Công thức tính trả góp vay vốn chi tiết nhất – Toán 12

(1)

Chương II. Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit Công thức tính trả góp vay vốn chi tiết nhất

1. Bài toán trả góp vay vốn

- Khách hàng vay A đồng với lãi suất r%/tháng. Cứ sau đúng 1 tháng thì khách hàng trả a đồng. Hỏi sau bao lâu thì khách hàng hết nợ

- Phân tích: Số tiền khách hàng còn nợ sẽ được nhân với lãi rồi cộng vào tháng sau theo hình thức lãi kép. Do vậy ta sẽ tính số tiền còn nợ của khách hàng sau tháng thứ n. Khi nào số tiền này bằng 0 thì khách hàng hết nơ.

2. Công thức tính số tiền còn nợ

- Số tiền còn nợ sau tháng 1 là T1 =A 1 r

(

+ −

)

a

- Số tiền còn nợ sau tháng 2 là T2 =A 1 r

(

+ − +

)

a A 1 r

(

+ −

)

a r −a T2 =A 1 r

(

+

)

² −a 1 r

(

+ −

)

a

- Số tiền còn nợ sau tháng 3 là:

( )

²

( ) ( )

²

( )

T3 = A 1 r+ −a 1 r+ − +a A 1 r+ −a 1 r+ −a .r −a

( )

³

( )

²

( )

T3 = A 1 r+ −a 1 r+ −a 1 r+ −a ...

- Số tiền còn nợ sau tháng n là:

( )

ⁿ

( )

^{n 1}

( )

^{n 2}

Tn =A 1 r+ −a 1 r+ ⁻ −a 1 r+ ⁻ − −... a

( )

ⁿ

( )

^{n 1}

( )

^{n 2}

Tn A 1 r a 1 r ⁻ 1 r ⁻ ... 1

 

 

= + − + + + + +

 

 

( )

ⁿ

( )

ⁿ

n

T A 1 r a. 1 r 1

r

 

= + −  + − 

- Nhận xét: Công thức trên giống với công thức của bài toán: Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi suất r%/tháng. Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi thì rút ra a đồng (Bài toán gửi ngân hàng và rút tiền hàng tháng).

Tổng cấp số nhân có n số hạng

(2)

- Khi nào khách hàng trả xong nợ?

Số nợ bằng không T_n =0 ^{A 1 r}

( )

ⁿ ^a^{. 1 r}

( )

ⁿ ¹

r

 

 + =  + − 

(

^{1 r}

)

ⁿ ^a

a Ar

 + = 

− ^{1 r}

n log a

a Ar

= +

− 3. Ví dụ vận dụng

VD1. Anh An vay ngân hàng 350 triệu để xây nhà và trả góp mỗi tháng 8 triệu với lãi suất 0,8%/tháng. Kì trả đầu tiên là cuối tháng thứ nhất. Hỏi số tiền phải trả ở kì cuối là bao nhiêu để anh An hết nợ ngân hàng?

Lời giải:

Áp dụng công thức với A=350 triệu; a=8 triệu và r=0,8%

Ta có thời gian trả hết nợ là _{1 r} a _1,008 8

n log log 54,06

a Ar 8 350.0,008

= + = 

− −

Tức là đến cuối tháng 54 anh An vẫn nợ

( )

⁵⁴

( )

⁵⁴

54

T 350 1 0,8% 8 1 0,8% 1 0,5

0,8%

 

= + −  + −  triệu

Kì trả nợ tiếp theo là cuối tháng 55 nên anh phải trả số tiền nợ còn lại ở tháng 54 và lãi mà khoản nợ đó sinh ra. Tức là: 0,5 0,5.0,8% 505642+  đồng.

VD2. Một người vay 50 triệu thời hạn 48 tháng với lãi suất 1,15%/tháng. Hỏi hàng tháng, người đó phải đều đặn trả một khoản tiền là bao nhiêu để đến tháng thứ 48 thì người đó trả hết nợ cho ngân hàng?

Lời giải:

Gọi a là số tiền khách hàng phải trả cho ngân hàng mỗi tháng Số tiền khách còn nợ sau tháng 48 là:

( )

⁴⁸

( )

⁴⁸

48

T 50 1 1,15% a . 1 1,15% 1

1,15%

 

= + −  + − 

Theo bài ta có: 48

( )

⁴⁸

( )

⁴⁸

T 0 50 1 1,15% a . 1 1,15% 1 0

1,15%

 

=  + −  + − =

( )

48 48

50 1 1,15% .1,15%

a 1,361

1 1,15% 1

 = + 

+ − triệu.

(3)

VD3. Ông B đến siêu thị điện máy để mua một cái laptop với giá 15,5 triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 2,5%/tháng. Để mua trả góp ông B phải trước 30% số tiền, số tiền còn lại ông sẽ trả dần trong thời gian 6 tháng kể từ ngày mua, mỗi lần trả cách nhau 1 tháng. Số tiền mỗi tháng ông B phải trả là như nhau và tiền lãi được tính theo nợ gốc còn lại ở cuối mỗi tháng. Hỏi nếu ông B mua theo hình thức trả góp như trên thì số tiền phải trả nhiều hơn so với giá niêm yết là bao nhiêu?

Biết rằng lãi suất không đổi trong thời gian ông B hoàn nợ (làm tròn đến chữ số hàng nghìn).

Lời giải:

Ông B còn nợ số tiền là 15,5 30%.15,5 10,85− = triệu.

Áp dụng công thức với A 10,85; n= =6; r=2,5%

Số tiền ông B còn nợ sau 6 tháng là:

( )

⁶

( )

⁶

6

T 10,85 1 2,5% a . 1 2,5% 1

2,5%

 

= + −  + − 

Theo bài, ông B trả hết nợ sau 6 tháng tức là T₆ =0

( )

⁶ ^a

( )

⁶

10,85 1 2,5% . 1 2,5% 1 0

2,5%

 

 + −  + − =

Giải phương trình suy ra số tiền ông B phải đóng hàng tháng là: 1,97 triệu.

Suy ra tổng số tiền ông B đã đóng là: 1,97.6 30%.15,5 16,47+ = triệu Vậy ông B đóng nhiều hơn 16,47 15,5− (970 nghìn) so với giá niêm yết.

4. Luyện tập

Bài 1. Một anh công nhân được lĩnh lương khởi điểm là 700 nghìn / tháng. Cứ 3 năm anh lại được tăng lương thêm 7%. Hỏi sau 36 năm anh công nhân nhận được tổng cộng bao nhiêu tiền?

Bài 2. Anh Thắng vay trả góp ngân hàng số tiền 500 triệu đồng với lãi suất 0,9%/tháng , mỗi tháng trả 12 triệu. Sau bao nhiêu tháng thì anh Thắng trả hết nợ?

Bài 3. Thái mua điện thoại Iphone X giá 12 triệu. Cửa hàng yêu cầu trả trước 20%

và trả trong vòng 1 năm với lãi suất 1,15%/tháng. Hỏi mỗi tháng Thái phải trả cho cửa hàng bao nhiêu tiền?

(4)

Bài 4. Ông Vinh đã làm hợp đồng vay vốn ngân hàng với số tiền là A triệu đồng với lãi suất 12%/năm. Ông Vinh muốn hoàn nợ lại cho ngân hàng sau 8 tháng kể từ ngày vay theo cách sau: đúng một tháng kể từ ngày ông Vinh vay vốn, ông Vinh bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau một tháng, số tiền hoàn nợ mỗi tháng là 5 triệu đồng. Tính số tiền mà ông Vinh đã vay.