c) Cm:AD=AT d) Gọi H là hình chiếu của H trên OA.cm:OHBC nội tiếp

(1)

1. Từ điểm A nằm ngoài (O),vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC(B,C là 2 tiếp điểm),và cát tuyến AMN của (O).

a) Cm:AB²=AM.AN

b) Gọi I là trung điểm MN.cmr:A,I,O,B,C cùng nằm trên 1 đường tròn.

c) Cm:IA là phân gíac của góc BIC

2. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O,R).Các đường cao AD,BM,CN cắt nhau tại H.Gọi K là trung điểm của AH.

a) Cm:BNMC nội tiếp và K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNH b) Gọi L là điểm đối xứng của H qua BC.cm:AM.AC=AN.AB và L(O).

c) Gọi I là giao điểm của AH và MN.cm:MB là tia phân giác của góc NMDvà IH.AD=AI.DH.

d) Cm:I là trực tâm của tam giác BKC.

3. Từ điểm A nằm ngoài (O),vẽ tiếp tuyến ATvà cát tuyến ABC của (O)(B nằm giữa A và C)

a) Cm:AT²=AB.AC

b) Phân giác của góc BTC cắt BC tại D và cắt (O) tại M.cm:OMBC.

c) Cm:AD=AT

d) Gọi H là hình chiếu của H trên OA.cm:OHBC nội tiếp.

4. Cho ABC có 3 góc nhọn(AB<AC)nội tiếp (O,R),hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H.

a) Cm:CHED nội tiếp vàxác định tâm của đường tròn ngoại tiếp.

b) Kẻ đường kính AK.cm:ACK vuông và BAD^¿ =CAK^¿ c) AD cắt đường tròn tại I.cm:BCKI là hình thang cân.

d) Biết góc BAC =60⁰.cm:AHO cân tại A.

5. Từ điểm A nằm ngoài (O),vẽ tiếp tuyến AB(B là tiếp điểm ),cát tuyến AEF đến (O) a) Cm:AB²=AE.AF

b) Tia phân giác của góc EBF cắt EF tại D,cắt (O) tại K.đoạn OKcắt EF tại I.cm:ABOI nội tiếp

c) Cm:AB=AD

6. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R).Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a) BEDC nội tiếp.xác định tâm I của đường tròn này . b) Cm:AE.AB=AD.AC và DA.DC=DH.DB

c) Vẽ phân giác của góc BAC cắt BC tại F,cắt (O) tại M.cm:AH//OM

d) Tiếp tuyến tại A của đường tròn cắt đường thẳng BC tại K.cm:KF²=KB.KC e) Đường thẳng DE cắt KC tại N.cm:CN.AK=CK.ND

(2)

7. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O,R).Các đường cao AD và CE cắt nhau tại H.

a) Cm:BEHD,AEDC nội tiếp.

b) Cm:EA.EB=EH.EC

c) BH cắt ED tại K,cắt AC tại I.cm:BI.HK=BK.HI

d) Cho AB=13cm,AC=20cm,BC=21cm.Tính bán kính đường tròn (O)

8. Cho tam giác ABC không có góc tù (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O; R). (B, C cố định, A di động trên cung lớn BC). Các tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại M. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt (O) tại D và E (D thuộc cung nhỏ BC), cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh rằng MBC BAC . Từ đó suy ra MBIC là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng: FI.FM = FD.FE.

c) Đường thẳng OI cắt (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng QF cắt (O) tại T (T khác Q). Chứng minh ba điểm P, T, M thẳng hàng.

d) Tìm vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất.

9. Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và 2 tiếp tuyến MA,MB đến (O) (A,B là tiếp điểm,C nằm giữa M và D)

a) MA²=MC.MD

b) Gọi I là trung điểm của CD.cm:M,A,I,O,B cùng nằm trên 1 đường tròn

c) Gọi H là giao điểm của AB và MO.cm:CHOD nội tiếp.suy ra AB là phân giác góc CHD.

d) Gọi K là giao điểm các tiếp tuyến tại C và D của (O).cm:A,B,K thẳng hàng.

10.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Các đường cao AD và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp. Suy ra AHC^¿ =180⁰−ABC^¿

b) Gọi M là điểm bất kì trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M khác B và C) và N là điểm đối xứng của M qua AC. Chứng minh tứ giác AHCN nội tiếp.

c) Gọi I là giao điểm của AM và HC; J là giao điểm của AC và HN.

Chứng minh AJI^¿ =ANC^¿

d) Chứng minh rằng : OA vuông góc với IJ HƯỚNG DẪN GIẢI:

1)Hdc)AOIC,AIOB nội tiếp 2) HD:

b)ABLC nội tiếp

c)dung hệ quả của 2 định lí talet

d)Vẽ (Q) đường kính BC,BI cắt (O)tại S.cm:BNSM,DNKM nội tiếp.

cm:tam giác IBDIKS(c-g-c)góc ISK=90⁰ 3)Hd d)ABHAOC(c-g-c)

(3)

4)HD:c)Hìng thang có 2 góc kề 1 đáy =

d)Kẻ OFBC.Tính BOF^¿ =60⁰ ,OF=

R

2 .chứng minh H,F,K thẳng hàng .AH=2OF.

5)Hd:b)K là trung điểm EF c)tam giác ABD cân tại A.

6)HD:d)=KA² e)cm:DE//AK

f)AD=

R

√

²

2 , AC=R

√

²⁽¹⁺

√

³⁾

2

7)Hd:c)dung tc phân giác

d)đặt DC=x,tính x=16,AD=12,SABC=126.chứng minh SABC=

AB.AC.BC

4R ÞR=65/6 9)a) Ta có BAC MBC do cùng chắn cung BC Và BAC MIC do AB// MI Vậy BAC MIC , nên bốn điểm ICMB cùng nằm Trên đường tròn đường kính OM (vì 2 điểm B, C cùng nhìn OM dưới 1 góc vuông)

b) Do 2 tam giác đồng dạng FBD và FEC nên FB. FC =FE. FD. Và 2 tam giác đồng dạng FBM và FIC nên FB. FC =FI. FM. So sánh ta có FI.FM =FD.FE

c) Ta có góc PTQ=900 do POIQ là đường kính. Và 2 tam giác đồng dạng FIQ và FTM có 2 góc đối đỉnh F bằng nhau và FI FT FQ FM  (vì FI.FM = FD.FE = FT.FQ) Nên FIQ FTM mà 90 0 FIQ OIM (I nhìn OM dưới góc 900 ) Nên P, T, M thẳng hàng vì 180 .0 PTM

d) Ta có BC không đổi. Vậy diện tích IBC S lớn nhất khi và chỉ khi khoảng cách từ I đến BC lớn nhất. Vậy I trùng với O là yêu cầu của bài toán vì I nằm trên cung BC của đường tròn đường kính OM. Khi I trùng O thì ABC vuông tại B. Vậy diện tích tam giác ICB lớn nhất khi và chỉ khi AC là đường kính của đường tròn (O;R).