Lý thuyết Ôn tập chương 1 (mới 2022 + Bài Tập) – Toán 12

Ôn tập chương A. Lý thuyết

1. Khối lăng trụ và khối chóp.

- Khối chóp là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp kể cả hình chóp ấy.

Khối chóp cụt là phần không gian được giới hạn bởi một hình chóp cụt kể cả hình chóp cụt ấy.

- Khối lăng trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ kể cả hình lăng trụ ấy.

- Tên của khối lăng trụ hay khối chóp được đặt theo tên của hình lăng trụ hay hình chóp giới hạn nó.

Ví dụ. Ứng với hình lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH ta có khối lăng trụ tứ giác ABCD.EFGH; ứng với hình chóp tứ giác S.ABCD ta có khối chóp tứ giác S.ABCD.

- Ta gọi đỉnh, cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của một hình lăng trụ (hình chóp hay hình chóp cụt) theo thứ tự là đỉnh; cạnh, mặt, mặt bên, mặt đáy, cạnh đáy, cạnh bên… của khối lăng trụ (khối chóp hay khối chóp cụt) tương ứng.

- Điểm không thuộc khối lăng trụ được gọi là điểm ngoài của khối lăng trụ, điểm thuộc khối lăng trụ nhưng không thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ đó được gọi là điểm trong của khối lăng trụ. Điểm trong hay điểm ngoài của khối chóp, khối chóp cụt cũng được định nghĩa tương tự.

2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện 2.1 Khái niệm về hình đa diện

Hình đa diện (gọi tắt là đa diện) là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

- Các đỉnh, cạnh của các đa giác ấy theo thứ tự gọi là đỉnh, cạnh của hình đa diện.

2.2 Khái niệm về khối đa diện

- Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó.

- Những điểm không thuộc khối đa diện được gọi là điểm ngoài của khối đa diện. Những điểm thuộc khối đa diện nhưng không thuộc hình đa diện giới hạn khối đa diện ấy được gọi là điểm trong của khối đa diện.

Tập hợp các điểm trong được gọi là miền trong, tập hợp các điểm ngoài được gọi là miền ngoài của khối đa diện.

- Mỗi hình đa diện chia các điểm còn lại của không gian thành hai miền không giao nhau là miền trong và miền ngoài của hình đa diện, trong đó chỉ có miền ngoài là chứa hoàn toàn một đường thẳng nào đấy.

Ví dụ.

- Các hình dưới đây là những khối đa diện

- Các hình dưới đây không phải là những khối đa diện.

3. Hai đa diện bằng nhau.

3.1 Phép dời hình trong không gian.

- Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M với điểm M’ xác định duy nhất được gọi là một phép biến hình trong không gian.

- Phép biến hình trong không gian được gọi là phép dời hình nếu nó bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm tùy ý.

- Ví dụ. Trong không gian, các phép biến hình sau đây gọi là phép dời hình : a) Phép tịnh tiến theo vectơ v, là phép biến hình, biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM 'v.

b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P), là phép biến hình biến mỗi điểm thuộc (P) thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc (P) thành điểm M’ sao cho (P) là mặt phẳng trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành chính nó thì (P) được gọi là mặt phẳng đối xứng của (H).

c) Phép đối xứng tâm O, là phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho O là trung điểm của MM’.

Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành chính nó thì O được gọi là tâm đối xứng của (H).

d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (hay phép đối xứng qua trục ∆) là phép biến hình biến mọi điểm thuộc đường thẳng ∆ thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc ∆ thành điểm M’ sao cho ∆ là đường trung trực của MM’.

Nếu phép đối xứng qua đường thẳng ∆ biến hình (H) thành chính nó thì ∆ gọi là trục đối xứng của (H) .

Nhận xét:

+ Thực hiện liên tiếp các phép dời hình sẽ được một phép dời hình.

+ Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H’), biến đỉnh, cạnh, mặt của (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của (H’).

3.2 Hai hình bằng nhau

- Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

Đặc biệt, hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.

- Ví dụ. Phép đối xứng tâm O biến đa diện (H) thành đa diện (H’). Phép đối xứng trục ∆, biến đa diện (H’) thành đa diện (H”). Do đó, phép dời hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình trên biến hình (H) thành hình (H”) .

Từ đó, suy ra các hình (H); (H’) và (H”) là bằng nhau.

4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện

Nếu khối đa diện (H) là hợp của hai khối đa diện (H₁) và (H₂) sao cho (H₁) và (H2) không có chung điểm trong nào thì ta nói có thể chia được khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) và (H2), hay có thể lắp ghép hai khối đa diện (H1) và (H2) với nhau để được khối đa diện (H).

- Ví dụ. Với khối chóp tứ giác S.ABCD, ta hãy xét hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD.

Ta thấy rằng:

+ Hai khối chóp S.ABC và S.ACD không có điểm trong chung.

+ Hợp của hai khối chóp S.ABC và S.ACD chính là khối chóp S.ABCD.

Vậy khối chóp S.ABCD được phân chia thành hai khối chóp tam giác là S.ABC và S.ACD .

- Nhận xét. Một khối đa diện bất kì luôn có thể phân chia thành những khối tứ diện.

5. Khối đa diện lồi.

Khối đa diện lồi (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.

Ví dụ. Các khối chóp tam giác, tứ giác, các khối lăng trụ tam giác, khối lăng trụ tứ giác… đều là những khối đa diện đều.

- Người ta chứng minh được rằng, một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miềm trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.

6. Khối đa diện đều.

- Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loại {p; q}.

Từ định nghĩa trên ta thấy các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.

- Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều. Đó là các loại {3; 3}; loại {4; 3};

loại {3; 4}; loại {5; 3} và loại {3; 5}.

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo thứ tự gọi là các khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện đều (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt đều và khối hai mươi mặt đều.

Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều.

Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt

{3; 3} Tứ diện đều 4 6 4

{4; 3} Lập phương 8 12 6

{3; 4} Bát diện đều 6 12 8

{5; 3} Mười hai mặt đều 20 30 12

{3; 5} Hai mươi mặt đều 12 30 20

Ví dụ. Chứng minh rằng nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.

Lời giải:

Gọi số cạnh và số mặt của đa diện lần lượt là c và m .

Vì mỗi mặt có ba cạnh và mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có số cạnh của đa diện là 3m

c 3m 2c

 2   .

Do đó, 3mchia hết cho 2 mà 3 không chia hết cho 2 nên m phải chia hết cho 2, nghĩa là m là số chẵn.

Vậy nếu khối đa diện có các mặt là những tam giác thì tổng các mặt của nó phải là một số chẵn.

7. Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Người ta chứng minh được rằng: có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện (H) một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1.

b) Nếu hai khối đa diện (H₁) và (H₂) bằng nhau thì V_(H1) = V_(H2).

c) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì:

V(H) = V(H1) + V(H2).

Số dương V_(H) nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện (H). Số đó cũng được gọi là thể tích của hình đa diện giới hạn khối đa diện (H).

Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

- Định lí : Thể tích của khối hình chữ nhật bằng tích ba kích thước của nó.

8. Thể tích của khối lăng trụ.

Định lí: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = B.h Ví dụ. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải:

A' C'

B'

A

B

C I

Gọi I là trung điểm BC . Ta có; ∆ABC đều nên

AI AB 3 2 3; AI BC

 2  

Suy ra: A'IBC (định lí 3 đường vuông góc) Ta có: _{A ' BC} 1 2S^{A ' BC}

S BC.A 'I A 'I 4

2 BC

   

Vì AA'(ABC)AA'AI

Xét tam giác A’AI có : AA' A'I² AI² 2

Vậy : V_{ABC.A’B’C’} = S_ABC .AA' = 1

2AI.BC. AA’ = 8 3. 9. Thể tích khối chóp.

Định lí. Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: 1

V B.h

 3 . Ví dụ. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với đáy (ABC) một góc 60^o. Tính thể tích hình chóp.

Lời giải :

a

60o

M C

B A

S

Gọi M là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên AM BCSABC (định lí 3 đường vuông góc).

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = SMA 60 ⁰.

Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao a 3 AM 2 Xét tam giác SAM có : SA = AM.tan60⁰ = 3a

2

Vậy V = _ABC 1 1 ³

. AM.BC.SA 3 2

1 1 a 3

B.h S .SA

3  3   8

B. Bài tập tự luyện Bài 1. Cho các hình sau:

Mỗi hình trên gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), hình nào là đa diện?

Lời giải:

Trong các hình trên chỉ có hình 1 là hình đa diện.

Vì hình 1 là hình được tạo bởi một số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất sau:

a) Hai đa giác phân biệt chỉ có thể hoặc không có điểm chung, hoặc chỉ có một đỉnh chung, hoặc chỉ có một cạnh chung.

b) Mỗi cạnh của đa giác nào cũng là cạnh chung của đúng hai đa giác.

Bài 2. Hãy phân chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành 5 khối tứ diện?

Lời giải:

Với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ ta có thể phân chia thành 5 khối tứ diện sau:

DA’D’C’; A’ABD; C’BCD; BA’B’C’ và BDCA’

Bài 3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD là bằng nhau.

b) Chứng minh rằng các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau.

Lời giải:

O A' A

C' B

B'

D

D' C

B' C'

A' D'

B

D C A

Gọi O là tâm của hình lập phương.

a) Các hình chóp A.A’B’C’D’ và C’.ABCD bằng nhau vì qua phép đối xứng tâm O, hình chóp A.A’B’C’D’ biến thành hình chóp C’.CDAB (hay chính là hình chóp C’.ABCD).

b) Các hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và AA’D’.BB’C’ bằng nhau vì qua phép đối xứng qua mặt phẳng (AB’C’D) thì hình lăng trụ ABC.A’B’C’ biến thành hình lăng trụ AA’D’.BB’C’.

Bài 4. Cho bốn hình sau, hỏi có bao nhiêu hình đa diện lồi?

Lời giải:

Trong bốn hình đã cho thì chỉ có hình 3 là hình đa diện lồi.

Bài 5. Cho khối tứ diện đều ABCD. Chứng ming rằng:

a) Trọng tâm các mặt của khối chóp đó là 4 đỉnh của 1 tứ diện đều.

b) Các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Lời giải:

a) Gọi Q và M lần lượt là trung điểm của CD; CB.

Gọi G1; G2; G3; G4 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC; ACD; ABD và BCD Gọi a là độ dài cạnh của tứ diện, ta có

1 2

2 2 a a

G G MQ .

3 3 2 3

  

Tương tự; G1G4 = G1G3 = G2G3 = G2G4 = G3G4 = a

3 nên G1G2G3G4 là một tứ diện đều cạnh a

3 .

b) Gọi N; P; R; S lần lượt là trung điểm các cạnh AD; AB; AC; BD Theo tính chất đường trung bình, ta có:

QM = QN = QS = QR = PM = PN = PS = PR = a 2.

Do đó các trung điểm các cạnh của khối đó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.

Bài 6. Chứng minh rằng tâm các mặt của hình lập phương là các đỉnh của một bát diện đều.

Lời giải:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Giả sử độ dài cạnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a.

Gọi M; N; P; Q; E; F lần lượt là tâm các mặt của hình lập phương.

Ta có: 1 a 2

AC a 2 MN AC

2 2

   

Tương tự ta tính được:

MP = MQ = ME = MF = NP = NQ = NE = NF = PQ = PE = PF= QE = QF = EF = a 2

2 Do đó, MNPQEF là một bát diện đều.

Bài 7. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

Lời giải:

4a 5a

D' C'

B' A'

D C

A B

Vì ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên tam giác BDD’ vuông tại D, ta có:

BD² = BD'² - DD'² = 9a² Suy ra : BD = 3a

Vì ABCD là hình vuông AB ^{BD 3a}

2 2

  

Suy ra diện tích đáy ABCD : SABCD

2

2 9a

AB 4

 

Vậy thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là:

V = B.h = SABCD.AA' = 9a³.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

a H

D

C B

A S

Gọi H là trung điểm của AB.

Vì ∆ SAB đều SHAB

Mà (SAB)(ABCD) nên SH (ABCD). Ta có tam giác SAB đều cạnh a nên a 3

SH  2 . Diện tích đáy ABCD là S = a²

Suy ra thể tích khối chóp đã cho :

3 ABCD

1 a 3

V S .SH

3 6

 

Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ACa 2, SA vuông góc với đáy ABC, SA = a.

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.

Lời giải:

G M

N

I C

B A

S

a) Ta có: ∆ ABC vuông cân tại B có AC a 2 ABa. Diện tích tam giác ABC là

2 ABC

1 a

S BA.BC

2 2

 

Vậy thể tích khối chóp S. ABC là:

3

S.ABC ABC

1 a

V S .SA

3 6

 

b) Gọi I là trung điểm BC.

Vì G là trọng tâm, ta có :SG 2 SI  3 Vì BC // mp(α)  MN // BC Suy ra : SM SN SG 2

SB  SC  SI  3

S.AMN S.ABC

V SM SN 4

V SB SC. 9

  

Vậy:

3

S.AMN S.ABC

4 2a

V .V

9 27

  .