Bài tập tỉ số thể tích khối đa diện - Lê Bá Bảo

TỶ SỐ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

I- PHƯƠNG PHÁP

Kết quả 1: Cho tam giác OAB, trên cạnh OA chọn A'O, trên cạnh OB chọn B'O.

Lúc đó: ^{' '} ' '

OA B .

OAB

S OA OB

S  OA OB Chứng minh:

1 1

2 2

Gọi H, H' lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc của A v¯ A' lên OB.

Lúc đó: S_{OA B' '}  A H OB' '. ' v¯ S_OAB  AH OB.

 

Suy ra:

Định lý thales

' ' ' ' ' ' '

. .

OA B OAB

S A H OB OA OB

S  AH OB  OA OB _B' H' H

A'

B A

O

Kết quả 2:

Cho hình chóp S ABC. , trên cạnh SA chọn A'O, trên cạnh SB chọn B'O trên cạnh S chọn C C'O.

Lúc đó: ^{. ' ' '} .

.

' ' '

S A B C .

S ABC

V SA SB SC

V  SA SB SC Chứng minh:

Gọi H, H' lần lượt l¯ hình chiếu vuông góc của A v¯ A' lên mp . Lúc đó:

(SBC)

1 1

3 v¯ V 3

. ' ' ' ' '. ' ' . .

S A B C SB C S ABC SBC

V  A H S  AH S

 

Suy ra:

. Định lý thales

V

. ' ' ' ' '

.

' ' ' ' '

. .

S A B C SB C

S ABC SBC

V A H S SA SB SC

AH S SA SB SC

  ^{C' H' H}

B' A'

C

B A

S

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Tỉ số thể tích của khối AA B C' ' ' và khối ABCC' là

A. 1. B. ¹

2 . C. ¹

3. D. ² 3. Lời giải

Ta có:

   

 

 

1 3

1 3

' ' ' ' ' '

'

; ' ' ' .

; .

A B C AA B C

C ABC

ABC

d A A B C S V

V d C ABC S

 (1)

Do S_ABC S_{A B C' ' '} và ^{d A A B C}





 



^{ } 

nên (1): ^{' ' '} 1

' AA B C

C ABC

V

V  .

Chọn đáp án A.

A'

B'

C' B

A C

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SB SD. Mặt , phẳng





A. ₂ ¹ ₁ 3 .

V  V B. ₂ ¹ ₁ 4 .

V  V C. ₂ ¹ ₁ 8 .

V  V D. ₂ ¹ ₁ 6 . V  V Lời giải

1 2 SM SN SI

SB SD SO  Qua O dựng OK // AE.

Xét AEC: 1 2 / / OK AE

OK AE

 

 . Suy ra: K là trung điểm EC.

Xét SOK: ₁ 2 / / IE OK IE OK

 

 . Suy ra: E là trung điểm SK. Vậy ¹

3 SE SC 

Ta có: 2 1 1 1

2 2 3 6

. .

. .

. . .

S AMEN S AME S ABCD S ABC

V V SA SM SE

V  V SA SB SC   1

. 6 .

S AMEN S ABCD

V V

  hay ₂ ¹ ₁

6 . V  V

I K

O

E

M N

S

D C

B A

Chọn đáp án D.

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD. Điểm M là trung điểm AB và N trên cạnh CD sao cho CN2ND

. Tỉ số thể tích của khối ABCD và khối MNBC bằng

A. 3. B. ³

2. C. ¹

3. D. ⁴ 3. Lời giải

Ta có:

1 2 1

2 3 3

1 3

3

; .

.

BMCN BACN BMCN BACN

BACN BACD BACN BACD

BMCN BACD

BACD BMCN

V V V V

V V V V

V V

V V

   

   

Chọn đáp án A. _D

A

B

C M

N

Ví dụ 4: Cho hình chóp S ABC. . Gọi M N, lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho

, 2 .

SMMB SN  CN

Mặt phẳng





2 ABCNM

V V . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V₁ V₂. B. ₁ ¹ ₂ 3 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 2 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V Lời giải

Ta có: 1 2 1

2 3 3

. .

. . .

S AMN S ABC

V SM SN

V  SB SC  

1 2

3 3

. . .

S AMN S ABC ABCNM S ABC

V V V V

   

Vậy ₁ ¹ ₂ 2 . V  V

Chọn đáp án C.

M N

C

B A

S

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S ABC. . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BC SM, . Mặt phẳng





.

S ABC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₂ ¹ ₁ 3 .

V  V B. ₂ ¹ ₁ 4 .

V  V C. ₂ ¹ ₁ 8 .

V  V D. ₂ ¹ ₁ 6 . V  V Lời giải

Qua M dựng MK // BE. Xét tam giác BEC:

12 / / MK BE

MK BE

 

 . Suy ra: K là trung điểm EC. Xét tam giác SMK: ₁

2 / / NE MK

NE MK

 

 . Suy ra: E là trung điểm SK. Vậy ¹

3 SE SC 

Ta có: 1 1

3 3

.

. .

.

. .

S ABE

S ABE S ABC S ABC

V SA SB SE

V V

V SA SB SC    hay ₂ ¹ ₁

3 .

V  V Chọn đáp án A.

K E

N

M C

B A

S

Ví dụ 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Gọi E F, lần lượt là trung điểm của các cạnh AA' và BB'.

Đường thẳng CE cắt đường thẳng C A' ' tại E'. Đường thẳng CF cắt đường thẳng B C' ' tại F'.

Gọi V₂ là thể tích khối chóp C ABFE. và V₁ là thể tích khối lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₂ ¹ ₁ 3 .

V  V B. ₂ ¹ ₁ 4 .

V  V C. ₂ ¹ ₁ 8 .

V  V D. ₂ ¹ ₁ 6 . V  V Lời giải

Hình chóp C A B C. ' ' ' và lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có đường cao và đáy bằng nhau nên

1 1 1

1 1 2

3 3 3

. ' ' ' . ' ' ' . ' ' .

C A B C ABC A B C C ABB A

V  V V V  V  V

Do EF là đường trung bình của hình bình hành

1

1 1 1

2 ^{' ' .} 2 ^{. ' '} 3

' ' _{ABFE ABB A C ABFE C ABB A}

ABB A S  S V  V  V

hay ₂ ¹ ₁ 3 .

V  V Chọn đáp án A.

E'

F' F E

A'

B' C' C

B A

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC, trên AB, BC, SC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM2MB, 4 ,

BN NC SP PC . Tỉ lệ thể tích hai khối chóp S BMN. và A CPN. là:

A.⁴

3. B.⁵

6. C.⁸

3. D.1.

Lời giải

+ 1 4 4

3 5 15

. .

. .

. . .

S BMN B MNS S ABC B ACS

V V BM BN BS

V  V  BA BC BS 

+ 1 1 1

5 2 10

. .

. .

. . .

A CPN C ANP S ABC C ABS

V V CA CN CP

V  V CA CB CS   4 1 8

15 10 3

. . S BMN :

A CNP

V

 V  

P

N

M B A

S

C

Chọn đáp án C.

Ví dụ 8: (Đề minh họa Bộ GD&ĐT) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau; AB6a,AC7a và AD4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD, DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.

A. ^{7 3}

2 .

V  a B.V 14a³. C. ^{28 3} 3 .

V  a D.V 7a³. Lời giải

Ta có: ¹ 28 ³

6 . . .

VABCD  AB AC AD a

Dễ thấy MNP được tạo nên bởi các đường trung bình của BCDchúng đồng dạng với nhau theo tỉ số

1 1 1 1 1 3

2 ^{AMNP MNP} 2 2. 4 _AMNP 4 _ABCD 7 .

ABCD BCD

V S

V V a

V S

      

Chọn đáp án D. M

N P

D

A

B

C

Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Gọi O là tâm của ABCD; M N, lần lượt là trung điểm của A B' ' và A D' '. Tỉ số thể tích của khối A ABD' và khối OMND C B' ' ' bằng

A. ⁴

9. B. ⁴

7 . C. ⁵

7. D. ³ 7.

Lời giải

Do S_ABD S_{A B D' ' '}S_{MND C B' ' '} S_{B C D' ' '}S_MND'B'

'B'

ABD MND

S S

 

Mặt khác ta có: 1 3 3

4 4 4

'

'B' ' ' '

' ' ' A MN

MND A B D ABD

A B D

S S S S

S    

Suy ra: ⁷

' ' ' 4

MND C B ABD

S  S .

Ta có:

   

 

 

1 3 1 3

' ' ' '

' ' '

'; .

; ' ' ' ' .

A ABD ABD

OMND C B

MND C B

d A ABCD S V

V d O A B C D S



4

' ' ' 7

ABD .

MND C B

S

S  Chọn đáp án B.

O

N M

A'

B'

D'

C' A D

B C

Ví dụ 10: Cho hình chóp S ABC. có SA vuông góc với mặt đáy, SA a , ABC đều cạnh 2a. Gọi ,

M N lần lượt thuộc các cạnh SB SC, sao cho SMMB SN,  2CN.

Tính thể tích khối .

AMNCB A.

2 3 3

9a .

B.

3 3

9a .

C.

4 3 3

9a .

D.

2 3 3

3a . Lời giải

Ta có: 3 2

 

4 3 ^. 3 . 3 .

ABC S ABC ABC

a a

S_   a V  SA S_ 

Ta có: 1 2 1

2 3 3

. .

. . .

S AMN S ABC

V SM SN

V  SB SC  

1 2 2 3 3

3 3 9

. . . .

S AMN S ABC ABCNM S ABC

V V V V a

    

Chọn đáp án A.

2a a

S

A

B

C

M N

Ví dụ 11: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SA. Mặt phẳng

 





1 S ABCD.

V V và V₂ V_{S MNPQ.} . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V₁ 8V₂. B. V₁ 6V₂. C. V₁16V₂. D. V₁ 4V₂. Lời giải

Dễ thấy, N P Q, , lần lượt là trung điểm các cạnh

, , .

SB SC SD Ta có:

1 2

2 2

2 1 1 1 1

2 2 2 2 8

8

. .

.

. .

. .

. . . . .

.

S MNPQ S MNP S ABCD ABC

S MNPQ S MNP S ABCD S ABC

V V

V V

V V SM SN SP

V V SA SB SC

V V

 



 

    

 

Chọn đáp án A.

Q P

M N

S

D C

A B

Ví dụ 12: Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh SC. Mặt phẳng

 

1 S ANMP.

V V và V₂ V_ABCDPMN. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. V₂ 3V₁. B. ₂ ³ ₁ 2 .

V  V C. V₂ 2V₁. D. ₂ ⁷ ₁ 2 . V  V Lời giải

Gọi ^BDAC

 

 

trọng tâm SAC và SBD. Qua I dựng / /

PN BDThiết diện là tứ giác ANMP.

Ta có: ¹ 2 2 1 1

2 3 2 3

.

. .

. .

S ANM S ABCD S ABC

V

V SN SM

V  V  SB SC  

1 2 2 1

1 2

3 _{S ABCD}^. 3 _{S ABCD}^. 2 .

V V V V V V

     

Chọn đáp án C.

I

O

A B

D C S

M

N P

Ví dụ 13: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M N P Q, , , lần

lượt thuộc các cạnh SA SB SC SD, , , sao cho 2 3 ¹

; ; ; 3 .

SMMA SN NB SP PC SQ  SD

Tính thể tích khối SMNPQ.

A.

3 2 3

16a .

B.

2 3

48a .

C.

2 3

16a .

D.

2 3

32a . Lời giải

Ta có: 1 2 3 1 2 3 4 4

. .

. . . .

S MNP S ABC

V SM SN SP

V  SA SB SC  

1 1

4 8

. . . .

S MNP S ABC S ABCD

V V V

  

Tương tự: 1 3 1 1

2 4 3 8

. .

. . . .

S MPQ S ACD

V SM SP SQ

V  SA SC SD  

1 1

8 16

. . . .

S MPQ S ACD S ABCD

V V V

  

Vậy ³

. . 16 .

SMNPQ S MNP S MPQ S ABCD

V V V  V

3 3

3 2 2

16. 6a 32a .

 

Chọn đáp án D.

Q

P N

M

S

D

C

A B

O

Ví dụ 14: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Gọi V₁ V_{A A B C. ' ' '} và V₂ V_{ABC A B C. ' ' '}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₁ ³ ₂ 4 .

V  V B. ₁ ¹ ₂ 2 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 3 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V Lời giải

Ta có: ¹

   

. ' ' ' 3 ; ' ' ' . ' ' '

A A B C A B C

V  d A A B C S_ và V_{ABC A B C}. ' ' ' d A A B C





 

2

1 3. V

V 

Chọn đáp án C.

B' A' C'

A

B

C

Ví dụ 15: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Điểm M trên cạnh AA' sao cho: AM2MA'. Gọi

1 M BCC B. ' '

V V và V₂ V_{ABC A B C. ' ' '}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₁ ³ ₂ 4 .

V  V B. ₁ ¹ ₂ 2 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 3 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V Lời giải

Do AA'/ /





Ta có: ^{1 2}

3 3

. ' ' ' . ' ' ' . ' ' . ' ' '.

A A B C ABC A B C A BCC B ABC A B C

V  V V  V

Suy ra: ¹

2

2 3. V

V 

Chọn đáp án D.

M

C

B A

A' C'

B'

Nhận xét: Điểm M có vẻ như có thể nằm bất kì trên đường thẳng AA'? Kết quả tỉ số thể tích trên vẫn đúng!

Ví dụ 16: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Gọi V₁V_BACB' và V₂ VABCD A B C D_{. ' ' ' '}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₁ ⁵ ₂ 9 .

V  V B. ₁ ¹ ₂ 6 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 3 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V Lời giải

Ta có: V_{B ACB}. ' ¹₃d A BCB





 

 

 

 

 

1 1

3 2

1 1

6 6

' '

' ' . ' ' ' '

; ' ' .

; ' ' . .

BCB C

BCB C ABCD A B C D

d A BCB C S

d A BCB C S V







 

Suy ra: ¹

2

1 6. V

V 

Chọn đáp án B.

D

A

B

C

D'

A' B'

C'

Ví dụ 17: Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Gọi M là trung điểm cạnh AB. Gọi V₁V_MBCB' và

2 ABCD A B C D. ' ' ' '

V V . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₁ ⁵ ₂ 12 .

V  V B. ₁ ¹ ₂ 6 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 12 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V Lời giải

Ta có:

1 1 1 1

2 2 6 12

' ' . . ' ' ' ' . ' ' ' '

MBCB ABCB ABCD A B C D ABCD A B C D

V  V  V  V

Chọn đáp án C. ^M

C'

B' A'

D'

C

B A

D

Ví dụ 18: Cho khối lăng trụ tam giác ABCA B C' ' ', đường thẳng đi qua trọng tâm tam giác ABC song song với BC cắt AB tại D, cắt AC tại E. Mặt phẳng đi qua A D E', , chia khối lăng trụ thành hai phần, tỉ số thể tích (số bé chia cho số lớn) của chúng bằng:

A. ².

3 B. ⁴ .

23 C. ⁴.

9 D. ⁴ .

27 Lời giải

Ta có: 2 2 4

. . .

3 3 9

ADE ABC

S AD AE

S  AB AC   Mặt khác:

 

     

'

1 1 4

'; . '; .

3 3 9

A ADE ADE ABC

V  d A ADE S_  d A ABC S_

 

 

4 4

'; . .

27d A ABC S_^ABC 27V^{ABC A B C}

 

'

' ' ' . ' ' '

' ' '

23 4

27 23.

A ADE A B C CEDB ABC A B C

A B C CEDB

V V V

  V 

Chọn đáp án B.

E

D G M

A'

B'

C' C

B A

Ví dụ 19: Xét khối chóp tứ giác đều SABCD, mặt phẳng chứa đường thẳng AB đi qua điểm C' của cạnh SC chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Tính tỉ số SC^'.

SC A. ¹.

2 B. ².

3 C. ^{5 1}.

2

 D. ⁴.

5 Lời giải

Đặt ^{SC' x; 0}





SC    Ta có:

2

2 2

. ' '

. ' ' . .

.

' '

. .

2

S AD C

S AD C S ADC S ABCD

S ADC

V SD SC x

x V x V V

V  SD SC    

và ^{. '} _{. ' . .}

.

' .

2

S ABC

S ABC S ABC S ABCD

S ABC

V SC x

x V xV V

V  SC    

2

. ' ' . ' . ' ' . . .

S ABC D S ABC S AC D 2 S ABCD

x x

V V V  V

   

Theo đề bài ta suy ra

2

. ' ' .

1 1

2 2 2

S ABC D S ABCD

x x

V  V   

2 1 5

1 0 .

x x x  2

      Chọn đáp án C.

S

O

C'

D'

A D

B C

Ví dụ 20: Cho khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' có thể tích V. Tính thể tích khối chóp A CB D. ' '.

A. . 3

V B. .

2

V C. ² . 3

V D. ³ .

4 V

Lời giải

Hình hộp đã cho là hợp của khối chóp đang xét với 4 khối chóp A AB D B AB C C B CD D ACD'. ' '; . ' ; '. ' '; . '; 4 khối cuối này cùng có thể tích bằng

6

V nên thể tích cần

tìm bằng ⁴ .

6 3

V V V  Chọn đáp án A.

Nhận xét: Hoàn toàn có thể "thử" trường hợp đặc biệt, khi hình hộp đặc biệt trở thành hình lập phương cạnh a thì dễ thấy thể tích khối lập phương là a , còn khối ³ A CB D. ' ' là khối tứ diện đều cạnh a 2 thể tích tương ứng là

 

2 2

12 3 .

a  a So sánh ta đưa ra kết quả.

D'

A' B'

C'

A B

D C

Ví dụ 21: Cho hình chóp .S ABCD, đáy là hình chữ nhật ABCD có BC2AB SA, vuông góc với đáy. Gọi M là điểm trên cạnh AD sao cho AMAB. Gọi V V₁, ₂ lần lượt là thể tích của hai khối chóp S ABM. và S ABC. . Tính ¹

2

V . V A. ¹.

8 B. ¹.

6 C. ¹.

4 D. ¹.

2 Lời giải

Ta có:

. .

1 1 1

. . . .

2 2 4 4

ABM ABCD S ABM S ABCD

S_  AB AD  S V  V

Mặt khác: _{. .} ¹

2

1 1

2 2.

S ABC S ABCD

V V V

 V 

Chọn đáp án D. _M

D

B C

A S

í dụ 22: Cho hình chóp đều S ABC. có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng SA và mặt đáy bằng 60 . Gọi ⁰ A B C'; '; ' tương ứng là điểm đối xứng của A B C; ; qua S. Tính thể tích khối bát diện có các mặt ABC A B C A BC B CA C AB AB C BC A CA B; ' ' '; ' ; ' ; ' ; ' '; ' '; ' '.

A. 2 3 .a³ B.

3 3

2 .

a C.

2 3 3

3 .

a D.

4 3 3

3 . a

Lời giải

Thể tích khối bát diện đã cho là

' ' ' '.

2 2.4 8. .1 . .

A B C BC A SBC 3 SBC

V  V  V  SG S_

Ta có:



  

G tan SG .tan . SAG SG SA SAG a

SA   

Vậy

2 3

1 1 3 2 3

8. . . 8. . . .

3 ^ABC 3 4 3

a a

V  SG S_  a 

Chọn đáp án C.

60⁰ a C'

B'

A'

G

A ^C

B S

III- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN

Câu 1. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M N P Q, , , lần

lượt thuộc các cạnh SA SB SC SD, , , sao cho 2 3 ¹

; ; ; 3 .

SMMA SN  NB SP PC SQ  SD

Tính tỉ số thể tích giữa khối SMNPQ và khối S ABCD. . A. ³

16. B. ³

8. C. ³

32. D. ¹ 12.

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC A B C. ' ' '. Gọi V₁V_{A BCC B. ' '} và V₂ V_{ABC A B C. ' ' '}. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ₁ ³ ₂ 4 .

V  V B. ₁ ¹ ₂ 2 .

V  V C. ₁ ¹ ₂ 3 .

V  V D. ₁ ² ₂ 3 . V  V

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB C D' ' và khối tứ diện ABCD bằng:

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ¹

6. D. ¹ 8.

Câu 4. Cho hình lăng trụ ngũ giác ABCDE A B C D E. ' ' ' ' '. Gọi A B C D E, , , ,  lần lượt là trung điểm của AA BB CC DD EE', ', ', ', ' . Khi đó tỉ số thể tích của khối lăng trụ

. .

ABCDE A B C D E     và khối lăng trụ ABCDE A B C D E. ' ' ' ' '.bằng:

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ¹

8. D. ¹ 10.

Câu 5. Cho hình chóp tứ giác S ABCD. có thể tích bằng V. Lấy điểm A' trên cạnh SA sao cho 1

' 3

SA  SA. Mặt phẳng qua A' và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh

, ,

SB SC SD lần lượt tại B C D', ', ' . Khi đó thể tích khối chóp S A B C D. ' ' ' 'bằng:

A. V3.

B.

9.

V C.

27V .

D.

81V .

Câu 6. Cho hình chóp S ABC. có 'A và 'B lần lượt là trung điểm của các cạnh SA SB, . Tỉ số thể thể tích ^.

. ' ' S ABC S A B C

V

V bằng:

A. ¹

2. B. ¹

4. C. 4. D. 2.

Câu 7. Cho hình chóp S ABC. . Gọi A' và B' lần lượt là trung điểm của SA và SASB. Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C. ' ' và S ABC. bằng:

A. ¹

2. B. ¹

3. C. ¹

4. D. ¹ 8.

Câu 8. Cho hình chóp S ABCD. . Gọi A B C D', ', ', ' lần lượt là trung điểm của SA SB SC SD, , , . Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S A B C D. ' ' ' ' và S ABCD. bằng:

A. ¹

2 B. ¹

4 C. ¹

8 D. ¹

16

Câu 9. Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' '. Tỉ số thể tích của khối tứ diện ACB D' ' và khối hộp . ' ' ' '

ABCD A B C D bằng:

A. ¹

2. B. ¹

3. C. ¹

4. D. ¹ 6.

Câu 10. Cho hình hộp ABCD A B C D. ' ' ' ' , gọi O là giao điểm của AC và BD. Tỉ số thể tích của khối chóp O A B C D. ' ' ' ' và khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' 'bằng:

A. ¹

2. B. ¹

3. C. ¹

4. D. ¹ 6. Câu 11. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông tâm O. Khi đó, tỉ số ^.

. S ABC S ABCD

V

V bằng

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ¹

6. D. ¹ 8. Câu 12. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông tâm O. Khi đó, tỉ số ^.

. S OAB S ABCD

V

V bằng

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ¹

6. D. ¹ 8. Câu 13. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình vuông tâm O. Khi đó, tỉ số ^.

. S OAB S ABC

V

V bằng

A. ¹

2. B. ¹

4. C. ¹

6. D. ¹ 8.

Câu 14. Cho tứ diện SABC. Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm các cạnh AB BC AC, , . Gọi

1 S ABC.

V V , V₂ V_{S MNP.} . Lựa chọn kết luận đúng trong các kết luận sau:

A. V₁ 2V₂. B. V₁ 8V₂. C. V₁4V₂. D. V₁ 6V₂.

Câu 15. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB. Tính tỉ số thể tích ^.

. S CDMN .

S CDAB

V

V A. ¹

4. B. ⁵

8. C. ³

8. D. ¹ 2.

Câu 16. Cho hình chóp S ABC. có SA9; SB4; SC8 và đôi một vuông góc. Các điểm '; '; '

A B C thỏa mãn SA2SA SB '; 3SB SC '; 4SC'.

Tính thể tích khối chóp S A B C. ' ' '.

A. 24. B. 16. C. 2. D. 12.

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' ' có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ' '.

ACD B A.

3

3 .

a B.

2 3

3a .

C.

3

4 .

a D.

6 3

4a .