Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Bài 1. Khái niệm về mặt tròn xoay.

A. Lý thuyết

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay.

Trong không gian cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và một đường C. Khi quay mặt phẳng (P) quanh ∆ một góc 360⁰ thì mỗi điểm M trên đường C vạch ra một đường tròn có tâm O thuộc ∆ và nằm trên mặt phẳng vuông góc với ∆.

Như vậy, khi quay mặt phẳng (P) quanh đường thẳng ∆ thì đường C sẽ tạo thành một hình được gọi là mặt tròn xoay.

Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng ∆ được gọi là trục của mặt tròn xoay đó.

II. Mặt nón tròn xoay 1. Định nghĩa.

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc β với 0⁰ < β < 90⁰. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng d sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O.

Người thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

Đường thẳng ∆ là trục, đường thẳng d là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh của mặt nón đó.

2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay.

a) Cho tam giác OIM vuông tại I. Khi quay tam giác đó xung quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình được gọi là hình nón tròn xoay, gọi tắt là hình nón.

Hình tròn tâm I sinh bởi các điểm thuộc cạnh IM khi quay quanh trục OI được gọi là mặt đáy của hình nón, điểm O được gọi là đỉnh của hình nón.

Độ dài đoạn OI gọi là chiều cao của hình nón, đó cũng chính là khoảng cách từ O đến mặt phẳng đáy. Độ dài đoạn OM gọi là độ dài đường sinh của hình nón.

Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh OI được gọi là mặt xung quanh của hình nón đó.

b) Khối nón tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. Người ra gọi tắt khối nón tròn xoay là khối nón.

Những điểm không thuộc khối nón được gọi là những điểm ngoài của khối nón.

Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón ứng với khối nón ấy được gọi là những điểm trong của khối nón.

Ta gọi đỉnh, mặt đáy, đường sinh của một hình nón theo thứ tự là đỉnh, mặt đáy, đường sinh của khối nón tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay.

a) Một hình chóp được gọi là nội tiếp một hình nón nếu đáy của hình chóp là đa giác nội tiếp đường tròn đáy của hình nón và đỉnh của hình chóp là đỉnh của hình nón. Khi đó, ta còn nói hình nón ngoại tiếp hình chóp.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình chóp đều nội tiếp hình nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình nón.

- Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay bằng một nửa tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh.

Sxq  rl (r là bán kính đường tròn đáy, l là độ dài đường sinh).

- Người ta gọi tổng của diện tích xung quanh và diện tích đáy là diện tích toàn phần của hình nón.

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình nón tròn xoay cũng là diện tích xung quanh , diện tích toàn phần của khối nón được giới hạn bởi hình nón đó.

- Nếu cắt mặt xung quanh của hình nón tròn xoay theo một đường sinh rồi trải dài ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình quạt có bán kính bằng độ dài đường sinh của hình nón và một cung tròn có độ dài bằng chu vi đường tròn đáy của hình nón. Ta có thể xem diện tích hình quạt này là diện tích xung quanh của hình nón.

Ví dụ 1. Một hình nón tròn xoay có đường cao h = 20, bán kính đáy r = 25.

a) ính diện tích xung quanh hình nón đ cho.

b) Tính diện tích toàn phần hình nón đ cho.

Lời giải:

a) a có SA AO² SO²  20² 25² 5 41 (Pitago trong tam giác vuông O)

Diện tích xung quanh của hình nón

Sxq    .r.l .OA.SA .25.5 41 125  41. b) Diện tích toàn phần của hình nón:

2 2

tp

2

S rl r .OA.SA .OA

.25.5 41 .25 125 ( 41 5)

      

      

4. Thể tích khối nón tròn xoay.

a) Định nghĩa.

Thể tích của khối nón tròn xoay là giới hạn của thể tích khối chóp đều nội tiếp khối nón đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối nón tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối nón tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức:

V 1B.h

 3

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì B r², khi đó 1 ²

V r .h

 3 .

Ví dụ 2. Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, ABa 10, BC = 2a.

Gọi H là trung điểm của BC. ính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

Lời giải:

Đường sinh l AB a 10  Bán kính đáy r ^BC a

 2 

 đường cao h l²  r² 3a

hể tích của hình nón tạo thành 1 ^{2 3}

V r h a

 3   . III. Mặt trụ tròn xoay.

1. Định nghĩa

Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng ∆ và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh ∆ thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay.

Người ta thường gọi tắt mặt trụ tròn xoay này là mặt trụ. Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.

2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay.

a) Xét hình chữ nhật BCD. Khi quay hình này xung quanh đường thẳng chứa một cạnh – giả sử là B; thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình được gọi là hình trụ tròn xoay hay còn gọi tắt là hình trụ.

- Khi quay quanh AB; hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.

Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ, phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay quanh AB gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

b) Khối trụ tròn xoay là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. Khối trụ tròn xoay còn được gọi tắt là khối trụ.

Những điểm không thuộc khối trụ được gọi là những điểm ngoài của khối trụ.

Những điểm thuộc khối trụ nhưng không thuộc hình trụ được gọi là những điểm trong của khối trụ.

Ta gọi mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của một hình trụ theo thú tự là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.

3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay.

a) Một hình lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của hình lăng trụ nội tiếp hai đường tròn đáy của hình trụ. Khi đó, ta còn nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

- Định nghĩa: Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay là giới hạn của diện tích xung quanh của hình lăng trụ đều nội tiếp hình trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ.

- Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay bằng tích của độ dài đường tròn đáy và độ dài đường sinh:

Sxq  2 rl ( r là bán kính của hình trụ, l là độ dài đường sinh của hình trụ).

- Chú ý: Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình trụ tròn xoay cũng là diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của khối trụ được giới hạn bởi hình trụ đó.

Nếu cắt mặt xung quanh của hình trụ theo một đường sinh, rồi trải ra trên một mặt phẳng thì ta sẽ được một hình chữ nhật có một cạnh bằng đường sinh l và một cạnh bằng chu vi của đường tròn đáy. Độ dài đường sinh l bằng chiều cao h của hình trụ. Khi đó, diện tích hình chữ nhật bằng diện tích xung quanh của hình trụ.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD cạnh 8. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB

và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN.

ính diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành Lời giải

Quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ như hình vẽ.

Khi đó, bán kính hình trụ AB

r 4;h AD 8

 2   

Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành Sxq    2 rh 64 . 4. Thể tích khối trụ tròn xoay.

a) Định nghĩa Thể tích của khối trụ tròn xoay là giới hạn của thể tích khối lăng trụ đều nội tiếp khối trụ đó khi số cạnh đáy tăng lên vô hạn.

b) Công thức tính thể tích khối trụ tròn xoay.

Gọi V là thể tích của khối trụ tròn xoay có diện tích đáy B và chiều cao h, ta có công thức: V = B.h.

Như vậy, nếu bán kính đáy bằng r thì B r², khi đó V r h² .

- Ví dụ 4. Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh a = 2 có thể tích là?

Lời giải:

hiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông ABCD như hình vẽ.

Hình vuông cạnh a = 2 nên AB = 2r = 2 . uy ra, bán kính của hình trụ là r = 1 Chiều cao hình trụ là h = D = 2 hể tích hình trụ V r h²  2 . B. Bài tập tự luyện

Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA vuông góc với đáy, SC a 6 . Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. ính thể tích của khối nón tròn xoay đó.

Lời giải:

Ta có: AC AB²  BC² a 2

2 2 2 2

SA SC AC 6a 2a 2a

     

Hình nón tròn xoay được tạo thành là một hình nón có chiều cao , bán kính đáy là C, C là đường sinh và có thể tích là

3

2 2 2

1 1 1 4 a

V R h AC .SA .2a .2a

3 3 3 3

        .

Bài 2. Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60⁰.

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón.

b) Tính thể tích của khối nón.

Lời giải:

a) Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón.

Theo giải thiết ta có đường sinh SA = a 2 và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là SAO60⁰.

Trong tam giác vuông SAO, ta có:

0 a 2

OA SA cos 60

  2 ;

0 3 a 6

SO SA.sin 60 a 2.

2 2

   .

Khi đó hình nón có

- Đường sinh l = SA = a 2 - Chiều cao h = SO = ^{a 6}

2 - Bán kính đáy r = O = ^{a 2}

2

Diện tích xung quanh hình nón là:

2 xq

S rl .a 2.a 2 a

    2   (đvdt).

b) Thể tích của khối nón tròn xoay:

2 3

1 2 1 a 2 a 6 a 6

V r h .

3 3 2 2 12

  

     

  (đvtt).

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; góc BDC30⁰. Quay hình chữ nhật

này xung quanh cạnh AD. Tính diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành?

Lời giải

Khi quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh D ta được hình trụ như hình vẽ.

Ta có: r = AB = a; h = BC = CD.tan30⁰. Suy ra a

h 3 .

Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là

2 xq

S 2 rh 2 a

3

    .

Bài 4. Cho hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a.

Mặt

phẳng (P) song song với trục và cách trục một khoảng ^a

2. ính diện tích thiết diện

của trụ cắt bởi (P).

Lời giải:

Hình trụ có trục OO’, thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh 2a, khi đó OO’

= 2a.

Mặt phẳng (P) song song với trục nên cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật có một kích thước là 2a.

Kích thước còn lại là

2

2 2 2 a

2 r d 2 a a 3

2

       ,

trong đó r = a bán kính đáy và d ^a

 2 là khoảng cách từ trục đến mặt phẳng (P).

Diện tích thiết diện là S 2a.a 3 2a² 3.

Bài 5. Một hình thang vuông ABCD có đường cao AD , đáy nhỏ AB = , đáy

lớn CD 2 . Cho hình thang quay quanh CD, ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

ừ B kẻ BE vuông góc với CD tại E.

Khi quay hình thang quanh CD ta được khối tròn xoay gồm 2 phần:

V1 là khối trụ có bán kính đáy AD  và chiều cao AB =  nên :

2 4

V1     . .

và khối trụ V2 là khối nón có đáy BE   và đường cao EC  nên :

2 4

2

1 1

V . . .

3 3

      .

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là _{1 2} 4 ⁴

V V V

   3 .