THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

(1)

TRƯỜNG THPT BÌNH CHÁNH

TỔ TOÁN

KHỐI 12

(2)

LUYỆN TẬP

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

(3)

Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ A _đến mặt phẳng

(

^{A BC}^

)

^bằng ^a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.   

A. ^{2 2a}³. B.

3

2 2

a

. C.

3

2

a

. D.

2 3

2

a .

 Dựng ^AE ^⊥ ^{A M}^ , khi đó ^AE ^⊥

(

^{A BC}^

)

Do đó ^{d A A BC}

(

^;

(

^

) )

⁼ ^AE ⁼ ^a

 Gọi M là trung điểm của BC

 Ta có BC ⊥ AM _(vìABC _đều) và BC ⊥ AA

Nên ^BC ^⊥

(

^{AA M}^

)

Suy ra ^BC ^⊥ ^AE

(4)

Câu 1. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có cạnh đáy là 2a và khoảng cách từ A _đến mặt phẳng

(

^{A BC}^

)

^bằng ^a . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC A B C.   

A. ^{2 2a}³. B.

3

2 2

a

. C.

3

2

a

. D.

2 3

2

a .

Chọn B

 AA M vuông tại ^A với đường cao ^AE nên

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

( 3) 6

2

 



= +  = − = −

 =

AE AA AM AA AE AM a a

AA a

 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C.   _là:

2 3

6 (2 ) 3 3 2

2 4 2

a a a

V =  =

(5)

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD. _{có đáy} ABCD là hình chữ nhật có AB = a _, AD = 2a _, SA_vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến

(

^SCD

)

^bằng

2

a . Tính thể tích khối chóp theo a .

A. 4 15 ³

45 a . B. 4 15 ³

15 a . C. 2 5 ³

15 a . D. 2 5 ³ 45 a . Kẻ AH ⊥ SD

( )

¹ ^.

Ta có CD AD CD SA

 ⊥

 ⊥

 ^ ^CD ^⊥

(

^SAD

)

CD AH

 ⊥

( )

² ^.

Từ

( )

¹ ^,

( )

² ^{ta có} ^AH ^⊥

(

^SCD

)

( )

(

^,

)

d A SCD AH

 =

2 AH a

 = _.

(6)

Trong



SAD _{ta có}

1

₂

1

₂

1

₂

AH = SA + AD

2 2

. AH AD SA

AD AH

 =

− ₂ ²

2 2

4 4

a a

= 

−

2 15 15

= a .

Vậy thể tích khối chóp S ABCD. là

1 . .

V = 3 SA AB AD

^{1 2} ¹⁵ . .2 3 15

a a a

=  4 15 ³

45 a

= . ^Chọn ^A

Câu 2. Cho hình chóp S ABCD. _{có đáy} ABCD là hình chữ nhật có AB = a _, AD = 2a _, SA_vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến

(

^SCD

)

^bằng

2

a . Tính thể tích khối chóp theo a .

A. 4 15 ³

45 a . B. 4 15 ³

15 a . C. 2 5 ³

15 a . D. 2 5 ³ 45 a .

(7)

Câu 3. Cho hình chóp đều S ABCD. _vớiO là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng 45⁰. Thể tích của khối chóp S ABCD. bằng

A. 4 2

V = 3 _. _B. 8 2

V = 3 _. _C.V = 2 3 _. _D. ^{4 3} V = 3 _. Gọi I là trung điểm của CD

, 2 .

 OI ⊥ CD CD = OI SO ⊥ CD

Nên ^CD ^⊥

(

^SOI

)

^ ^CD ^⊥ ^OH

Kẻ OH ⊥ SI _tạiH

( ) (

^,

( ) )

^1.

 OH ⊥ SCD  d O SCD = OH =

Ta có

( ) ( )

( )

, ,

 =

  ⊥

  ⊥



SCD ABCD CD SI SCD SI CD OI ABCD OI CD

( ) ( )

(

^,

) (

^,

)

^{45 .}⁰

 SCD ABCD = SI OI = SIO =

(8)

Câu 3. Cho hình chóp đều S ABCD. _vớiO là tâm đáy. Khoảng cách từ O đến mặt bên bằng 1 và góc giữa mặt bên với đáy bằng 45⁰. Thể tích của khối chóp S ABCD. bằng

A. 4 2

V = 3 _. _B. 8 2

V = 3 _. _C.V = 2 3 _. _D. ^{4 3} V = 3 _.

Xét tam giác vuông 1 ₀

sin 45 2

 = sinOH = = HIO OI

SIO

2 2 2.

 CD = OI =

Ta có SIO là tam giác vuông cân tại ^O ^ ^SO ⁼ ^OI ⁼ ^2.

Vậy ^V^{S ABCD}^. ⁼ ¹₃

( )

^CD ² ^.^SO ⁼ ¹₃

( )

^{2 2} ² ^{. 2} ⁼ ^{8 2}₃ ^.

Chọn B

(9)

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có mặt bên

(

^SCD

)

hợp với mặt đáy một góc 45_và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(

^SCD

)

^bằng^a ³ . Thể tích khối chóp S ABCD. _bằng

A.

4 3

3

a . B.

3 2

3

a . C. 2a³ 3 . D. a³ 6 .

Gọi M là trung điểm cạnh SC

Khi đó: SM ⊥ CD _tạiM trong

(

^SCD

)

và OM ⊥ CD _tạiM _trong

(

^ABCD

)

^.

Khi đó:

( (

^SCD

) (

^, ^ABCD

) )

⁼

(

^{SM OM}^,

)

⁼ ^SMO ^{= }⁴⁵ ^.

Suy ra: SOM vuông cân tại O _.

(10)

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có mặt bên

(

^SCD

)

hợp với mặt đáy một góc 45_và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(

^SCD

)

^bằng^a ³ . Thể tích khối chóp S ABCD. _bằng

A.

4 3

3

a . B.

3 2

3

a . C. 2a³ 3 . D. a³ 6 .

Trong

(

^SOM

)

^{, dựng}^OH ^⊥ ^SM ^tại ^H ^.

Ta có: ^a ³ ⁼ ^{d A SCD}

(

^,

( ) )

⁼ ²^{d O SCD}

(

^,

( ) )

⁼ ²^OH ^.

3

 = a2 OH

Suy ra: ⁶

= = a2

SO OM .

2

2 3

.

1 1 6 6

. . . . 2. 6

3 3 2 2

 

 = =   =

 

S ABCD

a a

V SO AD a

Chọn D

(11)

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có đáy là hình vuông, mặt bên

(

^SAB

)

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

(

^SCD

)

bằng 3 7 7

a . Thể tích V của khối chóp S ABCD. _là

A. 2 ³

V = 3 a _. _B. 3 ³

V = 2 a _. _C.V = a³ . D. 1 ³ V = 3 a _.

S

I D

H

B

A

C K

 Gọi H I, lần lượt là trung điểm của

AB

và CD, K là hình chiếu của

H

trên SI

Ta có ^SH ^⊥

(

^ABCD

)

^;

( )

HK ⊥ SCD

và 3 7

7

HK = a .

(12)

(

^SAB

)

(

^SCD

)

bằng 3 7 7

A. 2 ³

V = 3 a _. _B. 3 ³

V = 2 a _. _C.V = a³ . D. 1 ³ V = 3 a _.

S

I D

H

B

A

C K

 Đặt AB = 2x  SH = x 3 . Vì tam giác SHI vuông tại H nên 1 ₂ 1 ₂ 1 ₂

HK = SH + HI _.

Suy ra 7₂ 1₂ 1₂ 3

9 3 4 2

x a

a = x + x  = .

(13)

(

^SAB

)

(

^SCD

)

bằng 3 7 7

A. 2 ³

V = 3 a _. _B. 3 ³

V = 2 a _. _C.V = a³ . D. 1 ³ V = 3 a _.

S

I D

H

B

A

C K

 Diện tích đáy ^S ⁼

( )

^a ³ ² ⁼ ³^a² ^;

 Chiều cao 3

h = SH = 2 a

Vậy thể tích V của khối chóp S ABCD. _là 1 3 3

3 . 2

V = S h = a .

Chọn B

(14)