B TAM GIÁC PASCAL

Các hệ số của các khai triển(a+b)⁰,(a+b)¹,(a+b)², . . . ,(a+b)ⁿcó thể xếp thành một tam giác gọi là tam giác Pascal.

n=0 : 1 n=1 : 1 1 n=2 : 1 2 1 n=3 : 1 3 3 1 n=4 : 1 4 6 4 1 n=5 : 1 5 10 10 5 1 n=6 : 1 6 15 20 15 6 1 n=7 : 1 7 21 35 35 21 7 1

HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL C^k_n⁻₋¹₁+C^k_n−1 =C^k_n.

VÍ DỤ 2. Viết đầy đủ dạng khai triển của các nhị thức sau (a+b)⁶

1 2 (a+b)⁷

L Lời giải

1 (a+b)⁶ =a⁶+6a⁵b+15a⁴b²+20a³b³+15a²b⁴+6ab⁵+b⁶.

2 (a+b)⁷ =a⁷+7a⁶b+21a⁵b²+35a⁴b³+35a³b⁴+21a²b⁵+7ab⁶+b⁷.

C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 3.1. Tìm hệ số hoặc số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Bước 1. Viết công thức số hạng tổng quát.

Bước 2. Dùng các tính chất của lũy thừa để rút gọn số hạng tổng quát.

Bước 3. Dựa vào điều kiện cho trước để tìm số hạng thỏa mãn bài toán.

!

Chú ý

Vớin∈ _N^∗vàx6=0thìx⁻ⁿ = ¹ xⁿ. Vớim∈ _Z,n∈ _N^∗vàx>0thì √ⁿ

x^m =x^mn. Với các điều kiện xác định thì

a^maⁿ =a^m+n

• ^a

m

aⁿ =a^m−n

• • (ab)ⁿ =aⁿbⁿ a

b n

= ^a

n

bⁿ

• • (a^m)ⁿ =a^mn = (aⁿ)^m

Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: x

∑

n k=0

a_k =

∑

n k=0

xa_k.

1

VÍ DỤ MINH HỌA

VÍ DỤ 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1 (2x−3y)¹⁷ chứax⁸y⁹. ĐS:−2⁸3⁹C⁹₁₇ 2 3x−x²12

chứax¹⁵. ĐS: −3⁹C³₁₂

3

x²−² x

10

,∀x6=0 chứax¹¹. ĐS: −2³C³₁₀

4 √3

x⁻²+x7

chứax². ĐS: C⁴₇

L Lời giải

1 Số hạng tổng quát trong khai triển(2x−3y)¹⁷làC₁₇^k (2x)^17−k(−3y)^k =C^k₁₇2^17−k(−3)^kx^17−ky^k. Để có số hạng chứax⁸y⁹thìk =9.

Vậy hệ số của số hạng chứax⁸y⁹làC⁹₁₇·₂⁸·(−₃)⁹ =−₂⁸₃⁹_C⁹₁₇. 2 Số hạng tổng quát trong khai triển 3x−x²12

là C₁₂^k (3x)^12−k−x²k

=C^k₁₂3^12−k(−1)^kx^12−k x²k

=C^k₁₂3^12−k(−1)^kx^12+k. Để có số hạng chứax¹⁵ thì12+k =15 ⇔k=3.

Vậy hệ số của số hạng chứax¹⁵là−3⁹C³₁₂. 3 Số hạng tổng quát trong khai triển

x²− ² x

10

là

C₁₀^k

x²10−k

−² x

k

=C^k₁₀(−2)^kx^20−2kx^−k = (−2)^kC^k₁₀x^20−3k.

Để có số hạng chứax¹¹ thì20−3k =11 ⇔k=3.

Vậy hệ số của số hạng chứax¹¹là−₂³_C³₁₀. 4 Số hạng tổng quát trong khai triển√₃

x⁻²+x7

là C^k₇√₃

x⁻²7−k

x^k =C^k₇

x⁻²³7−k

x^k =C^k₇x^−14+5k3 . Để có số hạng chứax²thì −14+5k

3 =2⇔ −14+5k =6⇔k=4.

Vậy hệ số của số hạng chứax²làC⁴₇.

VÍ DỤ 2. Tìm hệ số của số hạng chứax⁴trong khai triển 1+x+3x²10

. ĐS:1695

L Lời giải

Ta có

1+x+3x²10

= ^h1+x+3x²i10

=

∑

10 k=0

C^k₁₀1^10−k

x+3x²k

=

∑

10 k=0

C^k₁₀

∑

k j=0

C^j_kx^k−j

3x²j!

=

∑

10 k=0

∑

k j=0

3^jC^k₁₀C^j_kx^k+j

! . Để có số hạng chứax⁴thì

®k+j =4

0≤ j≤k≤10 ⇔(j;k) ∈ {(0; 4),(1; 3),(2; 2)}. Do đó, số hạng chứax⁴là3⁰C⁴₁₀C⁰₄x⁴+₃¹_C³_10C¹₃x⁴+₃²_C²_10C²₂x⁴=1695x⁴.

Vậy hệ số của số hạng chứax⁴là1695.

VÍ DỤ 3. Tìm hệ số của số hạng chứax¹⁰ trong khai triển 1+x+x²+x³5

. ĐS:101 L Lời giải

Ta có

1+x+x²+x³5

= ^h(1+x)1+x²i5

= (1+x)⁵1+x²5

=

∑

5 k=0

C^k₅1^5−kx^k

! 5 j

∑

=0

C₅^j1^5−j x²j!

=

∑

5 k=0

C^k₅x^k

∑

5 j=0

C₅^jx^2j

!

=

∑

5 k=0

∑

5 j=0

C^k₅C₅^jx^k+2j

!

Để có số hạng chứax¹⁰ thì







k+2j =10 0≤k ≤5 0≤ j≤5

⇔(j;k) ∈ {(3; 4),(4; 2),(5; 0)}.

Do đó, số hạng chứax¹⁰ làC⁴₅C³₅x¹⁰+C²₅C⁴₅x¹⁰+C⁰₅C⁵₅x¹⁰ =101x¹⁰.

Vậy hệ số của số hạng chứax¹⁰trong khai triển là101.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1 (x+y)²⁵ chứax¹²y¹³ ĐS:C¹³₂₅

2 (x−3)⁹ chứax⁴ ĐS:−3⁵C⁵₉

3 (1−3x)¹¹ chứax⁶ ĐS:3⁶C⁶₁₁

4 x²−2x10

chứax¹⁶ ĐS:2⁸C⁸₁₀

5

x+ ¹ x²

40

,∀x 6=0 chứax³¹ ĐS:C³₄₀

6 2+√

x−_3x²⁵,∀_x6=₀ chứax² ĐS:−₂₃₀

Lời giải.

1 Số hạng tổng quát trong khai triển(x+y)²⁵ làC^k₂₅x^25−ky^k. Để có số hạng chứax¹²y¹³ thìk=13.

Vậy hệ số của số hạng chứax¹²y¹³ làC¹³₂₅.

2 Số hạng tổng quát trong khai triển(x−3)⁹làC^k₉x^9−k(−3)^k =C^k₉(−3)^kx^9−k. Để có số hạng chứax⁴thì9−_k=4⇔_k=5.

Vậy hệ số của số hạng chứax⁴là−3⁵C⁵₉.

3 Số hạng tổng quát trong khai triển(1−3x)¹¹làC^k₁₁1^11−k(−3x)^k =C^k₁₁(−3)^kx^k. Để có số hạng chứax⁶thìk=6.

Vậy hệ số của số hạng chứax⁶là3⁶C⁶₁₁.

4 Số hạng tổng quát trong khai triển x²−2x10

là C^k₁₀

x²12−k

(−2x)^k =C^k₁₀(−2)^kx^24−2kx^k =C^k₁₀(−2)^kx^24−k. Để có số hạng chứax¹⁶ thì24−k =16 ⇔k=8.

Vậy hệ số của số hạng chứax¹⁶là2⁸C⁸₁₀. 5 Số hạng tổng quát trong khai triển

x+ ¹

x² 40

là

C^k₄₀x^40−k 1

x² k

=C^k₄₀x^40−kx^−2k =C₄₀^k x^40−3k. Để có số hạng chứax³¹ thì40−3k =₃₁ ⇔k=3.

Vậy hệ số của số hạng chứax³¹làC³₄₀.

6 Ta có

2+√

x−3x²5

= ^h2+√

x−3x²i5

=

∑

5 k=0

C₅^k2^5−k

x¹² −3x²k

=

∑

5 k=0

2^5−kC^k₅

∑

k j=0

C^j_k

x¹²k−j

−3x²j!

=

∑

5 k=0

∑

k j=0

2^5−k(−3)^jC^k₅C^j_kx^k+3j2

!

Để có số hạng chứax²thì





 k+3j

2 =2 0≤j ≤k≤5

⇔

®k+3j=₄

0 ≤j ≤k≤5 ⇔(j;k)∈ {(0; 4),(1; 1)}.

Do đó, số hạng chứax²là2¹(−3)⁰C⁴₅C⁰₄x²+2⁴(−3)¹C¹₅C¹₁x² =−230x².

Vậy hệ số của số hạng chứax²là−230.

BÀI 2. Tìm số hạng không chứax(độc lập vớix) trong khai triển của nhị thức 1

2x²− ³ x

9

vớix 6=_{0 ĐS:2}³₃⁶_C⁶₉

2

xy²− ¹ xy

8

vớixy6=0 ĐS:C⁴₈y⁴

3 1

√3

x² +√⁴ x³

17

với x>0 ĐS:C⁸₁₇

Lời giải.

1 Số hạng tổng quát trong khai triển

2x²− ³ x

9

là

C₉^k

2x²9−k

−³ x

k

=C^k₉2^9−k(−3)^kx^18−2kx^−k =2^9−k(−3)^kC^k₉x^18−3k.

Để có số hạng không chứaxthì18−3k =0⇔ k=6.

Vậy số hạng không chứaxlà2³3⁶C⁶₉. 2 Số hạng tổng quát trong khai triển

xy²− ¹ xy

8

là

C^k₈

xy²8−k

− ¹ xy

k

=C^k₈(−1)^kx^8−ky^16−2kx^−ky^−k = (−1)^kC^k₈x^8−2ky^16−3k.

Để có số hạng không chứaxthì8−2k =₀⇔ k=4.

Vậy số hạng không chứaxlà(−1)⁴C⁴₈y⁴=C⁴₈y⁴.

3 Số hạng tổng quát trong khai triển 1

√3

x² +√⁴ x³

17

là

C^k₁₇ 1

√3

x² 17−k

√₄ x³k

=C^k₁₇x^{−23·(17−k)}x^34·k =C^k₁₇x^−136+17k12 .

Để có số hạng không chứaxthì −₁₃₆+17k

12 =0⇔ −136+17k=0⇔k =8.

Vậy số hạng không chứaxlàC⁸₁₇.

BÀI 3. Tìm số hạng chứax⁵trong khai triểnx(1−2x)⁵+x²(1+3x)¹⁰. ĐS:3310x⁵ Lời giải.

Ta có

x(1−2x)⁵+x²(1+3x)¹⁰ = x

∑

5 j=0

C^j₅1^5−j(−2x)^j+x²

∑

10 k=0

C^k₁₀1^10−k(3x)^k

=

∑

5 j=0

(−2)^jC₅^jx^j+1+

∑

10 k=0

3^kC^k₁₀x^k+2.

Để có số hạng chứax⁵thì

®j+1=5 k+2 =5 ⇔

®j=4 k =3.

Vậy số hạng chứax⁵là(−2)⁴C⁴₅x⁵+3³C³₁₀x⁵ =3310x⁵. BÀI 4. Tìm hệ số của số hạng chứax⁵ trong khai triển(2x+1)⁴+ (2x+1)⁵+ (2x+1)⁶+ (2x+

1)⁷. ĐS:896

Lời giải.

Ta có

(2x+1)⁴+ (2x+1)⁵+ (2x+1)⁶+ (2x+1)⁷ =

∑

7 k=4

(2x+1)^k

=

∑

7 k=4

∑

k j=0

C^j_k1^k−j(2x)^j

!

=

∑

7 k=4

∑

k j=0

2^jC_k^jx^j

! .

Để có số hạng chứax⁵thì

®j=5

0≤ j≤k ≤7 ⇔(j;k) ∈ {(5; 5),(5; 6),(5; 7)}. Do đó, số hạng chứax⁵là2⁵C⁵₅x⁵+2⁵C⁵₆x⁵+2⁵C⁵₇x⁵ =896x⁵.

Vậy hệ số của số hạng chứax⁵là896.

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 5. Tìm hệ số của số hạng trong khai triển

1 (2x+y)¹³ chứax⁶y⁷ ĐS:2⁶C⁷₁₃

2 x³−xy15

chứax²⁵y¹⁰ ĐS:C¹⁰₁₅

3 √

xy+ ^x y

10

với xy≥0vày 6=0 chứax⁶y² ĐS:C²₁₀

4 1+x+2x²10

chứax¹⁷ ĐS:2⁷C¹⁰₁₀C⁷₁₀+2⁸C⁹₁₀C⁸₉

5 x²+x−₁⁵ chứax³ ĐS:C¹₅C⁰₁+C³₅C³₃ 6 1+x²−x³8

chứax⁸ ĐS:C⁴₈C⁰₄+C³₈C²₃

7

1−x⁴− ¹ x

12

,x 6=0 chứax⁸ ĐS:−C⁴₁₂C¹₄−C⁸₁₂C⁴₈−C¹²₁₂C⁷₁₂ BÀI 6. Tìm số hạng không chứax(độc lập vớix) trong khai triển của nhị thức

1

x+¹ x

12

, với x6=_{0 ĐS:C}⁶₁₂

2

x³− ¹ x²

5

, vớix 6=0 ĐS:−C³₅

3

2x−¹ x

10

, với x6=0 ĐS:−2⁵C⁵₁₀

4 x

3 +³ x

12

, vớix 6=0 ĐS:C⁶₁₂

5 1

x³ +x² 10

, với x6=0 ĐS:C⁶₁₀

6

x+ ² x³

12

, vớix 6=0 ĐS:2³C³₁₂

7

x³− ² x²

5

, vớix 6=0 ĐS:−2³C³₅

8

2√

x+ ³

√3

x 20

, vớix >_{0 ĐS:2}⁸₃¹²_C¹²₂₀

9 1

x +√ x

12

, vớix>0 ĐS:C⁸₁₂

10

2x+√₅¹ x

18

, vớix >0 ĐS:C¹⁵₁₈

11

√3

x+ √₄¹ x

7

, với x>0 ĐS:C⁴₇

{DẠNG 3.2. Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn(a+b)ⁿ

Sử dụng số hạng tổng quát của khai triển làC^k_na^n−kb^k. Từ giả thiết tìm ra được giá trịk.

4

^! Nhị thức Niu-tơn

(a+b)ⁿ =C⁰_naⁿ+C¹_naⁿ⁻¹b+· · ·+Cⁿ_n⁻¹abⁿ⁻¹+Cⁿ_nbⁿ

=

∑

n k=0

C^k_na^n−kb^k.

Hệ quả

Vớia=b =1, ta có2ⁿ =C⁰_n+C¹_n+· · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n.

Vớia=1;b =−1, ta có0ⁿ =C⁰_n −C¹_n+· · ·+ (−1)^kC^k_n+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n.

Nếu P(x) = a₀+a₁x+a₂x²+· · ·+anxⁿ thì tổng các hệ số trong khai triển làP(1).

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1.

Tìm số hạng chứax¹⁰trong khai triển

x³− ¹ x²

n

,x6=₀biếtC⁴_n =13C²_n. ĐS:

−6435x¹⁰ 1

Tìm số hạng chứax²trong khai triển

x³+ ¹ x²

n

,x 6=0, biếtC⁰_n+C¹_n+C²_n =11.

ĐS:6x² 2

Tìm số hạng chứax⁸trong khai triển x²+2n

, biếtA³_n−8C²_n+C¹_n =49. ĐS:280x⁸ 3

L Lời giải

Tìm số hạng chứax¹⁰ trong khai triển

x³− ¹ x²

n

,x 6=0biếtC⁴_n =13C²_n. Điều kiệnn∈ _N,n ≥4. Khi đó

C⁴_n =13C²_n ⇔ ⁿ(n−1)(n−2)(n−3)

4! =13· ⁿ(n−1) 2

⇔ n²−5n−150 =0⇔

"

n =−10 (loại) n =15 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₅^k (x³)^15−k

− ¹ x²

k

=_C^k₁₅(−₁)^kx^45−5k. Số hạng chứax¹⁰ứng với45−5k=10⇔k =7.

Vậy số hạng chứax¹⁰ trong khai triển làC⁷₁₅(−1)⁷x¹⁰ =−6435x¹⁰. 1

Tìm số hạng chứax²trong khai triển

x³+ ¹ x²

n

,x 6=0, biếtC⁰_n+C¹_n+C²_n =11.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2. Khi đó

C⁰_n+C¹_n+C²_n =11 ⇔ 1+n+ ⁿ(n−1) 2 =11

⇔ n²+n−20=0 ⇔

"

n=−5 (loại) n=4 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₄^k(_x³)^4−k

1 x²

k

=_C^k_4x^12−5k. Số hạng chứax²ứng với12−5k =2 ⇔k=2.

Vậy số hạng chứax²trong khai triển làC²₄x² =6x². 2

Tìm số hạng chứax⁸trong khai triển x²+2n

, biếtA³_n−8C²_n+C¹_n =49.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥3. Khi đó

A³_n−8C²_n+C¹_n =49 ⇔ n(n−1)(n−2)−8· ⁿ(n−1)

2 +n =49

⇔ n³−7n²+7n−49=0⇔n=7 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₇^k(x²)^7−k(2)^k =C^k₇2^kx^14−2k.

Số hạng chứax⁸ứng với14−_2k =8 ⇔_k=3.

Vậy số hạng chứax⁸trong khai triển làC³₇2³x⁸ =280x⁸. 3

VÍ DỤ 2. Xác định số nguyên dương nđể trong khai triển(1+x²)ⁿ có hệ số củax⁸ bằng6

lần hệ số của x⁴. ĐS:n=₁₁

L Lời giải

Điều kiệnn∈ _N,n ≥4.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n x²k

=C^k_nx^2k. Hệ số củax⁸làC⁴_n. Hệ số củax⁴làC²_n.

Do hệ số củax⁸bằng6lần hệ số củax⁴nên

C⁴_n =_6C²_n ⇔ ⁿ(n−1)(n−2)(n−3)

4! =₆· ⁿ(n−1) 2!

⇔ n²−5n−66=0

"

n=−6 (loại) n=11 (nhận).

Vậyn=11là giá trị cần tìm.

VÍ DỤ 3.

Biết tổng các hệ số trong khai triển(1+x²)ⁿ là1024. Tìm hệ số củax¹². ĐS:210 1

Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển 1

x +x³ n

với n là số nguyên dương và biết rằng

tổng các hệ số trong khai triển bằng1024. ĐS:120

2

L Lời giải

Biết tổng các hệ số trong khai triển(1+x²)ⁿ là1024. Tìm hệ số củax¹². ĐặtP(x) = (1+x²)ⁿ. Tổng các hệ số trong khai triểnP(x)làP(1) =2ⁿ. Do tổng các hệ số trong khai triển(1+x²)ⁿ là1024nên2ⁿ =1024⇔n =10.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₀^k x²k

=_C^k_10x^2k_. Số hạng chứax¹²ứng với2k=12⇔k =6.

Vậy hệ số củax¹² làC⁶₁₀ =210.

1

Tìm hệ số của x⁶ trong khai triển 1

x +x³ n

với n là số nguyên dương và biết rằng tổng các hệ số trong khai triển bằng1024.

ĐặtP(x) = 1

x +x³ n

. Tổng các hệ số trong khai triểnP(x)làP(1) = 2ⁿ. Do tổng các hệ số trong khai triển là1024nên2ⁿ =1024⇔n=10.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₀^k 1

x k

x³k

=C^k₁₀x^2k. Số hạng chứax⁶ứng với2k =6 ⇔k=3.

Vậy hệ số củax⁶làC³₁₀ =120.

2

VÍ DỤ 4. Cho P(x) = (1+2x)ⁿ,n∈ _N^∗. Khai triển P(x)ta đượcP(x) = a0+a1x+a2x²+

· · ·+anxⁿ. Tínhnvàa11 biết rằnga0+^a1 2 + ^a2

2² + ^a3

2³ +· · · ·+^an

2ⁿ =4096. ĐS:24576 L Lời giải

Điều kiệnn∈ _N,n ≥11.

Ta cóP 1

2

=2ⁿ. Mặt khácP

1 2

=a₀+ ^a1 2 + ^a2

2² + ^a3

2³ +· · · ·+^an

2ⁿ =₄₀₉₆⇔₂ⁿ =₄₀₉₆⇔n =_12.

Khi đó, số hạng tổng quát trong khai triểnP(x)làC^k₁₂(2x)^k =_C^k₁₂(₂)^kx^k. Ta suy raa11 =C¹¹₁₂2¹¹ =24576.

Vậyn=12, a₁₁ =_24576.

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1.

Tìm hệ số củax⁴trong khai triển 2

x −x³ n

,∀x6=0, biếtCⁿ_n⁻₋⁶₄+n·_A²_n =454. ĐS:−₁₇₉₂ 1

Tìm số hạng không chứaxtrong khai triển 2

n−5

√3

x+ √₄¹ x

n

,x>0, biếtC³_n =5C¹_n. ĐS:

35 2

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

x+ ³ x³

n

, với n ∈ _N^∗, x 6= 0, biết A²_n+1+

C²_n+1 =18P3. ĐS:252

3

Tìm hệ số củax¹⁰ trong khai triển

2x³− ³ x²

n

,∀x 6=0, biết3C²_n+2A²_n =3n²+15. ĐS:

1088640 4

Lời giải.

Tìm hệ số củax⁴trong khai triển 2

x −x³ n

,∀x6=0, biếtCⁿ_n⁻₋⁶₄+n·A²_n =454.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2. Khi đó

Cⁿ_n⁻₋⁶₄+n·A²_n =454 ⇔ (n−4)(n−5)

2 +n·n(n−1) =454

⇔ 2n³−n²−9n−888=0⇔n =8 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₈^k

2 x

8−k

−x³k

=C^k₈2^8−k(−1)^kx^4k−8. Số hạng chứax⁴ứng với4k−8 =4 ⇔k=3.

Vậy hệ số củax⁴trong khai triển làC³₈2⁵(−1)³ =−1792.

1

Tìm số hạng không chứaxtrong khai triển 2

n−5

√3

x+ √₄¹ x

n

,x>0, biếtC³_n =5C¹_n. Điều kiệnn∈ _N,n ≥3. Khi đó

C³_n =_5C¹_n ⇔ ⁿ(n−1)(n−2)

3! =5n

⇔ n³−3n²−28n=0⇔







n=−4 (loại) n=0 (loại) n=7 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₇^k √³

x7−k 1

√4

x k

=C^k₇x^2812−7k. Số hạng không chứaxứng với 28−7k

12 =₀⇔k=4.

Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC⁴₇ =35.

2

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

x+ ³ x³

n

, với n ∈ _N^∗, x 6= 0, biết A²_n+1+ C²_n+1 =_18P3.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥1. Khi đó

A²_n+1+C²_n+1=18P3 ⇔ (n+1)n+ ⁿ(n+₁)

2! =18·_3!

⇔ n²+n−72=0⇔

"

n=−9 (loại) n=8 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₈^k(x)^8−k

3 x³

k

=C^k₈3^kx^8−4k. Số hạng không chứaxứng với8−4k=0⇔k =2.

Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC²₈3²=252.

3

Tìm hệ số củax¹⁰ trong khai triển

2x³− ³ x²

n

,∀x 6=0, biết3C²_n+2A²_n =3n²+15.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2. Khi đó

3C²_n+2A²_n =3n²+15 ⇔ 3· ⁿ(n−1)

2! +2·n(n−1) =3n²+15

⇔ n²−7n−30 =0⇔

"

n =−3 (loại) n =10 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k₁₀ 2x³10−k

− ³ x²

k

=_C^k₁₀₂^10−k(−₃)^k_x^30−5k. Số hạng chứax¹⁰ứng với30−5k=10⇔k =4.

Vậy hệ số củax¹⁰ trong khai triển làC⁴₁₀2⁶(−3)⁴ =1088640.

4

BÀI 2. TínhAⁿ₂₀₁₆biết hệ số của x²trong khai triển(1+3x)ⁿlà90. ĐS:A⁵₂₀₁₆ Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n(3x)^k =C^k_n3^kx^k. Hệ số củax²làC²_n3².

Do hệ số củax²bằng90nên

C²_n3²=₉₀ ⇔ ⁿ(n−1) 2! =₁₀

⇔ n²−n−20=0⇔

"

n =−4 (loại) n =5 (nhận).

VậyAⁿ₂₀₁₆ =A⁵₂₀₁₆.

BÀI 3. Trong khai triển nhị thức(1+2ax)ⁿ,(x6=0)ta có được số hạng đầu là1, số hạng thứ hai là48x, số hạng thứ ba là1008x². Tìmnvàa. ĐS: n=8,a=₃ Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n(2ax)^k =_C^k_n(2a)^kx^k. Số hạng đầu là1nênC⁰_n =1.

Số hạng thứ hai là48xnênC¹_n(2a) =48.

Số hạng thứ ba là1008x²nênC²_n(2a)² =1008.

Ta suy ra

®C¹_n(2a) =48

C²_n(2a)² =1008 ⇔

®an =24

n(n−1)a²=2016

⇔

®an =24

an(an−a) =504 ⇔

®an =24 a=3 ⇔

®n=8 a =3.

Vậy

®n=8

a=3.

BÀI 4. Tìm số hạng không chứaxtrong khai triển

x+ ¹ x

n

, biết hiệu hệ số của số hạng thứ ba

và thứ hai bằng35. ĐS:252

Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_nx^n−k 1

x k

=C^k_nx^n−2k.

Hệ số của số hạng thứ ba làC²_n. Hệ số của số hạng thứ hai làC¹_n.

Do hiệu hệ số của số hạng thứ ba và thứ hai bằng35nên C²_n−C¹_n =35 ⇔ ⁿ(n−1)

2 −n=35

⇔ n²−3n−70=0⇔

"

n =−7 (loại) n =10 (nhận).

Khi đó số hạng không chứaxlàC⁵₁₀ =252.

BÀI 5. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC¹_n+C²_n+C³_n+· · ·+Cⁿ_n = 2047.Tìm số hạng chứax¹⁰y⁶trong khai triển(2x²+y)ⁿ. ĐS:14784x¹⁰y⁶ Lời giải.

DoC¹_n+C²_n+C³_n+· · ·+Cⁿ_n =2ⁿ−1=2047⇔n =11.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k₁₁ 2x²11−k

y^k =C₁₁^k 2^11−kx^22−2ky^k. Ta suy ra số hạng chứax¹⁰y⁶trong khai triển làC⁶₁₁2⁵x¹⁰y⁶=14784x¹⁰y⁶.

BÀI 6. Cho khai triển nhị thức:(1−2x+x³)ⁿ =a0+a1x+a2x²+· · · ·+a3nx³ⁿ. Xác địnhnvà tìma6, biết rằng:a0+ ^a1

2 + ^a2

2² +· · ·+^a3n 2³ⁿ =

1 2

15

. ĐS:−31

Lời giải.

ĐặtP(x) = (1−2x+x³)ⁿ. Suy raP 1

2

= 1

2 3n

. Mặt khácP

1 2

=a0+ ^a1 2 + ^a2

2² +· · ·+^a3n 2³ⁿ =

1 2

15

⇔ 1

2 3n

= 1

2 15

⇔n =5.

Khi đóP(x) = _∑⁵

k=0

C^k₅ x³5−k

(1−2x)^k = _∑⁵

k=0

C^k₅x^15−3k ∑^k

i=0

Cⁱ_k(−2x)ⁱ = _∑⁵

k=0

∑k i=0

Cⁱ_k(−2)ⁱ(x)^15−3k+i. Ta suy raa₆=_C³₄(−₂)³+_C⁰₅(−₂)⁰ =−_31.

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 7. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng 1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

√3

x+√² x

n

,x > 0, biếtC⁶_n +3C⁷_n+3C⁸_n+

C⁹_n =_2C⁸_n+2. ĐS:320320

2 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cⁿ_n⁻₊¹₁ = A²_n +160. Tìm hệ số củax⁷ trong

khai triển(1−2x³)(2+x)ⁿ. ĐS: −2224

3 Chon ∈ _N^∗ vàa,b (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Niu-tơn a

√b +b n

có hạng tử chứaa⁴b⁹, tìm số hạng chứa tích avàbvới số mũ bằng nhau. ĐS:5005a⁶b⁶ 4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãnCⁿ_n⁻³−C²_n−1 =C¹_n−1Cⁿ_n⁺₊²₃. Tìm hệ số của số hạng chứa

x¹¹trong khai triểnx³

xⁿ⁻⁸− ⁿ 3x

n

,x6=0. ĐS:32440320

Lời giải.

1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

√3

x+√² x

n

,x > 0, biếtC⁶_n +3C⁷_n+3C⁸_n+ C⁹_n =2C⁸_n+2.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥9. Khi đó

C⁶_n+3C⁷_n+3C⁸_n+C⁹_n =2C⁸_n+2 ⇔ C⁶_n +C⁷_n+2

C⁷_n+C⁸_n

+C⁸_n+C⁹_n =2C⁸_n+2

⇔ C⁷_n+1+2C⁸_n+1+C⁹_n+1=2C⁸_n+2

⇔ C⁷_n+1+C⁸_n+1+C⁸_n+1+C⁹_n+1=2C⁸_n+2

⇔ C⁸_n+2+C⁹_n+2 =2C⁸_n+2

⇔ C⁹_n+2 =C⁸_n+2

⇔ (n+2)!

9!(n−7)! =· (n+2)! 8!(n−6)!

⇔ n−₆=₉⇔n=₁₅ (nhận)_. Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₅^k √³

x15−k

√2 x

k

=C₁₅^k 2^kx

5(6−k) 6 . Số hạng không chứaxứng với 5(6−k)

6 =0⇔k =6.

Vậy số hạng không chứaxtrong khai triển làC⁶₁₅2⁶=320320.

2 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cⁿ_n⁻₊¹₁ = A²_n +160. Tìm hệ số củax⁷ trong khai triển(1−2x³)(2+x)ⁿ.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2. Khi đó

6Cⁿ_n⁻₊¹₁ =A²_n+160 ⇔ 6· (n+1)n

2! =n(n−1) +160

⇔ n²+2n−80=0⇔

"

n =−₁₀ (loại) n =8 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển là

(1−2x³)C^k₈2^8−kx^k =C^k₈2^8−kx^k−C^k₈2^9−kx^k+3. Vậy hệ số củax⁷trong khai triển là2C⁷₈−2⁵C⁴₈ =−2224.

3 Chon ∈ _N^∗ vàa,b (b > 0). Biết trong khai triển nhị thức Niu-tơn a

√b +b n

có hạng tử chứaa⁴b⁹, tìm số hạng chứa tích avàbvới số mũ bằng nhau. ĐS:5005a⁶b⁶ Điều kiệnn∈ _N,n ≥4.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n a

√b n−k

b^k =_C^k_na^n−kb^3k2−n. Trong khai triển có hạng tử chứaa⁴b⁹nên







n−_k =₄ 3k−n

2 =9 ⇔

®n =15 k =_11.

Khi đó số hạng tổng quát làC^k₁₅a^15−kb^3k−215.

Số hạng chứaavàbvới số mũ bằng nhau khi15−k = ^3k−15

2 ⇔k=9.

Vậy số hạng chứaavàbvới số mũ bằng nhau làC⁹₁₅a⁶b⁶ =5005a⁶b⁶.

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãnCⁿ_n⁻³−C²_n−1 =C¹_n−1Cⁿ_n⁺₊²₃. Tìm hệ số của số hạng chứa x¹¹trong khai triểnx³

xⁿ⁻⁸− ⁿ 3x

n

,x6=0.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥3. Khi đó

Cⁿ_n⁻³−C²_n−1 =C¹_n−1Cⁿ_n⁺₊²₃ ⇔ ⁿ(n−1)(n−2)

3! − (n−1)(n−2)

2! = (n−1)·(n+3)

⇔ n³−12n²−n+12=0⇔







n=−1 (loại) n=1 (loại) n=12 (nhận). Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làx³C^k₁₂ x⁴12−k

−⁴ x

k

=C^k₁₂(−4)^kx^51−5k. Số hạng chứax¹¹ ứng với51−5k=11⇔k =8.

Vậy hệ số củax¹¹ trong khai triển làC⁸₁₂(−4)⁸ =32440320.

BÀI 8. Trong khai triển nhị thức (1+ax)ⁿ, ta có số hạng đầu bằng1, số hạng thứ hai bằng24x,

số hạng thứ ba bằng252x². Tìmnvàa. ĐS: n=8,a=3

Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n(ax)^k =C^k_na^kx^k. Số hạng đầu là1nênC⁰_n =1.

Số hạng thứ hai là48xnênC¹_na=24.

Số hạng thứ ba là252x²nênC²_na² =252.

Ta suy ra

®C¹_na=24

C²_na²=252 ⇔

®an =24

n(n−1)a² =504

⇔

®an =24 a=3 ⇔

®n=8 a =3.

Vậy

®n=8

a=3.

BÀI 9. Biết hệ số củaxⁿ⁻²trong khai triển(x−2)ⁿbằng220. Tìm hệ số củax². ĐS:67584 Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_nx^n−k(−2)^k. Do hệ số củaxⁿ⁻²trong khai triển bằng220nên

C²_n(−2)² =220 ⇔ n(n−1) =110

⇔ n²−n−110=0 ⇔

"

n=−10 (loại) n=11 (nhận).

Khi đó hệ số củax²làC¹⁰₁₂(−₂)¹⁰ =_67584.

BÀI 10. Biết hệ số củaxⁿ⁻²trong khai triển

x−¹ 4

n

bằng31. Tìm số nguyên dươngn. ĐS:

n=32 Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_nx^n−k

−¹ 4

k

. Do hệ số củaxⁿ⁻²trong khai triển bằng31nên

C²_n

−¹ 4

2

=31 ⇔ n(n−1) = 992

⇔ _n²−_n−₉₉₂=0⇔

"

n=−31 (loại) n=₃₂ (nhận)_.

Vậyn=32.

BÀI 11. Trong khai triển của nhị thức

x²−² x

n

cho biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng97. Tìm hệ số của số hạng có chứax⁴. ĐS:1120 Lời giải.

Điều kiệnn∈ _N,n ≥2.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC^k_n x²n−k

−² x

k

=C^k_n(−2)^kx^2n−3k. Do tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển trên bằng97nên

C⁰_n+C¹_n(−2) +C²_n(−2)² =97 ⇔ 1−2n+2n(n−1) = 97

⇔ 2n²−4n−96 =0⇔

"

n =−₆ (loại) n =8 (nhận).

Khi đó hệ số củax⁴trong khai triển làC⁴₈(−2)⁴ =1120.

BÀI 12. Tìm hệ số của một số hạng hoặc tìm một số hạng

1 Biếtnnguyên dương thỏa mãn điều kiệnC¹_n+C²_n+· · · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n =4095. Tìm hệ số của số hạng chứax⁸trong khai triểnP(x) =

2 x³ +√

x⁵ n

với x>0. ĐS:14784 2 Biết rằngnlà số nguyên dương thỏa3ⁿC⁰_n−₃ⁿ⁻¹_C¹_n+₃ⁿ⁻²_C²_n−₃ⁿ⁻³_C³_n+· · ·+ (−₁)ⁿ_Cⁿ_n = 2048.Tìm hệ số củax¹⁰trong khai triển nhị thức(2+x)ⁿ, ĐS:1320 3 Tìm hệ số củax¹⁰ trong khai triển √

x−3x²n

,(x >0), biết rằngnlà số nguyên dương và

tổng các hệ số trong khai triển bằng−2048. ĐS: −4455

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC¹_2n+1+C³_2n+1+C⁵_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =1024.

Tìm hệ số củax⁷trong khai triển đa thức(2−3x)²ⁿ. ĐS:−2099520 Lời giải.

1 Biếtnnguyên dương thỏa mãn điều kiệnC¹_n+C²_n+· · · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n =4095. Tìm hệ số của số hạng chứax⁸trong khai triểnP(x) =

2 x³ +√

x⁵ n

với x>0.

DoC¹_n+C²_n+· · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n =2ⁿ−1=4095⇔n=12.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₂^k 2

x³ 12−k

√ x⁵k

=C^k₁₂2^12−kx^−722+11k. Số hạng chứax⁸trong khai triển ứng với −₇₂+11k

2 =8⇔ k=8.

Ta suy ra hệ số củax⁸trong khai triển làC⁸₁₂2⁴ =_7920.

2 Biết rằngnlà số nguyên dương thỏa3ⁿC⁰_n−₃ⁿ⁻¹_C¹_n+3ⁿ⁻²C²_n−₃ⁿ⁻³_C³_n+· · ·+ (−₁)ⁿCⁿ_n = 2048.Tìm hệ số củax¹⁰trong khai triển nhị thức(2+x)ⁿ.

Ta có(a+b)ⁿ =C⁰_naⁿ+C¹_naⁿ⁻¹b+C²_naⁿ⁻²b²+C³_naⁿ⁻³b³+· · ·+Cⁿ_nbⁿ. Choa=3,b =−₁ta được

3ⁿC⁰_n−3ⁿ⁻¹C¹_n+3ⁿ⁻²C²_n−3ⁿ⁻³C³_n +· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n =2ⁿ =2048⇔n =11.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₁^k 2^11−kx^k. Ta suy ra hệ số củax⁸trong khai triển làC⁸₁₁2³ =1320.

3 Tìm hệ số củax¹⁰ trong khai triển √

x−3x²n

,(x >0), biết rằngnlà số nguyên dương và tổng các hệ số trong khai triển bằng−2048.

ĐặtP(x) = √

x−3x²n

. Tổng các hệ số trong khai triểnP(x)là P(1) = (−2)ⁿ. Do tổng các hệ số trong khai triển là−2048nên(−2)ⁿ =−2048⇔n =11.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₁^k √ x11−k

−3x²k

=C^k₁₁(−3)^kx^11+23k. Số hạng chứax¹⁰ ứng với 11+3k

2 =10⇔k=3.

Vậy hệ số củax¹⁰ làC³₁₁(−3)³=−4455.

4 Chonlà số nguyên dương thỏa mãn điều kiệnC¹_2n+1+C³_2n+1+C⁵_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =1024.

Tìm hệ số củax⁷trong khai triển đa thức(2−3x)²ⁿ.

Ta có(a+b)²ⁿ⁺¹ =C⁰_2n+1a²ⁿ⁺¹+C¹_2n+1a²ⁿb+C²_2n+1a²ⁿ⁻¹b²+C³_2n+1a²ⁿ⁻²b³+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁b²ⁿ⁺¹. Choa=1,b =1ta đượcC⁰_2n+1+C¹_2n+1+C²_2n+1+C³_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁=2²ⁿ⁺¹ (1).

Choa=1,b =−1ta đượcC⁰_2n+1−C¹_2n+1+C²_2n+1−C³_2n+1+· · · −C²ⁿ_2n⁺₊¹₁=0 (2). Từ (1) và (2) suy raC¹_2n+1+C³_2n+1+C⁵_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁=2²ⁿ =1024⇔n =5.

Khi đó số hạng tổng quát trong khai triển làC₁₀^k (2)^10−k(−3x)^k. Ta suy ra hệ số củax⁷trong khai triển làC⁷₁₀2³(−3)⁷ =−2099520.

{DẠNG 3.3. Chứng minh hoặc tính tổng

• (a+b)ⁿ =C⁰_naⁿ+C¹_naⁿ⁻¹b+C²_naⁿ⁻²b²+· · ·+Cⁿ_n⁻¹abⁿ⁻¹+Cⁿ_nbⁿ.

• _C^k_n =Cⁿ_n^−k.

• C⁰_n+C¹_n +C²_n+· · ·+Cⁿ_n =2ⁿ.

• C⁰_n−C¹_n +C²_n+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n =0.

1

VÍ DỤ

VÍ DỤ 1. Chứng minh

1 C⁰_2n+C¹_2n+C²_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =4ⁿ.

2 C⁰_n·₃ⁿ−_C¹_n ·₃ⁿ⁻¹+· · ·+ (−₁)ⁿ_Cⁿ_n =_C⁰_n+_C¹_n+· · ·+_Cⁿ_n. L Lời giải

1 Xét nhị thức

(x+1)²ⁿ =C⁰_2nx²ⁿ+C¹_2nx²ⁿ⁻¹+C²_2nx²ⁿ⁻²+C³_2nx²ⁿ⁻³+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹x+C²ⁿ_2n. Thayx =1ta được

C⁰_2n+C¹_2n+C²_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =2²ⁿ. VậyC⁰_2n+C¹_2n+C²_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =4ⁿ.

2 Xét nhị thức(x−1)ⁿ =C⁰_nxⁿ−C¹_nxⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n. Thayx =3ta được

C⁰_n ·3ⁿ−C¹_n·3ⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n =2ⁿ. Lại cóC⁰_n +C¹_n+· · ·+Cⁿ_n =2ⁿ.

VậyC⁰_n·3ⁿ−C¹_n·3ⁿ⁻¹+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n =C⁰_n+C¹_n+· · ·+Cⁿ_n.

VÍ DỤ 2. Tính các tổng sau

1 S =C⁰₅+C¹₅+C²₅+· · ·+C⁵₅. ĐS:S=32.

2 S =2C¹₂₀₁₀+2³C³₂₀₁₀+2⁵C⁵₂₀₁₀+· · ·+2²⁰⁰⁹C²⁰⁰⁹₂₀₁₀. ĐS:S= ³

2010−1

2 .

L Lời giải

1 Ta cóS =C⁰₅+C¹₅+C²₅+· · ·+C⁵₅ =2⁵=32.

2 Xét nhị thức

(1+x)²⁰¹⁰ =C⁰₂₀₁₀+C¹₂₀₁₀x+C²₂₀₁₀x²+C³₂₀₁₀x³+· · ·+C²⁰⁰⁹₂₀₁₀x²⁰⁰⁹+C²⁰¹⁰₂₀₁₀x²⁰¹⁰. Thayx =2ta được

C⁰₂₀₁₀+2C¹₂₀₁₀+2²C²₂₀₁₀+2³C³₂₀₁₀+· · ·+2²⁰⁰⁹C²⁰⁰⁹₂₀₁₀+2²⁰¹⁰C²⁰¹⁰₂₀₁₀=3²⁰¹⁰. (1) Thayx =−2ta được

C⁰₂₀₁₀−_2C¹₂₀₁₀+₂²_C²₂₀₁₀−₂³_C³₂₀₁₀+· · · −₂²⁰⁰⁹_C²⁰⁰⁹₂₀₁₀+₂²⁰¹⁰_C²⁰¹⁰₂₀₁₀ =_1. (₂) Trừ hai vế(1)và(2)suy ra

2

2C¹₂₀₁₀+₂³_C³₂₀₁₀+₂⁵_C⁵₂₀₁₀+· · ·+₂²⁰⁰⁹_C²⁰⁰⁹₂₀₁₀ =₃²⁰¹⁰−_1.

VậyS= ³

2010−₁

2 .

VÍ DỤ 3. Tìm số nguyên dươngnthỏa mãn các điều kiện sau

1 C¹_n+C²_n+C³_n+· · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n =4095. ĐS:n=12.

2 C¹_2n+1+C³_2n+1+C⁵_2n+1+C⁷_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =1024. ĐS:n=5.

L Lời giải

1 Ta có

C¹_n+_C²_n+_C³_n+· · ·+_Cⁿ_n⁻¹+_Cⁿ_n =₄₀₉₅

⇔ C⁰_n+C¹_n+C²_n+C³_n+· · ·+Cⁿ_n⁻¹+Cⁿ_n =4095+C⁰_n

⇔ 2ⁿ =4096=2¹² ⇔ n=12.

2 Ta có

(C⁰_2n+1+C¹_2n+1+C²_2n+1+C³_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n+1+C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =2²ⁿ⁺¹ C⁰_2n+1−C¹_2n+1+C²_2n+1−C³_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n+1−C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =0.

Trừ hai vế ta được

2

C¹_2n+1+C³_2n+1+· · ·+C²ⁿ_2n+1−C²ⁿ_2n⁺₊¹₁

=2²ⁿ⁺¹

⇔ _C¹_2n+1+_C³_2n+1+· · ·+_C²ⁿ_2n+1−_C²ⁿ_2n⁺₊¹₁ =₂²ⁿ

⇔ ₂²ⁿ =₁₀₂₄=₂¹⁰ ⇔n =_5.

VÍ DỤ 4. Chứng minh

C^k_n =Cⁿ_n^−k.

1 ² k(k−1)C^k_n =n(n−1)C^k_n⁻₋²₂. L Lời giải

1 Ta cóC^k_n =Cⁿ_n^−k ⇔ ^n!

(n−k)!k! = ^n!

k!(n−k)! (luôn đúng). Suy ra điều phải chứng minh.

2 Ta có

k(k−1)C^k_n =n(n−1)C^k_n⁻₋²₂ ⇔ k(k−1)· ^n!

(n−k)!k! =n(n−1)· (n−2)! (n−k)!(k−2)!

⇔ ^k(k−1)n!

(n−k)!k(k−1)(k−2)! = ⁿ(n−1)(n−2)! (n−k)!(k−2)!

⇔ ^n!

(n−k)!(k−2)! = ^n!

(n−k)!(k−2)! (luôn đúng).

Suy ra điều phải chứng minh.

VÍ DỤ 5. Cho khai triển 1

3 +^2x 3

11

= a0+a₁x+a2x²+· · ·+a₁₁x¹¹. Hãy tìm hệ số lớn nhất trong các sốa₀, a₁,. . .,a₁₁? ĐS:a₇= ^C

7 11·₂⁷

3¹¹ ,a₈ = ^C

8 11·2⁸

3¹¹ L Lời giải

Số hạng tổng quát của khai triển 1

3+^2x 3

11

là

T_k+1 =C₁₁^k · 1

3 11−k

· 2x

3 k

=C^k₁₁· ²

k

3¹¹ ·x^k.

Do đó hệ số của số hạng tổng quát làa_k =C^k₁₁· ²

k

3¹¹ = ^C

k11·2^k 3¹¹ . Xét a_k

a_k+1

<₁ ⇔ ^C

k 11·₂^k

C^k₁₁⁺¹·₂^k+1 <₁ ⇔ ^k+1

2(11−k) <₁⇔k <7. Suy ra a₀< a₁ <· · ·< a₆< a₇. Tương tự a_k

a_k+1

>1⇔k >7. Suy ra a8 >a9 >· · · >a₁₁. Lại có a7

a₈ = ⁸

8 =1⇒a7=a8, nên a0< a₁<· · · <a6< a7= a8 >· · · > a₁₁. Vậy hệ số lớn nhất làa7= ^C

711·2⁷

3¹¹ vàa8= ^C

811·2⁸

3¹¹ .

2

BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 1. Chứng minh

C⁰_2n+C²_2n+· · ·+C²ⁿ_2n =C¹_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹ =2²ⁿ⁻¹. 1

(C⁰_n)²+ (C¹_n)²+ (C²_n)²+· · ·+ (Cⁿ_n)² =C_2nⁿ ,∀n≥2,n∈ _N.

2

Lời giải.

Ta có

®C⁰_2n+C¹_2n+C²_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =2²ⁿ (1) C⁰_2n−C¹_2n+C²_2n−C³_2n+· · · −C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =0. (2) Cộng hai vế(1)và(2)ta được

2

C⁰_2n+C²_2n +· · ·+C²ⁿ_2n

=2²ⁿ ⇔C⁰_2n+C²_2n+· · ·+C²ⁿ_2n =2²ⁿ⁻¹. Trừ hai vế(1)và(2)ta được

2

C¹_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹

=2²ⁿ ⇔C¹_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹ =2²ⁿ⁻¹. VậyC⁰_2n+C²_2n+· · ·+C²ⁿ_2n =C¹_2n+C³_2n+· · ·+C²ⁿ_2n⁻¹ =2²ⁿ⁻¹.

1

Xét nhị thức(1+x)²ⁿ =C⁰_2n+C¹_2nx+· · ·+Cⁿ_2nxⁿ+· · ·+C²ⁿ_2nx²ⁿ. Trong khai triển trên thì hệ số củaxⁿ làC_2nⁿ . (₁) Mặt khác

(1+x)²ⁿ = (1+x)ⁿ·(x+1)ⁿ

= C⁰_n+C¹_nx+C²_nx²+· · ·+Cⁿ_nxⁿ

·C⁰_nxⁿ+C¹_nxⁿ⁻¹+C²_nxⁿ⁻²+· · ·+C⁰_n . Hệ số củaxⁿ trong tích trên là(C⁰_n)²+ (C¹_n)²+ (C²_n)²+· · ·+ (Cⁿ_n)². (2) Từ(1)và(2)suy ra

(C⁰_n)²+ (C¹_n)²+ (C²_n)²+· · ·+ (Cⁿ_n)² =Cⁿ_2n. 2

BÀI 2. Tính các tổng sau

S=C⁰₂₀₁₀+2C¹₂₀₁₀+2²C²₂₀₁₀+· · ·+2²⁰¹⁰C²⁰¹⁰₂₀₁₀. ĐS:S =3²⁰¹⁰. 1

S=C⁶₁₀+C⁷₁₀+C⁸₁₀+C⁹₁₀+C¹⁰₁₀. ĐS:S =386.

2

Lời giải.

Xét nhị thức

(1+x)²⁰¹⁰ =C⁰₂₀₁₀+C¹₂₀₁₀x+C²₂₀₁₀x²+· · ·+C²⁰¹⁰₂₀₁₀x²⁰¹⁰. Thayx =₂ta được

C⁰₂₀₁₀+2C¹₂₀₁₀+2²C²₂₀₁₀+· · ·+2²⁰¹⁰C²⁰¹⁰₂₀₁₀ =3²⁰¹⁰. VậyS=₃²⁰¹⁰.

1

XétS₁ =C⁰₁₀+C¹₁₀+C²₁₀+· · ·+C¹⁰₁₀ =2¹⁰. Áp dụng công thứcC^k_n =Cⁿ_n^−k, ta có

S =C⁶₁₀+C⁷₁₀+C⁸₁₀+C⁹₁₀+C¹⁰₁₀ =C⁴₁₀+C³₁₀+C²₁₀+C¹₁₀+C⁰₁₀.

Do đóS1 =2S+C⁵₁₀ ⇒S = ^S1−_C⁵₁₀

2 =386.

2

3

BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI 3. Chứng minh

C⁰_2n−C¹_2n+C²_2n−C³_2n+· · · −C²ⁿ_2n⁻¹+C²ⁿ_2n =0.

1

3¹⁶C⁰₁₆−3¹⁵C¹₁₆+3¹⁴C²₁₆− · · ·3C¹⁵₁₆+C¹⁶₁₆ =2¹⁶. 2

C⁰_2n+C²_2n·3²+C⁴_2n·3⁴+· · ·+C²ⁿ_2n·3²ⁿ =2²ⁿ⁻¹·(2²ⁿ+1). 3

C⁰₂₀₀₁+3²C²₂₀₀₁+3⁴C⁴₂₀₀₁+· · ·+3²⁰⁰⁰C²⁰⁰⁰₂₀₀₁=2²⁰⁰⁰·(2²⁰⁰¹−1). 4

2ⁿC⁰_n+2ⁿ⁻²C²_n+2ⁿ⁻⁴C⁴_n +· · ·+Cⁿ_n = ³

n+1 2 . 5

BÀI 4. Tính các tổng sau

S=C⁰₅+2C¹₅+2²C²₅+· · ·+2⁵C⁵₅. ĐS:S=3⁵ 1

S=₄⁰_C⁰₈+₄¹_C¹₈+₄²_C²₈+· · ·+₄⁸_C⁸₈. ĐS:S=₅⁸ 2

S=C⁰₂₀₁₀+C¹₂₀₁₀+C²₂₀₁₀+· · ·+C²⁰¹⁰₂₀₁₀. ĐS:S=2²⁰¹⁰ 3

S=C⁰₁₀₀+C²₁₀₀+C⁴₁₀₀+· · ·+C¹⁰⁰₁₀₀. ĐS:S =2⁹⁹ 4

S= ¹

2!·_2012! + ¹

4!·_2010!+· · ·+ ¹

2012!·_2! + ¹

2014!. ĐS:S = ²

2013−1 2014!

5

BÀI 5. Tìm số nguyên dươngnthỏa mãn các điều kiện

3ⁿC⁰_n−3ⁿ⁻¹C¹_n+3ⁿ⁻²C²_n −3ⁿ⁻³C³_n+· · ·+ (−1)ⁿCⁿ_n =2048. ĐS:n=11 1

C⁰_2n+C²_2n+C⁴_2n+C⁶_2n+· · ·+C²ⁿ_2n =512. ĐS: n=5 2

C²₂₀₁₄+C⁴₂₀₁₄+C⁶₂₀₁₄+C⁸₂₀₁₄+· · ·+C¹⁰⁰⁶₂₀₁₄ =2⁵⁰³ⁿ−1. ĐS: n=4 3

C¹_2n+1+_C²_2n+1+_C³_2n+1+· · ·+_Cⁿ_2n+1=₂²⁰−1. ĐS:n=₁₀ 4

BÀI 6. Chứng minh rằng C^k_n+1 =C^k_n+C^k_n⁻¹.

1 2 C^k_n+3C^k_n⁺¹+3C^k_n⁺²+C^k_n⁺³ =C^k_n⁺₊³₃. kC^k_n =nC^k_n⁻₋¹₁.

3 ⁴ k²C^k_n =n(n−1)C^k_n⁻₋²₂+nC^k_n⁻₋¹₁.

BÀI 7. Cho khai triển (1+2x)ⁿ = a0+a1x+· · ·+anxⁿ, với các hệ số a0, a1,. . .,an thỏa mãn a0+ ^a1

2 +· · ·+ ^an

2ⁿ =4096. Hãy tìm số lớn nhất trong các sốa0,a1,. . .,an?ĐS:n=12,a8 =C⁸₁₂·2⁸

BÀI 4. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ