Giải Toán 11 Ôn tập chương 5

(1)

Ôn tập chương 5

Bài tập 1 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)

3 2

x x

y x 5

3 2

    ;

b) 2 4₂ 5₃ 6₄ y x x  x 7x ;

c)

3x2 6x 7

y 4x

 

 ;

d) ^y^^_x²^^3x^



^x ^¹



; e) y ¹ ^x

1 x

 

 ; f)

2 2

x 7x 5

y x 3x

  

  .

Lời giải:

a)

3 2

x x

y x 5

3 2

   

3 2

x x

y (x) (5)

3 2

 

   

       

3x2 2x 3 2 1

   = x² – x + 1.

b) 2 4₂ 5₃ 6₄ y x x  x 7x

2 3 4

2 4 5 6

y x x x 7x

   

       

            

(2)

 

²

 

³

 

⁴

2 4 6 8

4 x 5 x 6 x

2

x x x 7x

  

   

    

2 3

2 4 6 8

2 4.2x 5.3x 6.4x

x x x 7x

    

2 3 4 5

2 8 15 24

x x x 7x

     .

c)

3x2 6x 7

y 4x

 





²

 

²



2

3x 6x 7 .4x 3x 6x 7 .(4x)

y (4x)

 

    

 



²



2

(6x 6).4x 4 3x 6x 7 16x

   



2 2

2

24x 24x 12x 24x 28 16x

   



2 2

12x 28 3x 7

16x 4x

 

 

Cách khác:

3 3 7

y x

4 2 4x

  

3 3 7

y x

4 2 4x

  

     

           ²

3 7

4 0 4x

   3x² ₂ 7 4x

  .

d) ^y^^^__x²^^3x^^_



^x ^¹



(3)

   

2 2

y 3x x 1 3x x 1

x x

 

   

        

 

2

2 2 1

3 x 1 3x

x x 2 x

   

       

2

2 2 1 3

3 x 3 x

x 2

x x x x

      

2

1 2 9 x

x 2 3 x x

     .

e) y ¹ ^x

1 x

 



      

 

²

1 x 1 x 1 x 1 x

y

1 x

 

    

  

   

 

²

1 1

1 x 1 x

2 x 2 x

1 x

  

 



¹



²

x 1 x

  .

f)

2 2

x 7x 5

y x 3x

  

 

      

 

2 2 2 2

2 2

x 7x 5 x 3x x 7x 5 x 3x

y

x 3x

 

        

  

(4)

   

 

2 2

( 2x 7) x 3x (2x 3) x 7x 5 x 3x

       

 

 

3 2 3 2

2 2

2x 13x 21x 2x 17x 11x 15

x 3x

      

 

 

2 2 2

4x 10x 15 x 3x

  

  .

Bài tập 2 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) cos x

y 2 x sin x

  x ;

b) 3cos x y 2x 1

 ; c)

t2 2cos t y sin t

  ;

d) 2cos sin y 3sin cos

  

   ;

e) tan x ysin x 2

 ; f) y ^{cot x}

2 x 1

  .

Lời giải:

a) cos x

y 2 x sin x

  x

cos x y 2 x sin x

x

 

   

 

(5)

 

^{cos x}

2 x sin x

x

  

   

 

^{(cos x) .x}² ^{x cos x}

2 x sin x x.(sin x)

x

 

   

   

 

2

1 x sin x cos x

2 sin x 2 x cos x 2 x x

 

  

2

x sin x x sin x cos x 2 x cos x

x x

   

2 2

x x sin x 2x x cos x x sin x cos x x

  



  

²



2

x x 1 sin x 2x x 1 cos x x

  

 .

b) 3cos x y 2x 1



2

3(cos x) (2x 1) 3cos x(2x 1)

y (2x 1)

    

  

2

3sin x(2x 1) 2.3cos x (2x 1)

  

 

2

6x sin x 3sin x 6cos x (2x 1)

  

  .

c)

t2 2cos t y sin t

 



²

   

²



2

t 2cos t sin t sin t t 2cos t sin t

y

 

  



(6)



²



2

(2t 2sin t)sin t cos t t 2cos t sin t

  



2 2 2

2

2t sin t 2sin t t cos t 2cos t sin t

  



 

2 2 2

2

2t sin t t cos t 2 sin t cos t sin t

  



2 2

2t sin t t cos t 2 sin t

 

 .

d) 2cos sin y 3sin cos

  

   

      

 

²

2cos sin 3sin cos 2cos sin 3sin cos

y

3sin cos

 

            

    

     

 

²

2sin cos 3sin cos 3cos sin 2cos sin

3sin cos

             

   

 

2 2 2 2

2

6sin 5sin cos cos 6cos 5sin cos sin

3sin cos

             

   

 

2 2

2

7sin 7cos

3sin cos

   

   

 

2 2

2

7 sin cos 3sin cos

   

   



^3sin ^⁷^cos



²

    .

e) tan x ysin x 2



(7)

2

(tan x) (sin x 2) tan x(sin x 2)

y (sin x 2)

    

  

2

1 (sin x 2) tan x cos x cos x

(sin x 2)

  



2

sin x 2 sin x

cos x cos x cos x

(sin x 2)

  

 

2

2 2

sin x 2 sin x cos x cos x(sin x 2)

  





²



2 2

sin x 1 cos x 2 cos x(sin x 2)

 

 

2

2 2

sin x.sin x 2 cos x(sin x 2)

 



3

2 2

sin x 2 cos x(sin x 2)

 

 . f) y ^{cot x}

2 x 1

 

   

 

²

(cot x) . 2 x 1 cot x. 2 x 1 y

2 x 1

    

  

 

2

1 1

2 x 1 cot x

sin x x

2 x 1

   

  .

Bài tập 3 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số ^{f x}

 

^ ^{1 x}^ ^{. Tính}

f(3) + (x – 3)f′(3).

Lời giải:

Ta có:

(8)

f (3) 1 3 2

(1 x) 1

f (x)

2 1 x 2 1 x

 

  

 

1 1

f (3)

2 1 3 4

   



Vậy x 3 5 x

f (3) (x 3)f (3) 2

4 4

 

      .

Bài tập 4 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai hàm số f(x) = tanx và g(x) 1

1 x

 . Tính f (0) g (0)



 . Lời giải:

Ta có:

2

f (x) 1

cos x

 

2

f (0) 1 1

cos 0

   

2 2

(1 x) 1

g (x)

(1 x) (1 x)

 

   

 

2

g (0) 1 1

(1 0)

   

 f (0)

g (0) 1

  

 .

Bài tập 5 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết rằng

3

60 64

f (x) 3x 5

x x

    .

(9)

Lời giải:

Ta có:

3

60 64

f (x) (3x) (5)

x x

 

   

       

   

 

³

2 6

60.1 64 x

3 x x

 

  

2

2 6

60 64.3x

3 x x

  

2 4

60 192

3 x x

  

4 2

4

3x 60x 192

x

 



Vậy f (x)  0 3x⁴ 60x² 1920(x0)

2 2

x 16

x 4

 

  

x 4

x 2

  

    (thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {± 2; ± 4}.

Bài tập 6 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho ₁ cos x f (x)

 x , f2(x) = xsinx.

Tính ¹

2

f (1) f (1)



 . Lời giải:

Ta có:

(10)

1 2

(cos x) .x x cos x f (x)

x

  

  x sin x₂ cos x

x

 



1

1.sin1 cos1 f (1)

1

 

   = –sin1 – cos1

f (x)2 x sin x x(sin x) = sinx + xcosx f (1)2 sin1 cos1

  

1 2

f (1) sin1 cos1 sin1 cos1 f (1)

  

 





(sin1 cos1) sin1 cos1 1

 

  

 .

Bài tập 7 trang 176 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết phương trình tiếp tuyến:

a) Của hypebol x 1

y x 1

 

 tại điểm A(2; 3).

b) Của đường cong y = x³ + 4x² – 1 tại điểm có hoành độ x0 = –1.

c) Của parabol y = x² – 4x + 4 tại điểm có tung độ y0 = 1.

Lời giải:

a) Ta có:

2

y f (x) 2

(x 1)

   



2

f (2) 2 2

(2 1)

 

   



Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = –2(x – 2) + 3 = –2x + 7.

b) Ta có:

y′ = f′(x) = 3x² + 8x

(11)

 f′(–1) = 3 – 8 = –5

Mặt khác: x0 = –1  y0 = –1 + 4 – 1 = 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – 2 = – 5.(x + 1)  y = –5x – 3.

c) Ta có:

y0 = 1  1 x²₀ 4x₀ 4

2

0 0

x 4x 3 0

   

0 0

x 1

x 3

 

  

f′(x) = 2x – 4  f′(1) = –2 và f′(3) = 2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là:

y – 1 = –2(x – 1)  y = –2x + 3 y – 1 = 2(x – 3)  y = 2x – 5.

Bài tập 8 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S = t³ – 3t² – 9t, trong đó t được tính bằng giây và S được tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của chuyển động khi t = 2 s.

b) Tính gia tốc của chuyển động khi t = 3 s.

c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu.

Lời giải:

a) Vận tốc của chuyển động khi t = 2 s là:

(12)

Ta có: v = S′ = 3t² – 6t – 9

Khi t = 2  v(2) = 3.2² – 6.2 – 9 = –9 m/s b) Gia tốc của chuyển động khi t = 3 s.

Ta có: a = v′ = 6t − 6

Khi t = 3 ⇒ a(3) = 6.3 – 6 = 12m/s² c) Ta có: v = 3t² – 6t – 9

Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu:

v = 0  3t² – 6t – 9 = 0 ^t ^1(L) t 3

  

  

Khi t = 3  a(3) = 6.3 – 6 = 12(m/s²) d) Gia tốc: a = 6t – 6

Khi a = 0  6t – 6 = 0  t = 1(s)

Khi t = 1(s)  v(1) = 3.1² – 6.1 – 9 = −12m/s.

Bài tập 9 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai hàm số y ¹

 x 2 và

x2

y 2 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Lời giải:

1 2

1 1

C : y f (x) f (x)

x 2 x 2

     

2 2

x 2x

C : y g(x) g (x) x 2

2  2

    

Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là:

(13)

1 x2

x 2  2 x₃ 0

x 1

 

   

1 2

y 2 2

  

Vậy giao điểm của (C1) và (C2) là 2 A 1, 2

 

 

 

Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A là:

y 2 f (1)(x 1)

2 

  

2 1

y (x 1)

2 2

    

y x 2

2

   

Tiếp tuyến này có hệ số góc k₁ ¹ 2

 

Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm A là:

y 2 g (1)(x 1)

2 

  

y 2 2(x 1)

  2  

y x 2 2

   2

Tiếp tuyến này có hệ số góc k₂  2

(14)

Ta có: ^{k .k}¹ ² ¹ ^.

 

² ¹

2

 

    

 Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau

 Góc giữa hai tiếp tuyến bằng 90^o.

Bài tập trắc nghiệm

Bài tập 10 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Với

x2 2x 5

g(x) x 1

 

  ; g′(2) bằng:

(A) 1 (B) –3 (C) –5 (D) 0.

Lời giải:



²

 

²



2

x 2x 5 (x 1) x 2x 5 (x 1)

g (x)

(x 1)

 

      

 





²



2

(2x 2)(x 1) x 2x 5

(x 1)

    

 

2 2

2

2x 4x 2 x 2x 5

(x 1)

    

 

2

x 2x 3

(x 1)

 

 

2

2 2.2 3

g (2) 3

(2 1)

 

    

 Chọn đáp án B.

(15)

Bài tập 11 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Nếu f(x) = sin³x + x² thì f 2



 

  bằng:

(A) 0 (B) 1 (C) –2 (D) 5.

Lời giải:

Ta có:

f′(x) = (sin³x)′ + (x²)′

= 3sin²x(sinx)′ + 2x

= 3 sin²xcosx + 2x

 f′′(x) = 3[2sinx.cosx.cosx + sin²x.(–sinx)] + 2

= 3(2sinx.cos²x – sin³x) + 2

2 3

f 3 2sin cos sin 2

2 2 2 2

     

       

         

= 3.1 + 2 = 5 Chọn đáp án D.

Bài tập 12 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giả sử h(x) = 5(x + 1)³ + 4(x + 1).

Tập nghiệm của phương trình h′′(x) = 0 là:

(A) [–1; 2] (B)



^^;0



^{(C) {–1}} ^(D)^^.

Lời giải:

Ta có:

h′(x) = 15(x + 1)² + 4

 h′′(x) = 30(x + 1)

(16)

Vậy h′′(x) = 0  x + 1 = 0  x = –1 Chọn đáp án C.

Bài tập 13 trang 177 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho

3 2

x x

f (x) x

3 2

   . Tập nghiệm của bất phương trình f (x) 0 là:

(A)  (B)



^0;^



(C) [–2; 2] (D)



^{ }^;



^.

Lời giải:

Ta có:

3 2

x x

f (x) x

3 2

 

   

      

    = x² + x + 1 f (x) x2   x 1 0

1 2 3

x 0

2 4

 

    

  (*)

Bất phương trình (*) vô nghiệm vì vế trái dương  x . Chọn đáp án A.