50 bài tập về Các dạng bài tập về tiếp tuyến lớp 11 (có đáp án 2022) – Toán 11

(1)

Các dạng bài tập về tiếp tuyến 1. Lý thuyết

- Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0)).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y = f’(x0).(x – x0) + y0

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M0(x0; f(x0)) là:

y = f’(x0).(x – x0) + f(x0) Trong đó:

M0(x0; y0) gọi là tiếp điểm.

k = f'(x0) là hệ số góc.

Chú ý:

- Nếu cho x0 thì thế vào y = f(x) tìm y0. - Nếu cho y0 thì thế vào y = f(x) tìm x0. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³. Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho a) Biết tiếp điểm là M(1; 1).

b) Biết hoành độ tiếp điểm bằng 2.

c) Biết tung độ tiếp điểm bằng 5.

Lời giải Đặt f(x) = x³

Khi đó: f'(x) = 3x²

a) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M, ta có: k = f'(1) = 3.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 3(x – 1) + 1. Hay y = 3x – 2.

b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm.

Hoành độ tiếp điểm xM = 2 nên tung độ yM = (xM)³ = 8. Vậy M(2; 8).

(2)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M suy ra k = f'(2) = 12

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = 12(x – 2) + 8. Hay y = 12x – 16.

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm.

Tung độ tiếp điểm ^y^M ^{ }⁵

 

^x^M ³ ^{ }⁵ ^x^M ^ ³ ⁵^^M

 

³ ^5;5

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ^{ }^k ^f^

 

³ ⁵ ^^{3 25.}³

Phương trình tiếp tuyến tại M là:^y^^{3 25 x}³



^ ³ ⁵



^⁵^.

Ví dụ 2: Cho hàm số x 2

y x 1

 

 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết:

a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4.

b) Tiếp điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành.

c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

Lời giải Đặt ^{f x}

 

^x ²

x 1

 



        

 

²

x 2 x 1 x 2 x 1

f x x 1

 

    

  



   

 

²

x 1 x 2 x 1

  

  ^



^{x 1}^¹



²

a) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm.

Tiếp điểm có tung độ: _M ^M _M

M

x 2 2 2

y 4 4 x M ;4

x 1 3 3

  

         Gọi klà hệ số góc của tiếp tuyến tại M 2

k f 9.

3

 

   

  Phương trình tiếp tuyến tại M là: 2

y 9 x 4 y 9x 2.

3

 

       b) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục hoành: M ^M M

 

M

x 2

y 0 x 2 M 2;0

x 1

     



Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M ^{ }^k ^{f 2}^

 

^^1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = x – 2.

(3)

c) Gọi M(xM; yM) là tiếp điểm

Giao điểm của đồ thị với trục tung: M M ^M

 

M

x 2 2

x 0 y 2 M 0;2

x 1 1

 

     

  Gọi k là hệ số của tiếp tuyến tại M. Khi đó k = f'(0) = 1.

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y = (x – 0) + 2. Hay y = x + 2.

Dạng 2. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M(x0; f(x0)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x0) = k Bước 2: Giải phương trình f'(x0) = k với ẩn là x0.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x0) + f(x0).

Chú ý:

* Cho hai đường thẳng: d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2, với a1, a2 lần lượt là hệ số góc của d1 và d2. Khi đó:

1 2

a a d / /d

b b

 

  

1 2 1 2

d d a .a  1

* Hệ số góc của đường thẳng (d) y = ax + b là: k_d  a tan với  là góc nằm bên trên trục hoành tạo bởi đường thẳng (d) và chiều dương của trục Ox.

Khi a > 0, ta có

kd tan a. Khi a < 0, ta có kd tan 180



⁰  



. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số 1 ³ 1 ²

y f (x) x x 1

3 2

    có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết :

a) Tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2.

b) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 (d) : y x 1

 6  . c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d'): y = 2020.

Lời giải

(4)

Ta có y' = f'(x) = x² – x.

a) Gọi M x ; y



0 0



^

 

^C mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

2 0

0 0 0

0

x 2 f '(x ) 2 x x 2

x 1

 

        

* Với x0 = 2 ta có 0

 

³

 

²

1 1 5

y f 0 (2) 2 1

3 2 3

     ₁ 5

M 2;3

 

   Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ₁ 5

M 2;

3

 

   là 5 y 2(x 2)

  3 hay 7

y 2x

 3.

* Với x0 = – 1 ta có 0

 

y f 1 1

   6 ₂ 1

M 1;

6

 

  . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ₂ 1

M 1;

6

 

 

  là 1

y 2(x 1)

   6 hay 13

y 2x

  6 . b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với (d) 1

y x 1

 6  nên 1

.k 1 k 6

6    

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

2 0

0 0 0

0

x 3 f '(x ) 6 x x 6

x 2

 

        

* Với x0 = 3 ta có ₀ 11 y f (3)

  2 1

 

M 3;11 C

2

 

   Phương trình tiếp tuyến của

 

^{C tại} 1

M 3;11 2

 

 

  là ^y ^{6 x}



³



¹¹

   2 hay 25

y 6x

  2

* Với x0 = - 2 ta có 0

 

y f 2 11

    3 2

 

M 2; 11 C

3

 

    Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ₂ 11

M 2;

3

 

    là: ^y ^{6 x}



²



¹¹

   3 hay 25

y 6x

  3 c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc k 0

 

(5)

Gọi M(x0; y0) là điểm thuộc đồ thị (C) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0

2 0

0 0 0

0

x 0 f '(x ) 0 x x 0

x 1

 

       

* Với x0 = 0 ta có y0 f 0

 

 1 M 0;11

   

 C . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(0; 1) là y = 1.

 

2

 

5 5

y f 1 M 1; C

6 6

 

    

  Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ₂ 5

M 1;6

 

 

  là 5 y 6. Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số ^y ^{f x}

 

^4x ³

x 1

  

 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến

 

^ của (C) biết:

a)

 

^ tạo với Ox một góc bằng 45⁰

b)

 

^ song song với đường thẳng (d): 4x + y – 5 = 0.

Lời giải TXĐ: ^D^^{R \}

 

^¹ ^.

Ta có:

     

 

²

 

²

4 x 1 4x 3 1

y' f ' x

x 1 x 1

  

   

  .

a) Gọi M x ; y



0 0

  

 C là tiếp điểm của tiếp tuyến

 

^ ^.

Tiếp tuyến

 

^ có hệ số góc là

 

²

0 0

0

k f x 1 0, x 1

x 1

     



Mà



^^;Ox



^⁴⁵⁰ ^{ }^k ^{tan 180}



⁰ ^⁴⁵⁰



^^{tan 135}



⁰



^{ }¹



0



²

1 1

x 1

   

 



x0 1



² 1

0

x 1 1

  

    

0

x 2 x 0(TM)

 

  

* Với x0 = 2 0

 

1

 

4.2 3

y f 2 5 M 2;5

2 1

     



(6)

Phương trình tiếp tuyến

 

^ ^{tại điểm M}¹(2; 5) là:

 

^ ^{: y}^{ }^{1. x}



^²



^{    }⁵ ^y ^x ⁷

* Với x0 = 0 0

 

2

 

4.0 3

y f 0 3 M 0;3

0 1

     



 

^ tại điểm M2(0; 2) là:

 

^ ^{: y}^{ }^{1. x}



     ⁰



³ ^y ^x ³. b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến

 

^ ^.

 

^{d : 4x}     ^{y 5} ⁰ ^y ^4x⁵

Do tiếp tuyến

 

^ song song với đt

 

^d ^{  }^k ⁴



0



²

1 4

x 1

   

 



x0 1



² 4 ⁰

0

x 1 2

  

    

0

x 3

x 1

 

   

 

1

 

4.3 3

y f 3 3 M 3;3

4 1

    

 .

 

^ ^{: y}^{ }^{4. x}



^{    }³



³ ^y ^{4x 15}^

* Với x0 = – 1 ta có

   

 

0 2

4. 1 3 7 7

y f 1 M 1;

1 1 2 2

   

         Phương trình tiếp tuyến

 

^ ^y ^{4 x 1}

 

⁷ ^y ^4x ¹

2 2

        .

Dạng 3. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là M(x0; f(x0). Tính y' = f'(x).

Hệ số góc của tiếp tuyến d là k = f'(x0).

Phương trình đường thẳng d: y = f'(x0)(x – x0) + f(x0).

Bước 2: Do đường thẳng d đi qua điểm A(xA; yA)

Nên yA = f'(x0)(xA – x0) + f(x0). Phương trình đưa về ẩn x0 . Giải phương trình tìm x0. Bước 3: Với x0 tìm được, quay lại dạng 2 .Từ đó viết phương trình d.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hàm số y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M(– 1; – 9).

(7)

Lời giải

Gọi ^{A x ;4x}



⁰ ³⁰ ^^6x²⁰ ^¹



là tiếp điểm của của tiếp tuyến và đồ thị hàm số.

f'(x) = 12x² – 12x.

Ta có phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là



²0 0

 

0



³0 ²0

d : y 12x 12x xx 4x 6x 1.

Vì Md nên:  9



12x²0 12x0

 

 1 x0



4x³0 6 x²01.

3 2

0 0 0

8x 6x 12x 10 0

      ⁰

0

x 5 4

x 1

 



  

 

5 9

A ;

4 16 . A 1; 9

   

 

  

  



Với 5 9

A ;

4 16

  

 

 , ta có phương trình tiếp tuyến là: 15 21

y x .

4 16

 

Với ^A



^{ }^{1; 9}



, ta có phương trình tiếp tuyến là: y = 24x + 15.

Ví dụ 2: Cho hàm số ^y ^{f x}

 

^x ²

2x 3

  

 có đồ thị (C). Giả sử đường thẳng (d): y = kx + m là tiếp tuyến của (C), biết rằng (d) cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm A, B và tam giác OAB cân tại O. Viết phương trình đường thẳng (d).

Lời giải TXĐ :D R \ 3

2

 

  

 

Ta có

     

 

²

 

²

2x 3 2 x 2 1

y' f ' x

2x 3 2x 3

  

   

  .

Gọi M(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) nên (d) có hệ số góc là



0



²

k 1

2x 3

   .

Tiếp tiếp (d): y = kx + m cắt Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A, B nên (d) không đi qua gốc tọa độ  m 0,k0.

Do Â Ôx Â ^m^{;0 ;B Oy} ^{B 0;m}

 

k

 

     

(8)

Do tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O nên m ² 1₂

OA OB m m 1 0

k k

 

      

 

Do m 0 ¹₂ 1 0 ^k ¹

k 1 k

  

       Mà do (d) có hệ số góc



0



²

k 1 0 k 1

2x 3

     





0



²

1 1

2x 3

   

 



2x0 3



² 1

0

2x 3 1 2x 3 1

  

    

 

0 0 1

0 0 2

M 1;1

x 1 y 1

x 2 y 0 M 2;0



    

       

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M1(–1; 1) là

 

^{d : y}      



^{x 1}



¹ ^y ^x (không thỏa mãn).

* Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M2(– 2; 0) là

 

^{d : y}^{  }



^x ²



^{    }⁰ ^y ^x ²

Vậy phương trình đường thẳng d thỏa mãn là: y = – x – 2.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hàm số 2x 4

y x 3

 

 có đồ thị là (H). Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (H) với trục hoành là:

A. y = 2x – 4. B. y = 3x + 1.

C. y = – 2x + 4. D. y = 2x.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số f(x) = x³ – 2x² + 3x tại điểm có hoành độ x0 = – 1 là:

A. y = 10x + 4. B. y = 10x – 5.

C. y = 2x – 4. D. y = 2x – 5.

Câu 3. Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng

(9)

A. – 3. B. 3. C. 4. D. 0.

Câu 4. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = tan x tại điểm có hoành độ x₀ 4

 

là A. 1

2. B. 2

2 . C. 1. D. 2.

Câu 5. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x⁴ + 2x² – 1 tại điểm có tung độ tiếp điểm bằng 2 là:

A. y = 8x – 6, y = – 8x – 6.

B. y = 8x – 6, y = – 8x + 6.

C. y = 8x – 8, y = – 8x + 8.

D. y = 40x – 57.

Câu 6. Trên đồ thị của hàm số 1 y x 1

 có điểm M sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2. Tọa độ M là:

A. (2;1). B. 1

4; . 3

 

 

  C. 3 4

; .

4 7

  

 

  D. 3

; 4 . 4

  

 

 

Câu 7. Tiếp tuyến của paraboly = 4 – x² tại điểm (1; 3) tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông. Diện tích của tam giác vuông đó là:

A. 25

2 . B. 5

4. C. 5

2. D. 25

4 .

Câu 8. Cho hàm số y = x² – 6x + 5 có tiếp tuyến song song với trục hoành. Phương trình tiếp tuyến đó là:

A. x = – 3. B. y = – 4. C. y = 4. D. x = 3.

Câu 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

3

x 2

y 3x 2

 3   có hệ số góc k = – 9, có phương trình là:

A. y – 16 = – 9(x + 3).

B. y = – 9(x + 3).

C. y – 16 = – 9(x – 3).

D. y + 16 = – 9(x + 3).

(10)

Câu 10. Cho hàm số 4

y 2

 x có đồ thị (H). Đường thẳng  vuông góc với đường thẳng d: y = – x + 2 và tiếp xúc với (H) thì phương trình của  là

A. y = x + 4. B. y x 2

y x 4

  

  

 .

C. ^y ^x ² y x 6

  

  

 . D. Không tồn tại.

Câu 11. Cho hàm số y = -x³ + 3x² – 2 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = – 9x – 7 là:

A. 1. B. 3. C. 4. D. 2.

Câu 12. Cho hàm số y = x³ – 2x² + 2x có đồ thị (C). Gọi x1, x2 là hoành độ các điểm M, N trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = – x + 2017. Khi đó x1

+ x2 bằng:

A. 4

3 . B. 4

3

 . C. 1

3 . D. -1.

Câu 13. Cho hàm số

x2 x 1

y x 1

  

 có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(– 1; 0) là:

A. 3

y x

4 B. ^y ³



^{x 1}



 4  C. y = 3(x + 1) D. y = 3x + 1

Câu 14. Qua điểm A(0;2) có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x⁴ – 2x² + 2

A. 2 B. 3 C. 0 D. 1

Câu 15. Cho hàm số ^{f x}

 

^x² ^{x 1}

 4   , có đồ thị (C). Từ điểm M(2; -1) có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến phân biệt có phương trình:

A. y = – x + 1 và y = x – 3.

B. y = 2x – 5 và y = – 2x + 3.

C. y = – x – 1 và y = – x + 3.

D. y = x + 1 và y = – x – 3.

(11)

Bảng đáp án

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

C A A D A D D B A C D A B B A