VÍ DỤ 1. ÔngX có11người bạn. Ông muốn mời5người trong số họ đi chơi xa. Trong11 người đó có có 2người không muốn gặp nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu phương án mời5
người bạn? ĐS:378
L Lời giải
Cách 1:Giả sử hai người không muốn gặp nhau là A, B.
Nếu chọn ra5người trong đó không có cả AvàBthì cóC59cách.
Nếu chọn ra5người trong đó có một trong hai ngườiA, Bthì cóC49·2cách.
Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là2C49+C59=378cách.
Cách 2:Chọn5người bất kì cóC511cách.
Chọn5người trong đó có cả AvàBcóC39cách.
Vậy cóC511−C39 =378cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
VÍ DỤ 2. Một nhóm có6học sinh nữ và7học sinh nam. Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ học tập có 5học sinh, trong đó có một tổ trưởng, một tổ phó, một thủ quỹ và hai tổ viên, biết rằng tổ trưởng phải là nam và thủ quỹ phải là nữ. ĐS:C17·C16·C111·C210 L Lời giải
Chọn1bạn nam làm tổ trưởng, cóC17cách.
Chọn1nữ làm thủ quỹ, cóC16cách.
Chọn1bạn trong11bạn còn lại làm tổ phó, cóC111cách.
Chọn1bạn trong10bạn còn lại làm tổ viên, cóC110 cách.
Theo quy tắc nhân cóC17·C16·C111·C110 cách thỏa mãn.
VÍ DỤ 3. Một lớp có20học sinh trong đó có14nam,6nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập1đội gồm4học sinh trong đó có:
Số nam và số nữ bằng nhau? ĐS:C214·C26
1
Ít nhất một nữ? ĐS:3844
2 L Lời giải
Chọn ngẫu nhiên2học sinh nam, cóC214 cách.
Chọn ngẫu nhiên2học sinh nữ, cóC26cách.
Khi đó, theo quy tắc nhân cóC214·C26cách thỏa mãn.
1
Chọn4học sinh bất kì cóC420cách.
Chọn4học sinh trong đó không có học sinh nữ cóC414 cách.
Vậy cóC420−C414 =3844cách lập đội thỏa yêu cầu bài toán.
2
VÍ DỤ 4. Một lớp có50học sinh được chia thành5tổ, mỗi tổ có 10học sinh. Có bao nhiêu cách chia tổ?
ĐS: C1050·C1040·C1030·C1020·C1010 L Lời giải
Chọn10học sinh xếp vào tổ1cóC1050cách.
Chọn10học sinh xếp vào tổ2cóC1040cách.
Chọn10học sinh xếp vào tổ3cóC1030cách.
Chọn10học sinh xếp vào tổ4cóC1020cách.
Chọn10học sinh xếp vào tổ5cóC1010cách.
Theo quy tắc nhân, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán làC1050·C1040·C1030·C1020·C1010. VÍ DỤ 5. Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem như đôi một khác nhau). Người ta muốn chọn ra1bó hoa hồng gồm7bông. Có bao nhiêu cách chọn:
1bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ. ĐS:112
1
1bó hoa trong đó có ít nhất3bông hồng vàng và ít nhất3bông hồng đỏ. ĐS:150 2
L Lời giải
Số cách chọn một bông hồng đỏ làC14.
Số cách chọn6bông hồng không phải màu đỏ làC68.
Theo quy tắc nhân, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu làC14·C68=112.
1
Bó hoa7bông thỏa mãn yêu cầu bài toán có thể có các trường hợp:
◦3bông vàng,3bông đỏ,1bông trắng: cóC35·C34·C13cách chọn.
◦3bông vàng,4bông đỏ: cóC35·C44cách chọn.
◦4bông vàng,3bông đỏ: cóC45·C34cách chọn.
Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán làC35·C34·C13+C35·C44+C45·C34 =150.
2
VÍ DỤ 6. Cho tậpX = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Từ tậpXcó thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm5chữ số đôi một khác nhau và trong mỗi số đó có đúng hai chữ số chẵn và ba chữ số
lẻ? ĐS: 2592
L Lời giải
Trong tậpXcó4số chẵn,4số lẻ.
Giả sử số có5chữ số, đôi một khác nhau làabcde(a 6=0). Chọn2chữ số chẵn cóC24cách.
Chọn2vị trí trong5vị trí để xếp số chẵn cóA25cách.
Chọn3chữ số lẻ và sắp vào3vị trí còn lại cóA34cách.
Suy ra cóC24·A25·A34=2880cách chọn số có đúng2chữ số chẵn và3chữ số lẻ.
Tương tự, ta chọn các số có dạng0bcdevới bcde thỏa mãn có đúng1chữ số chẵn,3 chữ số lẻ có C13·A14·A34=288số.
Vậy ta có2880−288=2592số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
BÀI TẬP ÁP DỤNGBÀI 1. Một đội văn nghệ gồm20người, trong đó có10nam,10nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra5người, sao cho:
Có đúng2nam trong5người đó? ĐS: 5400
1
Có ít nhất2nam, ít nhất1nữ trong5người đó? ĐS:12900 2
Lời giải.
Chọn2nam và3nữ cóC210·C310 =5400cách.
1
Các trường hợp chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán:
◦Chọn2nam và3nữ, cóC210·C310cách.
◦Chọn3nam và2nữ, cóC310·C210cách.
◦Chọn4nam và1nữ, cóC410·C110cách.
Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán làC210·C310+C310·C210+C410·C110 = 12900.
2
BÀI 2. Một tổ có8học sinh đi trồng cây. Khi trồng cây cần có2em học sinh. Có bao nhiêu cách
chia tổ thành những cặp như vậy? ĐS:2520
Lời giải.
Chọn2học sinh cho tổ1cóC28cách.
Chọn2học sinh cho tổ2cóC26cách.
Chọn2học sinh cho tổ3cóC24cách.
Chọn2học sinh cho tổ4cóC22cách.
Khi đó, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán làC28·C26·C24·C22 =2520.
BÀI 3. Một hộp đựng15viên bi khác nhau gồm4bi đỏ,5bi trắng và6bi vàng. Tính số cách chọn
4viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ3màu. ĐS:645
Lời giải.
Chọn4bi bất kì trong15b, cóC415 =1365cách.
Các trường hợp chọn4bi có đủ ba màu:
◦2bi đỏ,1bi trắng,1bi vàng: cóC24·C15·C16cách.
◦1bi đỏ,2bi trắng,1bi vàng: cóC14·C25·C16cách.
◦1bi đỏ,1bi trắng,2bi vàng: cóC14·C15·C26cách.
Vậy cóC24·C15·C16+C14·C25·C16+C14·C15·C26=720cách.
Khi đó, số cách chọn4bi không có đủ ba màu là1365−720=645cách.
BÀI 4. Một hộp đựng11viên bi được đánh số từ 1đến11. Có bao nhiêu cách chọn ra4viên bi
sao cho tổng các số trên4bi là số lẻ? ĐS:160
Lời giải.
Trong11bi đã cho, có6bi được đánh số lẻ,5bi được đánh số chẵn.
Lấy ra4bi, để tổng các số trên4bi là lẻ thì các cách có thể chọn:
◦1bi lẻ,3bi chẵn: cóC16C35cách.
◦3bi lẻ,1bi chẵn: cóC36C15cách.
Khi đó, số cách chọn thỏa mãn làC16·C35+C36·C15 =160.
BÀI 5. Cho10điểm trong không gian, trong đó không có3điểm nào thẳng hàng.
Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? ĐS:C210
1
Có bao nhiêu véctơ được tạo thành? ĐS:A210
2
Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? ĐS:C310
3
Nếu trong 10điểm trên không có 4điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện được
tạo thành? ĐS:C410
4
Lời giải.
2điểm xác định được một đường thẳng nên số đường thẳng được tạo thành làC210. 1
2điểm (có kể thứ tự điểm đầu, điểm cuối) xác định một véc-tơ nên số véc-tơ được tạo thành làA210.
2
3điểm không thẳng hàng xác định một tam giác nên số tam giác có thể tạo thành làC310. 3
Bốn điểm không đồng phẳng xác định một tứ diện nên số tứ diện tạo thành làC410. 4
BÀI 6. Trong một hộp có100 viên bi được đánh số từ1đến 100. Có bao nhiêu cách chọn ra ba viên bị sao cho:
Ba viên bi bất kì? ĐS:C3100
1
Tổng ba số trên ba bi chia hết cho2? ĐS:C350+C150·C250 2
Lời giải.
Chọn3viên bất kì trong100viên cóC3100 cách.
1
Trong100bi, có50bi đánh số chẵn,50bi đánh số lẻ.
Để chọn ra3bi có tổng các số trên đó chia hết cho2thì có thể chọn:
◦3bi đều đánh số chẵn: cóC350cách.
◦2bi đánh số lẻ và1bi đánh số chẵn: cóC150·C250 cách.
Khi đó, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán làC350+C150·C250. 2
BÀI 7. Cho hai đường thẳngak b. Trên đường thẳngacó5điểm phân biệt và trên đường thẳng b có10điểm phân biệt. Hỏi có thể tạo được bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên hai
đường thẳngavàbđã cho? ĐS:325
Lời giải.
3điểm không thẳng hàng xác định một tam giác nên ta có thể chọn:
◦1điểm thuộc đường thẳngavà2điểm thuộc đường thẳngb: cóC15·C210 cách.
◦2điểm thuộc đường thẳngavà1điểm thuộc đường thẳngb: cóC25·C110 cách.
Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán làC15·C210+C25·C110 =325.
3
BÀI TẬP RÈN LUYỆNBÀI 8. Một lớp học có 40học sinh, trong đó gồm 25nam và 15nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn một ban cán sự lớp gồm4em. Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu:
Gồm4học sinh tuỳ ý? ĐS: C440
1 2 Có1nam và3nữ? ĐS:C125·C315
Có2nam và2nữ? ĐS:C225·C215
3 4 Có ít nhất1nam? ĐS:C440−C415
Có ít nhất1nam và1nữ? ĐS:
C440−C425−C415 5
BÀI 9. Một lớp học có40học sinh gồm25nam và15nữ. Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn5học sinh lập thành một đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng. Hỏi có bao nhiêu cách:
Chọn ra5học sinh, trong đó có không quá3nữ? ĐS: C540−C125·C415−C515 1
Chọn ra5học sinh, trong đó có3nam và2nữ? ĐS:C215·C325 2
Chọn ra5học sinh, trong đó có ít nhất một nam? ĐS:C540−C515 3
Chọn ra5học sinh, trong đó anhAvà chịBkhông thể cùng tham gia cùng đoàn đại biểu?
ĐS:C338+C538 4
BÀI 10. Một đội cảnh sát giao thông gồm15 người trong đó có12 nam. Hỏi có bao nhiêu cách phân đội cảnh sát giao thông đó về3chốt giao thông sao cho mỗi chốt có4nam và1nữ? ĐS:
C412·C13·C48·C12·C44·C11
BÀI 11. Có9viên bi xanh,5viên bi đỏ,4bi vàng có kích thước đôi một khác nhau. Có bao nhiêu cách chọn ra6viên bi sao cho:
Có đúng2viên bi màu đỏ? ĐS:C25·C413
1
Số bi xanh bằng số bi đỏ? ĐS:C19·C15·C44+C29·C25·C24+C39·C35 2
BÀI 12. Trong ngân hàng đề kiểm tra 30 phút môn Vật Lí có 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và6bài tập. Người ta cấu tạo thành các đề thi. Biết rằng trong mỗi đề thi phải gồm3câu hỏi, trong đó nhất thiết phải có ít nhất1câu lý thuyết và1bài tập. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu đề
thi có dạng như trên? ĐS: C24·C16+C14·C26
BÀI 13. Trong một môn học, thầy giáo có30 câu hỏi khác nhau gồm 5câu hỏi khó, 10câu hỏi trung bình,15câu hỏi dễ. Từ30câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm5 câu hỏi khác nhau và nhất thiết phải có đủ3loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn2?
ĐS:C15·C110·C315+C15·C210·C215+C25·C110·C215
BÀI 14. Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có12học sinh, gồm5học sinh lớp A,4học sinh lớp B và3học sinh lớp C. Cần chọn4học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho4học sinh này thuộc không quá2trong3lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? ĐS:
C412−C15·C14·C23−C15·C24·C13−C25·C14·C13
BÀI 15. Hội đồng quản trị của một công ty TNHH A gồm12 người, trong đó có 5 nữ. Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu ra1chủ tịch hội đồng quản trị,1phó chủ tịch hội đồng quản trị và 2ủy viên. Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong4người được bầu nhất thiết phải có nữ? ĐS:
A212·C210−A27·C25
BÀI 16. Giải bóng truyền VTV Cup gồm9đội bóng tham dự, trong đó có6đội nước ngoài và 3 đội Việt Nam. Ban tổ chức bốc thăm chia làm3bảng đấu A, B,C. Hỏi có bao nhiêu cách chia sao cho:
Mỗi bảng ba đội? ĐS:C39·C36·C33
1
Mỗi bảng ba đội và3đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau? ĐS:
C13·C26·C12·C24·C11·C22 2
BÀI 17. Trong cuộc thi “Rung chuông vàng”, độiX có20 bạn lọt vào vòng chung kết, trong đó có5bạn nữ và 15bạn nam. Để sắp xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành4nhóm A, B, C, D, mỗi nhóm có5bạn. Việc chia nhóm được thực hiện bằng cách bốc thăm ngẫu nhiên. Hỏi có bao cách chia nhóm, sao cho:
Thành viên trong nhóm là bất kì? ĐS:C520·C515·C510·C55 1
Năm bạn nữ ở cùng một nhóm? ĐS:4·C515·C510·C55 2
BÀI 18. Trong một hộp có50tấm thẻ được đánh số từ1đến50. Có bao nhiêu cách lấy ra ba thẻ sao cho có đúng2thẻ mang số chia hết cho8? ĐS:C26·C144 BÀI 19. Có30tấm thẻ được đánh số từ1 đến30. Có bao nhiêu cách chọn ra10tấm thẻ sao cho có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ mang số chia
hết cho10? ĐS:C515·C13·C412
BÀI 20. Trong một hộp có20viên bi được đánh số từ1đến20. Có bao nhiêu cách lấy ra5viên bi sao cho có đúng3viên bi mang số lẻ,2viên bi mang số chẵn trong đó có đúng một viên bi mang
số chia hết cho4? ĐS:C310·C15·C15
BÀI 21. Trong một hộp có40tấm thẻ được đánh số từ 1 đến40. Có bao nhiêu cách chọn3tấm thẻ trong hộp đó thỏa:
Ba tấm thẻ bất kì? ĐS:C340
1
Tổng ba số ghi trên ba thẻ chia hết cho3? ĐS:C313+C314+C313+C113·C114·C113 2
BÀI 22. Cho hai đường thẳng song songd1,d2. Trênd1lấy17điểm phân biệt, trênd2lấy20điểm phân biệt. Tính số tam giác có các đỉnh là3điểm trong số37điểm đã chọn trênd1vàd2? ĐS:
C217·C120+C117·C220
BÀI 23. Cho hai đường thẳng song songd1vàd2. Trên đường thẳngd1có10điểm phân biệt, trên đường thẳngd2 cón điểm phân biệt (n ≥ 2). Biết rằng có 2800tam giác có đỉnh là các điểm đã
cho. Tìmn. ĐS:n=20
BÀI 24. Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho10đường thẳng song song lần lượt cắt8đường thẳng song song khác. Hỏi có bao nhiêu hình bình hành được tạo thành từ các đường thẳng trên? ĐS:
C210·C28
BÀI 25. Cho2đường thẳngd1 k d2. Trên đường thẳngd1có10điểm phân biệt, trên đường thẳng d2cónđiểm phân biệt (n∈ N,n ≥2). Biết rằng có1725tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Hãy
tìmn. ĐS:n=15
BÀI 26. Trong không gian cho hai đường thẳngavàbsong song với nhau. Trên mỗi đường thẳng lấy 5 điểm cách đều nhau một khoảng bằng x. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu hình bình
hành tạo thành từ10điểm trên? ĐS:30
BÀI 27. Cho tậpX ={0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có7chữ số có nghĩa, biết rằng chữ số2có mặt đúng2lần, chữ số3có mặt đúng3lần, các chữ số còn lại có mặt không quá
một lần? ĐS: C27·C35·A28−7·C26·C34