1,0 Từ (2) suy ra 0u v t

1

HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII MÔN TOÁN 10

(Hướng dẫn này có 03 trang) ---

Câu 1 (4,0 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực:

2 2 3

1x  x   x 1 1 x 1.

(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Thái Nguyên)

Hướng dẫn chấm Điểm

4,0 Điều kiện xác định: ^{1 5} 1

2 x

    (1). 0,5

Đặt u 1x v²,  x² x 1,t ³1x ta được

2 2 3

, , 0 1

1 u v t

u v t u v t

 

   

   



(2). 1,0

Từ (2) suy ra 0u v t, ,   1 1 u²     v² t³ u v t 1. Do đó

2 2 3

, , 0 1 1 0 (2) 1

0 1

0 u v t u

v t u v t

u u v

u t v v

t t t

u v

 

    

    

  

 

        

. 1,5

Thay lại biến x ta được tập nghiệm của phương trình là S {1}. 1,0 Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi (O₁) là đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại A; (O₂) là đường tròn đi qua C và tiếp xúc với AB tại A. P là giao điểm thứ hai của (O₁) và (O₂); K L, theo thứ tự là giao điểm thứ hai của (O₁), (O₂) với đoạn thẳng BC. Gọi ( )S là đường tròn ngoại tiếp tam giác

PKL.

a) Chứng minh rằng: AK AL, tiếp xúc với ( )S .

b) Gọi Q là giao điểm thứ hai của ( )S và AP; E là giao điểm của QK và AB; F là giao điểm của QL và AC. Chứng minh rằng các điểm A K L S E F, , , , , cùng thuộc một đường tròn.

(Bài đề xuất của Tổ ra đề)

Hướng dẫn chấm Điểm

4,0 a) Tứ giác ABKP là tứ giác nội tiếp nên ABP AKP.

AC là tiếp tuyến của (O₁) nên ABP PAC. Suy ra AKP PAC (1). 1,0 Tứ giác APLC là tứ giác nội tiếp nên PAC PLK (2).

Từ (1) và (2), suy ra AK là tiếp tuyến của đường tròn ( )S .

Tương tự, ta chứng minh AL là cũng là tiếp tuyến của đường tròn ( )S .

1,0

2

F

E

Q

S L

K

P

O2

O1

B C

A

b) Cách 1. Dễ thấy AKSL là tứ giác nội tiếp. Ta chứng minh tứ giác AEKL là tứ giác nội tiếp.

Thật vậy, Ta có BEQ EAQ EQA (3).

Tứ giác KPLQ là tứ giác nội tiếp nên KQP PLK (4).

1,0 AB là tiếp tuyến với (O₂) nên EAQ PLA (5).

Từ (3), (4) và (5) nên BEQ ALK (đpcm). 1,0

Cách 2. Ta có KLQ KPQ và KPQ ABK nên ABK KLQ, suy ra QL ABP . 1,0 Do đó BEK KQL. Mà KQL ALK (do AL là tiếp tuyến với (S)) nên

BEK ALK

   . 1,0

Câu 3 (4,0 điểm) Cho đa thức f x( )x⁴x³mx²nxp, trong đó m n p, , là các số nguyên đôi một phân biệt, khác không, sao cho f m( )m⁴m³ và f n( )n⁴n³. Tìm m n p, , .

(Bài đề xuất của Tổ ra đề)

Hướng dẫn chấm Điểm

4,0 Xét đa thức g x( ) f x( )x⁴ x³ mx²nx p. Theo giả thiết g m( )g n( )0. Do g x( ) là

đa thức bậc 2 nên g x( )a x m x n(  )(  ). 1,0

Từ đó ta có: mx²nx p a x m x n(  )(  ).

Đồng nhất các hệ số cho ta pamn, n a m n(  ) và ma. 1,0 Từ đó ta được n m m n(  ) hay (m1)n m². Từ đây ta được m1 1∣ hay m  1 1. suy

ra m 2. Từ đó n4 và p16. 1,5

Vậy m 2,n4,p16. 0,5

Chú ý. Học sinh có thể thay trực tiếp m n, rồi giải hệ phương trình nghiệm nguyên để tìm , , .

m n p

Câu 4 (4 điểm) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( , )a b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

i) a b ² là lũy thừa của một số nguyên tố;

ii) a² b chia hết cho a b ².

(Bài đề xuất của Tổ ra đề)

3

Hướng dẫn chấm Điểm

4,0 Đặt a b ²  p^m,p nguyên tố và m nguyên dương. Ta viết

2 4

2

2 2

a b b b

a b a b a b

    

  , suy ra

4 3

( ) ( 1).

pm∣ b b b b 

1,0

Từ ( ,b b³ 1) 1, và b   1 b a b²  p^m nên ta suy ra p^m∣b³1. Ta có b³  1 (b 1)(b² b 1) và (b1,b² b 1) 3.∣

+ Nếu (b1,b²  b 1) 1 thì p^m∣b1 hoặc p^m∣b² b 1. Từ p^m b²ab²b1 nên ta chỉ có p^m|b1 và suy ta p^m ab²  b 1. Do đó a b 1.

+ Nếu (b1,b²  b 1) 3suy ra p3.

1,5

Xét m1, không có ( , )a b .

Xét m2, ( , )a b (5, 2). 0,5

Xét m3, khi đó 3∣b1 hoặc 3∣b² b 1 và 3^m1 là ước của phần tử còn lại.

Từ b 1 b²  a 1 3^m1, vì vậy 3^m1∣b² b 1. Do đó b²  b 1 0 (mod 9), mâu thuẫn.

1,0 Vậy ( , )a b {(1,1);(5,2) .}

Câu 5 (4 điểm) Cho tập S{1, 2,3,..., 2025}. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho: Với mọi tập con Tcủa S gồm n phần tử, tồn tại hai phần tử phân biệt u v, T sao cho u v 20.

(Dựa trên đề đề xuất của THPT Chuyên Bắc Giang)

Hướng dẫn chấm Điểm

4,0 Giả sử n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn đề. Xét tập

{1, 2,...,10} {20,21,..., 2025}

T   .

Ta thấy, với mọi u v, T phân biệt thì:

Nếu u v, {20, 21,..., 2025} thì u v 4120. Vậy không có u v, thỏa mãn u v 20.

Nếu u v, {1, 2,3,...,10} thì u v 1920. Vậy không có u v, thỏa mãn u v 20.

1,0

Nếu u{1, 2,3,...,10},v{20, 21,..., 2025} thì u v 2120. Vậy không có u v, thỏa mãn 20.

u v Vì |T| 2016 nên n2017. 1,0

Mặt khác, với mọi tập TS T,| | 2017 , xét 9 cặp số sau (1;19), (2;18),..., (9;11). Nếu một trong các cặp trên thuộc T thì đó là cặp ( ; )u v thỏa mãn u v 20.

Nếu không có cặp nào thuộc T thì |T| 2025 9  2016, vô lí.

Vậy với mọi tập TS T,| | 2017 luôn tồn tại u v, T thỏa mãn u v 20. Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của n là 2017.

2,0

---Hết---

Ghi chú: Thí sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.