50 bài toán về cực trị tọa độ không gian (có đáp án 2022) – Toán 12

(1)

Bài toán về cực trị tọa độ không gian và cách giải I. LÝ THUYẾT

Với bài toán cực trị trong không gian Oxyz chúng ta thường xử lí theo một trong hai hướng sau:

Hướng 1: Đại số: Chuyển đại lượng cần tìm min, max về một biểu thức đại số và dùng các bất đẳng thức hoặc khảo sát hàm số để tìm min, max.

Hướng 2: Hình học: Với hướng này ta sử dụng các bất đẳng thức để đánh giá.

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Bài toán 1: Trong không gian Oxyz cho các điểm A x ; y ;z

(

A A A

) (

, B x ; y ;zB B B

)

và mặt phẳng (P): ax + by + cz + d = 0. Tìm điểm M(P) sao cho

1. MA + MB nhỏ nhất.

2. |MA – MB| lớn nhất với ^{d A, P}

( ( ) )

^^{d B, P}

( ( ) )

^.

Phương pháp:

+) Xét vị trí tương đối của các điểm A, B so với mặt phẳng (P).

+) Nếu

(

axA +byA +czA +d

)(

axB +byB +czB +d

)

0 thì hai điểm A, B cùng phía với mặt phẳng (P).

+) Nếu

(

axA +byA +czA +d ax

)(

B +byB +czB +d

)

0 thì hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P).

1. MA + MB nhỏ nhất.

+) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P)

Vì A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P) nên MA + MB nhỏ nhất bằng AB khi và chỉ khi ^M⁼

( )

^P ^^AB^.

+) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P) khi đó A’ và B ở khác phía (P) và MA MA’ nên MA MB MA' MB A'B+ = +  .

Vậy MA + MB nhỏ nhất bằng A’B khi ^M⁼^{A 'B}^

( )

^P ^.

(2)

2. |MA – MB| lớn nhất.

+) Trường hợp 1: Hai điểm A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P).

Vì A, B ở cùng phía so với mặt phẳng (P) nên |MA – MB| lớn nhất bằng AB khi và chỉ khi ^M⁼

( )

^P ^^AB^.

+) Trường hợp 2: Hai điểm A, B ở khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi A’ đối xứng với A qua mặt phẳng (P), khi đó A’ và B ở cùng phía (P) và MA = MA’ nên | MA−MB | | MA ' MB |= − A 'B

Vậy |MA – MB| lớn nhất bằng A’B khi M=A 'B(P). Bài toán 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) biết

1. (P) đi qua đường thẳng  và khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.

2. (P) đi qua  và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.

3. (P) đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất.

Phương pháp:

Cách 1: Dùng phương pháp đại số

1. Giả sử đường thẳng :^x ^x¹ ^y ^y¹ ^z ^z¹

a b c

− − −

 = = và A x ; y ;z

(

0 0 0

)

. Khi đó phương trình (P) có dạng: A x

(

−x1

)

+B y

(

−y1

)

+C z

(

−z1

)

=0.

Trong đó Aa Bb Cc 0 A ^bB ^cC

a

+ + =  = − + , a0 (1)

Khi đó ^{d A, P}

( ( ) )

^{| A x}

(

⁰ ^x¹

)

^{B y}₂

(

⁰ ₂ ^y¹

)

₂ ^{C z}

(

⁰ ^{z |}¹

)

A B C

− + − + −

= + + (2)

Thay (1) vào (2) và đặt t ^B

= C, ta đươc ^{d A, P}

( ( ) )

⁼ ^{f t}

( )

^.

Trong đó ^{f t}

( )

^mt₂² ^nt ^p

m't n 't p'

= + +

+ + , khảo sát hàm ^{f t}

( )

ta tìm được max f(t). Từ đó suy ra được sự biểu diễn của A, B qua C rồi cho C giá trị bất kì ta tìm được A, B.

(3)

2. và 3. làm tương tự Cách 2: Dùng hình học

1. Gọi K, H lần lượt là hình chiếu của A lên  và (P), khi đó ta có:

( ( ) )

d A, P =AHAK, mà AK không đổi. Do đó d (A, (P)) lớn nhất  H K. Hay (P) là mặt phẳng đi qua K, nhận AK làm vectơ pháp tuyến.

2. Nếu ^{ ⊥}

( )

^Q ^

( ( ) ( )P , Q )=900 nên ta xét  và (Q) không vuông góc với nhau.

+) Gọi (B) là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng qua B và vuông góc với (Q). Lấy điểm C cố định trên đường thẳng đó. Hạ ^CH^⊥

( )

^{P ,CK}^⊥^d. Góc giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là BCH Ta có sin BCH ^BH ^BK

BC BC

=  .

Mà ^BK

BC không đổi, nên BCH nhỏ nhất khi H K .

+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng (BCK). Suy ra n_{( )}_P =u , u , n_  _ _{( )}_Q  là VTPT của (P).

3. Gọi M là một điểm nào đó thuộc , dựng đường thẳng d’ qua M và song song với d. Lấy điểm A cố định trên đường thẳng đó. Hạ ^AH^⊥

( )

^{P , AK}^⊥^d. Góc giữa mặt phẳng (P) và đường thẳng d’ là AMH. Ta có HM KM

cos AMH

AM AM

=  .

Mà KM

AM không đổi, nên AMH lớn nhất khi H K

+) Mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng chứa  và vuông góc với mặt phẳng

(

^{d ',}^

)

^{. Suy ra}n_{( )}P =u , u , u_  _ d ' là VTPT của (P).

III. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A (1; 0; 2), B (0; -1;

2) và mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất?

(4)

A. M (2; 2; 9)

B. 6 18 25

M ; ;

11 11 11

− − 

 

 

C. 7 7 31

M ; ;

6 6 4

 

 

 

D. 2 11 18

M ; ;

5 5 5

− − 

 

 

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ A (1; 0; 2), B (0; -1; 2) vào phương trình mặt phẳng (P), ta được P(A).P(B) > 0  hai điểm A, B cùng phía với đối với mặt phẳng (P).

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có MA MB MA' MB A'B+ = +  .

Nên min(MA + MB) = A’B khi và chỉ khi M là giao điểm của A’B với (P).

Phương trình

x 1 t AA ' : y 2t

z 2 2t

 = +

 =

 = −



(AA’ đi qua A (1; 0; 2) và có véctơ chỉ phương

( )_P

( )

n = 1;2; 1− ).

(5)

Gọi H là giao điểm của AA’ trêN (P), suy ra tọa độ của H là H (0; -2; 4), suy ra A’

(-1; -4; 6), nên phương trình

x t A B : y 1 3t

z 2 4t

 =

  = − +

 = −



.

Vì M là giao điểm của A’B với (P) nên ta tính được tọa độ 2 11 18

M ; ;

5 5 5

− − 

 

 

Chọn D.

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E (8; 1; 1).Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua E và cắt nửa trục dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho OG nhỏ nhất với G là trọng tâm tam giác ABC.

A. x + y + 2z – 11 = 0.

B. 8x + y + z – 66 = 0.

C. 2x + y + z – 18 = 0.

D. x + 2y + 2z – 12 = 0.

Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0.

Theo đề bài ta có:⁸ ¹ ¹ 1

a + + =b c . Cần tìm giá trị nhỏ nhất của a² +b² +c². Ta có

(

^a² ⁺^b² ⁺^c²

) (

^{4 1 1}^{+ + }

) (

^a.2⁺^{b.1 c.1}⁺

)

²

(

² ² ²

) ( )

²

6. a b c 2a b c

 + +  + +

Mặt khác

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

2

a b c 4 1 1 a.2 b.1 c.1

8 1 1

2a b c

a b c

4 1 1 36

+ + + +  + +

 

 + +  + + 

 + + =

(6)

Suy ra a² +b² +c² 6³. Dấu '' ''= xảy ra khi

2

2 2

a b c a 2b 2c.

4 = =  = =

Vậy a² +b² +c² đạt giá trị nhỏ nhất bằng 216 khi a = 12, b = c = 6.

Vậy phương trình mặt phẳng là : ^x ^y ^z 1

12+ + =6 6 hay x + 2y + 2z – 12 = 0.

Chọn D.

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M (1; 2; 1). Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M lần lượt cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C khác O. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC.

A. 54 B. 6 C. 9 D. 18

Gọi A (a; 0; 0), B (0; b; 0), C (0; 0; c) với a, b, c > 0.

Phương trình mặt phẳng

( )

^P ^:^x ^y ^z ¹

a + + =b c . Vì: ^M

( )

^P ¹ ² ¹ ¹

a b c

  + + = .

Thể tích khối tứ diện OABC là: V_OABC ¹abc

= 6

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 2 1 ³ 1 2 1

3 .

a + + b c a b c

Hay ³ 2 54

1 3 1

abc abc

  

Suy ra: abc 54 ¹abc 9

  6 

(7)

Vậy: V_OABC 9. Chọn C.

III. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Trong không gian Oxyz, cho điểm 1 3

M ; ;0

2 2

 

 

  và mặt cầu

( )

^{S : x}² ⁺^y² ⁺^z² ⁼⁸. Đường thẳng d thay đổi, đi qua điểm M, cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B phân biệt. Tính diện tích lớn nhất S của tam giác OAB.

A. S= 7.

B. S = 4 C.S=2 7.

D.S=2 2.

Câu 2: Phương trình của mặt phẳng nào sau đây đi qua điểm M (1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất?

A. 6x + 3y + 2z + 18 = 0 B. 6x + 3y + 3z – 21 = 0 C. 6x + 3y + 3z + 21 = 0 D. 6x + 3y + 2z – 18 = 0

Câu 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x + y – z + 5 = 0 và hai điểm A (1; 0; 2), B (2; -1; 4). Tìm tập hợp các điểm M (x; y; z) nằm trên mặt phẳng (P) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

A. ^x ^7y ^4z ⁷ ⁰. 3x y z 5 0

− − + =

 − + − =



B. ^x ^7y ^{4z 14} ⁰. 3x y z 5 0

− − + =

 + − + =



C. ^x ^7y ^4z ⁷ ⁰. 3x y z 5 0

− − + =

 + − + =



(8)

D. ^3x ^7y ^4z ⁵ ⁰. 3x y z 5 0

− − + =

 + − + =



Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm M (-2; -2; 1), A (1; 2; - 3) và đường thẳng x 1 y 5 z

d : 2 2 1

+ = − =

− . Tìm vectơ chỉ phương u của đường thẳng

 đi qua M, vuông góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A một khoảng bé nhất.

A. ^u⁼

(

^2;1;6

)

^.

B. ^u⁼

(

^1;0;2

)

^.

C. ^u⁼

(

^{3;4; 4}⁻

)

^.

D. ^u⁼

(

^{2;2; 1}⁻

)

^.

Câu 5 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 4 điểm A (2; 4 ; -1), B (1; 4; - 1), C (2; 4; 3), D (2; 2; -1). Biết M (x; y; z), đểMA² +MB² +MC²+MD² đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z bằng

A. 7.

B. 8.

C. 9.

D. 6.

Câu 6 : Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có điểm A (1 ; 1 ; 1), B (2 ; 0 ; 2), C (-1 ; -1 ; 0), D (0 ; 3 ; 4). Trên các cạnh AB, AC, AD lần lượt lấy các điểm B’, C’, D’ thỏa mãn : ÂB ÂC ÂD 4

AB'+ AC'+AD '= . Viết phương trình mặt phẳng (B’C’D’) biết tứ diện AB’C’D’ có thể tích nhỏ nhất ?

A. 16x + 40y – 44z + 39 = 0 B. 16x + 40y + 44z – 39 = 0 C. 16x – 40y – 44z + 39 = 0 D. 16x – 40y – 44z – 39 = 0

(9)

Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua điểm A (1; -1; 2), song song với (P): 2x – y – z + 3 = 0, đồng thời tạo với đường thẳng x 1 y 1 z

: 1 2 2

+ −

 = =

− một góc lớn nhất. Phương trình đường thẳng d là

A. ^{x 1} ^{y 1} ^z ².

1 5 7

− = + = −

−

B. ^{x 1} ^{y 1} ^z ².

4 5 7

− = + = +

−

C.^{x 1} ^{y 1} ^z ².

4 5 7

− + −

= =

D. ^{x 1} ^{y 1} ^z ².

1 5 7

− = + = −

− −

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A (-1; 0; -1), cắt

1

x 1 y 2 z 2

: 2 1 1

− − +

 = =

− , sao cho góc giữa d và ₂ x 3 y 2 z 3

: 1 2 2

− − +

 = =

− là nhỏ

nhất. Phương trình đường thẳng d là A.x 1 y z 1

2 2 1 .

+ +

= = − B. ^{x 1} ^y ^{z 1}.

4 5 2

+ = = +

− C. ^{x 1} ^y ^{z 1}.

4 5 2

+ +

= =

− − D. x 1 y z 1

2 2 1 .

+ = = +

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (0; -2; -1), B (-2; -4;

3), C (1; 3; -1) và mặt phẳng (P): x + y – 2z – 3 = 0. Biết điểm ^{M a ;b;c}

( ) ( )

^ ^P

thỏa mãn T= MA+MB 2MC+ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính S = a + b + c.

A. S = -2 B. S = 0

(10)

C. S = 1

D. 1

S= −2.

Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (2; 1; -2), B (-1; 0; 3), (P) là mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách từ B đến (P) lớn nhất. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến (P) bằng

A. ¹⁷ 35 . B. 3.

C. 1.

D. ⁷ 35 . ĐÁP ÁN

Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Đáp

án

A D C B A A A A B A