BÀI 9. Gọi Elà tập hợp số tự nhiên gồm3chữ số phân biệt được lập từ các số1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên hai số khác nhau thuộc tậpE. Tính xác suất để hai số được chọn có đúng một số có
chữ số5. ĐS:0,488
Lời giải.
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có 3 chữ số lập từ {1, 2, 3, 4, 5}”, gọiAlà biến cố “hai số được chọn có đúng một số có chữ số5”. Gọi số có ba chữ số thuộcEcó dạnga1a2a3. Ta có:
Số phần tử củaElàA35=60.
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =C260 =1770.
Chọn một trong ba vị trí để đưa số5vào có3cách chọn. Đưa4số còn lại vào2vị trí cóA24 cách. Do đó, có tất cả3·A24 =36số thuộcEmà có mặt chữ số5
Để một số có ba chữ số từElà số khôngcó mặt5, ta có: a1,a2,a3 là các số thuộc{1, 2, 3, 4}. Do đó, có tất cảA34 =24số.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlàC136·C124 =864.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 864
1770 = 144
295 ≈0,488.
BÀI 10. Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 7. TậpEcó bao nhiêu phần tử? Chọn ngẫu nhiên một phần tử củaE, tính xác suất được
chọn chia hết cho3. ĐS: 2
Lời giải. 5
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có3chữ số khác nhau lập từ{1, 2, 3, 4, 7}”, gọi Alà biến cố “số được chọn chia hết cho3”. Gọi số có ba chữ số thuộcE có dạnga1a2a3. Ta có:
Số phần tử củaElàA35=60.
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =C160 =60.
Gọix,y,zlà ba số trong số được chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó
®x,y,z ∈ {1, 2, 3, 4, 7} x+y+zchia hết cho3.
Ta có:
Có4bộ số:{1, 2, 3},{1, 4, 7}, {2, 3, 4},{2, 3, 7}lập thành số có3chữ số chia hết cho3.
Đưa mỗi bộ số vào ba chỗ a1a2a3 có 3! cách. Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố A là 4·3! =24.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 24
60 = 2
5.
Số phần tử của không gian mẫu làC1030 =30045015.
Trong30tấm thẻ đã cho có15tấm thẻ lẻ,12tấm thẻ chẵn không chia hết cho10, 3tấm thẻ chẵn chia hết cho10.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlàC515·C412·C13=4459455.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 4459455
300450015 = 99
667 ≈0,148.
BÀI 12. Có40tấm thẻ đánh số thứ tự từ1đến40. Chọn ngẫu nhiên ra10tấm thẻ. Tính xác suất để lấy được5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng một thẻ mang số chia
hết cho6. ĐS:0,11
Lời giải.
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ra ngẫu nhiên10tấm thẻ từ40tấm đã cho”, gọi A là biến cố “có5tấm thẻ mang số lẻ,5tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng1tấm thẻ mang số chia hết cho6”. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫu làC1040.
Trong40tấm thẻ đã cho có 20tấm thẻ lẻ,14tấm thẻ chẵn không chia hết cho6, 6tấm thẻ chẵn chia hết cho6.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlàC520·C414·C16. Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = C
5
20·C414·C16
C1040 = 126
1147 ≈0,11.
BÀI 13. Có20tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ1đến20. Chọn ngẫu nhiên ra5tấm thẻ. Tính xác suất để trong5tấm thẻ được chọn ra có3tấm thẻ mang số lẻ,2tấm thẻ mang số chẵn trong đó
có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho4. ĐS:0,193
Lời giải.
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ra ngẫu nhiên5tấm thẻ từ20tấm đã cho”, gọi A là biến cố “có3tấm thẻ mang số lẻ,2tấm thẻ mang số chẵn trong đó có đúng một tấm thẻ mang số chia hết cho4”. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫu làC520 =15504.
Trong 20tấm thẻ đã cho có10 tấm thẻ lẻ, 5 tấm thẻ chẵn không chia hết cho 4, 5 tấm thẻ chẵn chia hết cho4.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlàC310·C15·C15 =3000.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 3000
15504 = 125
646 ≈0,193.
BÀI 14. GọiElà tập hợp các số có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập E. Tính xác suất để chọn được một số thuộcEvà số đó chia hết cho9. ĐS: 1 Lời giải. 9
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử: “Chọn ngẫu nhiên một số từ tậpE”. GọiAlà biến cố “số chọn được chia hết cho9”. Ta có
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =9·9·8·7· · ·3= 9·9!
2 .
Do0+1+· · ·+9= 45chia hết cho9. Do đó, để có được số có8chữ số đôi một khác nhau chia hết cho9thì:
Trong10số từ0đến9chỉ cần bỏ đi2số có tổng bằng9, cụ thể ta bỏ các cặp số:{0, 9},{1, 8},{2, 7},{3, 6},{4, 5}. Có4bộ số có mặt chữ số0, mỗi bộ có7·7!số.
Bộ không có số0là(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)có8!số.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlànA =4·7·7!+8! =181440.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 181440 9·9!
2
= 1
9.
BÀI 15. Cho tập hợpX = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8}. Ký hiệuG là tập hợp tất cả các số có bốn chữ số đôi một khác nhau lấy từ tậpX, chia hết cho5. Lấy ngẫu nhiên một số trong tậpG, tính xác suất để
lấy được một số không lớn hơn4000. ĐS: 6
Lời giải. 11
GọiΩ là không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên một số trong tập G”. Gọi A là biến cố
“lấy được một số không lớn hơn4000”. Gọi abcdlà số có 4chữ số khác nhau đôi một lấy từ các chữ số trên và chia hết cho5. Ta có:
Nếud =0thìabc cóA36 =120cách chọn.
Nếud =5thìacó5cách chọn,bcó5cách chọn vàccó4cách chọn⇒có100số.
Do đó, tậpGcó tất cả220số.
Giả sửabcd∈ Gvàabcd≤4000. Khi đó:
a ∈ {1, 2, 3}nên có3cách chọn.
dcó2cách chọn.
bccóA25 =20cách chọn.
Vậy nên có tất cả120số lấy từGmà nhỏ hơn4000.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 120 220 = 6
11.
BÀI 16. GọiElà tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ các số mới lập đó. Tính xác suất để số được chọn có
chữ số hàng nghìn nhỏ hơn5. ĐS: 4
Lời giải. 7
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một số từ các số thuộcE”. Gọi Alà biến cố “số được chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ hơn5”. Gọi số thỏa mãn bài toán có dạngabcd. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫunΩ =A47 =840.
Sốa ∈ {1, 2, 3, 4} nên có4cách chọn. Đưa6số còn lại vào3vị trí cóA36cách. Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cốAlà4·A36 =480.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 480 840 = 4
7.
BÀI 17. GọiElà tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợpE. Tính xác suất để số được chọn là số lớn
hơn số2016. ĐS: 6
Lời giải. 7
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợpE”. GọiAlà biến cố
“số được chọn là số lớn hơn số2016”. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =A47.
Số nhỏ hơn2016thì số đầu tiên bắt đầu là số1, số cách đưa các số còn lại vào ba chỗ trống làA36. Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =A36.
Xác suất cần tìm làP(A) =1−P(A) =1− nA
nΩ =1−A
36
A47 = 6
7.
BÀI 18. Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6 lập các số có 4chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 1số trong các số được lập, tính xác suất để số được lấy có2chữ số chẵn,2chữ số lẻ. ĐS: 3 Lời giải. 5
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên một số có 4 chữ số khác nhau lấy từ {1, 2, 3, 4, 5, 6}”. Gọi A là biến cố “số được lấy có2chữ số chẵn, 2chữ số lẻ”. Gọi số có4 chữ số thỏa mãn bài toán làa1a2a3a4. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =A46 =360.
Chọn ra hai số chẵn từ bộ{2, 4, 6}có C23 = 3cách. Chọn 2trong4 chỗ để đưa hai số chẵn vào cóC24 = 6cách. Đưa hai số chẵn vào hai chỗ có2!cách. Đưa ba số lẻ từ bộ {1, 3, 5} vào 2vị trí còn lại cóA23 =6cách.
Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố Alà3·6·2·6=216.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 216 360 = 3
5.
BÀI 19. GọiXlà tập các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt từ các chữ số:1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên một số từX. Tính xác suất để lấy được số có mặt chữ số6. ĐS: 2 Lời giải. 3
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên một số từ X”. Gọi Alà biến cố “số được chọn có mặt chữ số6”.
Ta có số phần tử củaXlàA46 =360.
Số kết quả thuận lợi của biến cố A=A45=120.
Xác suất cần tìm là
P(A) =1−P(A) = 1− nA
nΩ =1−120 360 = 2
3.
BÀI 20. Cho tậpXgồm các số có4chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số0, 1, 2, 3, 4, 5.
Lấy ngẫu nhiên2số từX. Tìm xác suất để2số được lấy có ít nhất1số chẵn. ĐS:0,77 Lời giải.
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên hai số từX”. Gọi Alà biến cố “có ít nhất 1số chẵn trong hai số được chọn”.
Ta có, số phần tử củaXlànX =5·5·5·4·3=300.
Giả sửb1b2b3b4là số lẻ thuộc tậpX. Khi đó,b4có3cách chọn,b1có4cách chọn,b2có4cách chọn, b3có3cách chọn. Suy ra, số phần tử của biến cố AlànA =3·4·4·3=144.
Suy ra, xác suất để chọn được hai số lẻ là P(A) = nA
nΩ = C
2144
C2300 = 132 575.
Xác suất cần tìm làP(A) =1−P(A) = 443
575 ≈0,77.
BÀI 21. GọiElà tập hợp các số tự nhiên gồm9chữ số khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từE.
Tính xác suất để số được chọn có đúng4chữ số lẻ và chữ số0đứng giữa2chữ số lẻ (các chữ liền
trước và liền sau của chữ số0là các chữ số lẻ). ĐS: 5
Lời giải. 54
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một số từ E”, gọiAlà biến cố “số được chọn có đúng4chữ số lẻ và chữ số0đứng giữa2chữ số lẻ”. Xét các số có9chữ số khác nhau, ta có:
Có9cách chọn chữ số ở vị trí đầu tiên.
CóA89cách để đưa9chữ số còn lại vào8vị trí còn lại.
Do đó, số phần tử của không gian mẫu lànΩ =9·A89=3265920.
Xét các số thỏa mãn bài toán:
Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số0, do chữ số 0không thể đứng đầu và đứng cuối nên có7 cách sắp xếp.
Ta cóA25cách chọn2số lẻ và đưa vào hai vị trí bên cạnh chữ số0.
Chọn hai trong6vị trí còn lại cóC26cách. Chọn hai trong3số lẻ còn lại đưa vào hai vị trí vừa chọn cóA23cách. Vậy có tất cảC26·A23 =90cách để chọn ra hai số lẻ và xếp vào hai trong6 vị trí còn lại.
Cuối cùng, đưa4chữ số chẵn còn lại vào4vị trí có4!cách.
Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =7·A25·90·4!=302400.
Vậy xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 302400 3265920 = 5
54.
BÀI 22. Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có5chữ số, trong đó chữ số3có mặt đúng3lần, các chữ số còn lại có mặt không quá1lần. Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên một số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho3. ĐS: 1 Lời giải. 2
GọiΩ là không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một số có 5 chữ số theo yêu cầu bài toán”. GọiAlà biến cố “số được chọn chia hết cho3”. Ta có:
Chọn ra ba vị trí để đưa ba chữ số3vào cóC35cách.
Chọn2trong4số để đưa vào2vị trí còn lại cóA24cách.
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =C35·A24=120.
Để số được chọn chia hết cho3thì tổng các chữ số phải chia hết cho3. Do số được chọn luôn có3 chữ số3nên hai số còn lại phải chia hết cho3. Ta có:
Chọn ra ba vị trí để đưa ba chữ số3vào cóC35cách.
Hai số còn lại thuộc các bộ số:(1, 2),(1, 5),(2, 4). Số kết quả thuận lợi của biến cốAlàC35·3·2! =60.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 60 120 = 1
2.
BÀI 23. Từ các chữ số1, 2, 3, 4, 5, 6có thể lập được bao nhiêu số có7chữ số trong đó chữ số4có mặt đúng 2lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần. Trong các số tự nhiên trên, chọn ngẫu nhiên1số, tìm xác suất để số được chọnkhôngbắt đầu bởi số12. ĐS: 41 Lời giải. 42
Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên 1 số từ các số có 7 chữ số lập từ 1, 2, 3, 4, 5, 6thỏa mãn đề bài”. Gọi Alà biến cố “số được chọn không bắt đầu bởi số12”. Gọi số có 7chữ số thuộc không gian mẫu có dạnga1a2a3a4a5a6a7, ta có:
Chọn2vị trí để đưa số4vào cóC27cách.
Đưa5chữ số còn lại vào5vị trí còn lại có5!cách.
Do đó, số phần tử của không gian mẫu lànΩ =C27·5!=2520.
Xét trường hợp số có7chữ số như trên bắt đầu bằng số12thì:
Đưa số12vào2vị tría1a2có1cách chọn.
Chọn2vị trí trong5vị trí còn lại để đưa hai số4vào cóC25cách.
Đưa3số còn lại vào3vị trí còn lại có3!cách.
Do đó, số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =nΩ−nA=2520−C25·3!=2460.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 2460 2520 = 41
42.
BÀI 24. Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập E. Tìm xác suất để phần tử đó là một số
không chia hết cho5. ĐS: 11
Lời giải. 36
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn một số tự nhiên có5chữ số lập từ{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}”, gọiAlà biến cố “số được chọn chia hết cho5”. Gọi số cần tìm có dạnga1a2a3a4a5. Ta có:
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =A57−A46 =2160.
Để số trên chia hết cho5, ta có:
– a5là5,a1có5cách chọn,a2có5cách chọn,a3có4cách chọn,a4có3cách chọn.
– a5là0,a1có6cách chọn,a2có5cách chọn,a3có4cách chọn,a4có3cách chọn.
Số kết quả thuận lợi của biến cốAlà6·5·4·3+5·5·4·3=660.
Xác suất cần tìm làP(A) = 660
2160 = 11
36.
BÀI 25. Có12số tự nhiên khác nhau trong đó có5số chẵn và7số lẻ, chọn ngẫu nhiên3số. Tính
xác suất để tổng3số được chọn là số chẵn. ĐS: 23
Lời giải. 44
Không gian mẫuΩcó tổng số phần tử lànΩ =C312 =220.GọiAlà biến cố “tổng ba số được chọn là số chẵn”. Ta xét các trường hợp sau:
Chọn được ba số chẵn, có:C35=10(cách).
Chọn được một số chẵn và hai số lẻ, có:C15·C27 =105(cách).
Số kết quả thuận lợi của biến cố Alà10+105=115.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 115 220 = 23
44.
BÀI 26. Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác suất sao cho:
1 Tổng số chấm trong 2 lần gieo bằng 6. ĐS: 1
6
2 Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm. ĐS: 1
3
3 Tổng số chấm bằng 7. ĐS: 1
6
4 Tổng số chấm nhỏ hơn 6. ĐS: 1
3
5 Tổng số chấm chia hết cho 5. ĐS: 1
9
6 Lần đầu là số nguyên tố, lần sau là số chẵn. ĐS: 1
6
7 Có đúng 1 mặt 6 chấm xuất hiện. ĐS: 5
18 Lời giải.
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “gieo một con xúc sắc cân đối đồng chất hai lần”. Ta có nΩ =6·6=36.
1 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo bằng6”. Ta có:
Các bộ số có tổng số chấm bằng6là:{1, 5},{2, 4},{3, 3}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =3·2!=6.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 6
36 = 1 6.
2 GọiAlà biến cố “ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt 1 chấm”. Ta có:
Các bộ số có sự xuất hiện của mặt1chấm là:{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5},{1, 6}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =6·2!=12.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 12
36 = 1 3.
3 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo bằng7”. Ta có:
Các bộ số có tổng số chấm bằng7là:{1, 6},{2, 5},{3, 4}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =3·2!=6.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 6
36 = 1 6.
4 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo nhỏ hơn6”. Ta có:
Các bộ số có tổng số chấm nhỏ hơn6là:{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 2},{2, 3}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =6·2!=12.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 12
36 = 1 3.
5 GọiAlà biến cố “tổng số chấm trong2lần gieo chia hết cho5”. Ta có:
Các bộ số có tổng số chấm chia hết cho5là:{1, 4},{2, 3}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =2·2!=4.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 4
36 = 1 9.
6 GọiAlà biến cố “lần gieo đầu là số nguyên tố, lần2là số chẵn”. Ta có:
Các số nguyên tố nhỏ hơn6có ba số là{2, 3, 5}. Từ1đến6có tất cả3số chẵn.
Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =3·3=6.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 6
36 = 1 6.
7 GọiAlà biến cố “có đúng một mặt6chấm xuất hiện”. Ta có:
Các bộ số có sự xuất hiện của đúng một số6là:{6, 1},{6, 2},{6, 3},{6, 4},{6, 5}. Số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =5·2=10.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA nΩ = 10
36 = 5 18.
BÀI 27. GọiElà tập hợp các số tự nhiên gồm5chữ số khác nhau mà mỗi chữ số đều lớn hơn4.
Hãy xác định số phần tử của tậpE. Chọn ngẫu nhiên một phần tử của tập E, tính xác suất để số
được chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau. ĐS: 3
Lời giải. 10
Lập một số tự nhiên gồm5chữ số khác nhau từ bộ5số{5, 6, 7, 8, 9}. Số phần tử củaElà5! =120.
GọiΩlà không gian mẫu của phép thử “chọn ngẫu nhiên một phần tử thuộcE”, gọi Alà biến cố
“số được chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau”. Xét các số thỏa mãn đề bài có dạng abcde. Ta xét các trường hợp:
abclà3chữ số lẻ. Chọnabccó3! =6cách. Chọndecó2! =2. Do đó, số kết quả trong trường hợp này là6·2=12.
Các trường hợpbcdvàcdelà các số lẻ đều có kết quả tương tự trường hợp trên.
Vậy số kết quả thuận lợi của biến cố AlànA =12·3 =36.
Số phần tử của không gian mẫu lànΩ =C1120 =120.
Xác suất cần tìm làP(A) = nA
nΩ = 36 120 = 3
10.
BÀI 28. Cho tập hợpE = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Gọi Mlà tập hợp các số tự nhiên có nhiều nhất ba chữ số, các chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tậpE. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập hợp M. Tính xác suất lấy được một số thuộc tậpM, sao cho tổng các chữ số của số đó bằng10.ĐS: 1 Lời giải. 6
GọiΩ là không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập M”, gọi A là biến cố
“tổng các chữ số của số được chọn là10”. Ta có: