Trường THCS Văn Tiến
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2020- 2021
MễN THI: TOÁN LỚP 7
Thời gian làm bài: 120 phỳt (khụng kể thời gian giao đề) Bài 1: (1điểm):Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau
a)
2 2 1 1
0, 4 0, 25
9 11 3 5
A 7 7 1
1, 4 1 0,875 0, 7 9 11 6
b)
B 23 23 23 ... 23 3.5 5.7 7.9 101.103
Bài 2: (2,5điểm): Tỡm x biết:
a)
7,5 3 5 2x 4,5b)
3x 3x 1 3x 2 117c)
1 1 ... 1 2 11.2 2.3 99.100 x 2
d)Tìm x, y biết :
x y x y
x
6 1 3 2 7
2 3 5
1
2
e) Tìm x biết
14 1 13
1 12
1 11
1 10
1
x x x x
x
Bài 3: (2.5điểm)
a) Cho
b2 ac. Chứng minh rằng:
a22 b22 ab c c
b) Tìm các số a, b, c biết rằng :
2 3 4
a b c
và a + 2b – 3c = -20
c) Trong một đợt lao động, ba khối 7, 8, 9 chuyên chở đợc 912 m
3đất. Trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9 theo thứ tự làm đợc 1,2 ; 1,4 ; 1,6 m
3đất. Số học sinh khối 7, 8 tỉ lệ với 1 và 3. Khối 8 và 9 tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh mỗi khối.
Bài 4 : (3 điểm): Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng:
a/ AC=EB và AC // BE
b/ Gọi I là một điểm trờn AC, K là một điểm trờn EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng.
c/ Từ E kẻ EH
BC (H
BC). Biết gúc HBE bằng 50
0; gúc MEB bằng 25
0, tớnh cỏc gúc HEM và BME ?
Bài 5 : (1điểm): Tỡm x, y
N biết:
36y2 8
x2010
2HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MễN TOÁN LỚP 7
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
0, 4 2 2 1 0, 25 1 2 2 2 1 1 19 11 3 5 5 9 11 3 4 5
A 7 7 1 7 7 7 7 7 7
1, 4 1 0,875 0,7
9 11 6 5 9 11 6 8 10
1 1 1 1 1 1
2. 5 9 11 3 4 5
1 1 1 7 1 1 1
7. .
5 9 11 2 3 4 5
=2 2 7 7 0
3 3 3 3
2 2 2 2
B ...
3.5 5.7 7.9 101.103
= 2 2 2 2 2
2 ...
3.5 5.7 7.9 101.103
= 2 1 1 1 1 1 1
2 ...
3 5 5 7 101 103
= 1 1
4. 3 103
= 100 400 4.309 309
0,5đ
0,5đ Bài 2
a. 7,5 3 5 2x 4,5 5 2x 4 5 2x 4TH1: 5 – 2x = 4 1 x 2
TH2: 5 – 2x = -4 9 x 2
Vậy 1
x2 hoặc 9 x2
b) 3x 3x 1 3x 2 1173 (1 3x 1 3 ) 1172
x x x
3 .13 117 3 117 :13 3 9
x 2
c)
1 1 ... 1 2 11.2 2.3 99.100 x 2
1 1 1 1 1 1 1 1
... 2 2
1 2 2 3 3 4 99 100 x
1 1
2 2
1 100 x
99 2 2
100 x
99
100 2 2x 101 100 2x
101 x 200
d)
2 1 3 2 2 3 15 7 6
x y x y
x
(1)
Từ hai tỉ số đầu ta có :2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y
(2)
Từ (1) và (2) ta suy ra 2 3 1 2 3 1
6 12 (3)
x y x y
x
Từ (3) xét hai trờng hợp.
+ Nếu 2x + 3y - 1 0 6x = 12 =>x =2 khi đó tìm đợc y =3 + Nếu 2x + 3y - 1 = 0 2x=1-3y khi đó từ hai tỉ số đầu ta có
1 3 1 3 2 1 3 3 1
5 7 12 0
y y y y
suy ra 2-3y = 3y -2=0y=2
3 từ đó tìm tiếp x=-1 2
0,5đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
e)
x 1 10 11 12 13 14 1 1 1 1 1
=>x+1=0 (vỡ 1 1 1 1 1 10 11 12 13 14 0
)
=>x=-1 0,5đ Bài 3 a)
+Ta cú: b2 ac a bb c
(1) + Từ (1) suy ra:
2 2 2 2
2 2
a b a b a b a
b c b c. b c c
Áp dụng tớnh chất của dóy tỉ số bằng nhau, ta cú:
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a a b
b c c b c
Vậy:
2 2
2 2
a b a
b c c
(ĐPCM
b)
2 3 4a b c
2 3 2 3 20 5 2 6 12 2 6 12 4 a b c a b c
=> a = 10, b = 15, c =20.
c) Gọi khối lợng của 3 khối 7, 8, 9 lần lợt là a, b, c (m
3)
a + b + c = 912 m
3
Số học sinh của 3 khối là :
1a,2;
1b,4;
1c,6Theo đề ra ta có:
2 , 1 1 , 4 . 3
a b
và
6 , 1 . 5 4 , 1 . 4
c b
4.a1,2 12.b1,4 15.c1,6 20
Vậy a = 96 m
3; b = 336 m
3; c = 480 m
3. Nên số HS các khối 7, 8, 9 lần lợt là: 80 hs, 240 hs, 300 hs.
1đ
0,5đ
1đ Bài 4
a. Xột AMC và EMB cú : AM = EM (gt )
gúcAMC=EMB(đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Nờn : AMC = EMB (c.g.c )
AC = EB
Vỡ AMC = EMB
=> Gúc MAC bằng gúc MEB
(2 gúc cú vị trớ so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
Suy ra AC // BE .
b. Xột AMI và EMK cú :
1đ
K
H
E B M
A
C I
AM = EM (gt )
MAI= MEK ( vì AMC EMB ) AI = EK (gt )
Nên AMI EMK ( c.g.c ) Suy ra AMI= EMK
Mà AMI+ IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK+IME= 180o Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c.Trong tam giác vuông BHE (H = 90o ) có HBE = 50o
HBE= 900- HBE = 400
HEM =HEB- MEB= 150
BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME= HEM +MHE = 15o + 90o = 105o ( định lý góc ngoài của tam giác )
1đ
1đ
Bài 5
Ta có: 36y2 8
x2010
2y28
x2010
2 36.Vì y20 8
2010
2 36 ( 2010)2 36x x 8
Vì 0 ( x2010)2 và x N ,
x2010
2là số chính phương nên (x 2010)2 4 hoặc (x2010)2 1 hoặc (x2010)2 0.
+ Với 2 2012
( 2010) 4 2010 2
2008
x x x
x
2 2
4 2( )
y y
y loai
+ Với (x2010)2 1 y2 36 8 28 (loại)
+ Với (x2010)2 0 x 2010 và 2 6
36 6 ( )
y y
y loai
Vậy ( , ) (2012; 2); (2008;2); (2010;6).x y
1đ