Đề Kiểm Tra Kiến Thức Toán Lớp 12 Năm 2022 Chuyên Đại Học KHTN Hà Nội Có Lời Giải Chi Tiết

(1)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN-HÀ NỘI

ĐỀ KIỂM TRA KIẾN THỨC LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

Câu 1: Tìm

sin 2 d2 x x



A.

sin 4 8

xC

. B.

sin 4

2 8

x x

 C

. C.

cos 33

3 x C

 

. D.

sin 4

2 8

x x

 C . Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

2x 4 y m x

 

 đồng biến trên



^1;^



A. 1_. _B.2_. _C.4_. _D.3.

Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức ^z= +

(

¹ ⁱ

)

³ là

A.

(

^- ^{2; 2}

)

_. _B.

(

^{2; 2}^-

)

_. _C.

(

^{2; 2}

)

_. _D.

(

^- ^{2; 4}

)

_.

Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và không có chữ số nào lớn hơn 5.

A. ⁷⁵. B. ⁹⁰. C. ⁵². D. ⁶⁰.

Câu 5: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ^2a và có mặt bên tạo với đáy một góc bằng ^60°.

A.

4 3

3a

. B.

4 3 3

3 a

C.

4 3

3 3a

. D. 4 3a³.

Câu 6: Tìm



^x²



²^x³^^{1 d}



³ ^x

A.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. B.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. C.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. D.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. Câu 7: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ^log²



^x²^{   }^x ¹



^{2 log}² ^x_bằng?

A. 1_. _B.4. C. 2_. _D.3.

Câu 8: Biết rằng phương trình

3 1

1 2

2 2

x

  x

  

  có một nghiệm thực duy nhất. Nghiệm đó thuộc khoảng nào dưới đây?

A.



^{ }^{6; 5}



_. _B.

 

^0;1 _. _C.



^{ }^{2; 1}



_. _D.



^^1;0



_.

Câu 9: Cho



₀¹



^x²^²^x^³^{f x}

  

^d^x^¹_{. Tính}



₀¹^{f x x}

 

^d _.

A.

1 3



. B.

5 3



. C.

1 9



. D.

5

9 . Câu 10: Cho hai số phức ^z^{ }^{1 2}ⁱ và ^w^{ }^{3 4}ⁱ. Tính z.w

.

A. ¹²⁵. B. 5 . C. ⁵. D. 5 5 .

(2)

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu tâm ^I



^{1; 2;0}^



và tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{1 0}

A.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^⁴_. _B.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^⁴_.

C.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^²_. _D.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^²_.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ^ABCD với ^A



^1;0;0



_,^B



^{0; 2;0}



_,



^0;0;3



C , ^D



^{1; 2;3}



. Tìm tọa độ trọng tâm ^G của tứ diện ^ABCD.

A.

1 1 3 4 2 4; ; G 

 

 _. _B.

1 3 2;1;2 G 

 

 _. _C.

2 4; ;2 G3 3 

 

 _. _D.^G



^2;4;6



_.

Câu 13: Tính

2 2 0

2 1d x  x x



.

A.

1

2. B. 2_. _C.

5

2. D. 1_.

Câu 14: Cho hàm số y x ³12x1. Điểm cực tiểu của hàm số là

A. 2_. _B.15. C. ¹³. D. 2_.

Câu 15: Số nghiệm nguyên dương của bất phưng trình

1 15 1

2 16

x

  

   là

A. ¹⁵. B. ⁸. C. ¹⁶. D. ⁹.

Câu 16: Số phức liên hợp của số phức 4 z 1

 i

 là

A. ^{2 2i}^ . B. ^{ }^{2 2i}. C. ^{2 2i}^ . D. ^{ }^{2 2i}.

Câu 17: Một lớp học sinh có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự có cả nam và nữ.

A.

251

1976. B.

2625

9880 . C.

1425

1976 . D.

450 988 .

Câu 18: Cho hàm số y x ³3x1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

A. y1. B. y  3x 1. C. y3x1. D. y  3x 1. Câu 19: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng ², độ dài đường sinh bằng ^{2 2}

A. ⁸ . B. 4 _. _C.4 2 _. _D.8 2_.

Câu 20: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ^A



^{2;1; 3}^



_,^B



^3;0;1



A.

4 1 5 4

x t

y t

z t

  

  

  

 . B.

2 1

3 4

x t

y t

z t

  

  

   

 . C.

3 1 4

x t

y t

z t

  

 

  

 . D.

4 1 5 4

x t

y t

z t

  

   

  

 .

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau là phương trình mặt cầu:

2 2 2 2 4 2 6 10 0

x y  z x z m  m  .

A. ⁵. B. ⁰. C. ². D. ³.

(3)

Câu 22: Người thợ làm một bể cá hai ngăn không nắp với thể tích 1296 dm³. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước , ,a b c (mét) để đỡ tốn kính nhất như hình vẽ và giả thiết rằng độ dày của kính không đáng kể. Tính ^{a b c}^{ }

b c

a

A. 3,3 . B. 3,6 . C. 4,8 . D. 3,9 .

Câu 23: Biết

1

 

1

d 6

f x x







, tích phân

 

1

0

2 1 d f x x



bằng

A. 3. B. 6. C. 12. D. 2.

Câu 24: Cho số phức ^z^{ }



¹ ⁱ



⁴. Tìm phần ảo của số phức ^{w iz}^

A. ^⁴. B. ⁴. C. ⁴ⁱ. D. ^⁴ⁱ.

Câu 25: Đồ thị hàm số nào sau đây không cắt trục hoành?

A. y x ³5x2. B. y x ⁴3x²3. C.

1 2 y x

x

 

 . D. y x ³ 3x 1. Câu 26: Hàm số y x ²2lnx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^^1;0



_. _B.

 

^0;1 _. _C.

 

^{1; 2} _. _D.



^^1;1



Câu 27: Viết phương trình đường thẳng đi qua ^A



^{1; 2;0}^



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{1 0}

A. x2y2z 3 0. B.

1 2

1 2 2

x  y  z

 . C.

1 2

1 2 2

x  y  z

 . D. x2y2z 5 0 Câu 28: Cho hình chóp ^{S ABC}^. có ^{AB a BC}^ ^; ^ ^{3 ;}^{a CA}^ ^{2 ;}^{a SA SB SC}^ ^ ^²^a. Tính thể tích khối

chóp ^{S ABC}^. A.

26 3

24 a

. B.

26 3

12 a

. C.

26 3

4 a

. D.

26 3

8 a Câu 29: Cho cấp số cộng

 

un

thỏa mãn u²u⁹ 3;u⁴u⁶ 1. Tìm công sai của cấp số cộng

 

un

A. 4_. _B.2_. _C.2_. _D.3

Câu 30: Biết rằng ³ 4 2 2^a. Giá trị của a bằng A.

5

6. B.

15

2 . C.

1

2. D.

5 2

Câu 31: Cho a là số thực dương. Khi đó ^{log 8a}⁴ ³ bằng

A. ²

3 log

2 a

. B. ²

3 3log 2 2 a

. C. 2 3log ²a. D. 6 6log ²a.

(4)

Câu 32: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ^A



^{0, 2, 0 ;}

 

^B ^{3, 0,0 ;}

 

^C ^{0, 0, 4}



A. 0

2 3 4 x y z

  

. B. ^{3 2 4} ⁰ x y z

  

. C. 1

3 2 4 x y z

  

. D. ² ³ ⁴ ¹

x y z

   .

Câu 33: Hàm số ²

2

4 3

y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2_. _B.1_. _C._{0 .} _D.3.

Câu 34: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ^2a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng



^SCD



A.

2 21 7 a

. B.

14 6 a

. C.

3 14 7 a

. D.

21 6 a

. Câu 35: Tính thể tích khối lập phương nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3.

A. 18 3. B. 12 2. C. 24 3. D. 54 2.

Câu 36: Cho hàm số ^{y x x}^



^¹

 

² ^x^²

 

³ ^x^³



⁴. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. ^3. B. ^4. C. ^1. D. ^2.

Câu 37: Đạo hàm của hàm số 2 1

3

x

y x

 

bằng A. ² ¹



ln 2 ln 3 .



3

x x

 

B.

 

1

1 .2 . .3

x x

x x ^



C.

2 ln 21

3 ln 3 .

x x



D. ²



ln 2 ln 3 .



3

x

x 

Câu 38: Cho tam giác ABC vuông tại A_có^AB^^3,^AC^⁴. Tính diện tích xung quanh khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay quanh trục AB_.

A. 20 _. _B.15 _. _C.12_. _D.60_.

Câu 39: Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 16x² . Tính M m .

A. 8 8. B. 8 . C. 0. D. 8.

Câu 40: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA2a và SA vuông góc với đáy.

Tính cos_với là góc giữa hai mặt phẳng



^SCD



_và



^ABCD



_.

A.

1

5 . B.

2

5 . C.

2

3. D.

1 3.

Câu 41: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

có đồ thị như hình vẽ. Hỏi hàm số ^y^²⁰²²^{f f x}^ ^{ }^¹^ có bao nhiêu điểm cực trị^?

A. ⁹. B. ⁵. C. ³. D. ⁷.

Câu 42: Cho số phức z_{thỏa mãn} ^z ^¹. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ^P^{   }^z ¹ ^{z i} A. ^{8 4 2}^ . B. ². C. 2 2 2 . D. ^{2 2}.

Câu 43: Cho hàm số ^{f x}

 

liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ. Giả sử m là tham số thự C. Hỏi phương trình ^{f f x}

   

^^m có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực?

(5)

A. 5. B. 10. C. 7. D. 12.

Câu 44: Có bao nhiêu số thực c để hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yx² 4x c , trục hoành và các đường thẳng x2; x4 có diện tích bằng 3 .

A. ³ B. ⁰ C. ¹ D. ²

Câu 45: Cho hàm số ^y^ ^{f x}

 

là hàm đa thức bậc 4. Biết hàm số ^y^ ^{f x}^'

 

có đồ thị

 

^C như hình vẽ và diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đò thị

 

^C và trục hoành bằng 9. Gọi ^{M m}^, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ^y^ ^{f x}

 

_{trên đoạn}



^^{3; 2}



_{. Tính}_{M m}_

A.

16

3 . B.

32

3 . C.

27

3 D.

5 3.

Câu 46: Trong không gian ^Oxyzcho hai đường thẳng ¹

1 2

: ;

1 2 1

x y z

d  

  ₂ 2 1 1

: 2 1 1

x y z

d   

 

và mặt phẳng

 

^{P x y}^: ^{ }²^z^{ }^{5 0}. Lập phương trình đường thẳng d song song với mặt phẳng

 

^P _{và cắt}d d₁, ₂ lần lượt tại ^{A B}^, sao cho độ dài đoạn ^AB đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

1 2 2

1 1 1

x y z

 

  .B.

1 2 2

1 1 1

x y z

 

. C.

1 2 2

1 1 1

x y z

 

 .D.

1 2 2

1 1 1

x y z

 

 .

Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độ ^Oxyz, cho điểm ^A^{(1; 1;3)}^ và hai đurờng thã̉ng:

1 2

4 2 1 2 1 1

: , :

1 4 2 1 1 1

x y z x y z

d      d     

  . Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm ^A, vuông góc với đuờng thẳng d¹ và cắt đường thẳng d².

A.

1 1 3

2 1 1

x  y  z B.

1 1 3

2 1 1

x  y  z C.

1 1 3

2 1 1

x  y  z

 D.

1 1 3

2 1 1

x  y  z

 

Câu 48: Biết rằng có đúng một số phức z thòa mãn ^|^z^^{2 | |}ⁱ ^{  }^z ^{2 4 |}ⁱ vả z i z i



 là số thuần ảo. Tính tổng phần thực và phần ảo của z

A. ^4. B. 4_. _C.1_. _D.1_.

(6)

Câu 49: Cho hàm số ( )f x có đạo hàm trên  và thỏa mãn f x( ³3 )x x²2 với mọi số thực x. Tính

4 2 0

. ( )d x f x x



A.

27

4 . B.

219

8 . C.

357

4 . D.

27 8 . Câu 50: Có bao nhiêu số nguyên dương a để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thực



^a^log^x^¹



^log^a ^^a^log^x ^²^x^²

A. 8 . B. 1_. _C._{0 .} _D._{9 .}

---Hết--- BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

D D A C B B D D D D B B D A A C C B C D D B A A B

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

C B B C A B C A A C _ A A C A A C B A B B D C A D

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tìm

sin 2 d2 x x



A.

sin 4 8

xC

. B.

sin 4

2 8

x x

 C

. C.

cos 33

3 x C

 

. D.

sin 4

2 8

x x

 C . Lời giải

Chọn D

2 1 1 sin 4

sin 2 d cos 4 d

2 2 2 8

x x

x x   x x   C

 

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số

2x 4 y m x

 

 đồng biến trên



^1;^



A. 1_. _B.2_. _C.4_. _D.3.

Lời giải Chọn D

 

²

2m 4

y m x

  



Để hàm số đồng biến trên



^1;^



_thìy 0 với mọi ^x^{ }



^1;



_.

2 4 0

2 1

1

m m

m

  

      .

Mà ^m^{   } ^m



^1;0;1



Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm biểu diễn số phức ^z= +

(

¹ ⁱ

)

³ là

A.

(

^- ^{2; 2}

)

_. _B.

(

^{2; 2}^-

)

_. _C.

(

^{2; 2}

)

_. _D.

(

^- ^{2; 4}

)

_.

Lời giải ChọnA.

(7)

Ta có: ^z^{= +}

(

¹ ⁱ

)

³^{= +}

(

¹ ⁱ

) (

² ¹^{+ = + +}ⁱ

) (

^{1 2}^{i i}²

) (

¹^{+ =}ⁱ

) ( )(

^{2 1}ⁱ ^{+ =- +}ⁱ

)

^{2 2 .}ⁱ

Vậy điểm biểu diễn số phức z_là

(

^- ^{2; 2}

)

_.

Câu 4: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và không có chữ số nào lớn hơn 5.

A. ⁷⁵. B. ⁹⁰. C. ⁵². D. ⁶⁰.

Lời giải Chọn C

Gọi số cần tìm có dạng abc Trường hợp 1: Nếu ^c⁼⁰ Chọn a: 5 cách

Chọn b: 4 cách

Khi đó thành lập đc ^5.4⁼ ²⁰ số.

Trường hợp 2: Nếu ^c^¹ ⁰ Chọn :c có 2 cách.

Chọn a: 4 cách.

Chọn ^b: ⁴ cách.

Khi đó thành lập được ^2.4.4⁼³² số.

Vậy thành lập được tất cả ^{20 32}⁺ ⁼⁵² số.

Câu 5: Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng ^2a và có mặt bên tạo với đáy một góc bằng ^60°.

A.

4 3

3a

. B.

4 3 3

3 a

C.

4 3

3 3a

. D. 4 3a³.

Lời giải Chọn B

Gọi ^M là trung điểm ^DC^Þ ^OM ^{^}^DC^. Ta có: ^DC^{^}^{OM DC}^; ^{^}^SO^Þ ^DC^{^}

(

^SOM

)

_.

( ) ( )

(

^SDC ^; ^ABCD

) (

^{SM OM}^;

)

^SMO^·

Þ = = _{= °}₆₀

.

(8)

.tan 60 3.

SO OM a

Þ = °=

( )

² ² ⁴ ²

SABCD = a = a

Vậy thể tích chóp

3

1 1 2 4 3

. .4 . 3

3 ^ABCD 3 3

V = S SO= a a = a

Câu 6: Tìm



^x²



²^x³^^{1 d}



³ ^x

A.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. B.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. C.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. D.



² ³ ¹



⁴

24

 

x C

. Lời giải

Chọn B Đặt

3 2 2

2 1 6

6 t x  dt x dxx dx dt

Ta có 2



2 3 1



³ 1 3 ⁴



2 ³ 1



⁴

6 24 24

t x

x x dx t dt C  C

     

 

Câu 7: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ^log²



^x²^{   }^x ¹



^{2 log}² ^x_bằng?

A. 1_. _B.4. C. 2_. _D.3.

ĐKXĐ:

2 1 0 0

0

x x x

x

   

  

 



Ta có

     

 

2 2

2 2 2 2

2 2

log 1 2 log log 1 log 4

3 5 /

1 4 3 1 0 2

3 5 / 2

x x x x x x

x t m

x x x x x

x t m

       

 

 

        

  



Tổng tất cả các nghiệm của phương trình ^log²



^x²^{   }^x ¹



^{2 log}² ^x_bằng₃

Câu 8: Biết rằng phương trình

3 1

1 2

2 2

x

  x

  

  có một nghiệm thực duy nhất. Nghiệm đó thuộc khoảng nào dưới đây?

A.



^{ }^{6; 5}



_. _B.

 

^0;1 _. _C.



^{ }^{2; 1}



_. _D.



^^1;0



_.

Ta có ¹ ³² ¹ ² ³² ² ³¹ ³₂ ₃¹ ₁₁²



^1;0



2 2

x x x

x^ ^ ^ x x x

  

          

 

 

(9)

Câu 9: Cho



₀¹



^x²^²^x^³^{f x}

  

^d^x^¹_{. Tính}



₀¹^{f x x}

 

^d _.

A.

1 3



. B.

5 3



. C.

1 9



. D.

5

9 . Lời giải

Chọn D

Ta có



₀¹



^x²^²^x^³^{f x dx}

  

^{ }¹



₀¹



^x²^²^{x dx}



^³



₀¹ ^{f x dx}

 

^{   }¹ ²₃ ³



₀¹^{f x dx}

 

^¹

 

1 0

d 5 f x x 9



Câu 10: Cho hai số phức ^z^{ }^{1 2}ⁱ và ^w^{ }^{3 4}ⁱ. Tính z.w .

A. ¹²⁵. B. 5 . C. ⁵. D. 5 5 .

Ta có ^{z w}^. ^



^{1 2}^ ⁱ

 

^{3 4}^ ⁱ



^^{11 2}^ ⁱ ^^{5 5}

Câu 11: Viết phương trình mặt cầu tâm ^I



^{1; 2;0}^



và tiếp xúc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{1 0}

A.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^⁴_. _B.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^⁴_.

C.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^²_. _D.



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z² ^²_.

Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

 

^P _nên

   

 

²

2 2

1 4 0 1

; 2

1 2 2

R d I P   

  

  

. Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là



^x^¹

 

²^ ^y^²



²^^z²^⁴_.

Câu 12: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ^ABCD với ^A



^1;0;0



_,^B



^0;2;0



_,



^0;0;3



C , ^D



^{1; 2;3}



. Tìm tọa độ trọng tâm ^G của tứ diện ^ABCD.

A.

1 1 3 4 2 4; ; G 

 

 _. _B.

1 3 2;1;2 G 

 

 _. _C.

2 4; ;2 G3 3 

 

 _. _D.^G



^2;4;6



_.

Ta có:

1 0 0 1 1

4 4 2

0 2 0 2 1 3

1 ;1;

4 4 2 2

0 0 3 3 3

4 4 2

A B C D

G

A B C D

G

A B C D

G

x x x x

x

y y y y

y G

z z z z

z

     

   



     

      

  

      

   

 .

(10)

Câu 13: Tính

2 2 0

2 1d x  x x



.

A.

1

2. B. 2_. _C.

5

2. D. 1_.

Ta có

     

2 2 2 1 2

2 2

0 0 0 0 1

2 1d 1 d 1d 1 d 1 d

x  x x x x x x  x x x x

    

1 2

2 2

0 1

1 1 1

2 2 2 2

x x

   

         

    .

Câu 14: Cho hàm số y x ³12x1. Điểm cực tiểu của hàm số là

A. 2_. _B.15. C. ¹³. D. 2_.

Lời giải Chọn A

Ta có:

3 2

3 12; 0

2 y x y x

 x

 

 

  

 .

Điểm cực tiểu của hàm số là ^x^²

Câu 15: Số nghiệm nguyên dương của bất phưng trình

1 15 1

2 16

x

  

   là

A. ¹⁵. B. ⁸. C. ¹⁶. D. ⁹.

Lời giải ChọnA.

Điều kiện xác định ¹⁵^{   }^x ⁰ ^x ¹⁵.

Khi đó

15 15 4

1 1 1 1

15 4 15 16 1

2 16 2 2

x x

x x x

 

               

     

      .

Kết hợp với điều kiện ta được ^{  }¹ ^x ¹⁵ mà x^;x  ⁰ x



1;2;3;4;...;14;15



. Câu 16: Số phức liên hợp của số phức

4 z 1

 i

 là

A. ^{2 2i}^ . B. ^{ }^{2 2i}. C. ^{2 2i}^ . D. ^{ }^{2 2i}.

(11)

Ta có:

4 2 2 2 2

z 1 i z i

 i     



Câu 17: Một lớp học sinh có 15 học sinh nữ và 25 học sinh nam. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn ban cán sự lớp gồm 3 học sinh. Tính xác suất để ban cán sự có cả nam và nữ.

A.

251

1976. B.

2625

9880 . C.

1425

1976 . D.

450 988 . Lời giải

Chọn C

Tổng số học sinh của lớp là: ^{15 25 40}^ ^ .

Chọn 3 học sinh bất kì có số cách chọn là: ^C⁴⁰³ ^⁹⁸⁸⁰.

Chọn 3 học sinh trong đó có 2 nam và 1 nữ có số cách chọn là: ^{C C}¹⁵¹^. ²⁵² ^⁴⁵⁰⁰. Chọn 3 học sinh trong đó có 1 nam và 2 nữ có số cách chọn là: ^{C C}¹⁵²^. ²⁵¹ ^²⁶²⁵. Chọn 3 học sinh trong đó cả nam và nữ có số cách chọn là:^{C C}¹⁵¹^. ²⁵² ^ ^{C C}¹⁵²^. ²⁵¹ ^⁷¹²⁵. Vậy xác suất để ban cán sự có cả nam và nữ là:

7125 75 1425 9880 104 1976

P  

.

Câu 18: Cho hàm số y x ³3x1. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

A. y1. B. y  3x 1. C. y3x1. D. y  3x 1. Lời giải

Chọn B

Đồ thị hàm số giao với trục tung tại ^M

 

^0;1 _.

Ta có: ^y^^³^x²^{ }³ ^y^

 

⁰ ^{ }³_.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại ^M

 

^0;1 _là:^y^{ }³



^x^⁰



^{   }¹ ³^x ¹_.

Câu 19: Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng ², độ dài đường sinh bằng ^{2 2}

A. ⁸ . B. 4 _. _C.4 2 _. _D.8 2_.

Thể tích của khối trụ là:^V ^^^{r h}² ^^^{.2.2 2}^^{4 2}^ .

Câu 20: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm ^A



^{2;1; 3}^



_,^B



^3;0;1



A.

4 1 5 4

x t

y t

z t

  

  

  

 . B.

2 1

3 4

x t

y t

z t

  

  

   

 . C.

3 1 4

x t

y t

z t

  

 

  

 . D.

4 1 5 4

x t

y t

z t

  

   

  

 .

Ta có: ^^AB



^{1; 1; 4}^



_.

(12)

Đường thẳng đi qua hai điểm ^A



^{2;1; 3}^



_,^B



^3;0;1



_nhận^^AB



^{1; 1;4}^



làm vectơ chỉ phương có

phương trình là:

2 1

3 4

x t

y t

z t

  

  

   

 .

Ta thấy điểm ^M



^{4; 1;5}^



^^AB và đường thẳng 4

1 5 4

x t

y t

z t

  

   

  

 và đường thẳng AB cùng vectơ chỉ phương nên chúng trùng nhau chọn đáp án D.

Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình sau là phương trình mặt cầu:

2 2 2 2 4 2 6 10 0

x y  z x z m  m  .

A. ⁵. B. ⁰. C. ². D. ³.

Phương trình x²y²z²2ax2by2cz d 0 với a²   b² c² d 0 là phương trình của một mặt cầu.

Từ đó ta có: ² ² 1

2

6 10

2 1

2 0

4

6 0

0 2

a a

b

d

m m

c c

m

b

d m

   

 

   

 

   

 

    

    

Để phương trình đã cho là phương trình mặt cầu ta phải có



²



2 2 2 0 1 0 4 6 10 0

a b c  d     m  m 

2 6 5 0 1 5

m m m

      

Do ^m^^ nên có ³ giá trị tìm được ^m^



^{2;3; 4}



_.

Câu 22: Người thợ làm một bể cá hai ngăn không nắp với thể tích 1296 dm³. Người thợ này cắt các tấm kính ghép lại một bể cá dạng hình hộp chữ nhật với ba kích thước , ,a b c (mét) để đỡ tốn kính nhất như hình vẽ và giả thiết rằng độ dày của kính không đáng kể. Tính ^{a b c}^{ }

b c

a

A. 3,3 . B. 3,6 . C. 4,8 . D. 3,9 .

Ta có 1296dm³1, 296 m³ Diện tích đáy bể cá là: ^ab

Diện tích các mặt bên bể cá là: ²^ac^³^bc

(13)

Diện tích kính cần dùng là: ^{S ab}^ ^²^ac^³^bc

Theo bất đẳng thức Côsi áp dụng với 3 số dương ta có

 

²

 

²

3 3 3

2 3 3 .2 .3 3 6 3 6 1, 296

S ab  ac bc ab ac bc  abc  Dấu bằng xảy ra khi

2 2

2 3 3

2 3

2 b c ab ac

ab ac bc

ac bc a b

 

  

     

Thay vào abc1, 296 ta được 6c³ 1, 296 c 0,6;b1, 2;a1,8 Vậy a b c  0, 6 1, 2 1,8 3,6  

Câu 23: Biết ¹

 

1

d 6

f x x







, tích phân

 

1

0

2 1 d f x x



bằng

A. 3. B. 6. C. 12. D. 2.

Ta có

       

1 1 1

0 0 1

1 1 1

2 1 d 2 1 d 2 1 d .6 3

2 2 2

f x x f x x f t t



      

  

. Câu 24: Cho số phức ^z^{ }



¹ ⁱ



⁴. Tìm phần ảo của số phức ^{w iz}^

A. ^⁴. B. ⁴. C. ⁴ⁱ. D. ^⁴ⁱ.

Ta có ^z^{ }



¹ ⁱ

 

⁴ ^{ }¹ ⁱ

 

² ¹^ⁱ

 

² ^{ }²ⁱ

 

^²ⁱ



^{ }⁴

Do đó ^w^{    }^{iz i}

 

⁴ ⁴ⁱ_.

Vậy phần ảo là: -4

Câu 25: Đồ thị hàm số nào sau đây không cắt trục hoành?

A. y x ³5x2. B. y x ⁴3x²3. C.

1 2 y x

x

 

 . D. y x ³ 3x 1. Lời giải

Chọn B

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số ở bốn phương án Phương trình x³5x 2 0có ¹ nghiệm (Sử dụng máy tính cầm tay CASIO) Phương trình x⁴3x² 3 0vô nghiệm (Sử dụng máy tính cầm tay CASIO) Phương trình

1 0 2

x x

 

 có nghiệm ^x^¹ (Sử dụng máy tính cầm tay CASIO) Phương trình x³3x 1 0có ³ nghiệm (Sử dụng máy tính cầm tay CASIO) Câu 26: Hàm số y x ²2lnx đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.



^^1;0



_. _B.

 

^0;1 _. _C.

 

^{1; 2} _. _D.



^^1;1



(14)

ĐK: ^x^⁰ và 2 2

y x

  x

2 1

0 2 2 0

1

y x x

x

  

        Bảng xét dấu

Vậy hàm số đồng biến trên

 

^{1; 2}

Câu 27: Viết phương trình đường thẳng đi qua ^A



^{1; 2;0}^



và vuông góc với mặt phẳng

 

^{P x}^: ^²^y^²^z^{ }^{1 0}

A. x2y2z 3 0. B.

1 2

1 2 2

x  y  z

 . C.

1 2

1 2 2

x  y  z

 . D. x2y2z 5 0 Lời giải

Chọn B

Đường thẳng ^d ^

 

^P __d có một vtcp là ^u^ ^



^{1; 2; 2}^



Phương trình đường thẳng

1 2

: 1 2 2

x y z

d    



Câu 28: Cho hình chóp ^{S ABC}^. có ^{AB a BC}^ ^; ^ ^{3 ;}^{a CA}^ ^{2 ;}^{a SA SB SC}^ ^ ^²^a. Tính thể tích khối chóp ^{S ABC}^.

A.

26 3

24 a

. B.

26 3

12 a

. C.

26 3

4 a

. D.

26 3

8 a Lời giải

Chọn B

Xét ^^ABC có BC² AB²AC²  ABC vuông tại A

SA SB SC   hình chiếu của ^S lên



^ABC



trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp ^^ABC Gọi H là trung điểm của ^BC ^^SH ^



^ABC



(15)

* Diện tích tam giác ^ABC là

1 1 2 2

. . . . 2

2 2 2

S  AB AC a aa

*

 

2 2

2 2 3 13

2 2 2 2

BC a a

SH  SC    a   

Thể tích khối chóp ^{S ABC}^. là

2 3

1 1 13 2 26

. . . .

3 ^ABC 3 2 2 12

a a a

V  SH S  

Câu 29: Cho cấp số cộng

 

un thỏa mãn u²u⁹ 3;u⁴u⁶ 1. Tìm công sai của cấp số cộng

 

un

A. 4_. _B.2_. _C.2_. _D.3

Có

2 9 1 1 1

4 6 1 1 1

3 8 3 2 9 3

1 3 5 1 2 8 1 2

u u u d u d u d

u u u d u d u d d

       

  

   

          



Câu 30: Biết rằng ³ 4 2 2^a. Giá trị của a bằng A.

5

6. B.

15

2 . C.

1

2. D.

5 2 Lời giải

Chọn A Có

1 2 .1 5 3 4 2 32 . 22 2 2 3 26

  

 

 

  

Câu 31: Cho a là số thực dương. Khi đó ^{log 8a}⁴ ³ bằng

A. ²

3 log

2 a

. B. ²

3 3log 2 2 a

. C. 2 3log ²a. D. 6 6log ²a. Lời giải

Chọn B Ta có

3 3

4 4 4 2 2 2

3 3 3 3

log 8 log 8 log log 2 log log

2 2 2 2

a   a   a  a

.

Câu 32: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ^A



^{0, 2, 0 ;}

 

^B ^{3, 0,0 ;}

 

^C ^{0, 0, 4}



A. 0

2 3 4 x  y z

. B. ^{3 2 4} ⁰ x  y z

. C. 1

3 2 4 x  y z

. D. ² ³ ⁴ ¹

x  y z . Lời giải

Chọn C

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm ^A



^{0, 2, 0 ;}

 

^B ^{3, 0, 0 ;}

 

^C ^{0, 0, 4}



_là₃^x^{  }_{2 4}^y ^z ¹_.

Câu 33: Hàm số ²

2

4 3

y x

x x

 

  có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 2_. _B.1_. _C._{0 .} _D.3.

(16)

Tập xác định của hàm số ^D^{ }



^{;2 \ 1}

  

_.

Ta có:

2

lim lim 2 0 0

4 3

x x

y x y

x x

 

  

       là TCN

Ta có:

2 1

4 3 0

3 x x x

x

 

     

Vì

1 1 2

lim lim 2

4 3

x x

y x

x x

 

 

  

     ;

1 1 2

lim lim 2

4 3

x x

y x

x x

 

 

  

     . Suy ra ^x^¹là TCĐ

3 3 2

lim lim 2

4 3

x x

y x

x x

 

  

     không xác định.Vì ^x^{ }³ ^D Vậy hàm số có 2 đường tiệm cận.

Câu 34: Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh ^2a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng



^SCD



A.

2 21 7 a

. B.

14 6 a

. C.

3 14 7 a

. D.

21 6 a

. Lời giải

Chọn A

Gọi M H, lần lượt là trung điểm của CD AB, . Do mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ^SH ^



^ABCD



^^SH ^^a ³_và

 

CDHM CD SMH . Kẻ ^HK ^^SM ^^HK ^



^SCD



_.

Do đó ^{d A SCD}



^;

  

^^{d H SCD}



^;

  

^^HK

(17)

Xét tam giác SMH vuông tại H_có

   

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 . 2 . 3 2 21

2 3 7

HS HM a a a

HK HS HM HK HS HM a a

     

 

. Vậy ^{d A SCD}



^;

  

^^HK ^ ²^a₇²¹

.

Câu 35: Tính thể tích khối lập phương nội tiếp mặt cầu có bán kính bằng 3.

A. 18 3. B. 12 2. C. 24 3. D. 54 2.

Đặt ^{AB a}^ . Suy ra mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính

3 3 2 3

2

R a   a . Vậy thể tích khối lập phương cần tìm: V a ³ 24 3.

Câu 36: Cho hàm số ^{y x x}^



^¹

 

² ^x^²

 

³ ^x^³



⁴. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

A. ^3. B. ^4. C. ^1. D. ^2.

Lời giải Chọn?

                       

       

2 3 4 3 4 2 2 4 2 3 3

2 3

2 3 3 2

1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 4 1 2 3

1 2 3 1 2 3 2 2 3 3 1 3 4 1 2

1 2 3 10 40 40 6

y x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

                

                 

      

 

1 2 . 0 3

2, 49 0,18 1,33 x

x ng kép y x

x x x

  

  

  

   

  



Vậy hàm số đã cho có 5 điểm cực trị.

(18)

Câu 37: Đạo hàm của hàm số 2 1

3

x

y x

 

bằng A. ² ¹



ln 2 ln 3 .



3

x x

 

B.

 

1

1 .2 . .3

x x

x x ^



C.

2 ln 21

3 ln 3 .

x x



D. ²



ln 2 ln 3 .



3

x

x 

 

1 1

2 2 2 2 2

2 2. .ln ln 2 ln 3 .

3 3 3 3 3

x x

y

    

     

             

Câu 38: Cho tam giác ABC vuông tại A_có^AB^^3,^AC^⁴. Tính diện tích xung quanh khối nón sinh ra khi cho tam giác ABC quay quanh trục AB_.

A. 20 _. _B.15 _. _C.12_. _D.60_.

Khối nón sinh ra có bán kính đáy là R AC 4, đường sinh l BC  AB²AC² 5. Vậy diện tích xung quanh khối nón bằng: Rl20 .

Câu 39: Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 16x² . Tính M m .

A. 8 8. B. 8 . C. 0. D. 8.

Xét hàm số: y x 16x² TXĐ:



^^{4; 4}



_.

Hàm số liên tục trên



^^{4; 4}



_.

 

2 2

2

2 2

16 16 2 , 4;4

16 16

x x

y x x

x x

        

  ; ^y^{    }⁰ ^x ^{2 2}.

 

⁴ ⁰

y  

, ^y

 

^{2 2} ^⁸_,^y



^^{2 2}



^{ }⁸_.

(19)

Vậy M 8,m 8.