TRƯỜNG THCS ĐẠI TỰ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi : Toán 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1( 2 đ ) : Tìm các số x, y, z biết.
a/ (x – 1)
3= - 8 b/
9 7 x 5x3c/ x - 3
x= 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 2:(2 đ)
a) Thực hiện phép tính:
12 5 6 2 10 3 5 2
6 3 9 3
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 A 2 .3 8 .3 125.7 5 .14
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì :
2 2
3n 2n 3n2n
chia hết cho 10 Câu 3:(1,5 đ )
a/ Tìm số dư khi chia 2
2011cho 127
b/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6.
Chứng minh rằng: 4
a+ a + b chia hết cho 6
Câu 4( 2,5 đ)
a, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x 1 x 2 ... x 2013 x 2014b, Cho các số a,b,c nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng ba số
; ;
A ab bc ca B a b c C abc
nguyên tố cùng nhau.
c, Tìm các số nguyên dương x,y thỏa mãn
1 1x y 23Câu 5:(2 đ ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Từ E và F kẻ đường vuông góc EK và FN với đường thẳng HA.
a/ Chứng minh rằng: EK = FN.
b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA. Tìm điều kiện của tam giác ABC để EF = 2AI.
---Hết---
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 7
========================================
Câu Phần Nội dung cần trình bày Điểm
1 (2đ)
a 0,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 0.5
b 0,5đ
9 7 x 5x3 Điều kiện: x 3 5
=> 9 7 5 3
9 7 3 5
x x
x x
=> 12 12 1
2 6 3
x x
x x
(Thỏa mãn điều kiện)
Vậy x = 1 hoặc x = 3. 0.5
c 0,5đ
x - 3 x = 0 Điều kiện x 0
=> x
x3
= 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)Vậy x = 0 hoặc x = 9 0.5
d 0,5đ
12x = 15y = 20z =>
5 4 3
x y z => 48
5 4 3 12 12 4
x y z x y z
=> x = 20; y = 16; z = 12 0.5
2 (2đ)
a 1đ
b 1đ
a)
12 5 6 2 10 3 5 2 12 5 12 4 10 3 10 4
6 3 9 3 12 6 12 5 9 3 9 3 3
2 4 5
12 4 10 3
12 5 9 3 3
10 3 12 4
12 5 9 3
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49 2 .3 2 .3 5 .7 5 .7 2 .3 2 .3 5 .7 5 .2 .7 125.7 5 .14
2 .3 8 .3
2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 7 2 .3 . 3 1 5 .7 . 1 2
5 .7 . 6 2 .3 .2
2 .3 .4 5 .7 .9
1 10 7
6 3 2
A
b)
3n22n23n2n= 3n23n2n22n =3 (3n 2 1) 2 (2n 21)
=3 10 2 5 3 10 2n n n n110 = 10( 3n -2n-1)
Vậy 3n22n23n2n 10 với mọi n là số nguyên dương.
0,5
0,5
0,5
0,5
3 (1.5
đ)
a, 0,75đ
Ta có 25 = 32 1 (mod31) => (25)402 1 (mod31)
=> 22011 2 (mod31). Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2. 0,75
b 0,75đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4a 1 (mod3) => 4a + 2 0 (mod3) Mà 4a + 2 0 (mod2) => 4a + 2 6
Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 6
Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6
0,25 0,25 0,25 4
25 a
( 1 2014 ) ... 1006 1007
2013 2012 ... 1A x x x x
=2013.2014:2=2027091
0,5
b
1 Vì a,b,c nguyên tố cùng nhau, suy ra (a,b,c)=1 a
1 đ Đặt (A,B,C)=d
d1 , ta cần chứng minh d=1.
Do
A d aAd a b abc ca d2 2Mà
abc d a b ca d2 2 a b c d2
(1) Ta lại có
a a b c d2
a3a b c d2
(2) Từ (1) và (2) suy ra
a d3 a d.
Chứng minh tương tự ta được
b c d; a b c d; ;
a b c, ,
d d 1Vậy (A,B,C)=1.
B 1đ
1 1 2
3 3 2 6 6 4
3 x y xy x y xy
x y
6x4xy6y 9 9 0 2 3 2x y 3 3 2 y 9 0
2x 3 2
y 3
9
Do
2x 3 1và 2x-3 là ước của 9 nên.
Nên 2x-3
1,1,3,9
Vậy (x,y)= (2,6); (3,3); (6;2).
1,0
c 1,0
5 (2đ)
a 1.0
Chứng minh KAE = HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh NFA = HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN
0,5 0.5
b 1đ
Chứng minh KEI = NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF 2 Mà AI = EF
2 (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA
=> EAF = 900 => BAC = 900
Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,5
0,5
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa
K I
H
N F
E
B C A
