đại học quốc gia tp hcm
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Đề chính thức
đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
——————
Bài 1. Cho hệ phương trình:
√
x−2 +√
y−1 = 2 x+y=m
a) Giải hệ với m = 7
b) Tìm m sao cho hệ có nghiệm (x, y) Bài 2. Cho M = 1
a + 1 b + 1
c, N = 1
b+c + 1
c+a + 1
a+b, K = a
b+c + b
c+a + c a+b a) Chứng minh nếu M K = a2+b2+c2
abc thì N = 0 b) Cho M =K = 4,N = 1. Tính tích abc.
Bài 3. Cho dãyn số thực x1;x2;. . .;xn (n≥5) thỏa: x1 ≤x2 ≤. . .≤xn và x1+x2+. . . xn= 1 a) Chứng minh nếu xn ≥ 1
3 thì x1+x2 ≤xn b) Chứng minh nếu xn ≤ 2
3 thì tìm được số nguyên dươngk < n sao cho 1
3 ≤x1+x2+. . .+xk≤ 2 3
Bài 4. a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho (2n+ 1)3+ 1 chia hết cho 22021 b) Tìm tất cả số tự nhiên nvà số nguyên tố psao cho 2n+ 2
p và 4n2+ 2n+ 1
p là các số nguyên. Chứng minh vớin và p tìm được, các số nguyên trên không thể đồng thời là số chính phương.
Bài 5. Cho tam giácABC vuông tạiA. Các điểmE, F lần lượt thay đổi trên các cạnhAB,AC sao cho EF k BC. Gọi D là giao điểm của BF và CE, H là hình chiếu của D lên EF. Đường tròn (I) đường kính EF cắt BF, CE tại M, N. (M khácF, N khác E)
a) Chứng minh AD và đường tròn ngoại tiếp 4HM N cùng đi qua tâm I của đường tròn tâm I.
b) Gọi K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC và P, Q tương ứng là giao điểm của EM, F N với BC. Chứng minh tứ giác AEP L, AF QK nội tiếp và
BP ·BL
CQ·CK không đổi khi E, F thay đổi.
c) Chứng minh nếu EL vàF K cắt nhau trên đường tròn(I)thì EM và F N cắt nhau trên đường thẳngBC.
Bài 6. Cho N tập hợp (N ≥6), mỗi tập hợp gồm 5 chữ cái khác nhau được lấy từ 26 chữ cái a, b, c,. . ., x,y,z.
a) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 1 chữ cái, và không có chữ cái nào có mặt trong tất cảN tập hợp này.
Chứng minh không có chữ cái nào có mặt trong 6 tập hợp từN tập đã cho.
b) Biết rằng trong N tập hợp đã cho, hai tập hợp bất kỳ có chung đúng 2 chữ cái, và không có hai chữ cái nào cùng xuất hiện trong N tập hợp này.
Hỏi trong số N tập hợp đã cho, có nhiều nhất bao nhiêu tập hợp có chung đúng 2 chữ cái?
– HẾT –
đại học quốc gia tp hcm
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Đề chính thức
đề thi tuyển sinh lớp 10 Năm học 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN (chuyên)
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
LỜI GIẢI
Bài 1. a) √
x−2 +√
y−1 = 2
x+y=m (1)
ĐKXĐ: x≥2,y≥1 (1)⇔
x−2 +y−1 + 2p
(x−2) (y−1) = 4 x+y = 7
⇔
2p
(x−2) (y−1) = 0 x+y= 7
⇔
x−2 = 0 x+y = 7 y−1 = 0 x+y = 7
⇔
x= 2 y= 5 (n) y= 1
x= 6 (n) Vậy (x, y)∈ {(2; 5),(6; 1)}
b) (1)⇔
x−2 +y−1 + 2p
(x−2) (y−1) = 4 x+y =m
⇔
2p
(x−2) (y−1) = 7−m(∗) x+y=m
(∗)⇔
7−m≥0
4 (x−2) (y−1) = (7−m)2
⇔
m≤7
4 (xy−2y−x+ 2) = (7−m)2(∗∗) (∗∗)⇔4 [y(x−1)−x−y+ 2] =m2−14m−49
⇔4 [(m−x)(x−1)−m+ 2] =m2−14m−49
⇔4x2−4(m+ 1)x+m2−6m+ 41 = 0 (2)
(1) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2
⇔∆0 = [2(m+ 1)]2−4 (m2−6m+ 41) = 32m−160 ≥0
⇔m ≥5
Vậy với5≤m≤7 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm.
Bài 2. a) M K = a2+b2 +c2
abc ⇒N = 0.
M K = 1
a + 1 b + 1
c
a
b+c+ b
c+a + c a+b
= 1
b+c+ b
a(c+a) + c
a(a+b)+ a
b(b+c)+ 1
c+a + c b(a+b)+ a
c(b+c) + b
c(c+a) + 1 a+b
=N + b c+a(1
a + 1
c) + c a+b(1
a + 1
b) + a b+c(1
b + 1 c)
=N + b ac+ c
ab+ a bc
=N + a2+b2+c2 abc MàM K = a2+b2+c2
abc ⇒N + a2+b2+c2
abc = a2+b2+c2
abc ⇒N = 0 b) Ta có M =K = 4;N = 1
Theo câu a) ta được:
M K =N + a2+b2+c2
abc ⇒16 = 1 +a2+b2+c2
abc ⇒a2+b2+c2 = 15abc
⇒(a+b+c)2−2(ab+bc+ca) = 15abc(∗) Ta có:
K+ 3 = a
b+c+ 1 + b
c+a + 1 + c
a+b + 1 = (a+b+c)N ⇒7 =a+b+c M = 4 ⇒ab+bc+ca= 4abc.
Thay vào(∗) ⇒72−2.4abc= 15abc ⇒abc= 49 23. Bài 3. a) Giả sử rằng x1+x2 > xn≥ 1
3 >0
⇒x2 >0⇒xi >0,∀i≥2.
Suy ra x1+x2+xn−2+xn−1+xn≤x1+x2+...+xn−2+xn−1 +xn = 1 Nhưng x1 +x2 > 1
3 và xn−1, xn−2 > 1
2(x1 +x2) > 1
6 và xn ≥ 1
3 nên khi cộng theo vế, ta có V T >1, vô lý.
Vậy điều giả sử là sai hay nếu xn≥ 1
3 thì x1+x2 ≤xn b) Giả sử không tồn tại số k như trên.
Khi đó tồn tại chỉ sốl ≤n−1 để x1+...+xl< 1
3 và x1+...+xl+1 > 2 3 Suy ra xl+1 > 1
3 ⇒xk > 1
3 >0,∀k ≥l+ 1.
Nếul < n−1thì tồn tại xl+2 dol+ 2≤n. Ta có xl+2 ≥xl+1 > 1
3 ⇒(x1+x2+...+xl+1) +xl+2 >1, vô lý do x1+...+xn= 1.
Từ đól =n−1. Để ý rằng xn≤ 2
3 nên x1+...+xn−1 = 1−xn ≥1− 2 3 = 1
3. Kết hợp vớil =n−1nên x1+...+xn−1 > 2
3 ⇒xn< 1
3, vô lý.
Vậy điều giả sử là sai hay phải tồn tại chỉ số k < nđể:
1
3 ≤x1+x2+· · ·+xk ≤ 2 3 Bài 4. a) (2n+ 1)3+ 1...22021
⇔(2n+ 2)(4n2+ 2n+ 1)...22021
⇔2(n+ 1)(4n2+ 2n+ 1)...22021
⇔(n+ 1)(4n2+ 2n+ 1)...22020
⇔n+ 1...22020 (do4n2+ 2n+ 1 ≡1 (mod 2))
⇔n = 22020k−1 (k∈Z+)
b) Từ p|2n+ 2 và p|4n2+ 2n+ 1 thì pphải là số lẻ, dẫn đến p|n+ 1.
Do4n+ 2 + 2n+ 1 = 4(n−1)(n+ 1) + 2(n+ 1) + 3 nên p|3, từ đó p= 3. Kết hợp với điều kiệnp|n+ 1 thì n = 3k−1với k∈Z+.
Ta chứng minh rằng 2n+ 2
3 và 4n+ 2 + 2n+ 1
3 không cùng là số chính phương.
Thật vậy, giả sử rằng ta có điều ngược lại, vì chúng đều là số nguyên dương nên:
2n+ 2
3 ·4n2+ 2n+ 1
3 =s2 (s ∈Z+)
Viết lại thành(2n+ 1)3 = (3s−1)(3s+ 1). Dos là số chẵn nên(3s−1,3s+ 1) = 1, dẫn đến việc tồn tại các số nguyêna, b đểab= 2n+ 1, (a, b) = 1 và:
(3s−1 = a3 3s+ 1 = b3
Từ đây 2 = (b−a)(b2+ba+a2). Dob > a nên b−a∈ {1,2}. Xét từng trường hợp và giải ra cụ thể, ta được (a, b) = (−1,1). Tuy nhiên điều này dẫn đến s = 0, trái với việcs >0 từ điều đã giả sử.
Vậy giả sử ban đầu là sai hay hai số đã cho không thể cùng là số chính phương.
Bài 5. a) a. Qua D vẽ đường thẳng song song BC cắt AB, AC tại X, Y. Ta có DY
BC = DF
BF = DE
EC = DX BC.
Suy ra DX =DY. Suy ra D là trung điểm của XY. Do đóAD qua trung điểmI của EF.
Ta có DHF N, DHEM nội tiếp. Suy ra DHN\ = DF N\ = M AN\ và DHM\ = N EM\ =N AM\.
Suy ra M HN\ = 2M AN\ =M IN\.
Suy ra tứ giácM IHN nội tiếp. Ta có điều cần chứng minh.
b) Ta có 4BM P v4BLF. Suy ra BM ·BF =BP ·BL.
Mặt khác 4BAF v4BEM, suy ra BE·BA=BM ·BE.
Do đóBA·BE =BP ·BL.
Từ đó ta có tứ giác AEP Lnội tiếp.
Chứng minh tương tự thì tứ giácAF QK nội tiếp.
Và BP·BL
CQ·CK = BE·BA
CF ·CA = AB2 AC2.
c) Giả sử EL, F K cắt nhau tại S thuộc (I).
Khi đó∠ESF = 90◦ và EF LK là hình vuông.
Vẽ P U⊥AB, QV⊥AC.
Ta có BP
BC = BU
BA = BK
BL và CQ
BC = CV
CA = CL CK Đặtx=EF =KL
Ta cần chứng minh BK
BL + CL CK = 1.
⇔BK ·CK+BL·CL=BL·CK
⇔BK(CL+x) + (BK +x)CL= (BK+x)(CL+x)⇔x2 =BK ·CL.
Đúng vì tam giácBEK và CF Lđồng dạng.
Bài 6. a) Giả sử có chữ cái σ sao cho σ có mặt trong 6 tập hợp từ N tập đã cho, chẳng hạn 6 tậpA1,A2,. . ., A6.
Vì hai tập hợp bất kỳ có chung đúng một chữ cái nên hai tập hợp bất kỳ trong 6 tập trên bao giờ cũng chỉ có chữ cái chung duy nhất làσ.
Do đó, tổng số chữ cái có mặt trong 6 tập trên là:1 + 6(5−1) = 25.
• NếuN = 6thì vô lý doσ không xuất hiện trong tất cảN tập hợp. Do đóN ≥7.
• Với N ≥7, lấy tập A7, có 2 khả năng:
– A7 chứaσ: Vì A7 và những tập A1, A2,. . .,A6 có chung đúng một chữ cái σ nên A7 còn chứa 4 phần tử không nằm trong bất kỳ tập nào thuộc A1, A2, . . ., A6.
Suy ra tổng số chữ cái trong 7 tập trên là: 1 + 7(5−1) = 29>26(vô lý) – A7 không chứa σ.
Khi đóA7 sẽ có chung đúng 1 phần tử với mỗi tậpA1,A2,. . .,A6 và 6 phần tử này phải khác nhau. (vì 6 tập A1, A2, . . ., A6 đã có chung σ)
Do đó A7 có ít nhất 6 phần tử. (vô lý).
Vậy không có chữ cái nào nằm trong 6 tập hợp từ N tập hợp đã cho.
b) Giả sử có nhiều nhất k tập hợp có chung đúng 2 chữ cái, chẳng hạn a và b.
Khi đó dễ thấy k ≥N −1 nên tồn tại một tập hợp khác chưa được kể tên trong k tập hợp trên, đặt là tập hợp X, X không chứa {a, b}.
• Nếu X không chứa cả a lẫn b.X giao mỗi tập trong k tập kia ở 2 phần tử khác nhau nên 2k ≤5⇒k≤2
• Nếu X chỉ chứa a, không chứa b.
Khi đó 4 phần tử còn lại giao với k tập kia ở các phần tử khác nhau, mà X có 5 phần tử nên k≤4.
Vậy có nhiều nhất 4 tập hợp có chung đúng 2 chữ cái.
Để chỉ ra một ví dụ về khả năng có4 tập hợp, xét N = 6. Để thuận tiện, thay các chữ cái bằng các con số từ 1đến 26. Khi đó chọn bộ N tập hợp như sau:
A1 ={1,2,3,4,5}
A2 ={1,2,6,7,8}
A3 ={1,2,9,10,11}
A4 ={1,2,12,13,14}
A5 ={1,3,6,10,13}
A6 ={2,3,6,9,12}
Bộ 6tập hợp này thỏa mãn tất cả các điều kiện của bài toán.
