[ET] 84. Đề thi thử tốt nghiệp THPT năm 2021-2022 môn Toán - ĐGNL ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (LẦN 2) (File word có lời giải chi tiết)

(1)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2022

KỲ THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC Bài thi:TOÁN

Thời gian:90 phút (Không kể thời gian phát đề)

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

A. y  x³ 2. B. y  x³ 3x2. C. y  x³ 3x²2. D. y x ³3x2. Câu 2: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Số nghiệm của phương trình ^{f x}

 

^ ³ là

A. 2. B. ³. C. ⁰. D. 1.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho đường thẳng ^: ³ ¹ ⁵

2 3 1

x y z

d     

 . Một

vectơ chỉ phương của đường thẳng ^d là

A. ^u^^



^{2; 3;1}^



. B. ^u^^{ }



^{3;1; 5}^



. C. ^u^^



^{2; 3; 1}^{ }



. D. ^u^^



^{3; 1;5}^



. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm ^D



^2;3;4



và song song

với mặt phẳng



^Oxy



có phương trình tổng quát là

(2)

A. x 2 0. B. z 4 0. C. ^{x y z}^{   }^{9 0}. D. ^y^{ }^{3 0}.

Câu 5: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a. Thể tích khối trụ đó bằng

A. 8a³. B. 2a³. C.

8 3

3

a

. D.

2 3

3

a .

Câu 6: Cho hình chóp S ABC. có thể tích bằng V . Gọi ^{M N P}^{, ,} lần lượt là trung điểm các cạnh , ,

BC CA AB. Thể tích khối chóp S MNP. bằng A. 3

4 .

V B. .

4

V C. 2

3 .

V D. .

3 V

Câu 7: Cho hai số thực ^{a b}^, thỏa mãn a ³ a ⁵ và 4 5 log log

5 6

b  b . Kết luận nào sau đây là

đúng?

A. ⁰^{ }â ^1,^b^^1. B. â^^{1, 0}^{ }^b ^1. C. â^^1,^b^¹ D. ⁰^{ }â ^{1, 0}^{ }^b ¹ Câu 8: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên b sao cho phương trình x²8x b 0 có nghiệm.

Xác suất để số b được chọn là một số nguyên tố bằng A. 3

8. B. 5

16. C. 6

17. D. 7

17.

Câu 9: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên _ thỏa mãn ^lim

 

¹

x f x

  , ^lim

 

²

x f x

  . Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

là

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Câu 10: Hệ số của x⁸ trong khai triển



^x² ^²



¹⁰^bằng

A. 2⁸C10⁸. B. C10⁶. C. 2⁴C10⁴. D. 2⁶C10⁶.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, mặt cầu tâm ^I



^{1;0; 2}^



tiếp xúc với mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^{y z}^{  }^{9 0} có phương trình là

A.



^x^¹



²^^y²^{ }



^z ²



² ^³. B.



^x^¹



²^^y²^



^z^²



² ^⁹. C.



^x^¹



²^^y²^



^z^²



² ^³. D.



^x^¹



²^^y²^



^z^²



² ^⁹. Câu 12: Tập hợp nghiệm của phương trình cos ²

x  2 là tập hợp con của tập hợp nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A. cotx1. B. cos 2x0. C. sin ²

x 2 . D. tanx 1. Câu 13: Cho số phức z  3 5i. Điểm M biểu diễn số phức liên hợp của ^z có tọa độ là

A. ^M



^{ }^{3; 5}



. B. ^M



^^3;5



. C. ^M



^{3; 5}^



. D. ^M

 

^3;5 .

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình log4



x7



log2



x1



là khoảng



^{a b}^;



. Giá trị của 2

M  a b bằng

(3)

A. 4. B. 0. C. 4. D. 8.

Câu 15: Một ô tô đang chạy với vận tốc ^{10 /}^{m s} thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ^{v t}

 

^{  }^{5 10}^t



^{m s}^/



, trong đó ^t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quảng đường bằng bao nhiêu mét?

A. ¹²^m. B. ²^m. C. ¹⁰^m. D. ²⁰^m.

Câu 16: Nghiệm của phương trình log4xlog 32 là

A. 9. B. ¹

27. C. 81. D. ¹

3. Câu 17: Một chi tiết máy có kích thước được minh hoạ như hình vẽ dưới đây:

Biết mép đường cong là cung một phần tư của đường tròn có bán kính ³^cm và hai mặt cắt được tô đậm đều là hình chữ nhật. Thể tích chi tiết máy đó tính theo cm³ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng

A. ^6,7^cm³. B. ^9,0^cm³. C. ^4,5^cm³. D. ^{13, 4}^cm³.

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ ^Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;1



, ^B



^3;2;0



, ^C



^{1;1; 3}^



. Có tất cả bao nhiêu điểm ^M trong không gian thoả mãn MC 2 và MA²MB²  9

A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1.

Câu 19: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trên _ và hàm số ^y^ ^{f x}^

 

(4)

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng

A.

 

^0;1 . B.

 

^{1; 2} . C.



^{ }^{; 1}



. D.



^^1;0



.

Câu 20: Xếp 7 bạn nữ và 3 bạn nam thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 7 bạn nữ đứng cạnh nhau, 3 ban nam đứng cạnh nhau?

A. 7!.3!

2! . B. 7!.3!. C. 2!.7!.3!. D. 10!.

Câu 21: Cho hàm số y ax ³bx² cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

Dấu của các hệ số ^{a b c d}^{, , ,} là

A. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. B. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. C. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. D. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰.

Câu 22: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên ^R và thỏa mãn



_⁴₄ ^{f x dx}

 

^⁶. Tích phân

2

 

2 f 2x dx



 ^bằng:

A. 4. B. 12. C. 3. D. 6.

Câu 23: Cho hàm số ^y^



^^x^x ^khi^khi^x^x^^⁰⁰ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có đạo hàm tại x0. B. ^y^{' 0}

 

^⁰. C. ^y^{' 0}

 

^¹. D. ^y^{' 0}

 

^{ }¹.

Câu 24: Một lớp có 30học sinh, trong đó có 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam là

A. C20⁴ C10¹ . B. C30⁴ C10¹ . C. C20⁴ C10⁴ . D. C30⁴ .

Câu 25: Bác Linh đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô màu đậm) với kích thước như hình vẽ dưới đây:

(5)

Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DCnhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳn đứng lên phía trên ^2m. Ngoài ra, bác Linh quyết định đổ lớp bê tông dày ^15cm và giá tiền ^1m³ bê tông là ^{1080 000} đồng. Số tiền bác Linh cần dùng để đổ bê tông con đường đó là A. ^{2 430000} đồng. B. ^1944000 đồng.

C. 4860 000 đồng. D. ^{3240 000}đồng.

Câu 26: Cho hai số phức z z1, 2 thoản mãn z1  1 i 2, z2 2 5i 1. Giá trị lớn nhất của

1 2

z z bằng

A. ⁸. B.  3 37. C. 3 37. D. ².

Câu 27: Một chiếc phễu có dạng hình nón với chiều cao là30cm. Người ta đổ một lượng lớn nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm (Hình H1). Sau khi làm kín miệng phễu, người ta lật ngược phễu lên (Hình H2).

Chiều cao của cột nước trong phễu (Hình H2) gần nhất với giá trị nào sau đây A. 1,2 cm_. _B.1,3 cm_. _C.1,6 cm_. _D.15 cm.

Câu 28: Một viên gạch lát nền có bề mặt dạng hình vuông cạnh6 dm. Viên gạch có một phần được tô màu đậm, phần tô màu có chung trục đối xứng và tâm đối xứng của viên gạch, đường biên của phần tô màu gồm bốn đoạn thẳng và bốn đường cong. Biết rằng mỗi đường cong là một phần của đồ thị hàm số 1

y x_và 1 y x

  trong hệ trục tọa độ Oxy_{, với}Olà tâm viên gạch ( như hình vẽ dưới đây) và 1 đơn vị của mỗi trục là1 dm.

(6)

Diện tích phần được tô màu bằng:

A. 1 2ln 3. B. 2 8ln 3. C. 8 8ln 3. D. 4 8ln 3. PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Bạn Hà có một tấm bìa hình vuông cạnh 60cm (Hình 1). Bạn muốn làm một cái hộp đựng đồ có dạng hình hộp chữ nhật mà có thể để được vào một ngăn giá sách có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh bằng ³⁷^cm^, chiều cao bằng ²⁸^cm^.Bạn cắt bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh ^{x cm}

 

^,

rồi gấp lại thành một cái hộp không nắp ( Hình 2). Tìm số nguyên dương x để làm được cái hộp đựng đồ có thể tích lớn nhất.

Bài 2. Cho bất phương trình _mx² __mx_{ }_{8 2}_m_₀, với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi ^x^

 

^4;6 .

Bài 3. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại ^{A AB a}^, ^ ,

2 , ( ) ( )

AC a SBC  ABC và tam giác SBC có 3 góc nhọn. Biết rằng hai mặt phẳng (SAB) và ⁽^SAC⁾ cùng tạo với mặt đáy một góc 60^. Tính thể tích khối chóp S ABC. theo a.

---Hết---

(7)

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT PHẦN TRẮC NGHIỆM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

C B A B B B A C D D B B A C

15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

C C D D A C D C A B D A B D

Câu 1: Hàm số nào có đồ thị như hình vẽ dưới đây?

A. y  x³ 2. B. y  x³ 3x2. C. y  x³ 3x²2. D. y x ³3x2. Lời giải

Chọn C

Nhìn vào đồ thị ta thấy, lim

x y

  , lim

x y

   nên hệ số ^a^⁰. Vậy loại đáp án D.

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là



^{0; 2}^



và



^{2; 2}



nên chọn đáp án C.

 

^ ³ là

A. 2. B. ³. C. ⁰. D. 1.

Lời giải

(8)

Chọn B

 

^ ³ là số giao điểm của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

và đường thẳng y 3.

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

cắt đường thẳng y 3 tại 3 điểm nên phương trình ^{f x}

 

^ ³ có 3 nghiệm.

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho đường thẳng ^: ³ ¹ ⁵

2 3 1

x y z

d     

 . Một

vectơ chỉ phương của đường thẳng ^d là

A. ^u^^



^{2; 3;1}^



. B. ^u^^{ }



^{3;1; 5}^



. C. ^u^^



^{2; 3; 1}^{ }



. D. ^u^^



^{3; 1;5}^



. Lời giải

Chọn A

Đường thẳng ^: ³ ¹ ⁵

2 3 1

x y z

d     

 có một vectơ chỉ phương là ^u^ ^



^{2; 3;1}^



.

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, mặt phẳng đi qua điểm ^D



^2;3;4



và song song với mặt phẳng



^Oxy



có phương trình tổng quát là

A. x 2 0. B. z 4 0. C. ^{x y z}^{   }^{9 0}. D. ^y^{ }^{3 0}. Lời giải

Chọn B

Mặt phẳng



^Oxy



có vectơ pháp tuyến ⁿ^ ^^_^{ }^{i j}^, ^_^



^0;0;1



với ^ⁱ^



^1;0;0



và ^^j^



^0;1;0



. Mặt phẳng

 

^P cần tìm song song với mặt phẳng



^Oxy



nên mặt phẳng

 

^P có vectơ pháp tuyến nP 



^0;0;1



.

Phương trình mặt phẳng

 

^P đi qua điểm ^D



^2;3;4



và có vectơ pháp tuyến



^0;0;1



nP 

 là

     

0. x 2 0. y 3 1. z4    0 z 4 0.

(9)

Câu 5: Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a. Thể tích khối trụ đó bằng

A. 8a³. B. 2a³. C.

8 3

3

a

. D.

2 3

3

a . Lời giải

Chọn B

Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình vuông có cạnh bằng 2a nên hình trụ có chiều cao h2a và bán kính 2

2 R a a.

Vậy thể tích khối trụ đó bằng V R h² a².2a2a³.

Câu 6: Cho hình chóp S ABC. có thể tích bằng V . Gọi ^{M N P}^{, ,} lần lượt là trung điểm các cạnh , ,

BC CA AB. Thể tích khối chóp S MNP. bằng A. 3

4 .

V B. .

4

V C. 2

3 .

V D. .

3 V

Lời giải Chọn B.

Gọi hlà chiều cao hình chóp S ABC. .

Ta có: 1

MNP 4 ABC

S  S và chiều cao của hình chóp S MNP. cùng bằng h.

(10)

Khi đó: ^. . .

13. . 1

1. . 4 4

3

S MNP MNP MNP

S MNP

S ABC ABC

ABC

V h S S V

     .

Câu 7: Cho hai số thực ^{a b}^, thỏa mãn a ³ a ⁵ và 4 5 log log

5 6

b  b . Kết luận nào sau đây là

đúng?

A. ⁰^{ }â ^1,^b^^1. B. â^^{1, 0}^{ }^b ^1. C. â^^1,^b^¹ D. ⁰^{ }â ^{1, 0}^{ }^b ¹ Lời giải

Chọn A.

Ta có 3 5 mà a ³ a ⁵ nên 0 a 1. Lại có 4 5

5 6 mà 4 5

log log

5 6

b  b nên b1. Do vậy ⁰^{ }^a ^1,^b^^1.

Câu 8: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên b sao cho phương trình ^x²^⁸^{x b}^{ }⁰ có nghiệm.

Xác suất để số b được chọn là một số nguyên tố bằng A. 3

8. B. 5

16. C. 6

17. D. 7

17.

Lời giải Chọn C.

Phương trình x²8x b 0 có nghiệm    0 16   b 0 b 16. Mà b   b



0;1;2;3;...;16



.

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên b ^ⁿ

 

^{ }¹⁷ cách.

Gọi biến cốA: “số b được chọn là một số nguyên tố”.

Chọn b là một số nguyên tố  b



2;3;5;7;11;13



^^{n A}

 

^⁶ cách.

Xác suất để số b được chọn là một số nguyên tố là:

   

 

¹⁷⁶

P A n

n A

   .

 

liên tục trên _ thỏa mãn ^lim

 

¹

x f x

  , ^lim

 

²

x f x

  . Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

là

A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.

Lời giải Chọn D.

Ta có

 

lim 1

lim 2

x

f x f x





  

 

 đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang ^y^¹ và ^y^².

(11)

Ta lại có hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên  ^ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}

 

là ². Câu 10: Hệ số của ^x⁸ trong khai triển



^x² ^²



¹⁰^bằng

A. 2⁸C10⁸. B. C10⁶. C. 2⁴C10⁴. D. 2⁶C10⁶. Lời giải

Chọn D.

Ta có khai triển:



²



¹⁰ ¹⁰ ¹⁰ ^{2 10}^ ^

0

2 ^k. ^k.2^k

k

x C x ^



 



^.

Số hạng tổng quát T_k_1C10^k.2 .^kx^{20 2}^ ^k

Hệ số của x⁸ trong khai triển chính là hệ số của Tk₊1 với k thỏa mãn 20 2 k   8 k 6.

Vậy hệ số của x⁸ trong khai triển là C10⁶.2⁶.

Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, mặt cầu tâm ^I



^{1;0; 2}^



tiếp xúc với mặt phẳng

 

^P ^{: 2}^x^²^{y z}^{  }^{9 0} có phương trình là

A.



^x^¹



²^^y²^{ }



^z ²



² ^³. B.



^x^¹



²^^y²^



^z^²



² ^⁹. C.



x1



²y²



z2



² 3. D.



x1



²y²



z2



² 9.

Lời giải Chọn B

Ta có: bán kính mặt cầu là



^;

  

^{2 2 9} ³

R d I P  3

   .

Vậy phương trình mặt cầu:



x1



²y² 



z 2



² 9. Câu 12: Tập hợp nghiệm của phương trình cos ²

x  2 là tập hợp con của tập hợp nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A. cotx1. B. cos 2x0. C. sin ²

x 2 . D. tanx 1. Lời giải

Chọn B

Ta có: cos ²

x  2 ^cos ^cos³ ³ ²

 

4 4

x  x  k  k

       .

(12)

Do hai họ nghiệm ³ ²

x  4 k  thỏa phương trình cos 2x0 nên tập nghiệm phương trình cos ²

x  2 là tập hợp con của tập hợp nghiệm của phương trình cos 2x0.

Câu 13: Cho số phức z  3 5i. Điểm M biểu diễn số phức liên hợp của ^z có tọa độ là A. ^M



^{ }^{3; 5}



. B. ^M



^^3;5



. C. ^M



^{3; 5}^



. D. ^M

 

^3;5 .

Lời giải Chọn A

Ta có: z  3 5i    z 3 5i. Vậy điểm biểu diễn cho số phức z là ^M



^{ }^{3; 5}



.

Câu 14: Tập nghiệm của bất phương trình log4



x7



log2



x1



là khoảng



^{a b}^;



. Giá trị của 2

M  a b bằng

A. 4. B. 0. C. 4. D. 8.

Lời giải Chọn C

Điều kiện: x 1.

Bất phương trình đã cho 2

 

2

 

2

 

2

 

1log 7 log 1 log 7 2log 1

2 x x x x

       

 

² ²

7 1 6 0 3 2

x x x x x

            .

So với điều kiện thì bất phương trình đã cho^^_{  }^{  }_x³ ₁^x ²^{   }¹ ^x ²

 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là



^^{1; 2}



.

1; 2 2 2 2 4

a b M a b

            .

Câu 15: Một ô tô đang chạy với vận tốc ^{10 /}^{m s} thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc ^{v t}

 

^{  }^{5 10}^t



^{m s}^/



, trong đó ^t là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quảng đường bằng bao nhiêu mét?

A. ¹²^m. B. ²^m. C. ¹⁰^m. D. ²⁰^m.

Lúc dừng hẳn: ^{v t}

 

^{   }⁰ ^{5 10 0}^t ^{  }^t ².

Quãng đường ô tô di chuyển:

   

2 2 2 2

0 0 0

d 5 10 d 5 10 10

2

S v t x t x  t t m

        

 

 

^.

Câu 16: Nghiệm của phương trình log4xlog 32 là

(13)

A. 9. B. ¹

27. C. 81. D. ¹

3. Lời giải

Chọn C Ta có

4 2

log xlog 3 log₄xlog 81₄  x 41.

Câu 17: Một chi tiết máy có kích thước được minh hoạ như hình vẽ dưới đây:

Biết mép đường cong là cung một phần tư của đường tròn có bán kính ³^cm và hai mặt cắt được tô đậm đều là hình chữ nhật. Thể tích chi tiết máy đó tính theo cm³ (làm tròn đến hàng phần chục) bằng

A. ^6,7^cm³. B. ^9,0^cm³. C. ^4,5^cm³. D. ^{13, 4}^cm³. Lời giải

Chọn C

Dựng hình hộp như hình vẽ

Thể tích khối hộp V14.4.1.5 24 cm³

Thể tích phần bị căt bỏ 2 ² ³

1 27

.3 .1,5

4 8

V     cm Thể tích chi tiết máy V V 1V2 13,4cm³.

Câu 18: Trong không gian với hệ toạ độ ^Oxyz, cho các điểm ^A



^1;0;1



, ^B



^3;2;0



, ^C



^{1;1; 3}^



. Có tất cả bao nhiêu điểm ^M trong không gian thoả mãn MC 2 và MA²MB²  9

A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1.

Lời giải Chọn D

(14)

Ta có MA²MB²  9 MA²MB²  9



MA MB MA MB

 

⁹ BA MI^.2. ⁹

           (1).

Gọi ^{M x y z}



^{, ,}



thay vào (1) ta có tập hợp điểm ^M là mặt phẳng

 

^ : ²^x^²^{y z}^{  }^{1 0},

 

2.1 2.1 3 1₂ ₂ ₂

,( ) 2

2 2 1

d C    

 

 

Suy ra có tất cả ¹ đểm ^M thoả mãn điều kiện, ^M là hình chiếu của C lên

 

^ .

Câu 19: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trên _ và hàm số ^y^ ^{f x}^

 

Hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên khoảng

A.

 

^0;1 . B.

 

^{1; 2} . C.



^{ }^{; 1}



. D.



^^1;0



. Lời giải

Chọn A

Từ đồ thị hàm số ^y^ ^{f x}^

 

ta có

 

⁰ ²

0 1

f x x

x

 

      .

Vậy hàm số ^y^ ^{f x}

 

đồng biến trên các khoảng

 

^0;1 và



^2;^



.

Câu 20: Xếp 7 bạn nữ và 3 bạn nam thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để 7 bạn nữ đứng cạnh nhau, 3 ban nam đứng cạnh nhau?

A. 7!.3!

2! . B. 7!.3!. C. 2!.7!.3!. D. 10!.

Số cách sắp xếp 7 bạn nữ đứng cạnh nhau là 7!. Số cách sắp xếp 3 bạn nữ đứng cạnh nhau là 3!

Vậy số cách sắp xếp 7 bạn nữ và 3 bạn nam thành một hàng ngang thoả mãn 7 bạn nữ đứng cạnh nhau, 3 ban nam đứng cạnh nhau là 2!.7!.3!.

Câu 21: Cho hàm số y ax ³bx² cx d có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

(15)

Dấu của các hệ số ^{a b c d}^{, , ,} là

A. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. B. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. C. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰. D. â^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰.

Từ đồ thị hàm số ta có _x^lim_^y^{   }^a ⁰ và đồ thị hàm số y ax ³bx² cx d cắt trục ^Oy tại điểm



^0;^d



^{ }^d ⁰.

Ta có y 3ax² 2bx c .

Vì đồ thị hàm số y ax ³bx² cx d có 2 điểm cực trị nằm về hai phía trục ^Oy nên y 0 có hai nghiệm trái dấu a c.   0 c 0.

Từ đồ thị hàm số y ax ³bx² cx d suy ra ^{y }⁰ có hai nghiệm

1 2

2 0 0

3

x x b b

a

      . Vậy ^a^^0,^b^^0,^c^^0,^d ^⁰.

Câu 22: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

liên tục trên ^R và thỏa mãn



_⁴₄ ^{f x dx}

 

^⁶. Tích phân

 

2

2 f 2x dx



 ^bằng:

A. 4. B. 12. C. 3. D. 6.

Ta có ²₂

 

² ¹ ⁴₄

 

¹^{.6 3.}

2 2

f x dx f x dx

    

 

Câu 23: Cho hàm số ^y^



^^x^x ^khi^khi^x^x^^⁰⁰ . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Hàm số không có đạo hàm tại x0. B. ^y^{' 0}

 

^⁰. C. ^y^{' 0}

 

^¹. D. ^y^{' 0}

 

^{ }¹.

Lời giải

(16)

Chọn A

Ta có

   

0 0 0

lim 0 lim lim 1 1

x x x

f x f x

x x

  

  

    .

     

0 0 0

lim 0 lim lim 1 1.

x x x

f x f x

x x

  

  

      

       

0 0

lim lim

x x

f x f f x f

x x

 

 

 

  .

Vậy hàm số không có đạo hàm tại x0.

Câu 24: Một lớp có 30học sinh, trong đó có 20 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Số cách chọn ra một ban cán sự lớp gồm 4 người, trong đó có ít nhất một học sinh nam là

A. C20⁴ C10¹ . B. C30⁴ C10¹ . C. C20⁴ C10⁴ . D. C30⁴ . Lời giải

Chọn B

Số cách chọn ra 4 bạn từ 30 bạn học sinh là C30⁴ .

Số cách chọn ra 4 bạn học sinh, trong đó không có bạn nam nào là C10¹ .

Suy ra số cách chọn ra 4 bạn học sinh, trong đó có ít nhất 1 bạn nam là C30⁴ C10¹ .

Câu 25: Bác Linh đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô màu đậm) với kích thước như hình vẽ dưới đây:

Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DCnhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳn đứng lên phía trên ^2m. Ngoài ra, bác Linh quyết định đổ lớp bê tông dày ^15cm và giá tiền 1m³ bê tông là ^{1080 000} đồng. Số tiền bác Linh cần dùng để đổ bê tông con đường đó là A. ^{2 430000} đồng. B. ^1944000 đồng.

C. 4860 000 đồng. D. ^{3240 000}đồng.

Khi bỏ phần tô đậm và ghép hai phần còn lại vào ta được một hình chữ nhật có các kích thường là ^10m và ^4m. Do đó diện tích lối đi là: 10.6 10.4 20m  ².

Thể tích khối bê tông cần đổ là: 20.0,15 3m ³. Vậy số tiền cần dùng là 3.1080000 3240000 đồng.

(17)

Câu 26: Cho hai số phức z z1, 2 thoản mãn z1  1 i 2, z2 2 5i 1. Giá trị lớn nhất của

1 2

z z bằng

A. ⁸. B.  3 37. C. 3 37. D. ². Lời giải

Chọn A

Ta có z1   1 i 2 z1  



1 i



2 nên điểm biểu diễn số phức z1 là điểm M thuộc đường tròn tâm ^A



^{1; 1}^



bán kính R12.

Lại có z2 2 5i      1 z1



2 5i



2 nên điểm biểu diễn số phức z2 là là điểm ^N thuộc đường tròn tâm ^B



^{ }^{2; 5}



bán kính R11.

Khi đó z1z2  z1 



z2



MN. Ta có MNmax R1R2AB  3 5 8.

Câu 27: Một chiếc phễu có dạng hình nón với chiều cao là30cm. Người ta đổ một lượng lớn nước vào phễu sao cho chiều cao của cột nước trong phễu bằng 15 cm (Hình H1). Sau khi làm kín miệng phễu, người ta lật ngược phễu lên (Hình H2).

Chiều cao của cột nước trong phễu (Hình H2) gần nhất với giá trị nào sau đây A. 1,2 cm_. _B.1,3 cm_. _C.1,6 cm_. _D.15 cm.

Lời giải Chọn B

Gọi r1 là bán kính đáy phễu, r2 là bán kính đáy phần mặt nước; h1, h1 lần lượt là chiều cao của phễu và chiều cao cột nước trong Hình 1. Ta có:

2 2

2 1

1 1

2 1

2 r h

r r

r  h   

Khi úp phễu xuống thì thể tích của phần nón không chứa nước là:

2

2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 1

1 1 1 1 1 35

. . . .30 . .15 .

3 3 3 3 2 4

V   r h   r h   r   ^ r^   r ⁽¹⁾

Gọi h r, lần lượt là chiều cao và bán kính của hình nón không chứa nước trong Hình

2. Ta có: ¹ ¹

1 1 1

. .

30

r h h r h r

r  h  r h 

Thể tích của khối nón không chứa nước trong Hình 2 là:

(18)

2

2 1

1 1 .

. . . .

3 3 30

V   r h  ^h r ^ h

  ⁽²⁾ Từ (1, 2) ta có:

2

2 3

1

1 . 35

. . . 2365 28,7

3 30 4

V   ^h r ^ h  r h   h cm

Vậy chiều cao của nước sau khi úp phễu xuống là: 30 28,7 1,3  cm_{.Đáp án: B}

Câu 28: Một viên gạch lát nền có bề mặt dạng hình vuông cạnh6 dm. Viên gạch có một phần được tô màu đậm, phần tô màu có chung trục đối xứng và tâm đối xứng của viên gạch, đường biên của phần tô màu gồm bốn đoạn thẳng và bốn đường cong. Biết rằng mỗi đường cong là một phần của đồ thị hàm số 1

y x và 1 y x

  trong hệ trục tọa độ Oxy_{, với}Olà tâm viên gạch ( như hình vẽ dưới đây) và 1 đơn vị của mỗi trục là1 dm.

Diện tích phần được tô màu bằng:

A. 1 2ln 3. B. 2 8ln 3. C. 8 8ln 3. D. 4 8ln 3. Lời giải

Chọn D

Gọi (H1)là phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 1

y x, đường thẳng y 3 _, 3

x  , nằm ở góc phần tư thứ nhất trong hệ trục tọa độOxy_. Xét phương trình hoành độ giao điểm: 1 1

3 x 3

x    . Diện tích của hình phẳng (H1)là:

   

3 3

3 2

1 1

3

1 1

3 3

1 1

3 3 3 ln 8 2ln 3

S dx dx x x dm

x x

 





 



      

Do tính chất đối xứng của viên gach, diện tích phần được tô màu bằng:

 

²

36 4(8 2ln 3) 4 8ln 3    dm ._{Đáp án:} _D.

PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Bạn Hà có một tấm bìa hình vuông cạnh 60cm (Hình 1). Bạn muốn làm một cái hộp đựng đồ có dạng hình hộp chữ nhật mà có thể để được vào một ngăn giá sách có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông cạnh bằng ³⁷^cm^, chiều cao bằng ²⁸^cm^.Bạn cắt

(19)

bốn góc của tấm bìa đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh ^{x cm}

 

^,

rồi gấp lại thành một cái hộp không nắp ( Hình 2). Tìm số nguyên dương x để làm được cái hộp đựng đồ có thể tích lớn nhất.

Lời giải + ĐK: 28

11,5 28.

60 2 37

x x

x

 

  

  



+ Khi đó thể tích hộp đựng đồ là: ^V ^^x



^{60 2}^ ^x



² ^^{4 30}^x



^^x



²^.

+ Xét hàm số ^{f x}

 

^^{4 30}^x



^^x



² với ^x^



^{11,5; 28}



.

 

^{12 30}

  

¹⁰



^0,



^{11,5; 28 .}



f x x x x

      

Suy ra hàm số nghịch biến trong khoảng



^{11,5;28 .}



Vậy số nguyên dương nhỏ nhất trong khoảng



^11,5;28



để làm được cái hộp đựng đồ có thể tích lớn nhất là ^x^^12.

Bài 2. Cho bất phương trình _mx²__mx_{ }_{8 2}_m_₀, với m là tham số thự C. Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi ^x^

 

^4;6 .

Lời giải Ta có: ^mx²^^mx^{ }^{8 2}^m^{ }⁰ ^{m x}



²^{ }^x ²



^⁸^.

Do _x²_{  }_x _{2 0} với mọi ^x^

 

^4;6 nên:



²



2

2 8 8

m x x m 2

x x

    

  Xét hàm số:

 

₂ ⁸

f x 2

x x

   . Theo yêu cầu bài toán:  

 

max4;6

m f x

Có:

   



²



²

   

8 2 1 1

0 4;6

2 2

f x x f x x

x x

 

       

  Mà:

 

4 0,8

 

6 ²

f   f 7 nên:  

   

max4;6 f x  f 4 0,8 Vậy ^m^^0,8.

Bài 3. Cho hình chóp S ABC. có đáy là tam giác ABC vuông tại ^{A AB a}^, ^ ,

2 , ( ) ( )

AC a SBC  ABC và tam giác SBC có 3 góc nhọn. Biết rằng hai mặt phẳng

(20)

(SAB) và ⁽^SAC⁾ cùng tạo với mặt đáy một góc 60^. Tính thể tích khối chóp S ABC. theo a.

Lời giải

Gọi ^Hlà chân đường cao hạ từ Strong tam giác SBC.

 

( ) ( )

SBC ABC

SBC ABC BC SH ABC SH BC

 

    

 



Do ² ² ² ²

 

² ²

1 1 1 1 1 5 2 5

4 5

2

SH BC AH AB AH a

AH AB AC a a a

           .

Trong mặt phẳng



^ABC



_kẻ^HN^{/ /}^{AC N}^, ^^AB^^HN^ ^{AB Do AB}



^^AC



_.

Trong mặt phẳng



^ABC



_kẻ^HM ^{/ /}^{AB M}^, ^^AC^^HM ^^{AC Do AB}



^^AC



_.

Góc giữa 2 mặt phẳng ⁽^SAB⁾và ⁽^ABC⁾là SNH 60⁰. Góc giữa 2 mặt phẳng ⁽^SAC⁾và ⁽^ABC⁾là SMH 60⁰.

Ta có tan^tan^ ^tan^ ³

3 HM HN

SH SH

SNH SMH

HN HN SH HN

 

     

  .

AMHN là hình vuông do đó ² ¹⁰

2 5 AH a AH  HNHN  .

Do đó 3 ³⁰

5 SH  HN  a .

Thể tích khối chóp S ABC. là

1 1 30 3 30

. . . . .2

6 6 5 15

a a

V  SH AB AC a a .