Giải Toán 9 Luyện tập trang 59, 60 | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 9

(1)

Luyện tập trang 59, 60

Bài 45 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Lời giải

Gọi hai số tự nhiên liên tiếp cần tìm là x và x + 1 (x ∈ N).

Tích của hai số là: x(x + 1) = x² + x.

Tổng hai số là : x + x + 1 = 2x + 1.

Vì tích của chúng lớn hơn tổng của chúng 109 đơn vị nên theo bài ra ta có phương trình : x² + x = 2x + 1 + 109

⇔ x² – x – 110 = 0

Có a = 1; b = -1; c = -110 ⇒ Δ = (-1)² – 4.1.(-110) = 441.

⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b 1 441

x 11

2a 2.1

   

   ;

2

b 1 441

x 10

2a 2.1

   

   

Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 11 thỏa mãn điều kiện.

Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 11 và 12.

Bài 46 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

Lời giải Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m, x > 0).

(2)

Diện tích bằng 240 m² ⇒ Chiều dài mảnh đất là: ²⁴⁰ x (m).

Diện tích mảnh đất sau khi tăng chiều rộng 3m, giảm chiều dài 4m là:



^x ³



²⁴⁰ ⁴

x

 

   

 

^m²

Vì diện tích mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:



^x ³



²⁴⁰ ⁴

x

 

   

 = 240



^x ³



²⁴⁰ ^4x ²⁴⁰

x

  

   



^x ^{3 240 4x}

 

^240x

   

240x 4x2 720 12x 240x

    

4x2 240x 12x 240x 720 0

     

4x2 12x 720 0

   

x2 3x 180 0

   

Có a = 1; b = 3; c = -180 ⇒ Δ = 3² – 4.1.(-180) = 729 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b 3 729

x 12

2.a 2.1

    

   ;

2

b 3 729

x 15

2a 2.1

    

   

Trong hai nghiệm chỉ có nghiệm x = 12 thỏa mãn điều kiện.

Vậy mảnh đất có chiều rộng bằng 12m, chiều dài bằng 240 : 12 = 20 (m).

(3)

Bài 47 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Lời giải

Gọi vận tốc xe của cô Liên là x (km/h, x > 0).Vì vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên 3km/h ⇒ Vận tốc xe của bác Hiệp là: x + 3 (km/h).

Thời gian cô Liên đi từ làng lên tỉnh là ³⁰ x (h) Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là 30

x3(h)

Vì thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian đi của cô Liên là nửa giờ nên ta có phương trình:

30 30

x  x 30,5



 

   

30. x 3 30.x x. x 3 x. x 3 0,5

   

 

   

30x 90 30x x x 3 x x 3 0,5

   

 

 

30x 90 30x x x 3 0,5

 

 





⁹⁰



^0,5

x x 3

 



 

90 0,5.x. x 3

  

90 0,5x2 1,5x

  

0,5x2 1,5x 90 0

    (*)

(4)

Giải (*)

Ta có: a = 0,5; b = 1,5; c = -90

 

^1,5 ² ^4.0,5.



⁹⁰



^{182, 25}

     > 0

  13,5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b 1,5 13,5

x 12

2a 2.0,5

    

  

2

b 1,5 13,5

x 15

2a 2.0,5

    

   

Kết hợp với điều kiện đề bài ta nhận thấy chỉ có x = 12km/h thỏa mãn.

Vậy vận tốc của cô Liên là 12km/h Vận tốc của bác Hiệp là 15km/h.

Bài 48 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500dm³ (h.15). Hãy tính kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Hình 15 Lời giải:

Gọi chiều rộng của miếng tôn là x(dm), (x > 10)

Vì chiều dài gấp 2 lần chiều rộng nên chiều dài miếng tôn là 2x (dm)

(5)

Khi làm thành một cái thùng không đáy với việc cắt bỏ như hình vẽ thì chiều dài của cái thùng đó là 2x – 10 (dm), chiều rộng của cái thùng đó là x – 10 (dm) và chiều cao của cái thùng đó là 5dm.

Vì dung tích của thùng là 1500dm nên ta có phương trình: ³



2x 10 . x 10 .5 1500

 









^2x² 20x 10x 100 .5 1500



    

2x2 20x 10x 100 1500 : 5

    

2x2 30x 100 300

   

2x2 30x 100 300 0

    

2x2 30x 200 0

   

x2 15x 100 0

   

Ta có: a = 1; b = -15; c = -100



¹⁵



² ^4.1.



¹⁰⁰



⁶²⁵ ⁰

      

  25

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1

b 15 25

x 20

2a 2.1

   

  

2

b 15 25

x 5

2a 2.1

   

   

Kết hợp với điều kiện ta thấy chỉ có x = 20 thỏa mãn điều kiện.

Vậy chiều rộng của miếng tôn lúc đầu là 20 dm Chiều dài miếng tôn lúc đầu là 40 dm

Bài 49 trang 59 SGK Toán 9 tập 2: Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong công việc.

(6)

Lời giải

Gọi thời gian đội I làm một mình xong công việc là x (ngày) (x > 4)

Nếu họ làm riêng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày

⇒ thời gian một mình đội II làm xong công việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày, đội I làm được: ¹

x (công việc); đội II làm được 1

x6 (công việc).

Vì hai đội cùng làm thì 4 ngày xong công việc nên ta có phương trình.

1 1

4. 1

x x 6

  

  

 

1 1 1

x x 6 4

  





^x ⁶

 

^x



¹

x x 6 x x 6 4

   

 

 

x 6 x 1 x x 6 4

   



 

2x 6 1 x x 6 4

  



8x 24 x2 6x

   

x2 6x 8x 24 0

    

x2 2x 24 0

   

Ta có: a = 1; b = -2; c = -24

 

² ² ^4.1.



²⁴



¹⁰⁰

      > 0

  10

(7)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

1

b 2 10

x 6

2a 2.1

   

   ;

2

b 2 10

x 4

2a 2.1

   

   

Kết hợp với điều kiện ta thấy chỉ có x = 6 thỏa mãn điều kiện.

Vậy nếu làm một mình đội thứ nhất sẽ xong công việc trong 6 ngày, đội thứ hai sẽ xong công việc trong 12 ngày.

Bài 50 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Miếng kim loại thứ nhất nặng 880g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích miếng thứ hai là 10cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thứ nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1 g/cm³. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Lời giải

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: x (g/cm³) (x > 1)

Vì khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất lớn hơn miếng thứ hai là 1g/cm³

 Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là : x – 1 (g/cm³) Thể tích miếng kim loại thứ nhất là: ⁸⁸⁰

x (cm³).

Thể tích miếng kim loại thứ hai là: ⁸⁵⁸

x 1 (cm³).

Vì thể tích miếng thứ nhất nhỏ hơn miếng thứ hai 10cm³ nên có phương trình:

858 880 x 1 x 10



   

 

880. x 1 858.x

x x 1 x x 1 10

   

 

(8)

   

858x 880x 880 x x 1 x x 1 10

   

 

 

858x 880x 880 x x 1 10

 

 



 

22x 880 x x 1 10

 

 



 

22x 880 10.x. x 1

    

22x 880 10x2 10x

    

10x2 10x 22x 880 0

    

10x2 12x 880 0

   

Ta có: a = 10; b’ = 6; c = -880

 

' 62 10. 880 8836 0

     

' 94

  

1

b' ' 6 94

x 8,8

a 10

    

  

2

b' ' 6 94

x 10

a 10

    

   

Kết hợp với điều kiện ta thấy chỉ có x = 8,8 thỏa mãn điều kiện.

Vậy khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là 8,8 g / cm ³ Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là 7,8 g / cm ³

Bài 51 trang 59 SGK Toán 9 Tập 2: Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước?

Lời giải

(9)

Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là: x (g) (x > 0) Nồng độ muối của dung dịch ban đầu là: 40

x40.

Sau khi đổ thêm 200g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: x + 40 + 200 (g).

Nồng độ dung dịch sau khi đổ thêm 200g nước là:

40

40 x 200= 40 x240

Vì nồng độ muối sau khi đổ thêm 200g nước giảm 10% nên ta có phương trình:

40 40 10

x 40 x 240100

 

 

    

  

40. x 240 40. x 40 1

x 40 x 240 x 40 x 240 10

 

  

   



^x ^40x^{40 x}



^⁹⁶⁰⁰²⁴⁰

 

^x ^{40x 1600}^{40 x}



^ ²⁴⁰



¹⁰¹

  

   

  

40x 9600 40x 1600 1 x 40 x 240 10

  

 

 



^x ^{40 x}⁸⁰⁰⁰



²⁴⁰



¹⁰¹

 

 



^x ^{40 x}



²⁴⁰



⁸⁰⁰⁰⁰

   

x2 40x 240x 9600 80000

    

x2 280x 9600 80000 0

    

x2 280x 70400 0

   

Ta có: a = 1; b’ = 140; c = -70400

 

2 2

' b ' ac 140 1. 70400 90000

       > 0

' 300

  

(10)

1

b' ' 140 300

x 160

a 1

    

  

2

b' ' 140 300

x 440

a 1

    

   

Kết hợp với điều kiện đề bài ta thấy chỉ có x = 160 thỏa mãn.

Vậy trước khi đổ thêm 200g nước vào dung dịch, dung dịch ban đầu đã có 160g nước.

Bài 52 trang 60 SGK Toán 9 Tập 2: Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A.

Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết rằng vận tốc của nước chảy 3 km/h.

Lời giải Đổi 40 phút = 2

3(h)

Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) (x > 3) Vì vận tốc của nước là 3km/h nên:

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là : x + 3 (km/h) Vận tốc khi ngược dòng của ca nô là : x – 3 (km/h) Thời gian ca nô đi xuôi dòng là: 30

x3(h) Thời gian ca nô đi ngược dòng là: 30

x3(h) Thời gian ca nô nghỉ tại B là 2

3(h)

Do kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 h nên ta có phương trình:

(11)

30 30 2 x 3 x 3 3 6

 

 

    

  

30. x 3 30. x 3 2

x 3 x 3 x 3 x 3 6 3

 

   

   



^x^30x^{3 x}



^⁹⁰³

 

^x^30x^{3 x}



^⁹⁰³



¹⁶³

  

   

  

30x 90 30x 90 16

x 3 x 3 3

  

 

 

2

60x 16

x 9 3

 





²



3.60x 16. x 9

  

16x2 180x 144 0

   

 4x² –45x – 36 = 0 Có a = 4; b = - 45, c = -36

∆ = ( -45)² – 4.4.(- 36) = 2601 > 0

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

1

b 45 2601

x 12

2a 2.4

   

   ;

2

b 45 2601 3

x 2a 2.4 4

    

  

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thấy chỉ có x = 12 thỏa mãn điều kiện.

Vậy vận tốc của ca nô khi nước đứng yên là 12km/h.

Bài 53 trang 60 SGK Toán 9 Tập 2: Tỉ số vàng. Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn (h.16) . Hãy tìm tỉ số ấy.

Đó chính là bài toán mà Ơ-clít đưa ra từ thế kỉ III trước Công nguyên.Tỉ số nói trong bài toán được gọi là tỉ số vàng, còn phép chia nói trên được gọi là phép chia vàng hay phép chia hoàng kim.

(12)

Hình 16

Hướng dẫn: Giả sử M là điểm chia và AM > MB. Gọi tỉ số cần tìm là x.

Lời giải

Gọi M là điểm chia đoạn AB (AM > MB) và AB có độ dài bằng a.

Gọi tỉ số cần tìm là x (x > 0).

Theo đề bài: ^AM ^MB AB  AM = x

⇒ AM = x.AB = ax;

⇒MB = x.AM = x.ax = ax² Ta có: MA + MB = AB

⇒ ax + ax² = a

⇔ x² + x = 1

⇔ x² + x – 1 = 0.

Có a = 1 ; b = 1 ; c = -1 ⇒ Δ = 1 – 4.1.(-1) = 5 > 0.

1

b 1 5

x 2.1 2

    

  ;

2

b 1 5

x 2.1 2

    

 

Chỉ có nghiệm x = ¹ ⁵ 2

  thỏa mãn điều kiện.

(13)

Vậy tỉ số cần tìm là: ^{5 1} 2

 .