Chuyên đề định lí Ta-lét trong tam giác - THCS.TOANMATH.com

(1)

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com

Hình 259 D E

B C

A

ĐỊNH LÍ TA-LÉT TRONG TAM GIÁC

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1. Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng đơn vị đo (tỉ số này không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo).

2. Đoạn thẳng tỉ lệ

Hai đoạn thẳng _AB và _CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A B  và C D  nếu có tỉ lệ thức AB A B

CD C D

    hay ^AB ^CD A B  C D .

3. Định lí Ta-lét trong tam giác

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương tứng tỉ lệ.

, ,

ABC AD AE DB EC AD AE DE BC AB AC BA CA DB EC

     

  .

4. Nhớ lại tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau a) Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số ^a ^c

b d . b) Tính chất

Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức): Nếu ^a ^c

b d thì _{ad bc}_ . Tính chất 2: Nếu _{ad bc}_ và _abcd_₀ thì ta có bốn tỉ lệ thức sau:

; ; ;

a c a b d c d b b d c d b a c a .

c) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Từ dãy tỉ số bằng nhau ^a ^c ^e

b  d f , suy ra ^a ^c ^e ^{a c e} ^{a c e} b   d f b d f  b d f 

    . 5. Từ định lí Ta-lét ta thu được kinh nghiệm thứ năm

(2)

A C B

8

3 5

Hình 260

Cứ nói đến tỉ số của hai đoạn thẳng phải nghĩ đến định lí Ta-lét, ta cứ nói đến định lí Ta-lét phải nghĩ đến đường thẳng song song.

Ý nghĩa của kinh nghiệm này là: Với các bài toán đề cập đến tỉ số của hai đoạn thẳng mà phải vẽ thêm đường phụ, ta vẽ thêm đường thẳng song song để sử dụng định lí Ta-lét.

II.BÀI TẬP MINH HỌA

A. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

DẠNG 1. Tính tỉ số hai đoạn thẳng. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Sử dụng định nghĩa tỉ số của hai đoạn thẳng.

2. Một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (hoặc đường thẳng AB), được gọi là chia đoạn thẳng _AB theo tỉ số ^m ₁

n  (_{m n}_, là các số dương), nếu ta có: ^CA ^m CB  n . 3. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học:

Nếu ta có: ^CA ^m

CB  n thì ^{CA mt} CB nt

 

 

 (với t0)

4. Lập tỉ lệ thức giữa các đoạn thẳng tỉ lệ rồi áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Điểm C thuộc đoạn thẳng AB và chia AB theo tỉ số ³

5. Hãy tính các tỉ số:

AB AB; AC CB .

Lời giải (hình 260)

Vì _C chia đoạn _AB theo tỉ số ³ 5 nên:

3 3 5 5

CA t

CA CB t

CB

 

    với t 0.

Do đó AB AC CB  8t. Vậy ⁸ ⁸_, ⁸ ⁸

3 3 5 5

AB t AB t

AC  t  CB  t  .

(3)

A C B

Hình 261

Ví dụ 2. Cho đoạn thẳng _AB _₁₀_cm.

a) Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C sao cho ³ 2 CA

CB  . Tính độ dài CB. b) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho ³

2 DA

DB  . Tính độ dài CD. Lời giải (hình 261)

a) Cách 1: Từ giả thiết:

3 3 2 2

CA t

CA CB t

CB

 

    với _t _₀;

Nên AB10cm CA CB  5t  t 2cm. Vậy CB4cm.

Cách 2: Từ giả thiết ³ _{10 2}

2 3 2 3 2 5 5

CA CA CB CA CB AB

CB        

 .

Vậy CB 4( )cm .

Cách 3: Đặt CB x thì CA 10 x.

Từ giả thiết và tính chất cơ bản của tỉ lệ thức ta có ₃_CB _₂_CA hay 3x2(10 x) 5x20 x 4( )cm .

b) Từ giả thiết ³ ³

2 2

DA t

DA DB t

DB

 

    .

Mặt khác D thuộc tia đối của tia BA nên DA DB .

Do đó _AB _₁₀_{cm DA DB}_ _ _{   }₃_t ₂_t _t ₁₀_cm, suy ra _DB _₂₀_cm. Vậy CD 20 4 24( )  cm .

Ví dụ 3. Đoạn thẳng _AB _₄₄_dm được chia thành các đoạn thẳng liên tiếp _{AM MN NP}_, _, và PB lần lượt tỉ lệ với _{10,2, 3} và ₅.

a) Tính độ dài mỗi đoạn thẳng đó.

b) Chứng minh rằng hai điểm M và P chia đoạn AN theo cùng một tỉ số k và tính k. c) Còn hai điểm nào chia đoạn thẳng nào theo cùng một tỉ số nữa không?

(4)

x

4 5 8,5

10,5 x

9 24

b) PQ EF a) MN BC

Hình 262 A

C

B E F

D

M N

P Q

Lời giải

a) Từ giả thiết và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

44 2,2

10 2 3 5 10 2 3 5 20

AM  MN  NP PB  AM MN NP PB    

   .

Vậy _AM __{22 ,}_{dm MN} __{4,4 ,}_{dm NP}__{6,6 ,}_{dm PB}_₁₁_dm.

b) Từ câu a) ta có ²² _5; ³³ ₅

4,4 6,6

MA PA

MN   PN   .

Điều này chứng tỏ _M và _P chia đoạn _AN theo cùng một tỉ số _k _₅.

c) Vì ²² ²_, ^{4, 4} ²

33 3 6,6 3

AM NM

AP   NP   ;

Nên còn hai điểm _A và _N chia đoạn _MP theo cùng một tỉ số ² 3. DẠNG 2.Tính độ dài đoạn thẳng, dựng đoạn thẳng tỉ lệ thứ tư I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Tính độ dài đoạn thẳng:

 Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

 Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

 Thay số vào hệ thức rồi giải phương trình.

2. Trong bốn đoạn thẳng tỉ lệ, dựng đoạn thẳng thứ tự khi biết độ dài của ba đoạn kia:

 Đặt ba đoạn thẳng trên hai cạnh của một góc.

 Dựng đường thẳng song song để xác định đoạn thẳng thứ tư.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính _x trong các trường hợp sau (h. 262), biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là _cm.

Lời giải (hình 262)

(5)

16 20

15 x

Hình 263

M N

O

P Q

t n

z

p

m x Hình 264

D O

A C B

a) Áp dụng định lí Ta-lét vào __ABC có MN BC , ta được:

BM CN

MA  NA hay ^{8,5 5} _{4.3,5 2,8}

4 5 5

x    x  .

b) Áp dụng định lí Ta-lét vào DFE có PQ EF , ta được:

DP DQ

PE QF hay ^{24 9} 10,5.15 17,5

10,5x  9  x 9  . Ví dụ 2. Tính x trên hình 263.

Lời giải (hình 263).

Áp dụng định lí Ta-lét vào OMN có PQ MN , ta được:

MP NQ

PO QO hay ¹⁶ ¹⁵ ³ _{16 12} ₂₈

16 20 4

x     x  x .

Ví dụ 3. Cho ba đoạn thẳng có độ dài là _{m n p}_{, ,} (cùng đơn vị đo). Hãy dựng đoạn thẳng có độ dài _x sao cho ^m ⁿ

x  p . Lời giải (hình 264)

 Vẽ góc _zOt bất kì.

 Trên tia _Oz đặt các đoạn _{OA n OB p}_ _, _ .

 Trên tia _Ot đặt _OC __m.

 Vẽ BD AC thì _{OD x}_ là đoạn thẳng cần dựng.

Thật vậy, áp dụng định lí Ta-lét vào __OBD có AC BD , ta được:

OA OC

OB OD hay ^m ⁿ x  p .

DẠNG 3. Chứng minh các hệ thức hình học I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Xác định đường thẳng song song với một cạnh của tam giác.

2. Áp dụng định lí Ta-lét để lập hệ thức của các đoạn thẳng tỉ lệ.

3. Sử dụng các tính chất của tỉ lệ thức hoặc cộng theo vế các đẳng thức hình học.

(6)

Hình 265

M N

D C

A B

I

Hình 266 P Q N

M

D C

A B II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho hình thang _ABCD (AB CD ). Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt các cạnh bên _AD và _BC theo thứ tự ở _M và _N. Chứng minh rằng:

a) ^AM ^BN

MD NC b) ^{AM CN} ₁

AD CB  . Lời giải (hình 265)

a) Gọi I là giao điểm của đường chéo AC với MN . Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác ACD và ACB có MI CD IN AB ,  , ta được:

AM AI

MD IC (1); ^BN ^AI NC IC (2).

Từ (1) và (2) suy ra: ^AM ^BN MD  NC .

b) Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác _ACD và _ACB ta có MI CD IN AB ,  ta được

AM AI

AD AC (3); ^CN ^CI CB CA (4).

Cộng theo vế các đẳng thức (3) và (4), thu được:

AM CN CI AI CA 1 AD CB  CA CA  .

Ví dụ 2. Cho hình bình hành ABCD có M N, lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi ,

P Q thứ tự là giao điểm của AN và CM với đường chéo BD. Chứng minh rằng:

DP PQ QB  . Lời giải (hình 266)

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

,

AM NC AM NC .

Tứ giác _AMCN có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành, do đó MC AN , suy ra

(7)

Hình 267

I E

A

C

B D

K ,

MQ AP PN QC  .

Áp dụng định lí Ta-lét vào hai tam giác _APB và _DQC có MQ AP PN QC ,  , ta được:

BQ BM 1 BQ QP

QP  MA    (1).

DP DN 1 DP PQ

PQ  NC    (2)

Từ (1) và (2) ta có: _{DP PQ QB}_ _ .

DẠNG 4*. Vẽ thêm đường thẳng song song để tính tỉ số hai đoạn thẳng I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Vẽ thêm đường thẳng song song.

2. Sử dụng kĩ thuật đại số hóa hình học.

3. Áp dụng định lí Ta-lét.

II. VÍ DỤ

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho ⁴ BC 1

BD  . Điểm I thuộc đoạn AD sao cho ¹

2 AI

ID  . Gọi K là giao điểm của BI và AC. Tính tỉ số ^AK KC . Lời giải (hình 267)

Kẻ thêm _{DE BK}_ thì _{DE IK}_ .

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADE có IK DE , ta được:

1 1 2 2

AK t AK AI

KE t KE ID

 

     (với t0).

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác BCK có DE BK , ta được:

4 4 8

1

KC BC KC KE t

KE  BD    

Vậy ¹ ¹

8 8

AK t KC  t  .

(8)

Hình 268 H

I A

C

B D

O

Ví dụ 2. Cho tam giác _ABC . Trên cạnh _BC lấy điểm _D sao cho _BC _₂_BD. Trên đoạn _AD lấy điểm O sao cho ³

AO 2

OD  . Gọi I là giao điểm của CO và AB. Tính tỉ số ^AI IB . Lời giải (hình 268)

Kẻ thêm DH CI thì DH IO .

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ADH có DH IO , ta được:

3 3 2 2

AI t AI AO

IH t IH OD

 

     (với t 0);

Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác _BIC có DH IC , ta được:

2 2 2.2 4

1

BI BC BI IH t t

IH CD      . Vậy ³ ³

4 4

AI t IB  t  . C.PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG BÀI CƠ BẢN

Bài 1: Cho tam giác ABC, các trung tuyến AD BE CF, , cắt nhau tại G_. a) Tính AE

AC b) Tính AG

GD b) Kể hai cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD.

Bài 2: Cho đoạn thẳng AM, M là một điểm trên đoạn AB. Tính các tỉ số AM

AB và MB AB nếu:

) 1

2 a MA

MB  b) 7 4 MA

MB  c)MA m MB  n Bài 3: Cho góc xOy. Trên tia Ox, lấy theo thứ tự 2 điểm A, B sao cho

OA 2cm, AB 3cm.  Trên tia Oy, lấy điểm C với OC 3cm . Từ B, kẻ đường thẳng song song với AC cắt Oy tại D. Tính độ dài CD.

Bài 4: Cho tam giác ACE có AC 11cm. Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC 6cm _{. Lấy} điểm D trên cạnh AE sao cho DB EC ^{. Giả sử}AE ED 25,5cm  . Hãy tính:

a) Tỉ số DE AE;

(9)

9. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD.

Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho 3 BD 4

BC  , điểm E trên đoạn AD sao cho AE 1

AD 3. Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số AK KC .

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK.

Bài 7: Cho ABC. Từ D trên cạnh AB, kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC tại E. Trên tia đối của tia CA, lấy điểm F sao cho CF DB. _GọiM là giao điểm của DF và BC. Chứng minh DM AC

MF  AB

Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Trên AH, lấy các điểm K, I sao cho

AK KI IH . Qua I, K lần lượt vẽ các đường thẳng EF BC// , MN BC// ( E, M



AB, F, N



AC).

a) Tính MN BC ^và

EF BC ^.

b) Cho biết diện tích của tam giác ABC là 90 cm². Tính diện tích tứ giác MNFE . LỜI GIẢI PHIẾU BÀI TỰ LUYỆN DẠNG CƠ BẢN

Bài 1:

a) Có E là trung điểm của AC (vì BE là trung tuyến) AE 1

AC 2

  (tính chất trung điểm của đoạn thẳng) b) ABC có các trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G

 Glà trọng tâm ABC AG 2

GD  1 2( Glà trọng tâm ABC)

c) Glà trọng tâm ABC AG BG CG GD  GE  GF

 BG_vàGE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG_vàGD_.

CG_vàGF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG_vàGD_.

(10)

10. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Bài 2:

a) 1 1; 2

2 1 2 1 2 3 3 3

MA MA MB MA MB AB MA MB MB        AB  AB 



b) Có 7 7 ; 4

4 7 4 7 4 11 11 11

MA MA MB MA MB AB MA MB MB        AB  AB 



c) MA m MA MB MA MB AB MA m ; MB n MB  n  m  n  m n m n  AB  m n AB m n

   

Bài 3:

Xét OBD_có:AC / /BD_(gt) AO OC

AB CD

  (định lí Ta-let trong tam giác) . 3.3 4,5( )

2 AB OC

CD cm

  OA   Bài 4:

a) Theo định lý Ta-lét trong ACE_{, ta có:} ⁶

  11 DE BC DE

AE AC AE . b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: 17

11

  DE AE

AE Từ đó tính được AE16,5cm;DE9cm và AD7,5cm. Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau Cách 3. Thay DE25,5AE vào 6

11 DE AE Bài 5: Kẻ DM / /BK M( AC)

Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK_{, ta có:}

3

   4 KM BD KM

KC BC KC (1)

Tương tự với ADM , ta có: 1

2 AK

KM (2)

A M B

ADM

E A

B

K

D C M

(11)

11. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ - THCS.TOANMATH.com Từ (1) và (2), tìm được: 3

8 AK KC

Bài 6: Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng minh CF DK.

Hướng dẫn giải

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: EF AD ⁽¹⁾ Kẻ MG AC// (G AB), ta được G là trung điểm

của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong ABC, ta có:

CF  AC EF AB (2)

Tương tự với AGM và ABC, ta có:

  

DK MG MG AC AD AG BG AB (3) Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF DK

Bài 7:

Xét ABC_có:DE / /BC AC AB hayAC EC EC BD AB BD

   (định lí Ta-let trong tam giác)

 

¹

Xét DEF có: DE / /MC_(vìDE / /BC₎ DM EC

MF CF

  (định lí Ta-let trong tam giác)

 

²

Mà CF DB ^(gt)

 

³ nên từ

 

¹ ,

 

² và

 

³ ^ ^DM ^AC

MF  AB Bài 8:

a) +) NK CH// 1 3 AK AN AN AH AC AC

   

//

MN BC 1

3 MN AN MN

BC AC BC

   

+) IF CH// 2 3 AI AF AF AH AC AC

   

//

EF BC EF EF 2 3 AF

BC AC BC

   

G

F D

B M

A

E C

(12)

b) MNFE có MN FE// và KI  MN . Do đó MNEF là hình thang có 2 đáy MN, FE, chiều cao KI.

2

13 23BC .13

(MN FE).KI2 2 1 .3 30(c )

MNEF ABC

BC AH

S S m

 

  

 

  

    

========== TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ==========