Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8 - THCS.TOANMATH.com

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8

Lời nói đầu 1

Chủ đề 1. Hằng đẳng thức 3

Chuyên đề 2: Phân tích đa thức thành nhân tử 19

Chuyên đề 3: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 58

Chuyên đề 4: Phương trình đại số 111

Chuyên đề 5: Đồng nhất thức 131

Chuyên đề 6: Bất đẳng thức 157

Chuyên đề 7: Đa thức 175

Chuyên đề 8: Hình học 186

CHUYÊN ĐỀ 1: HẲNG ĐẲNG THỨC

A. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

1. (a b+ )² =a²+2ab b+ ² =a²−2ab b+ ²+4ab=(a b− )²+4ab 2. (a b− )² =a²−2ab b+ ² =a²+2ab b+ ²−4ab=(a b+ )²−4ab 3. a²−b² =(a b a b− )( + )

4. (a b+ )³ =a³+3a b² +3ab²+b³ =a³+ +b³ 3ab a b( + ⇒) a³+b³=(a b+ )³−3ab a b( + ) 5. (a b− )³ =a³−3a b² +3ab²−b³ =a³− −b³ 3ab a b( + ⇒) a³−b³ =(a b− )³+3ab a b( − ) 6. a³−b³ =(a b a− )( ²+ab b+ ²)

7. a³+b³ =(a b a+ )( ²−ab b+ ²) Bài 1:

a) Tính A=100²−99²+98²−97²+ +... 2²−1² b) Tính ^{B= − +12 22− +32 42−....+ −}

( )

^{1 .n n2}

Lời giải a) Ta có:

2 2 2 2 2 2 101.100

100 99 98 97 ... 2 1 (100 99)(100 99) ... (2 1)(2 1) 100 ... 1 5050 A= − + − + + − = − + + + − + = + + = 2 = b) Ta xét hai trường hợp

- TH1: Nếu n chẵn thì

(

^{22 12}

) (

^{42 32}

)

^{... 2}

(

¹

)

² 1 2 3 4 ...

(

1

) (

¹

)

2 B= − + − + +n − n− = + + + + + n− + =n n n+ - TH1: Nếu n lẻ thì

(

^{22 12}

) (

^{42 32}

)

^...

(

¹

) (

^{2 2}

)

^{2 2} 1 2 3 4 ...

(

1

)

²

(

¹

)

2 B= − + − + + n− − n− −n = + + + + + n− −n = −n n+

⇒ Hai kết quả trên có thể dùng công thức:

( ) (

¹

)

1 . 2

n n n+

− Bài 2: So sánh A=19999.39999 và B=29999²

Lời giải

Ta có: 19999.39999=(29999 10000)(29999 10000)− + =29999²−10000² <29999² ⇒ <A B Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau

a. A= +(2 1)(2²+1)...(2⁶⁴+ +1) 1 b. B= +(3 1)(3²+1)...(3⁶⁴+ +1) 1

c. C=(a b c+ + )²+ + −(a b c)²−2(a b+ )²

Lời giải

a. A= +(2 1)(2²+1)...(2⁶⁴+ + = −1) 1 (2 1)(2 1)(2+ ²+1)...(2⁶⁴+ + =1) 1 2¹²⁸− + =1 1 2¹²⁸

b. ^{2 64} 1 ^{2 64} 1 ¹²⁸ 3¹²⁸ 1

(3 1)(3 1)...(3 1) 1 (3 1)(3 1)(3 1)...(3 1) 1 (3 1) 1

2 2 2

B= + + + + = − + + + + = − + = +

c. Ta có:

2 2 2 2 2

( ) ( ) 2( ) ( ) 2( )( ) ( ) 2( )( )

C= a+ +b c + a+ −b c − a+b = a+ +b c − a+ +b c a+ − +b c a+ −b c − a+ +b c a+ −b c

( )

²

( )

²

2 2 2 2 2 2 2 2

2(a b) (a b c a b c) 2 a b c -2 a b 4(a b) 2(a b) 2c 2(a b) 2c

− + = + + + + − −  + −  + = + − + + − + =

Bài 4: Chứng minh rằng

a. ^{(a2+b2)(x2+y2)=(bx−ay)2+}

(

^{ax by+}

)

²

b. ^{(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)−}

(

^{ax by+ +cz}

)

^{2 =(bx−ay)2+(cy bz− )2+(az−cx)2}

Lời giải

a. Ta có: VT = (a²+b²)(x²+y²)=a x^{2 2}+a y^{2 2}+b x^{2 2}+b y^{2 2} =(bx)²+(ay)²+(ax)²+(by)²

( )

²

2 2 2 2 2

(bx) 2bx ay. (ay) 2bx ay. (ax) (by) (bx ay) ax by (dpcm)

= − + + + + = − + +

b. VT = ^{(a2+b2)(x2+y2) (+ a2+b z2) 2+c x2( 2+y2+z2)−}_

(

^{ax by+}

)

²⁺²

(

^{ax by c+}

)

^z+

( )

^{cz 2}_

( )

^{2 2 2 2 2 2 2}

( )

^{2 2}

= ax by+ +(bx−ay) +(az) +(bz) +(cx) +(cy) +( )cz − ax by+ −( )cz −2ax cz. −2by cz.

2 2 2 2 2 2 2 2

(bx ay) [(cy) 2by cz. (bz) ]+(az) (cx) 2 .az cx (bx ay) (cy bz) (az cx)

= − + − + + − = − + − + −

Nhận xét: Đây là bất đẳng thức Bunhicopski.

Bài 5: Cho x² = y²+z². Chứng minh rằng: (5x−3y+4 )(5z x−3y−4 )z =(3x−5 )y ² Lời giải

VT = (5x−3 )y ²−16z² =25x²−30xy+9y²−16z²

Mà: z² =x²−y² ⇒VT =25x²−30xy−9y²−16(x²−y²)=9x²−30xy+25y² =(3x−5 ) (y ² dpcm) Bài 6: Cho (a+ + +b c d a b c)( − − +d)=(a b− + −c d a)( + − −b c d). Chứng minh rằng: ad = bc

Lời giải

VT = ^_

(

^a+d

) (

^{+ +b c}

) (

^{ }_{ } ^a+d

) (

^{− +b c}

) (

^_^{= a+d}

)

^{2− +(b c)2 =a2+d2+2ad− − −b2 c2 2bc}

VP =[(a-d)+(c-b)][(a-d)-(c-b)]=(a-d)²− −(c b)² =(a d− )²− −(c b)² =a²+d²−2ad− − +c² b² 2bc VT = VP ⇒2ad−2bc= −2ad+2bc⇔4ad=4bc⇔ad =bc dpcm( )

Bài 7: Chứng minh rằng, nếu:

a. a + b + c = 0 thì a³+a c² −abc b c b+ ² + ³=0

b. (y−z)²+ −(z x)²+ −(x y)² =(y+ −z 2 )x ²+ + −(z x 2 )y ²+(y+ −x 2 )z ² thì x = y = z Lời giải

a. Ta có :

3 3 2 2

3 3 2 2 2 2 3 3 2 2

( )( )

( ) 0

a b a b a ab b

a b c a ab b a c abc b c a b a c abc b c

a b c a b c

 + = + − +

⇒ + = − − + = − + − ⇒ + + − + =

 + + ⇒ + = −



b. Đặt : y− =z a z; − =x b x; − = ⇒ + + =y c a b c 0 và

2 ( ) ( )

2 2

y z x y x z x b c

z x y c a x y z a b

+ − = − + − = −

 + − = −

 + − = −

 Từ giả thiết ta có :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) 2 2 2

a +b +c = −b c + −c a + −a b ⇔a +b +c =b − bc c+ + −c ac+a +a − ab b+

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 0 2( ) ( 2 2 2 ) 0

a b c ab bc ca a b c a b c ab bc ca

⇔ + + − − − = ⇔ + + − + + + + + =

2 2 2 2

2(a b c ) (a b c) 0

⇔ + + − + + = ^{2 2 2} 0

x y

a b c a b c y z x y z

z x

 =

⇔ + + = ⇔ = = ⇒ = ⇒ = =

 = Bài 8: Chứng minh rằng không tồn tại các số thực x, y, z thỏa mãn:

a. 5x²+10y²−6xy−4x−2y+ =3 0 b. x²+4y²+z²−2x−6z+8y+15=0 Lời giải

a.VT =(x−3 )y ²+(2x−1)²+(y−1)²≥1 (dpcm) b. VT =(x−1)²+4(y+1)²+ −(z 3)²+ ≥1 1 (dpcm) Bài 9: Tìm x, y thỏa mãn

a. x²+8y²+ =9 4 (y x+3)

b. 9x²−8xy+8y²−28x+28=0 c. x²+2y²+5z²+ =1 2(xy+2yz+z)

Lời giải

a. Ta có: ² 8 ² 9 4 ( 3) ( 2 )² (2 3)² 0 3;³ x + y + = y x+ ⇔ x− y + y− = ⇔ ∈ x  2

  b. Ta có:

2 2 2 2 2

2 2

9 8 8 28 28 0 (7 28 28) (2 8 8 ) 0

7( 2) 2( 2 ) 0 2

1

− + − + = ⇔ − + + − + =

 =

⇔ − + − = ⇔  =

x xy y x x x x xy y

x x y x

y c. Ta có:

2 2 2 2 2 2

2 5 1 2( 2 ) ( ) ( 2 ) ( 1) 0 ; 2; 1

x + y + z + = xy+ yz+z ⇔ x−y + y− z + −z = ⇔ = =x y z=

Bài 10: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu thức: ^x2+2

(

^x+1

)

²⁺³

(

^x+2

)

²⁺⁴

(

^x+3

)

²

Lời giải

Ta có: ^x2+2

(

^x+1

)

²⁺³

(

^x+2

)

²⁺⁴

(

^x+3

)

^{2 =x2+2}

(

^{x2+2x+ +1}

) (

^{3 x2+4x+ +4}

) (

^{4 x2+6x+9}

)

( ) (

²

)

²

10x2 40x 50 x 5 3x 5 dpcm

= + + = + + + ⇒

Bài 11: Cho a=x²+ +x 1. Tính theo a giá trị của biểu thức A=x⁴+2x³+5x²+4x+4 Lời giải

Ta có: ^{A=x4+2x3+5x2+4x+ =4}

(

^{x4+x2+ +1}

)

^{2x3+2x2+2x+2x2+2x+3}

(

^{2 1}

) (

^{2 2 2 1}

)

^{1 2 2a 1}

(

¹

)

²

A x x x x A a a

⇒ = + + + + + + ⇒ = + + = +

Bài 12: Chứng minh ^{x x a}

(

⁻

)(

^{x a+}

)(

^x+2a

)

^+a4 là bình phương của một đa thức Lời giải

Ta có: ^A=

(

^x2+ax

)(

^x2+ax−2a2

)

^+a4

Đặt ^{t =x2+ax⇒ =A t t}

(

^−2a2

)

^{+a4 = −t2 2ta2+a4 = −}

(

^{t a2}

)

^{2 ⇔ =A}

(

^{x2+ax a− 2}

)

^2⇒dpcm

Bài 13:

a) Cho a, b, c thỏa mãn a²⁰¹⁰+b²⁰¹⁰+c²⁰¹⁰=a^{1005 1005}b +b^{1005 1005}c +c^{1005 1005}a . Tính giá trị của biểu thức sau ^A=

(

^{a b−}

) (

^{20+ b c−}

) (

^{11+ −c a}

)

²⁰¹⁰

b) Cho a b c d, , , ∈Z thỏa mãn a b+ = +c d. Chứng minh rằng a²+b²+c²+d² luôn là tổng của ba số chính phương

c) Chứng minh rằng: Nếu p và q là hai số nguyên tố thỏa mãn p²−q² = −p 3q+2 thì

2 2

p +q cũng là số nguyên tố

Lời giải a) Ta có:

2010 2010 2010 1005 1005 1005 1005 1005 1005 2 2010 2 2010 2 2010 2 1005 1005 2 1005 1005 2 1005 1005 0 a +b +c =a b +b c +c a ⇔ a + b + c − a b − b c − c a =

(

^{a1005 b1005}

) (

^{2 b1005 c1005}

) (

^{2 c1005 a1005}

)

^{2 0 a1005 b1005 b1005 c1005 c1005 a1005 a b c}

⇔ − + − + − = ⇔ − = − = − ⇔ = =

Vậy ^A=

(

^a−a

) (

^{20 + −b b}

) (

^{11+ −c c}

)

^{2010⇒ =A 0}

b) Ta có:

( )

²

( )

²

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

; 2

a+ = + ⇒ = + −b c d a c d b a +b +c +d = + −c d b +b +c +d = +c d − c+d b+b +b +c +d

(

^{c d}

)

^{2 2bc 2bd b2 b2 c2 d2}

(

^{c d}

) (

^{2 b c}

) (

^{2 b d}

)

²

= + − − + + + + = + + − + −

c) Ta có:

( ) (

²

)

²

2 2 2 2 2 2

3 2 4 4 4 12 8 4 4 1 4 12 9 2 1 2 3

p −q = −p q+ ⇒ p − q = p− q+ ⇒ p − p+ = q − q+ ⇒ p− = q− mà 2p− >1 0 ( p nguyên tố ); 2q− >3 0 (q nguyên tố ). Do đó 2p− =1 2q− ⇔ = +3 q p 1 Ta có: ^q≥3

(

^p≥2

)

^⇒q lẻ, do đó p chẵn ⇒ = ⇒ = ⇒p 2 q 3 p²+q² =13 là số nguyên tố Bài 14: [ HSG – năm 2015 ]

Cho a, b, c thỏa mãn: a²+b²+c² =2;a b c+ + =2.CMR M: =(a²+1)(b²+1)(c²+1) viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức

Lời giải:

Cách 1:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

( 1)( 1)( 1) 1(*)

M = a + b + c + =a b c +a b +a c +b c +a +b + +c Có: a²+b²+c² = = + + ⇒2 a b c (a²+b²+c^{2 2}) =(a b c+ + )²

Có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(a b c+ + ) =a +b + +c 2(ab bc ca+ + )= ⇒4 ab bc ca+ + = ⇒1 a b +a c +b c +2(acb +a bc c ab+ ) 1=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2( ) ( ) 2 ( ) 1 1

a b a c b c acb a bc abc M abc abc a b c a b c

⇒ + + = − + + ⇒ = − + + + + + + +

( )

²

2 2

( ) 2 ( ) ( ) ( )

M = abc − abc a b c+ + + a b c+ + =abc− a b c+ +  dpcm Cách 2: Ta có:

2 2 2 2 2

1 ( )( ); 1 ( )( ); 1 ( )( ) [(a+b)(b+c)(c+a)]

a + =a +ab bc ca+ + = a b a c b+ + + = a b b c c+ + + = a c c b+ + ⇒M =

HẰNG ĐẲNG THỨC BẬC BA

1. (a b+ )³ =a³+3a b² +3ab²+b³ =a³+ +b³ 3ab a b( + ⇒) a³+b³=(a b+ )³−3ab a b( + ) 2. (a b− )³ =a³−3a b² +3ab²−b³ =a³− −b³ 3ab a b( + ⇒) a³−b³ =(a b− )³+3ab a b( − ) Bài 1: Cho x²− =x 10. Tính A=x⁶−3x⁵+4x⁴−3x³+2x²− +x 1

Lời giải

6 5 4 3 2 6 5 4 3 4 3 2 2

2 3 2 2 2

3 4 3 2 1 ( 3 3 ) ( 2 ) ( 1)

( ) ( ) ( ) 1 1111

A x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

= − + − + − + = − + − + − + + − +

= − + − + − + =

Bài 2: Tính ⁽²₃^{3 1)(3}₃^{3 1)...(1003}₃ ¹⁾ (2 1)(3 1)....(100 1)

A= + + +

− − −

Lời giải Ta có: ⁽ ₃^{1)3 1 (} 2)[(k+1) -(k+1)+1]₂ ² 2

1 (k-1)(k 1) 1

k k k

k k k

+ + = + = +

− + + −

Cho k chạy từ 2 đến 100, ta thu được:

3 3 3

3

3 3 3 3 2

3 1 4 1 100 1 1 4 5 101 1

(2 1). . ... . 9. . .... .

2 1 3 1 99 1 100 1 1 2 98 99(100 100 1)

A + + +

= + =

− − − − + +

99.100.101 9.99.100.101 30300 9.1.2.3...10101 6.99.10101 20202

A= = =

Bài 3: Cho x²+y² =1. Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y.

(

^{6 6}

) (

^{4 4}

)

2 3

A= x +y − x +y

Lời giải

Ta có:

( ) ( )

^{2 3 2 3}

(

^{4 4}

) (

^{2 2}

)(

^{4 2 2 4}

) (

^{4 4}

)

^{4 2 2 4 4 4}

1

2 3 2 3 2 2 2 3 3

A=  x + y − x +y = x +y x −x y +y − x +y = x − x y + y − x − y

(

^{x4 2x y2 2 y4}

) (

^{x2 y2}

)

^{2 1 dpcm}

= − + + = − + = − ⇒

Bài 4: Cho a³−3ab² =2;b³−3a b² = −11.. Tính a²+b² Lời giải

Ta có:

(

^a3−3ab2

) (

^{2+ b3−3a b2}

)

^{2 =22+ −}

( )

^{11 2 ⇒a6−6a4b2+9a b2 4+b6−6a b2 4+9a b4 2 = +4 121}

( )

³

6 4 2 2 4 6 2 2 3 2 2

3 3 125 5 5

a a b a b b a b a b

⇒ + + + = ⇒ + = ⇒ + =

Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A=a³+ + −b³ c³ 3abc Lời giải

3 3 3 3 3

3 ( ) 3 ( ) 3

A=a + + −b c abc= a b+ − ab a b+ + −c abc

( )

^{3 3 -3}

( ) (

⁼

)

^{3 3( ) .( ) 3 ( )}

A= a b+ +c  ab a b c+ + a b c+ + − a b c a b c+ + + − ab a b c+ +

( )

²

( ) 3( ) 3

A= a b c+ +  a b c+ + − a b c+ − ab =(a b c a+ + )( ²+b²+ −c² ab bc ca− − ) Bài 6: Cho a + b + c = 0, Chứng minh rằng: a³+b³+c³ =3abc

Áp dụng tính ( ^{2 2 3}) ₃ ( ^{2 2 3}₃) ( ² ₃^{2 3})

( ) ( ) ( )

a b b c c a

B a b b c c a

− + − + −

= − + − + −

Lời giải

Từ giả thiết ⇒ = − + ⇒c (a b) a³+ +b³ c³ =a³+ − +b³ (a b)³ = −3ab a b( + =) 3abc

+) ^{2 2 2 2 2 2} 0 3( ^{2 2})( ^{2 2})( ^{2 2})

( )( )( )

3( )( )( )

0

a b b c c a a b b c c a

B a b b c c a

a b b c c a a b b c c a

 − + − + − = ⇒ = − − − = + + +

 − + − + − = − − −



Bài 7: Cho a, b, c thỏa mãn: (a b c+ + )² =a²+b²+c².Chứng minh rằng: ¹₃ + ¹₃ + ¹₃ = ³

a b c abc

Lời giải Ta có:

2 2 2 2

3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 3

(a b c) a b c ab bc ca 0 0 3. . .

a b c a b c a b c abc

+ + = + + ⇒ + + = ⇔ + + = ⇒ + + = =

Bài 8: Cho a, b, c thỏa mãn: ^{1 1 1} 0

a+ + =b c . Tính A ^bc₂ ^ca₂ ^ab₂

a b c

= + + Lời giải

Đặt x ¹;y ¹;z ¹ x y z 0 x³ y³ z³ 3xyz ¹₃ ¹₃ ¹₃ ³

a b c a b c abc

= = = ⇒ + + = ⇒ + + = ⇔ + + =

3 3 3 3 3 3

1 1 1 3

( ) . 3

abc abc abc

A abc abc

a b c a b c abc

⇒ = + + = + + = =

Lời giải Ta có:

( ) ( ) ( ) (

²

)

²

3 3 2 2 2 2 2 2

; 2 2

x + =y x+y x +xy+y x+ = + ⇒y a b x+y = a b+ ⇔x + xy+y =a + ab b+ Do x²+y ²=a²+b²⇒2xy=2ab⇒xy=ab

Thay các kết quả vào ta được:

( ) ( ) ( ) ( )

3 3 2 2 2 2 3 3

x +y = x+y x +xy+y = a b+ a +ab b+ =a +b ⇒dpcm Bài 10: Cho a b+ =m a b; − =n. Tính ab a; ³−b³ theo m và n

Lời giải

Cách 1: Từ ; . , . ^{2 2}

2 2 2 2 4

m n m n m n m n m n

a b+ =m a b− = ⇒ =n b − a= + ⇒ab= − + = −

( ) (

³

)

³

3 3 2 3

3 3 3

2 2 8 4

m n m n

m n m n m n n

a −b = +  − −  = + − − = +

   

Cách 2: Ta có: ^4a

( ) (

²

)

^{2 2 2 2 2}

4 m n b= a b+ − a b− =m −n ⇒ab= −

Lại có: ^{3 3}

( ) (

^{2 2}

) ( ) ( )

^{2 2 2 2}

4

m n

a −b = a b− a +ab b+ = a b−  a b+ −ab=n m − − 

(

^{3 2 2}

)

3 ^{2 3}

4 4

n m +n m n n+

= =

Bài 11: Cho a²+b²+c ²=m. Tính giá trị biểu thức sau theo m

(

^{2 2}

) (

^{2 2 2}

) (

^{2 2 2}

)

²

A= a+ b c− + b+ c−a + c+ a b−

Lời giải

Ta có: ^A=

(

^2a+^2b+^2c−^3c

) (

²+ ^2b+^2c+^2a−^3a

) (

²+ ^2c+^2a+^2b−^3b

)

²

Đặt ^{x= + + ⇒ =a b c A}

(

^2x−3c

) (

^{2+ 2x−3a}

) (

^{2+ 2x−3b}

)

^{2 =12x2−12x a b c}

(

^{+ + +}

)

⁹

(

^{a2+ +b2 c2}

)

( )

2 2 2 2 2

12x 12x 9 a b c 9m

= − + + + =

HẰNG ĐẲNG THỨC:

(a + b + c)

³

Ta có:

( )

³

3 3 2 2 3

2 2 2 2 2 2

( ) ( ) 3( ) 3( )

3( )

+ + = + +  = + + + + + +

= + + + + + + +

a b c a b c a b a b c a b c c

a b ab a c ac b c bc abc abc

( )( )( )

2 2 2 2 2 2 2 3 3 3

3 ( a b ab ) (a c ac ) (ac bc ) (b c abc) =3 a b b c c a +a b c

=  + + + + + + +  + + + + +

3 3 3 3

(a b c) a b c 3(a b b c c)( )( a)

⇒ + + = + + + + + +

Bài 1: Cho a, b, c thỏa mãn: abc =1 . Tính: A=(a b c+ + )³− + −(b c a)³− + −(c a b)³− + −(a b c)³ Lời giải

Đặt

2 2 ; 2 x b c a x y c

y c a b y z a x y z a b c z a b c z x c

= + − + =

 

 = + − ⇒ + = + + = + +

 

 = + −  + =

 

3 3 3 3

( ) 3( )( )( ) 3.2 .2 .2 24 24

A x y z x y z x y y z z x c b a abc

⇒ = + + − − − = + + + = = =

Bài 2: Phân tích thành nhân tử

a. A=8(a b c+ + )³−(2a b c+ − )³−(2b c a+ − )³−(2c+ −a b)³

b. B=27(a b c+ + )³−(2a+3b−2 )c ³−(2b+3c−2 )a ³−(2c+3a−2 )b ³ Lời giải

a. Đặt

3 3 3 3

2 3

2 3 2( )

2 3

( ) 3( )( )( ) 3( 3 )( 3 )( 3 )

+ − = + = +

 

 + − = ⇒ + = + ⇒ + + = + +

 

 + − =  + = +

 

⇒ = + + − − − = + + + = + + +

a b c x x y a b

b c a y y z b c x y z a b c

c a b z z x c a

A x y z x y z x y y z z x a b b c c a

b. Ta có:

3 3 3 3

27( ) (2 3 2 ) (2 3 2 ) (2 3 2 ) 3(5 )(5 )(5 )

B= a b c+ + − a+ b− c − b+ c− a − c+ a− b = a b+ b c+ c+a Bài 3: Cho a, b, c thỏa mãn : a + b + c = a³ + b³ + c³ = 1

Tính A=aⁿ+bⁿ+cⁿ ( n là số tự nhiên lẻ )

Lời giải

Ta có: ^{3 3 3 3}

0

( ) 1 3( )( )( ) 0 0

0 a b

a b c a b c a b b c c a b c

c a

 + = + + = = + + ⇒ + + + = ⇒ + =

 + =

 +) TH1: a b+ = ⇒ = − ⇒ = ⇒0 a b c 1 aⁿ +bⁿ+cⁿ =1

+) Tương tự ta có: A = 1.

Bài 4: Giải các phương trình sau

a. 27x³+ −(x 5)³+64=(4x−1)³ b. (2x²−2x−1)³+(2x−1)³ =(x²− +x 1)³+(x²+ −x 3)³ c. (x²−2x+2)³ =x³+(x³−1)(x−2)³ d. ( ² 3 3)³ ( ² 1)³ ( 2 ² 2 1)³ 1

a b c

x + x+ + x − −x + − x − x− =

  

Lời giải a. Ta có:

( )

³

3 3 3 3 3

27x +(x−5) +64=(4x−1) ⇔(3 )x +(x−5) +64=  +3x x− +  ⇒5 4 3(3x+ −x 5)(x− +5 4)(4+3 )x =0

5 4

4;1; 3

x  − 

⇒ ∈  

 

b. (2x²−2x−1)³+(2x−1)³ =(x²− +x 1)³+(x²+ −x 3)³

2 3 3 2 3 2 3

(2x 2x 1) (2x 1) (x x 1) (x x 3)

⇔ − − + − + − − = + −

Đặt

2 2

2 2 3 3 3 3

2 2

2 2

3 2

2 2 1 ; 2 1 ; 1 ( )

2 3 a b x

b c x x

x x a x b x x c a b c a b c

c a x x a b c x x

 + = −

 + = − −

− − = − = − − = ⇒ ⇒ + + = + +

+ = − −

 + + = + −



{ }

2 2 2

2 2 0

0 0

3( )( )( ) 0 0 0 3 2 0 1;1; 2

0 0 0

a b a b x

a b b c c a b c b c x x x

c a c a x x

 − =

+ = + =

 

  

⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ − − = ⇒ ∈ −

 + =  + =  − =

  

c. (x²−2x+2)³ =x³+(x³−1)(x−2)³

2 3 3 3 3 3 2 2 2

(x 2x 2) x x x( 2) (2 x) 3(x x 2 )(x x 2x 2 x)(2 x x ) 0

⇔ − + = + − + − ⇔ + − − + − − + =

{ }

2 2

6(x x x)( 3x 2) 0 x 0;1; 2

⇔ − − + = ⇔ ∈

Bài 5: Cho x+ + =y z 0;xyz≠0. Tính x² y² z² A= yz+ xz +xy Lời giải

2 2 2 3 3 3

x y z x y z

A yz xz xy xyz + +

= + + =

Cách 1: Nếu x+ + = ⇒y z 0 x³+y³+z³ =3xyz⇒ =A 3 Cách 2:

3 3 3 3 3 3 3 3

0

(x y z) x y z 3(x y y)( z z)( x) x y z (x y z) 3(x y y)( z z)( x) A 3

=

+ + = + + + + + + → + + =+ + − + + + → = Bài 6: Giải các phương trình sau: ( ² 3 3)³ ( ² 1)³ ( 2 ² 2 1)³ 1(*)

a b c

x + x+ + x − −x + − x − x− =

  

Lời giải

{ }

2 2 2

2 2 2

3 2

(*) 3( )( )( ) 0 2; 2; 1

2 1

a b x x

b c x x

a b b c c a x

c a x x

a b c

 + = + +

 + = − − −

⇒ ⇒ + + + = ⇒ ∈ − −

+ = − + +

 + + =



Bài 7: Rút gọn A=(x+ +y z)³− + −(x y z)³− − +(x y z)³− − + +( x y z)³ Lời giải

Đặt 24

+ − =

 − + = ⇒ + + = + + ⇒ =

 + + =



x y z a

x y z b a b c x y z A xyz x y z c

HẰNG ĐẲNG THỨC: a

³

+ b

³

+ c

³

-3abc = (a + b + c)(a

²

+ b

²

+ c

²

– ab – bc - ca)

Nhận xét

- Nếu ^{3 3 3} 0

3 0  + + = + + − = ⇒  = =

a b c

a b c abc

a b c

- Nếu 0 ^{3 3 3}

3 0

+ + =

 ⇒ + + − =

 = =



a b c

a b c abc

a b c Áp dụng:

Bài 1: Cho các số thực a, b, c khác 0 thỏa mãn: a³+ + −b³ c³ 3abc. Tính giá trị của biểu thức

1 1 1

   

= +  +  + 

a b c

M b c a

Lời giải

Vì: ^{3 3 3} 0

3 0 a b c

a b c abc

a b c + + = + + − = →  = =

+) Nếu + + = ⇒0 = a b b c c+ . + . +a = − − −c. a. b = −1

a b c M

b c a b c a

+) Nếu a= = ⇒b c M = +(1 1)(1 1)(1 1)+ + =8

Bài 2: Giải hệ phương trình sau: ^{3 3} 6 8

2 1

x y xy

x y

 + = −

 + =



Lời giải

Ta có: ^{3 3 3 3 3} 2 0

6 8 2 3. . .2 0

2 + + = + = − ⇔ + + − = ⇔  = =

x y

x y xy x y x y

x y

+) Nếu 2 0 3

2 0

2 1 5

+ + = =

 

+ + = ⇒ + = ⇔ = −

x y x

x y

x y y

+) Nếu x= =y 2 ( khôn thỏa mãn )

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (3; -5)

Bài 3: Giải phương trình sau: 27(x−3) ³=8(x−2)³+ −(x 5)³ Lời giải

3 3 3 3 3 3

27(x−3) =8(x−2) + −(x 5) ⇔(3x−9) + −(4 2 )x + −(5 x) =0 (1) Ta có: (3x− + −9) (4 2 ) (5x + −x)=0 (2)

Từ (1), (2) suy ra:

{ }

3

3(3 9)(4 2 )(5 ) 0 2 2;3;5

5

 =

− − − = ⇔ = ⇒ =

 = x

x x x x S

x

Bài 4: Cho các số thực phân biệt a, b, c khác 0 và thỏa mãn: a b c+ + =0.

Tính giá trị của biểu thức: =^ ⁻ + ⁻ + ^{− } − + − + − ^

b c c a a b a b c

P a b c b c c a a b

Lời giải Ta đặt

2 2 2 3

2 2

. 1 1 . 1 1

− − −  − −  − + −

= + + → − = + −  + = + − = + = +

b c c a a b a a c a a b a c ca ba b a a

M M

a b c b c b c b c b c bc bc bc

Tương tự ta có: 2 ³ 2 ³

. b 1 b ; . c 1 c

M M

c a = +abc a b = +abc

− −

3 3 3

2( ) 2.

3 + + 3 ( : 0) 9 9

⇒ = + a b c = + abc + + = = ⇒ =

P do a b c P

abc abc

Bài 5^*: Giả sử bộ ba số a ; b ; c

b c a c a b− − − là nghiệm của phương trình x² y² z² 3 yz+ zx+xy = . Chứng minh rằng bộ ba số ₂; ₂; ₂

( ) ( ) ( )

a b c

b c− c a− a b− cũng là nghiệm của phương trình đó Lời giải

Ta có: ^{2 2 2} 3 ^{3 3 3} 3 0

0

 = = + + = ⇔ + + − = ⇒  + + =

x y z

x y z

x y z xyz

x y z yz xz xy

Vì nghiệm của phương trình là bộ ba số khác 0 nên các số a, b, c là ba số khác nhau và khác 0

+) Nếu:

0 ( ); ( ); ( ) 0

= = = ≠ ⇒ = − = − = − ⇒ + + = ⇔ + = −

− − −

a b c

k a k b c b k c a c k a b a b c a b c

b c c a a b

Từ:

2 2 2

( ) 0 0 0 ( )

= ⇔ = ⇔ + + + = ⇔ = = ⇒ = = =

− − + + − − −

a b a b

a b a b a b a b c loai

b c c a b a b a b a +) Nếu:

2 2

2

( ) ( )

0 (1)

( )( ) ( ) ( )( )( )

− + − − + −

+ + = ⇒ = + = ⇒ =

− − − − − − − − − − − −

a b c a b c b b a c a c a b ba ca c

b c c a a b b c a c b a c a a b b c a b b c c a

Tương tự ta có: ₂ ^{2 2} (2); ₂ ^{2 2} (3)

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )

− + − − + −

= =

− − − − − − − −

b c cb ab a c a ac bc b

c a a b b c c a a b a b b c c a

Từ (1), (2), (3) suy ra: _{2 2 2} 0

( ) +( ) +( ) =

− − −

a b c

b c c a a b

Đặt ₂; ₂; ₂

( ) ( ) ( )

= = =

− − −

a b c

m n p

b c c a a b

2 2 2

3 3 3

0 3 3

+ + = ⇒ + + = ⇒ m + n + p =

m n p m n p mnp

np mp mn

Vậy bộ ba số ₂; ₂; ₂

( ) ( ) ( )

a b c

b c− c a− a b− cũng là nghiệm của phương trình đã cho.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức

a)

( )

³

3 3 3

a b c

M a b c

= + +

+ + với a, b, c là các số thực thỏa mãn: ^{3 3 3} 3a 0 0

a b c bc

a b c

 + + − =

 + + ≠



b) 1 a 1 b 1 c

N b c a

   

= +  +  +  với a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn:

3 3 3 3 3 3 2 2 2

3 a b +b c +c a = a b c

Bài 2: Cho 1 1 1

x y+ y z+z x =0.

+ + + Tính giá trị của biểu thức

( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

2 2 2

y z z x x y z x y x y z P

x y y z x z

+ + + + + +

= + +

+ + +

Bài 3: Cho a, b, c là các số nguyên thỏa mãn ^{a b c}+ + =

(

a b b c c a−

)(

−

)(

−

)

^. Chứng minh rằng

(

^{a b−}

) (

^{3+ −b c}

) (

^{3+ −c a}

)

³ chia hết cho 81

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau

a) ³ 27 ³ 27 27 4

x y xy

x y

 + = −

 − =

 b) ^{2 2 2}

3 3 3

0 6 6 x y z

x y z

x y z

+ + =

 + + =

 + + =



CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC MỞ RỘNG HAY SỬ DỤNG

1. (a b c+ + )² =a²+b²+ +c² 2ab+2bc+2ca 2. (a b c− + )² =a²+b²+ −c² 2ab−2bc+2ca

3. (a₁+a₂+ +a₃ ....+a_n)² =a₁²+a₂²+ +... a_n²+2(a a_{1 2}+a a_{2 3}+....+a_n−1a_n) Áp dụng:

Bài 1: Chứng minh rằng: (2a+2b c− )²+(2b+2c a− )²+(2c+2a b− )² =9(a²+b²+c²) Lời giải

Ta có:

( )

( )

( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 4 4 8 4 4

2 2 4 4 8 4 4

2 2 4 4 8 4 4

 + − = + + + − −

 + − = + + + − −



+ − = + + + − −



a b c a b c ab ac bc

b c a b c a bc ab ac

c a b c a b ac bc ab

Cộng theo vế 3 đẳng thức trên ta được:

2 2 2 2 2 2

(2a+2b c− ) +(2b+2c a− ) +(2c+2a b− ) =9(a +b +c )

Bài toán được chứng minh.

Bài 2: Cho a, b, c, d thỏa mãn: a² + b² + c² + d² = 1. Tính giá trị của biểu thức

2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

A= a b c+ + +d + + − −a b c d + − + −a b c d + − − +a b c d Lời giải

Ta có (x+y)²+ −(x y)² =2(x²+y²) Áp dụng ta được:

( ) ( )

²

( ) ( ) ( ) ( )

²

( ) ( )

²

A= a b+ + +c d  + a b+ − +c d   + a b− + −c d  + a b− − −c d 