 2 4
3 :
x x
xy x y
c)
x y
: y2 xyx y
d)
5 15 3
2 3 12 8:
xy xy
x x Lời giải
a)
2 2
3 3 4 3
4 12 4 4
: .
4 3 3 3 4
4 4
x x
x x
x x x
x x
b)
2
3 2 3 2
7 2 14 4 7 2
: .
3 3 2 7 2 6
x x x x y x
xy x y xy x y
c)
x y
: yx y2xy
x y
.yx y2xy
x y
.y y xx y x yyd) 3
3 3 3 2
4 3 2 4 2 3
5 15 5 12 8 5 5 4
: . . .
2 3 12 8 2 3 15 2 3 15 2 3 15 3
x x
xy xy xy x xy xy
x x x xy x xy x xy y
Bài 3: Làm tính chia phân thức:
a) 2
5 10
: 2 4 7
x x
x
b)
x225 :
23xx107 c)
4x216 :
37xx62 d) 4x2x1: 1 2
x
Lời giải
a)
2 2 2
5 2
5 10 1 5
: 2 4 .
7 7 2 2 2 7
x x
x x x x x
b)
x225 :
23xx107
x5
x5 .
23xx107
x5
x5 .
23xx75
x5 3
2 x7
c)
4x216 :
73xx624
x24 .
37
xx22
4
x2
x2 .
37xx22 4
x2 7
3 x2
d)
2 2 1 2 1 2 1
4 1 1
: 1 2 .
2 1
x x x
x x
x x x x
Bài 4: Làm tính chia phân thức (chú ý dấu trừ)
a)
22
4 3 3
3 : 1 3
x x x
x x x
b) 8 12 3
3 1 5 15:
xy xy
x x c) d) 1 92 2 6 2 4 : 3
x x
x x x
Lời giải
a)
2
2 2
4 3 3 4 3 3 1 4
: .
3 1 3 3 1 3
x x x x x
x x x x x x x x
b) 3
3 3 2
5 1 3 5 3 1
8 12 8 8 10
: . .
3 1 5 15 3 1 12 3 1 12 3
x x
xy xy xy xy
x x x xy x xy y
c)
2
3 3 2
3 9 3 3
: .
4 2 2 2 3 2
x x
x x
x x x x x x
d)
2 2
1 3 1 3 3 1 3
1 9 6 2 3
: .
4 3 4 2 3 1 2 4
x x x
x x x
x x x x x x x
Bài 5: Làm tính chia phân thức (hẳng đẳng thức số 4) a) 27 3 3
5 10 3: 6 a a
a a
b)
2b232 :
7bb42c) 3xx313:
x2 x 1
d) yy318:
y22y4
e) 4 6 4 2 12 3 9 2
1 : 1
x y x xy y
x x
f) 2 2 3 3
5 10 5 5: 5
x x x
x x x
Lời giải
a)
2 2
3 3 9 3 3 2 3 3 9
27 3
: .
5 10 3 6 5 2 3 5
a a a a a a
a a
a a a a
b)
2b232 :
7bb42 2
b216 .
7bb422
b4 7
b2
c)
3 2
3
2
2 2
3 1 3 1 1 3 1
3 3 1
: 1 .
1 1 1 1 . 1 1
x x x x x
x x x
x x x x x x x x
d)
2
2 2
1 5 1
3 3
: .
5 10 5 5 5 5 2 1 3 1 3(x 1)
x x x
x x x x
x x x x x x
Dạng 2: Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước.
Bài 6: Tìm Q, biết: a3 4b3. b2 2a2
a Q a
.
Lời giải
3 3 2 2
4 . 2
a b b a
a Q a
2 2 3 3 4 2
2 : 4 b a b a2 . 2 2 a a b2 2
b a a b a
Q a a a a b a ab b a ab b
Bài 7: Tìm Q, biết: 22 22 2 3 3
a b ab. a b
a b ab Q a b
.
Lời giải Ta có: 22 22 2 3 3
a b ab. a b
a b ab Q a b
2 2 2 2
2
3 3 2 2 2 2 2 2
2 1
: .
a b a b ab a b a ab b
Q a b a b ab a b a ab b a b a b
Bài 8: Tìm Q, biết: 4 4 2 24 4 : 22 22 2
a b a b
a a b b Q a b
.
Lời giải Ta có: 4 4 2 24 4 : 22 22
2
a b a b
a a b b Q a b
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2
2
4 2 2 4 : 2 2 2 2 . 2 2 1
2
a b a b
a b a b a b
Q a a b b a b a b a b
Bài 9: Tìm Q, biết:
a) 3 3 22 2 22
x y . x xy y x y Q x xy y
. b) 3 3 32 2 3 2
x y . x xy
x y Q x xy y
Lời giải
a) 3 3 22 2 22 x y . x xy y x y Q x xy y
2 2 2
2 2
2 2
2 2 3 3 2 2
2 : x y . x y x xy y
x xy y x y
Q x y x y x y
x xy y x y x xy y x y
b) 3 3 32 2 3 2
x y . x xy
x y Q x xy y
2
2
2
2 2 3 3 2 2
3 3 3
: x x y . x y x xy y 3
x xy x y
Q x x y
x xy y x y x xy y x y
Dạng 3: Bài toán nâng cao.
Bài 10: Thực hiện các phép tính sau:
a) 22 5 6 2 2 6 9
7 12: 4
m m m m
m m m m
b) 22 4 4 22 43 8 3
2 2 2 :6 6
u uv v u v
u uv v u v
Bài 11: Rút gọn các biểu thức
a) 1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
b) 1 2 3
: :
2 3 1
x x x
x x x
Lời giải
a)
2 2
1 2 3 1 3 1 1
: : . .
2 3 1 2 2 3 2
x x x x x x x
x x x x x x x
.
b) 1 2 3 1 2 1 1 2 1
: : : . : .
2 3 1 2 3 3 2 3 3
x x x x x x x x x
x x x x x x x x x
2 2
2 2
2 . 1 3 3
1 1
: .
2 3 2 2 . 1 2
x x x x
x x
x x x x x x
.