Đề HSG Toán 7 Cấp Trường Năm 2020 – 2021 Trường THCS Văn Tiến – Vĩnh Phúc

Trường THCS Văn Tiến

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2020- 2021

MễN THI: TOÁN LỚP 7

Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1điểm):Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau

a)

2 2 1 1

0, 4 0, 25

9 11 3 5

A 1, 4 7 7 11 0,875 0,7

9 11 6

   

 

   

b)

B ^{23 23 23} ... ²³ 3.5 5.7 7.9 101.103

    

Bài 2: (2,5điểm): Tỡm x biết:

a)

7,5 3 5 2x   4,5

b)

3^x3^{x 1} 3^{x 2} 117

c)

^{1 1} ... ¹ 2 ¹

1.2 2.3 99.100 x 2

     

 

 

d)Tìm x, y biết :

x y x y

x

6 1 3 2 7

2 3 5

1

2      

e) Tìm x biết

14 1 13

1 12

1 11

1 10

1       

 x x x x

x

Bài 3: (2.5điểm)

a) Cho

b²ac

. Chứng minh rằng:

^a2₂ ^b2₂ ^a

b c c

 



b) Tìm các số a, b, c biết rằng :

2 3 4

a  b c

và a + 2b – 3c = -20

c) Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở đợc 912 m

³

đất. Trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m

³

đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1 và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối.

Bài 4 : (3 điểm): Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:

a/ AC=EB và AC // BE

b/ Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.

c/ Từ E kẻ EH



BC (H



BC). Biết gúc HBE bằng 50

⁰

; gúc MEB bằng 25

⁰

, tớnh cỏc gúc HEM và BME ?

Bài 5 : (1điểm): Tỡm x, y



N biết:

^{36y2 8}



^x2010



²

--- HẾT ---

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7

Bài Nội dung Điểm

Bài 1

_{0, 4} ^{2 2 1} _{0, 25} ^{1 2 2 2 1 1 1}

9 11 3 5 5 9 11 3 4 5

A 1, 4 7 7 11 0,875 0,7 7 7 7 7 7 7

9 11 6 5 9 11 6 8 10

       

   

       

1 1 1 1 1 1

2. 5 9 11 3 4 5

1 1 1 7 1 1 1

7. .

5 9 11 2 3 4 5

     

 

  

       

   

   

=2 2 7 7 0

3 3 3 3

2 2 2 2

B ...

3.5 5.7 7.9 101.103

     = ² 2 2 2 2

2 ...

3.5 5.7 7.9 101.103

     

 

 

= ² 1 1 1 1 1 1

2 ...

3 5 5 7 101 103

       

 

 = 1 1

4. 3 103

  

 

 = 100 400 4.309 309

0,5đ

0,5đ Bài 2

a.7,5 3 5 2x   4,5 5 2x 4 5 2x 4

TH1: 5 – 2x = 4 1 x 2

  TH2: 5 – 2x = -4 9 x 2

  Vậy x 1

2 hoặc x 9

 2

b) 3^x3^{x 1} 3^{x 2} 1173 (1 3^x  ¹ 3 ) 117² 

x x x

3 .13 117 3 117 :13 3 9

       x 2

c)

^{1 1 ... 1 2 1}

1.2 2.3 99.100 x 2

     

 

 

 1 1 1 1 1 1 1 1

... 2 2

1 2 2 3 3 4 99 100 x

          

 

 

 1 1

2 2

1 100 x

   

 

   99

2 2

100 x

 99

100 2 2x  101 100 2x

 

 101

x 200

d)

^{2 1 3 2 2 3 1}

5 7 6

x y x y

x

     

(1)

Từ hai tỉ số đầu ta có :2 1 3 2 2 3 1

5 7 12

x  y  x y (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra 2 3 1 2 3 1(3)

6 12

x y x y

x

     Từ (3) xét hai trường hợp.

+ Nếu 2x + 3y - 1 0 6x = 12 =>x =2 khi đó tìm được y =3

+ Nếu 2x + 3y - 1 = 0 2x=1-3y khi đó từ hai tỉ số đầu ta có

1 3 1 3 2 1 3 3 1 0

5 7 12

y y y y

        

0,5đ

0,5đ

0,5đ

0,5đ

suy ra 2-3y = 3y -2=0y=2

3 từ đó tìm tiếp x=-1 2

e)

 1  1 1 1 1 1

10 11 12 13 14

x  

         

=>x+1=0 (vỡ 1 1 1 1 1 10 11 12 13 14 0

      

 

  )

=>x=-1

0,5đ

Bài 3 a)

+Ta cú: b² ac a b b c

  (1) + Từ (1) suy ra:

2 2 2 2

2 2

a b a b a b a

b c b c. b c c

       

   

   

Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:

2 2 2 2

2 2 2 2

a b a a b

b c c b c

   

 Vậy:

2 2

2 2

a b a

b c c

 

 (ĐPCM

b)

2 3 4

a  b c



^{2 3 2 3 20} 5

2 6 12 2 6 12 4

a  b  c a b c  

  

=> a = 10, b = 15, c =20.

c) Gọi khối lượng của 3 khối 7, 8, 9 lần lượt là a, b, c (m

³

)



a + b + c = 912 m

³



Số học sinh của 3 khối là :

2 , 1

a

;

4 , 1

b

;

6 , 1

c

Theo đề ra ta có:

2 , 1 1 , 4 . 3

a b 

và

6 , 1 . 5 4 , 1 . 4

c b 

 20

6 , 1 . 15 4 , 1 . 12 2 , 1 .

4a  b  c 

Vậy a = 96 m

³

; b = 336 m

³

; c = 480 m

³

. Nên số HS các khối 7, 8, 9 lần lượt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs.

1đ

0,5đ

1đ

Bài 4

a. Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt )

gúcAMC=EMB(đối đỉnh )

BM = MC (gt )

Nờn : AMC = EMB (c.g.c )

 AC = EB

Vỡ AMC = EMB

=> Gúc MAC bằng gúc MEB

(2 gúc cú vị trớ so le trong

1đ

K

H

E B M

A

C I

được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE ) Suy ra AC // BE .

b. Xét AMI và EMK có : AM = EM (gt )

MAI= MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt )

Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra AMI= EMK

Mà AMI+ IME = 180^o ( tính chất hai góc kề bù )

 EMK+IME= 180^o  Ba điểm I;M;K thẳng hàng

c.Trong tam giác vuông BHE (H = 90^o ) có HBE = 50^o

 HBE= 90⁰- HBE = 40⁰

 HEM =HEB- MEB= 15⁰

BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM

Nên BME= HEM +MHE = 15^o + 90^o = 105^o ( định lý góc ngoài của tam giác )

1đ

1đ

Bài 5

_{Ta có:} ^{36y2 8}



^x2010



^2y28



^x2010



^{2 36.}

Vì y²0 ⁸



²⁰¹⁰



^{2 36 ( 2010)2 36}

x x 8

     

Vì 0 ( x2010)² và x N ,



^x2010



²là số chính phương nên (x 2010)2 4

   hoặc (x2010)²1 hoặc (x2010)² 0.

+ Với ² 2012

( 2010) 4 2010 2

2008

x x x

x

 

       

2 2

4 2( )

y y

y loai

 

     

+ Với (x2010)²  1 y²36 8 28  (loại)

+ Với (x2010)²   0 x 2010 và ² 6

36 6 ( )

y y

y loai

 

     Vậy ( , ) (2012; 2); (2008; 2); (2010;6).x y 

1đ