Toán 9 Ôn tập chương 2 - Hình học

Ôn tập chương II

Câu hỏi

Câu hỏi 1 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác ? Nêu cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Lời giải:

- Đường tròn ngoại tiếp tam giác là đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác.

- Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của các cạnh tam giác.

Câu hỏi 2 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác ? Nêu cách xác định tâm của đường tròn nội tiếp tam giác.

Lời giải:

- Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác.

- Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các tia phân giác của các góc trong của tam giác.

Câu hỏi 3 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Chỉ rõ tâm đối xứng của đường tròn, trục đối xứng của đường tròn.

Lời giải:

- Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

- Mọi đường kính của đường tròn đều là trục đối xứng của đường tròn.

Câu hỏi 4 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Chứng minh định lí: Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Lời giải:

Giả sử ta có đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và một dây CD bất kì Ta cần chứng minh CD2R

Nếu CD là đường kính thì CD = AB = 2R (1) Nếu CD không là đường kính, ta có:

Xét tam giác COD

Theo bất đẳng thức tam giác ta có: CD < OC + OD Mà OC = OD = R

 CD < R + R CD < 2R (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra CD2R (đcpcm)

Câu hỏi 5 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Phát biểu các định lí về quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

Lời giải:

Định lí: Nếu một đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. Ngược lại, một đường kính đi qua trung điểm của một dây (không đi qua tâm) thì vuông góc với dây ấy.

Câu hỏi 6 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Phát biểu các định lí về liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây.

Lời giải:

Trong một đường tròn:

- Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm và ngược lại, hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

- Dây lớn hơn thì gần tâm hơn và ngược lại, dây gần tâm hơn thì lớn hơn.

Câu hỏi 7 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Nêu các vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa d (khoảng cách từ tâm đến đường thẳng) và R (bán kính của đường tròn).

Lời giải:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung

Hệ thức giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau 2 d < R Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau 1 d = R Đường thẳng và đường tròn không giao

nhau

0 d > R

Câu hỏi 8 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn. Phát biểu tính chất của tiếp tuyến và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến. Phát biểu các tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Lời giải:

- Định nghĩa: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm ấy thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

- Tính chất và dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến:

+ Tiếp tuyến với đường tròn là đường thẳng chỉ có một điểm chung với đường tròn.

+ Tiếp tuyến với đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

- Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

+ Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

Tia kẻ từ tâm qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Câu hỏi 9 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Nêu các vị trí tương đối của hai đường tròn. Ứng với mỗi vị trí đó, viết hệ thức giữa đoạn nối tâm d với các bán kính R, r.

Lời giải:

Câu hỏi 10 trang 126 Toán lớp 9 tập 1: Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm ? Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau có vị trí như thế nào đối với đường nối tâm ?

Lời giải:

- Tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì nằm trên đường nối tâm.

- Các giao điểm của hai đường tròn cắt nhau thì đối xứng với nhau qua đường nối tâm.

Bài tập

Bài 41 trang 128 Toán lớp 9 tập 1: Cho đường tròn (O) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.

Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi (I), (K) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.

a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O); (K) và (O); (I) và (K).

b) Tứ giác AEHF là hình gì ? Vì sao ?

c) Chứng minh đẳng thức AE. AB = AF. AC

d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.

Lời giải:

a) Có :

OI = OB – IB nên (I) tiếp xúc trong với (O) OK = OC – KC nên (K) tiếp xúc trong với (O) IK = IH + KH nên (I) tiếp xúc ngoài với (K) b)

Theo đề bài, ta có:

HEAB tại E AEH 90o

 

HFAC tại F AFH 90o

 

Và BAC90^o (do A thuộc đường tròn đường kính BC) Xét tứ giác AEHF có:

EAFAEHAFH90o

Do đó, tứ giác AEHF là hình chữ nhật c)

Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH2 AE.AB

Xét tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

AH2 AF.AC

Do đó, AE. AB = AF. AC (vì cùng bằng AH²) d)

Gọi M là giao điểm của AH và EF, ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF là hình chữ nhật)

Xét tam giác MEI và tam giác MHI có:

ME = MH

IE = IH (cùng bằng bán kính đường tròn (I)) MI chung

Do đó, tam giác MEI và tam giác MHI bằng nhau (theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh)

MEI MHI

 

Mà AD vuông góc với BC tại H nên MHI90^o MEI90^o ME EI

  tại E

Mà IE là bán kính đường tròn (I)

Do đó, ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) Mặt khác ta lại có:

Xét tam giác MFH có:

MF = MH (chứng minh trên) Do đó, tam giác MFH cân tại M

MHF MFH

  (hai góc ở đáy) (1) Xét tam giác KFH có:

KF = KH (cùng bằng bán kính đường tròn (K)) Do đó, tam giác KFH cân tại K

KHF KFH

  (hai góc ở đáy) (2) Từ (1) và (2) ta có:

MHFKHFMFHHFKKFMMHK90o (do AHBC tại H) MF FK

  tại F

Mà KF là bán kính đường tròn (K) nên MF hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)

Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

e)

Do AEHF là hình chữ nhật nên ta có: EF = AH

Mà dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng đường kính nên nửa dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính nên ta có: AHAO

Do đó, EFAOR (với R là bán kính của đường tròn (O) luôn không đổi) Dấu bằng xảy ra khi H trùng với O

Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.

Bài 42 trang 128 Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, B (O), C (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O’M và AC. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

b) ME.MO = MF.MO’

c) OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC.

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là OO’.

Lời giải:

a)

Ta có: MB, MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên MA = MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Ta lại có MA, MC là tiếp tuyến của đường tròn (O’) nên MA = MC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA = MB = MC MA ¹BC

  2 Xét tam giác ABC

Có MA là trung tuyến và MA ¹BC

 2 Do đó, tam giác ABC vuông tại A

BAC 90o

 

Xét tam giác MBA cân tại M (do MA = MB ) Có EM là phân giác nên ME cũng là đường cao

ME AB AEM 90o

   

Xét tam giác MCA cân tại M (do MA = MC) Có FM là phân giác nên MF cũng là đường cao

MF AC AFM 90o

   

Xét tứ giác AEMF có BAC90o

AFM90o

AEM90o

Do đó, AEMF là hình chữ nhật b)

Xét tam giác AOM vuông tại A (do AM là tiếp tuyến) Có:

AEMO nên AE là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA2 ME.MO (3)

Xét tam giác AO’M vuông tại A (do AM là tiếp tuyến)

Có AFMO ' nên AF là đường cao.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ta có:

MA2 MF.MO' (4)

Từ (3) và (4)  ME. MO = MF. MO’

c)

Ta có MA = MB = MC (chứng minh câu a)

Do đó, A, B, C nằm trên đường tròn tâm M bán kính MA Mặt khác OO'MA tại A

Do đó, OO’ là tiếp tuyến của đường tròn tâm M đường kính BC.

d)

Ta có: ^{OB BC} OB / /O'C O'C BC

 

  



Do đó, tứ giác OBCO’ là hình thang Gọi I là trung điểm của OO’.

Ta có M là trung điểm của BC.

Do đó, MI là đường trung bình của hình thang OBCO’

MI / /OB / /O 'C



Mà ^{OB BC} MI BC

O'C BC

 

 

 

 (5)

Ta có AEMF là hình chữ nhật nên OMO'EMF90^o Do đó, tam giác OMO’ vuông tại M

Ta lại có MI là trung tuyến của tam giác OMO’ nên MI = IO = IO’ (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Do đó, O, M, O’ nằm trên đường tròn tâm I đường kính OO’ (6)

Từ (5) và (6) ta suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn tâm I đường kính OO’.

Bài 43 trang 128 Toán lớp 9 tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) cắt nhau tại A và B (R > r). Gọi I là trung điểm của OO’. Kẻ đường thẳng vuông góc với IA tại A, đường thẳng này cắt các đường tròn (O; R) và (O’; r) theo thứ tự tại C và D (khác A).

a) Chứng minh rằng AC = AD.

b) Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua điểm I. Chứng minh rằng KB vuông góc với AB.

Lời giải:

a)

Vẽ OMAC tại M, O’NAD tại N Xét đường tròn (O)

Có:

OM AC MA MC 1AC

    2 (định lý đường kính vuông góc với dây) Xét đường tròn (O')

Có:

O ' N AD NA ND 1AD

    2 (định lý đường kính vuông góc với dây) Mặt khác, ta có OMCD, IACD,O ' N CD

OM / /IA / /O' N



Do đó, tứ giác OMNO' là hình thang.

Xét hình thang OMNO' Có:

IA // OM // O’N IO = IO’

 MA = NA (do đường thẳng song song với hai đáy của hình thang và đi qua trung điểm 1 cạnh bên thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại)

Do đó, 2MA = 2NA  AC = AD b)

Ta có (O) và (O’) cắt nhau tại A, B

Do đó, OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB (tính chất đường nối tâm của hai đường tròn cắt nhau)

 IA = IB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng) Mặt khác IA = IK (vì K đối xứng với A qua I)

Do đó, IA IB IK ^AK

   2 Xét tam giác KBA

Có BI là đường trung tuyến

BI AK

 2

Do đó, tam giác KBA vuông tại B KBAB (đpcm).