Gải Toán 11 Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

Bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

A. Các câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 163 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính sin 0,01

0,01 , sin 0,001

0,001 bằng máy tính bỏ túi.

Lời giải:

sin 0,01

0,999983 0,01 

sin 0,001

0,99999983

0,001  .

Hoạt động 2 trang 165 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số

y sin x

2

 

   . Lời giải:

y sin x

2

  

     Đặt u x

2

  thì u′ = −1

y u cos u 1cos x sin x

2

 

        (do cos x sin x 2

 

 

  ).

Hoạt động 3 trang 166 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sin x

f (x)

cos x

 x k , k

2

     

 

 .

Lời giải:

sin x f (x)

cos x

 

   

   

2

sin x .cos x sin x. cos x cos x

  



2 2

2

cos x sin x cos x

 

2

1 cos x



Hoạt động 4 trang 167 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số

y tan x

2

 

    với x  k ,k .

Lời giải:

Đặt u x 2

  thì u′ = −1

2 2

u 1

y cos u cos u

 

   ₂

2

1 1

sin x

cos x

2

 

 

 

 

 

(do cos x sin x 2

 

 

  ).

B. Bài tập

Bài tập 1 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) x 1

y 5x 2

 

 ; b) 2x 3

y 7 3x

 

 ; c)

x2 2x 3

y 3 4x

 

  ;

d)

2 2

x 7x 3

y x 3x

 

  .

Lời giải:

a) x 1

y 5x 2

 



2

(x 1) (5x 2) (x 1)(5x 2)

y (5x 2)

 

    

 

 ²

(5x 2) 5(x 1) (5x 2)

  

  ²

5x 2 5x 5 (5x 2)

  

 

2

3 (5x 2)

 

Vậy 3 ₂

y  (5x 2)

 . b) 2x 3

y 7 3x

 



2

(2x 3) (7 3x) (2x 3)(7 3x)

y (7 3x)

 

    

 

 ²

2(7 3x) (2x 3)( 3) (7 3x)

   

 

2

2(7 3x) 3(2x 3) (7 3x)

  

  ²

14 6x 6x 9 (7 3x)

  

  ²

23 (7 3x)

 

Vậy 23 ₂

y  (7 3x)

 . c)

x2 2x 3

y 3 4x

 

 



 



2

x 2x 3 (3 4x) x 2x 3 (3 4x)

y (3 4x)

 

      

  





2

(2x 2)(3 4x) x 2x 3 ( 4) (3 4x)

     

 

2 2 2

6x 8x 6 8x 4x 8x 12

(3 4x)

     

 

2

2

4x 6x 18 (3 4x)

  

 

Vậy

2

2

4x 6x 18

y (3 4x)

  

   .

d)

2 2

x 7x 3

y x 3x

 

 

      

 

2 2 2 2

2 2

x 7x 3 x 3x x 7x 3 x 3x

y

x 3x

 

      

 



   

 

2 2

2 2

(2x 7) x 3x x 7x 3 (2x 3) x 3x

     

 

 

3 2 2 3 2 2

2 2

2x 6x 7x 21x 2x 14x 6x 3x 21x 9

x 3x

        

 

 

2 2 2

10x 6x 9 x 3x

  

 

Vậy

 

2 2 2

10x 6x 9 y

x 3x

  

   .

Bài tập 2 trang 168 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải các bất phương trình sau:

a) y′ < 0 với

x2 x 2

y x 1

  

 ; b) y 0 với

x2 3

y x 1

 

 ;

c) y′ > 0 với ₂2x 1

y x x 4

 

  . Lời giải:

a) y′ < 0 với

x2 x 2

y x 1

  



Ta có



 



2

x x 2 (x 1) x x 2 (x 1)

y (x 1)

 

      

  





2

(2x 1)(x 1) x x 2 .1 (x 1)

    

 

2 2

2

2x x 2x 1 x x 2

(x 1)

     

 

2

2

x 2x 3

(x 1)

 

 

Do

2

2

x 2x 3

y 0 0

(x 1)

 

   



2

x 1

x 2x 3 0

 

     x 1

1 x 3

 

   

x ( 1;1) (1;3)

   

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = ( 1;1) (1;3). b) y 0 với

x2 3

y x 1

 



Ta có:



 



2

x 3 (x 1) x 3 (x 1)

y (x 1)

 

    

  





2

2x(x 1) x 3 .1 (x 1)

  

 

2 2

2

2x 2x x 3

(x 1)

  

 

2

2

x 2x 3

(x 1)

 

 

Do

2

2

x 2x 3

y 0 0

(x 1)

 

   



2

x 1 0

x 2x 3 0

  

    

x 1

x 1 x 1

x 3

x 3

  

 

      



   

x ; 3 1;

     

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S =



 



c) y′ > 0 với ₂2x 1

y x x 4

 

  Ta có:

   

 

2 2

2 2

(2x 1) x x 4 (2x 1) x x 4 y

x x 4

 

      

   

 

 

2

2 2

2 x x 4 (2x 1)(2x 1)

x x 4

    

  

 

2 2

2 2

2x 2x 8 4x 2x 2x 1

x x 4

     

  

 

2 2 2

2x 2x 9

x x 4

  

  

Do

 

2 2 2

2x 2x 9

y 0 0

x x 4

  

   

 

2x2 2x 9 0

     (Vì

2

2 1 15

x x 4 x 0

2 4

 

      

  , x  .)

1 19 1 19

2 x 2

 

  

1 19 1 19

x ;

2 2

   

  

 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S = 1 19 1 19

2 ; 2

   

 

 .

Bài tập 3 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm đạo hàm của hàm số sau:

a) y = 5sinx – 3cosx ; b) sin x cos x

y sin x cos x

 

 ;

c) y = xcotx ; d) sin x x

y x sin x ; e) y 1 2 tan x ; f) ysin 1 x ² . Lời giải:

a) y = 5sinx – 3cosx

 y′ = 5(sinx)′ – 3(cosx)′

= 5cosx – 3(–sinx)

= 5cosx + 3sinx

Vậy y′ = 5cosx + 3sinx.

b) sin x cos x y sin x cos x

 



      

 

sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x

y sin x cos x

 

    

 



     

 

cos x sin x sin x cos x sin x cos x cos x sin x sin x cos x

    

 

 

2sin x cos x 1 1 2sin x cos x sin x cos x

  

 

 

2 sin x cos x

 



Vậy

 

y 2

sin x cos x

  

 .

c) y = xcotx

 y′ = (x)′cotx + x(cotx)′ 1₂ cot x x

sin x

 

   

  ²

cot x x

sin x

 

Vậy x₂

y cot x

sin x

   .

d) sin x x y x sin x

sin x x

y x sin x

 

   

     

   

2 2

(sin x) .x sin x.(x) (x) .sin x x.(sin x)

x sin x

     

 

2 2

x cos x sin x sin x x cos x

x sin x

 

 

2 2

1 1

(x cos x sin x)

x sin x

 

    

 

Vậy 1₂ 1₂

y (x cos x sin x)

x sin x

 

     .

e) y 1 2 tan x (1 2 tan x) y 2 1 2 tan x

 

 



2(tan x) 2 1 2 tan x

 



(tan x) 1 2 tan x

 



2

1 cos x 1 2 tan x

 

2

1

cos x. 1 2 tan x

 

Vậy 2

y 1

cos x. 1 2 tan x

   .

f) ysin 1 x ²

 

2 2

y cos 1 x 1 x 

    





2

2

cos 1 x . 1 x

2 1 x

 

 



2

2

cos 1 x . 2x

2 1 x

 



2 2

x cos 1 x 1 x

 



Vậy ²

2

y x cos 1 x

1 x

  

 .

Bài tập 4 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tìm các đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (9 – 2x)(2x³ – 9x² + 1);

b) ^{y 6 x 1}₂





x

 

   

  ;

c) ^y





d) y = tan²x – cotx²;

e) x

y cos

 1 x

 . Lời giải:

a) y = (9 – 2x)(2x³ – 9x² + 1)

 y′ = (9 – 2x)′(2x³ – 9x² + 1) + (9 – 2x)(2x³ – 9x² + 1)′

= –2(2x³ – 9x² + 1) + (9 – 2x)(6x² – 18x)

= –4x³ + 18x² – 2 + 54x² – 162x – 12x³ + 36x²

= –16x³ + 108x² – 162x – 2

Vậy y′ = –16x³ + 108x² – 162x – 2.

b) ^{y 6 x 1}₂





x

 

   

2 2

1 1

y 6 x (7x 3) 6 x (7x 3)

x x

   

 

        

   

2

2 2

2

1 x 1

6 (7x 3) 6 x .7

2 x x x

     

 

       

4 2

3 2x 1

(7x 3) 7 6 x

x x

x

   

       

3 2

3 2 1

(7x 3) 7 6 x

x x

x

   

       

2 3 2

9 14 6 7

21 x 42 x

x x x

  x    

3 2

6 7 9

x x 63 x x

    

Vậy y ⁶₃ ⁷₂ 63 x ⁹

x x x

      .

c) ^y





 

2 2

y (x 2) x 1 (x 2) x 1 

      





2

2

x 1

1. x 1 (x 2).

2 x 1

 

   



2

2

x 1 (x 2). 2x

2 x 1

   



2

2

x 1 (x 2) x

x 1

   



2 2

2

x 1 x 2x

x 1

  

 

2 2

2x 2x 1

x 1

 

 

Vậy

2 2

2x 2x 1

y

x 1

 

   . d) y = tan²x – cotx²

 y′ = (tan²x)′ – (cotx²)′

   

2tanx. tanx –

x s 1

. in x

 

 

2 2 2

2ta 1 x 2x

co i

nx. s s

 n x



3 2 2

2sin x 2x cos x sin x



Vậy 2sin x₃ 2x_{2 2} cos x

y  sin x .

e) x

y cos

 1 x



x x

y sin

x 1 x 1

   

         

2

x (x) (1 x) x.(1 x)

sin .

1 x (1 x)

    

 

     

2

x 1 x x

sin .

1 x (1 x)

   

     

2

1 x

(1 x) .sin1 x

   

Vậy 1 ₂ x

y .sin

(1 x) 1 x

  

  .

Bài tập 5 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính f (1) (1)



 , biết rằng f(x) = x² và (x) 4x sin x

2

    .

Lời giải:

f(x) = x²

 f′(x) = (x²)′ = 2x

 f′(1) = 2.1 = 2 (x) 4x sin x

2

   

(x) 4x sin x 2

 

 

    

 

(4x) sin x 2

 

 

   

 

x x

4 cos

2 2

  

 

    

4 cos x

2 2

 

  (1) 4 cos .1

2 2

 

    4 .0 4

2

   

f (1) 2 1 (1) 4 2

   



Vậy f (1) 1 (1) 2

 

 .

Bài tập 6 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x;

b) ^{2 2 2} 2 ² 2 ²

y cos x cos x cos x cos x 2sin x

3 3 3 3

   

       

             . Lời giải:

a) y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x Ta có:

y′ = (sin⁶x)′ + (cos⁶x)′ + (3sin²xcos²x)′

= 6sin⁵x(sinx)′ + 6cos⁵x(cosx)′ + 3.[(sin²x)′cos²x + sin²x(cos²x)′]

= 6sin⁵xcosx + 6cos⁵x(−sinx) +3[2sinxcosxcos²x + sin²x.2cosx(−sinx)]

= 6sin⁵xcosx − 6cos⁵xsinx + 6sinxcos³x − 6cosxsin³x

= (6sin⁵xcosx − 6cosxsin³x) + 6sinxcos³x − 6cos⁵xsinx

= 6sin³xcosx(sin²x − 1) + 6sinxcos³x(1 − cos²x)

= 6sin³xcosx.(−cos²x) + 6sinxcos³xsin²x

= −6sin³xcos³x + 6sin³xcos³x

= 0

 y′ = 0,x

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

Cách khác:

sin⁶x + cos⁶x = (sin²x)³ + (cos²x)³

= (sin²x + cos²x)³ − 3sin²xcos²x(sin²x + cos²x)

= 13 − 3sin²xcos²x.1

= 1 − 3sin²xcos²x

 y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²xcos²x = 1

 y′ = (1)′ = 0

Vậy y′ = 0 với mọi x, tức là y′ không phụ thuộc vào x.

b) ^{2 2 2} 2 ² 2 ²

y cos x cos x cos x cos x 2sin x

3 3 3 3

   

       

            

1 1 2 1 1 2 1 1 4 1

cos 2x cos 2x cos 2x

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2

  

     

            

1 4 1 cos 2x

cos 2x 2

2 3 2

 

 

    

 

1 2 1 2 1 4 1 4

1 cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x cos 2x

2 3 2 3 2 3 2 3

   

       

             

       

Do đó 1 2 1 2

y ( 2) sin 2x 2 sin 2x

2 3 2 3

       

              

1 4 1 4

( 2) sin 2x 2 sin 2x 2sin 2x

2 3 2 3

       

             

2 2 4 4

sin 2x sin 2x sin 2x sin 2x 2sin 2x

3 3 3 3

   

       

            

       

2 4

2cos sin( 2x) 2cos sin( 2x) 2sin 2x

3 3

 

      

= sin2x + sin2x – 2sin2x = 0

(Vì 2 1

cos cos

3 2

    )

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Cách khác:

1 2 4

y 1 cos 2x cos 2x

2 3 3

      

        

1 2 4

cos 2x cos 2x cos 2x

2 3 3

      

       

1 1

1 2cos( 2x)cos 2cos( 2x)cos cos 2x

2 3 2 3

 

         

1 1

1 cos 2x cos 2x cos 2x

2 2

     

1 cos 2x cos 2x 1

   

y 1, x

   y 0, x

  

Vậy y′ = 0 với mọi x, do đó y′ không thuộc vào x.

Bài tập 7 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải phương trình f′(x) = 0, biết rằng:

a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x;

b) ^{y 1 sin}





2

   

      

 ; Lời giải:

a) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x f′(x) = –3sinx + 4cosx + 5 Do đó: f′(x) = 0

 –3sinx + 4cosx + 5 = 0

 3sinx – 4cosx = 5

3 4

sin x cos x 1

5 5

   (1)

Đặt 3 4

cos , 0; sin

5 2 5

   

      , ta có:

(1) sin x.cos cos x.sin 1 sin(x ) 1

   

x k2

2

     

x k2 , k

2

      

b) ^{y 1 sin}





2

   

      

 

f (x) (1) [sin( x)] 2 cos x

2

  

         

x x

( x) cos( x) 2 sin

2 2

  

   

               

1 x

cos( x) 2 sin

2 2

  

          

x x

f (x) cos( x) sin cos x sin

2 2

 

         

x x

f (x) 0 cos x sin 0 sin cos x

2 2

       

sinx sin x

2 2

 

    

 

x x k2

2 2

x x k2

2 2

    

 

      



x k2

2 2

3x 3 2 2 k2

    

 

   



x k4

x k4

3

   



     



x k4

3

    

Cách khác:

 

f (x) 1 sin x 2cos 2

   

       1 sin x 2cos x

2

 

      1 sin x 2cosx

   2

f (x) 1 sin x 2cosx 2

 

    

 

(1) (sin x) 2 cosx 2

 

 

    

 

1 x

0 cos x 2 sin

2 2

 

      cos x sinx

  2

f (x) 0 cos x sinx 0

    2 

x x

cos x sin cos

2 2 2

 

       

 

cos x cos x

2 2

  

      cos x cos x

2 2

 

    

x x k2

2 2

x x k2

2 2

    

 

     



3x k2

2 2

x k2

2 2

    

 

   



x k4

x k4

3 3

   



    



.

Bài tập 8 trang 169 SGK Toán lớp 11 Đại số: Giải bất phương trình f′(x) > g′(x).

biết rằng:

a) f (x)x³  x 2, g(x)3x²  x 2

b) f (x)2x³ x²  3,

2

3 x

g(x) x 3

  2  Lời giải:

a) f (x)x³  x 2, g(x)3x²  x 2 f′(x) = 3x² + 1

g′(x) = 6x + 1

f′(x) > g′(x)  3x² + 1 > 6x + 1

 3x² – 6x > 0

 3x(x – 2) > 0 x 2

x 0

 

  

   

x ;0 2;

    

b) f (x)2x³ x²  3,

2

3 x

g(x) x 3

  2  f′(x) = 6x² – 2x

g′(x) = 3x² + x

f′(x) > g′(x)  6x² – 2x > 3x² + x

 3x² – 3x > 0

 3x(x – 1) > 0 x 1

x 0

 

  

   

x ;0 1;

    