Mỗi tuần một đề toán - Tuần 2 tháng 11 năm 2021

MỖI TUẦN MỘT ĐỀ TOÁN

LỜI GIẢI KỲ 1 Bài toán 1.

Cho a b c, , là các số thực dương thỏa mãn ¹⁶



^{a b c}



^{1 1 1.}

a b c

     Chứng minh rằng:

 

³

 

³

 

³

1 1 1 8

9.

2 2 2

a b a c b c b a c a c b

  

              

     

     

Lời giải

Đặt

 

³

 

³

 

³

1 1 1

.

2 2 2

P

a b a c b c b a c a c b

  

              

     

     

Ta cần chứng minh ⁸. P9

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được:

 

₃

  

2 3 .

2 2 2

a b a c

a c a c

a b ac   a b      

Suy ra:

 

³

  

1 2

27 .

2 a b a c

a b a c

  

    

 

 

Viết hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại ta được:

        

 

   

2 1 1 1 4

27 27 .

a b c

P a b a c b c b a c a c b a b b c c a

   

 

             

Do

   

⁸

  

ab bc ca 9 a b c abbcca nên

 

4 9 1 1

27 8 6 .

P  ab bc ca ab bc ca

   

Lại có: ¹⁶

 

^{1 1 1}

 

^.

16 ab bc ca

a b c abc a b c

a b c

 

        

Do

 

2

 

3

 

3

3 .

16 16

ab bc ca

ab bc ca abc a b c   ab bc ca

         

Từ đây suy ra: ⁸.

P9 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ¹. a  b c 4 Ta có điều phải chứng minh.

Mỗi tuần đội ngủ giáo viên của thuvientoan.net sẽ gửi đến bạn đọc ba bài toán. Các bài toán này hướng tới các bạn học sinh ôn thi vào chuyên Toán và các kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT như VMO, TST, IMO…

Lời giải các bài toán sẽ được cập nhất trong số kế tiếp kèm theo đề toán mới.

Các bạn đóng góp lời giải và bài toán xin gửi về email: thuvientoan.net@gmail.com.

Nhận xét:

Bài toán này trích dẫn từ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia Việt Nam dự IMO năm 2010.

Bài toán gồm có ba điểm chính:

+ Dự đoán dấu bằng xảy ra khi ¹. a  b c 4

+ Dùng kỹ thuật AM – GM để đưa bài toán về đối xứng ba đại lượng:

   

, , .

a b c abbcca ab bc ca + Sử dụng hai bất đẳng thức phụ quan trọng đó là:

   

⁸

  

ab bc ca 9 a b c abbcca và



^abbcca



^{23abc a}



^{ b c}



^.

Bài toán 2.

Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn ab³ chia hết cho a²3ab3b²1.

Chứng minh rằng a²3ab3b²1 chia hết cho lập phương của một số nguyên lớn hơn 1.

Lời giải Đặt T a²3ab3b²1, theo đề bài ta có: ab³Tc c, ^*.

Ta có:



^ab



^{3a33a b2 3ab2b3a a}



^{23ab3b2}



^{b3 a T}



^{ 1}



^{b3aT a b3}

Hay là



^a^b



³^aT^Tc



^a^{c T}



^. Do đó



^a^b



³ chia hết cho T.

Giả sử a b p p₁^e1 ₂^e2...p^e_nⁿ và T p p₁^f1 ₂^f2...p_n^fn với p_i là các số nguyên tố và ,e_i f_i là các số nguyên không âm.

Vì ^T|



^a^b



³ nên f_i3e_i với i1, .n Tới đây ta cùng phương pháp phản chứng.

Giả sử T không chia hết cho một lập phương lớn hơn 1 thì 0 f_i 2,  i 1, .n Suy ra: f_i2 ,e_i  i 1, .n Điều này chứng tỏ ^T|



^ab



^2



^ab



^2T.

Nhưng ^{Ta23ab3b2 1}



^ab



^22



^abb2



^{ 1}



^ab



^2, mâu thuẫn.

Vậy điều giả sử là sai, do đó ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét:

Bài toán này trích dẫn đề thi học sinh giỏi Quốc gia Canada năm 2019 – Canada MO 2019.

Mấu chốt của bài toán là chứng minh được



^ab



³ chia hết cho a²3ab3b²1

Ngoài ra áp dụng hai tính chất quan trọng của chia hết là nếu b a| thì a b. Hơn nữa ta cũng có a p p₁^e1 ₂^e2...p_n^en và b p p₁^f1 ₂^f2...p_n^fn thì f_ie_i.

Bài toán 3.

Cho n2 là một số nguyên dương. Xét tập hợp các đường đi ngắn nhất trên lưới nguyên từ điểm A



0; 0



đến điểm B n n



;



(độ dài đường đi là số lượng các bước đi). Một đường đi như thế sẽ tương ứng với một dãy gồm n lệnh T (lên trên) và n lệnh P (sang phải). Trong dãy đó, một cặp lệnh



T P;



kề nhau được gọi là một bước chuyển (lưu ý, cặp



P T;



không được gọi là bước chuyển). Ví dụ dãy PTTPTPPT có 2 bước chuyển.

Hãy tìm số các đường đi từ A đến B sao cho có đúng:

a) Một bước chuyển.

b) Hai bước chuyển.

Lời giải

a) Ta phát biểu lại bài toán là: Cho xâu nhị phân có độ dài 2n với n số 0 và n số 1. Xác định số xâu nhị phân thỏa mãn: cặp 10 chỉ xuất hiện đúng một lần.

Gọi A là các xâu nhị phân chứa toàn số 1, B là các xâu nhị phân chứa toàn số 0. Rõ ràng chỉ có các xâu dạng sau thỏa mãn đề bài: AB ABA BAB BABA, , , ..

 Dạng 1 có 1 xâu.

 Dạng 2 có 1

2 1

1 n

n 

  

  

 xâu (ta đếm số nghiệm nguyên dương của xyn).

 Dạng 3 có n1 xâu.

 Dạng 4 có



^n1



² xâu (ta đếm số nghiệm nguyên dương của cặp phương trình xyn rồi nhân lại vì BA phía trước xây dựng độc lập với BA phía sau).

Vậy tổng cộng có



^n1



^22



^n1



^{ 1 n2.}

b) Tương tự trên, ta có các dạng ABAB ABABA BABAB BABABA, , , .

 Dạng 1 có(n1)² xâu.

 Dạng 2 có

1 1 ( 1) (2 2)

3 1 2 1 2

n n n n

     

   

 

   

xâu.

 Dạng 3 có

( 1) (2 2) 2 n n

xâu.

 Dạng 4 có

2 2

1 1 ( 1) ( 2)

3 1 3 1 4

n n n n

     

   

 

   

xâu.

Vậy số đường đi tổng cộng thỏa mãn là

2 2 2 2 2 2

2 2

( 1) ( 2) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1)

2 ( 1) ( 2) 4 ( 2) 4

4 2 4 4

n n n n n n n

n n n

     

 

            .

Nhận xét:

Bài toán này trích dẫn Đề kiểm tra Trường Đông 2014.

Thực chất đây là bài toán chia kẹo Euler.

Nhờ phương pháp đưa đếm xâu nhị phân bài toán trở nên rõ ràng và sáng sủa hơn rất nhiều.

---Chúc các bạn học tốt! ---

MỖI TUẦN MỘT ĐỀ TOÁN

ĐỀ KỲ 2 Bài toán 1.

Cho số tự nhiên n và a a₁, ₂,..., a_n là các số tự nhiên thỏa mãn:



a1a2 ... a_n



²1 chia hết cho a₁²a₂² ... a_n² a) Chứng minh rằng a₁  a₂ ... a_n là số lẽ.

b) Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 2.

Cho hàm số f :, thỏa mãn:

   

       2, , .

f xy f x  f yf xy  x y x y

Chứng minh f là hàm lẻ từ đó tìm tất cả các hàm số f thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán 3.

Cho tam giác ABC nhọn có ABAC, nội tiếp đường tròn



^{O R;}



và ngoại tiếp đường tròn

 

^{I r; .} Đường thẳng AI cắt BC tại E và cắt

 

^O tại điểm thứ hai FA. Vẽ đường cao AD của tam giác



^D^BC



^, trên tia AD lấy điểm K sao cho AK 2 .R Đường thẳng KF cắt đường thẳng BC tại H.

a) Chứng minh rằng IKH90 .⁰

b) Đường tròn đường kính AH cắt KE tại G sao cho G cùng phía với K đối với đường thẳng AH, đoạn thẳng AG cắt KI tại M. Chứng minh rằng MIMG.

---Chúc các bạn học tốt! ---

Mỗi tuần đội ngủ giáo viên của thuvientoan.net sẽ gửi đến bạn đọc ba bài toán. Các bài toán này hướng tới các bạn học sinh ôn thi vào chuyên Toán và các kỳ thi học sinh giỏi Toán THPT như VMO, TST, IMO…

Lời giải các bài toán sẽ được cập nhất trong số kế tiếp kèm theo đề toán mới.

Các bạn đóng góp lời giải và bài toán xin gửi về email: thuvientoan.net@gmail.com.