Trắc Nghiệm Mũ-Lôgarit Trong Các Đề Thi Tốt Nghiệp Năm 2020-2019-2018 Có Lời Giải

TRẮC NGHIỆM MŨ VÀ LÔGARIT TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2020-2019-2018

I. MỨC ĐỘ NHẬN BIẾT VÀ THÔNG HIỂU

Câu 1. (TN LẦN 2-2020) Với a là số thực dương tùy ý, log 2a₂ bằng

A. 1 log ₂a. B. 1 log ₂a. C. 2 log ₂a. D. 2 log ₂a. Lời giải

Chọn A

2 2 2 2

log 2alog 2 log a 1 log a

Câu 2. (TN LẦN 2-2020) g c p ương t n log2



x6



5

A. x4. B. x19. C. x38. D. x26. Lời giải

Chọn D

Đ ều ki n x    6 0 x 6

c log2



x6



5log2



x6



log 22 ^{5 }



^x6



^{32 x 32 6  x 26}



^TM



y ng c p ương t n x26

Câu 3. (TN LẦN 2-2020) Với ,a b là các số thực dương tùy ý t ỏa mãn log₃a2log₉b3, m n đề n o dướ đây đúng?

A. a27b. B. a9b. C. a27b⁴. D. a27b². Lời giải

Chọn A

Ta có: log₃ 2 log₉ 3 log₃ log₃ 3 log₃ a 3 a 27 27

a b a b a b

b b

           .

Câu 4. (TN LẦN 2-2020) p ng c bất p ương t n log3



36x²



3 là

A.



^{  ; 3}

 

^3;



^{. B.}



^;3



^{. C.}



^3;3



^{. D.}



^0;3



^.

Lời giải Chọn C

Ta có: ^{log 363}



^x2



^{ 3 36x2 27 9 x2     0 3 x 3.}

Câu 5. (TN LẦN 2-2020) Với a là số thực dương tùy ý, log 3a3

 

bằng

A. 3 log ₃a. B. 1 log ₃a. C. 3 log ₃a. D. 1 log ₃a. Lời giải

Chọn D

Ta có log 3a3

 

log 3 log₃  ₃a 1 log₃a.

Câu 6. (TN LẦN 2-2020) Nghi m c p ương t n 2^2x2 2^x là

A. x 2. B. x2. C. x 4. D. x4. Lời giải

Chọn B

2 2

2 ^x 2^x 2x   2 x x 2.

Câu 7. (TN LẦN 2-2020) Nghi m c p ương t n log2



x7



5 là

A. x18. B. x25. C. x39. D. x3. Lời giải

Chọn B

 

⁵

log2 x7    5 x 7 2  x 25.

Câu 8. (TN LẦN 2-2020) Với a b, là các số thực dương tùy ý t ỏa mãn log₂a2log₄b4, m nh đề nào dướ đây đúng?

A. a16b². B. a8b. C. a16b. D. a16b⁴. Lời giải

Chọn C

Ta có log₂a2log₄b4

2 22 2 2 2 2

4 2

log 2 log 4 log 2. log1 4 log log 4

2

log 4 2 16

a b a b a b

a a

a b

b b

        

     

Câu 9. (TN LẦN 2-2020) T p nghi m c a bất p ương t n log3



31x²



3 là

A.



^{; 2}



^{. B.}



^{2; 2}



^{. C.}



^{  ; 2}

 

^2;



^{. D.}



^{0; 2 .}



Lời giải Chọn B



²



^{2 2}

 

log 313 x  3 31x 27x     4 0 x 2; 2 . Câu 10. (TN LẦN 1-2020) Nghi m c p ương t n log2



x2



3 là:

A. x6. B. x8. C. x11. D. x10. Lời giải

Chọn D

Đ ều ki n: x   2 0 x 2.

 

log2 x2      3 x 2 8 x 10(thỏa).

V y p ương t n c ng m x10.

Câu 11. (TN LẦN 1-2020) Nghi m c p ương t n 3^x1 9 là

A. x1. B. x2. C. x 2. D. x 1. Lời giải

Chọn A

Ta có: 3^x1 9 3^x13²     x 1 2 x 1.

Câu 12. (TN LẦN 1-2020) T p xác định c a hàm số ylog₃x là

A. (;0) B. (0;) C. ( ; ) D. [0;) Lời giải

Chọn B.

Đ ều ki n xác định: x0.

Câu 13. (TN LẦN 1-2020) Với a,b là các số thực dương tùy ý v a1, log_a3b bằng

A. 3 log _ab B. 3log_ab C. 1

3log_ab D. 1 3log_ab Lời giải

Chọn D Ta có: 3

log 1log . 3 ^a

a b b

Câu 14. (TN LẦN 1-2020) T p nghi m c a bất p ương t n 2^x27 4 là

A. ( 3;3) . B. (0;3). C. (;3). D. (3;). Lời giải

Chọn A

Ta có : 2^{x2 7} 4 2^{x2 7} 2² x² 7 2 x² 9 x 3;3 .

Câu 15. (TN LẦN 1-2020) Cho a và b là hai số thực dương t ỏa mãn 9^{log (3ab)}4a. Giá trị c a ab² bằng

A. 3. B. 6. C. 2 D. 4

Lời giải Chọn D

Ta có : 9^log3ab 4a 2log₃ ab log 4₃ a log₃ a b^{2 2} log 4₃ a a b^{2 2} 4a

2 4

ab .

Câu 16: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) Nghi m c p ương t n 3^x127 là

A. x4. B. x3. C. x2. D. x1.

Lời giải Chọn A

3^x127 3^x13³ x 4.

Câu 17: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) T p xác định c a hàm số ylog₂x là

A. [0;). B. ( ; ). C. (0;). D. [2;). Lời giải

Chọn C

Hàm số xác định khi x0. V y t p xác định ^D



^0;



^.

Câu 18: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) Với a là số thực dương tùy ý, ^log2

 

^{a3 bằng}

A. ³log₂

2 a

 

 

 . B. 1 ₂

3log a. C. 3 log ₂a. D. 3log₂a. Lời giải

Chọn D

Ta có ^log2

 

^{a3 3log2a.}

Câu 19: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) T p nghi m c a bất p ương t n logx1 là

A.



^10;



^{. B.}



^0;



^{. C.}



^10;



^{. D.}



^;10



^.

Lời giải Chọn C

logx  1 x 10.

V y t p nghi m c a bất p ương t n



^10;



^.

Câu 20: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) Xét các số thực a b; thỏa mãn ^log3



^{3 .9a b}



^{log 39 . M n đề}

n o đúng?

A. a2b2. B. 4a2b1. C. 4ab1. D. 2a4b1. Lời giải

Chọn D

     

3 9 3 3

log 3 .9 log 3 log 3 log 9 1 2

a b   a  b 

2 1 2 4 1

a b 2 a b

      .

Câu 21: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) T p nghi m c a bất p ương t n 9^x2.3^x 3 0 là A.



^0;



^{. B.}



^0;



^{. C.}



^1;



^{. D.}



^1;



^.

Lời giải Chọn B

Đặt ^t3x



^{t 0}



bất p ương t n đã c o t ở thành

 

2 1

2 3 0

3 t t t

t loai

 

      

Với t1 thì 3^x   1 x 0.

Câu 22. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) Nghi m c p ương t n log3



2x 1



2 là

A. x3. B. x5. C. ⁹

x 2. D. ⁷

x 2. Lời giải

Đáp án B

 

²

log3 2x  1 2 2x 1 3  x 5

Câu 23. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) Xét tất cả các số dương a và b thỏa mãn log2alog8

 

ab . M n đề n o dướ đây đúng?

A. ab². B. a³ b. C. ab. D. a² b. Lời giải

Đáp án D

   

2 8 2 2

log log log 1log

a ab  a3 ab

 

³

 

^{3 2}

2 2 2 2

3log a log ab log a log ab a ab a b

        .

Câu 24. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) T p nghi m c a bất p ương t n 5^x15^{x2 x 9} là A.



^{2; 4}



^{. B.}



^{4; 2}



^{. C.}



^{  ; 2}

 

^{4; }



^{. D.}



^{  ; 4}

 

^{2; }



^.

Lời giải Đáp án A

1 2 9 2 2

5^x 5^{x  x}   x 1 x   x 9 x 2x     8 0 2 x 4

Câu 25. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) Cho x, y là các số thực dương t ỏa mãn

 

9 6 4

log xlog ylog 2xy . Giá trị c a ^x y bằng

A. 2. B. ¹

2. C. log₂ ³

2

  

 . D. ₃

2

log 2. Lời giải

Đáp án B

Giả sử log₉xlog₆ ylog (2₄ xy)t. Suy ra:

9

6 2.9 6 4

2 4

t

t t t t

t

x y

x y

 

   

  



3 1 ( )

9 3 2

2. 1 0

4 2 3 1

2 2

t t

t

t

    loai

  

    

              

.

Ta có : ^{9 3 1}

6 2 2

t t t

x y

      .

Câu 26. (THPT QG-2019) Với là số thực dương tùy, bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A

Ta có .

Câu 27. (THPT QG-2019) Nghi p ương t n là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn C

Ta có .

Câu 28. (THPT QG-2019) Cho hàm số c đạo hàm là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A

a log₅a²

2 log5a 2 log ₅a 1 ₅

2log a 1 ₅

2log a

2

5 5

log a 2log a

2 1

3 ^x 27 5

x x1 x2 x4

2 1 2 1 3

3^x 273^x 3 2x   1 3 x 2

2 3

2^{x x} y ^

2 3

(2x3).2^{x  x}.ln 2 2^x23x.ln 2 (2x3).2^x23x (x²3 ).2x ^{x2 3x1}

Câu 29. (THPT QG-2019) Cho và là hai số thực dương t ỏa mãn . Giá trị c a bằng

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A

Ta có .

Câu 30 (THPT QG-2019) Nghi m c p ương t n là

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn D



 .

 V y có một nghi m .

Câu 31. (THPT QG-2018)Với a là số thực dương tùy ý, ln 5a ln 3a bằng A.

 

 

ln 5 ln 3 a

a . B. ^{ln 2a}

 

^{. C. ln5}

3. D. ln 5

ln 3. Lời giải

Chọn C.

Ta có ln 5 ln 3 ln⁵ ln⁵

3 3

a a a

a .

Câu 32. (THPT QG-2018)P ương t n 2^2x132 có nghi m là A. ⁵

 2

x . B. x2. C. ³

 2

x . D. x3. Lời giải

Chọn B.

Ta có 2^2x132  2x 1 5  x2. II. MỨC ĐỘ VẬN DỤNG VÀ VẬN DỤNG CAO

Câu 1. (TN LẦN 2-2020) Xét các số thực x y, thỏa mãn ^{2x2 y2 1 }



^{x2y22x2 .4}



^x. Giá trị nhỏ nhất c a biểu thức ^{8 4}

2 1

P x

x y

 

  gần nhất với số n o dướ đây

a b a b⁴ 16

2 2

4log alog b

4 2 16 8

4 4

2 2 2 2 2 2

4log alog blog a log blog a blog 164

   

3 3

log x  1 1 log 4x1 3

x x 3 x4 x2

   

3 3

log x  1 1 log 4x1

 

¹

 

¹ log33. x



1



log3



4x1



3x 3 4x 1 0 x 2

 

¹ x2

A. 1. B. 2. C. 3 . D. 4. Lời giải

Chọn C

Nh n xét x²y²2x  2 0 x y;

Bất p ương t n ^{2x2 y2 1}



^{x2y22x2 .4}



^{x 2}2^{2 1}



^{2 2}



2 2 2

2

x y

x x y x

      

 

2 2 2 1 2 2

2^{x   y x} x y 2x 2

     .

Đặt tx²y²2x1

Bất p ương t n   2^t t 1   2^t t 1 0 Đặt ^{f t}

 

^{2t t 1. Ta thấy f}

 

^{0  f}

 

^{1 0.}

Ta có ^f

 

^{t 2 ln 2 1t }

 

2

0 2 ln 2 1 log 1 0,52

ln 2 f t   t   t  

Quan sats BBT ta thấy ^{f t}

 

^{   0 0 t 1}

2 2

0x y 2x 1 1



^x¹



²^y2 ¹

 

¹

Xét ^{8 4} 2 8 4

2 1

P x Px Py P x

x y

      

 

 

4 8 2

P P x Py

    

 

4 2 8 8 2 2 8

P P P x P Py

        

  

3P 12 8 2P x 1 Py

     



^{3P 12}



²



^{8 2P}



^{x 1}



^{Py 2 }



^{8 2P}



^{2 P2 }



^{x 1}



^{2 y2}

              

Thế

 

^{1 vào ta có}



^3P¹²



^{2 }_



^{8 2P}



^2P2_ ^{4P240P80 0}

5 5 P 5 5

     .

Dấu “=” xảy ra khi

 

^{2 2}

8 2 1 2

5

1 1

P x

P y

x y

  

  



   



2

1 2 5

2 1

5

x y

y

   



   

1 2 5 5 3

x y

y

   

 

  



1 3

5 3 5 3

5 3 x

y

x

y

 

 



 

 

 V y giá trị nhỏ nhất c a Plà 5 52, 76 gần giá trị 3 nhất.

Câu 2. (TN LẦN 2-2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương



^{m n;}



sao cho m n 10 và ứng với mỗi cặp



^{m n;}



tồn tạ đúng 3 số thực ^{a }



^1;1



^{thỏa mãn 2am nln}



^{a a21}



^?

A. 7. B. 8. C. 10. D. 9.

Lời giải Chọn D

Ta có ^{2am nln}



^{a a2 1}



^2a_n^{m ln}



^{a a2 1}



^.

Xét hai hàm số ^{f x}

 

^ln



^{x x21}



^{và g x}

 

^2_n^{xm trên}



^1;1



^.

Ta có

 

₂^{1 0}

1 f x

x

  

 nên ^{f x}

 

^{uôn đồng biến và}

   2  2  2   

ln 1 ln 1 ln 1

1

f x x x x x f x

x x

 

            

 

  nên ^{f x}

 

^{là hàm}

số lẻ.

+ Nếu m chẵn thì ^{g x}

 

là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng

Suy p ương t n c n ều nhất 2 nghi , do đ m lẻ.

+ Nếu m lẻ thì hàm số ^{g x}

 

là hàm số lẻ v uôn đồng biến.

Ta thấy p ương t n uôn c ng m x0. Dựa vào tính chất đối xứng c đồ thị hàm số lẻ, suy p ương t n đã c o c đúng 3 nghi m trên



^1;1



^{khi có 1} nghi m trên

 

^{0;1 ,}

hay ^f

 

^{1  g}

 

^{1 ln 1}



^{ 2}



^{  n2 n ln 1}



^{2 2}



^{2, 26 n}

 

^{1;2 .}

Đối chiếu đ ều ki n, với n1 suy ra m



1;3;5;7;9



, có 5 cặp số thỏa mãn Với n2 thì ^m



^1;3;5;7



^{có 4} cặp số thỏa mãn.

V y có 9 cặp số thỏa mãn bài toán.

Câu 3. (TN LẦN 2-2020) Xét các số thực x và y thỏa mãn ^{2x2 y2 1}



^{x2y22x2 4}



^{x. Giá trị}

lớn nhất c a biểu thức ⁴

2 1

P y

x y

   gần nhất với số n o dướ đây?

A. 1. B. 0 . C. 3 . D. 2.

Lời giải Chọn A

Ta có: ^{2x2 y2 1}



^{x2 y22x2 4}



^{x2x2  2x1 y2 }



^{x22x 1}



^y21.

Đặt t x²2x 1 y² t 0. K đ t c 2^t  t 1,  t 0.

Đặt ^{f t}

 

    ^{2t t 1, t 0}, ta có: ^f

 

^t ^{2 ln 2 1t}  , cho ^f

 

^{t 0.}

Ta nh n thấy p ương t n ^f

 

^{t 0} có một nghi nên p ương t n ^{f t}

 

⁰ có tố đ hai nghi m.

Mặt khác ta có ^f

 

^{0  f}

 

^{1 0}. Suy p ương t n ^{f t}

 

^0 có hai nghi m t1 và t0 .

K đ t c bảng xét dấu c a hàm số ^{f t}

 

^{n ư s u}

K đ ^{f t}

 

^{  0 t}

 

^{0;1 . Suy ra x2 2x 1 y2 1}



^x1



^2y21.

K đ t p hợp các đ ểm ^{M x y}



^;



là một hình tròn

 

^{S tâm I}

 

^1;0 , bán kính R1.

Ta có: ^{4 2}



⁴



⁰

2 1

P y Px P y P

x y

     

  .

K đ t cũng c t p hợp các đ ểm ^{M x y}



^;



là một đường thẳng

 

: 2Px P 4 y P 0

     .

Để  và

 

^S c đ ểm chung, ta suy ra ^{d I}



^{, }



^1.

   

2

2 2

2 1 3 5 8 16

2 4

P P

P P P

P P

      

 

4P2 8P 16 0 1 5 P 1 5

           .

Ta suy ra P_max   1 5. Dấu "" xảy ra khi

1 3

5 3 x y

 

  



Câu 4. (TN LẦN 2-2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( , )m n sao cho m n 12và ứng với mỗi cặp ( , )m n tồn tạ đúng 3 số thực a ( 1,1) thỏa mãn 2a^mnln(a a²1) ?

A. 12 . B. 10. C. 11. D. 9.

Lời giải Chọn D

Ta có 2a^m nln(a a² 1) ²a^m ln(a a² 1) (*)

   n    .

Xét hàm f a( )ln(a a²1) trên ( 1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R), có BBT:

Xét hàm g a( ) ².a^m

 n trên ( 1,1) .

Với m chẵn, ( )g a là hàm chẵn và ( )g a   0, a R, do đ (*) không thể có 3 nghi m.

Với m lẻ, ( )g a là hàm lẻ, đồng biến trên R và tiếp tuyến c đồ thị tạ đ ểm a0 là đường thẳng y0.

Dễ thấy (*) có nghi m a  0 ( 1;1). Để (*) c đúng 3 ng m tức là còn có 2 nghi m nữa là a₀ với 0a₀1.

Muốn v y, thì (1) ².1 ² (1) ln(1 2) ² 2, 26 1; 2

ln(1 2)

g m f n n n

n n

          

 Cụ thể:

+ ^m



^3;5;7;9



^{thì n}

 

^{1; 2 : Có 8} cặp ( , )m n + m11 thì ^n

 

¹ : Có 1 cặp ( , )m n

+ m1 Đồ thị hàm số ( )g a đường thẳng (g a( )a g a; ( )2a) không thể cắt đồ thị hàm số f a( ) tạ g o đ ểm a₀ 0 được vì tiếp tuyến c a hàm số f a( ) tạ đ ể c o n độ

0

a đường thẳng ya. V y có cả thảy 9 cặp ( , ).m n

Câu 5. (TN LẦN 1-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log3



x²y



log2



xy



?

A. 89 . B. 46 . C. 45 . D. 90 .

Lời giải Chọn D

Ta có ^log3



^x2y



^log2



^xy

 

¹

Đặt t  x y * (do x y,  ,x y 0)



²

 

²

  

3 2 2 3

(1)log x   x t log tg t( )log tlog x   x t 0 2

Đạo hàm



²



1 1

( ) 0

ln 2 ln 3

g t t  x x t 

  với mọi y. Do đ ^{g t}

 

đồng biến trên



^1;



Vì mỗi x nguyên có không quá 127 giá trị t * nên ta có



²



2 3

(128) 0 log 128 log 128 0

g    x  x 

2 7

128 3 44,8 45,8

x x x

       

ư v y có 90 giá trị thỏa yêu cầu bài toán

Câu 6: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) Xét các số thực dương a b x y, , , thỏa mãn a1,b1 và

x y

a b  ab. Giá trị nhỏ nhất c a biểu thức P x 2y thuộc t p hợp n o dướ đây?

A.

 

^{1; 2 . B. 2; 5}

2

 

 . C.



^{3; 4}



^{. D. 5; 3}

2

 

 . Lời giải

Chọn D

Ta có a b, 1 và x y, 0 nên a b^x; ^y; ab 1

Do đ a^x b^y  ab 

1 1

log log log 2 2log

2 1 log

a

x y

a a a

b

x b

a b ab

y a

  

   

  



.

K đ , t c ^{3 1}log log

2 2 ^{a b}

P  b a. Lại do a b, 1 nên log_ab, log_ba0.

Suy ra ³ 2 ¹log .log ³ 2

2 2 ^{a b} 2

P  b a  , ³ 2

P 2  log_ab 2. Lưu ý ằng, luôn tồn tại ,a b1 thỏa mãn log_ab 2.

V y min ³ 2 ⁵; 3

2 2

P   .

Câu 7: (THAM KHẢO LẦN 2-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn ^log3



^xy



^log4



^x2y2



^?

A. 3. B. 2. C. 1. D. Vô số

Lời giải Chọn B.

Đ ều ki n: _{2 2}0 0. x y x y

  

  

 Điều kiện cần

Đặt ³

 

⁴



^{2 2}



2 2

   

log log 3

4

t t

x y d

t x y x y

x y C

  

     

 

 .

Suy ra x y, tồn tại nếu đường thẳng d cắt đường tròn

 

^C tại ít nhất một đ ểm.

Hay ₃

2

3 2 log 2 0,8548.

2

t

t t

    

K đ

log3 2 2

2

2 2

0 3 1

4 3, 27 0 .

1 x x

x y x

x x

  

   

       

Điều kiện đủ:

ới ²

 

²

 

4 1 0 0

3 1

1 4 1 4 1 3 1 9 2.3 2 4 0

t t

t t t

t t t

y t

x y f t

   

   

  

               .

Khi ^{0 t 0,8548 9t 4t  f t}

 

^{0. Suy x 1}

 

^{l .}

ới ⁰ ₂ ^{3 4 3 0 1}



^/



4

t

t t

t

x y t y t m

y

 

       

  .

2

3 1

1 0( / )

4 1

t t

x y y t t m

y

  

    

   .

Câu 8. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) C o p ương t n log²2

  

2x  m2 log



2 x m  2 0 (m là tham số thực). T p hợp tất cả các giá trị c a m để p ương t n đã c o c ng m phân bi t thuộc đoạn

 

^{1; 2 .}

A.

 

^{1; 2 . B.}

 

^{1; 2 . C.}



^{1; 2}



^{. D.}



^{2; }



^.

Lời giải Đáp án C

Đ ều ki n: x0.



1 log2

 

² 2 log



2 2 0 pt  x  m x  m

2 2

2 2

2

log 1

log log 1 0

log 1

x m x m x

x m

 

        

Ta có: x

 

1; 2 log2 x

 

0;1 .

V y để p ương t n đã c o c 2 ng m phân bi t thuộc đoạn

 

^{1; 2} khi và chỉ khi 0     m 1 1 1 m 2.

Câu 9. (THAM KHẢO LẦN 1-2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên

 

^{x y; thỏa mãn 0 x 2000 và}

 

log 33 x  3 x 2y9^y ?

A. 2019. B. 6. C. 2020. D. 4.

Lời giải Đáp án D

+ Ta có: log 33



x  3



x 2y9^y 1 log3



x  1



x 2y9^y

 

1 . + Đặt t log3



x1



. Suy ra: x    1 3^t x 3^t 1.

K đ

 

^{1   t 3t 2y32y}

 

^{2 .}

Xét hàm số: ^{f h}

 

^{ h 3h, ta có:} f

 

h  1 3 .ln 3 0^h   h nên hàm số ^{f h}

 

đồng biến trên . Do đ

 

2  f t

 

 f

 

2y  t 2ylog3



x 1



2y  x 1 3^2y   x 1 9^y.

+ Do 0 x 2020 nên 1  x 1 2021 1 9^y 2021  0 y log 2021 3, 46₉  . Do y nên ^y



^{0;1; 2;3}



, với mỗi giá trị y cho ta 1 giá trị x thoả đề.

V y có 4 cặp số nguyên



^{x y;}



^{thoả đề.}

Câu 11. (THPT QG-2019) C o p ương t n ( là tham số thực).

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên c a để p ương t n đã c o c ng m

A. . B. . C. . D. Vô số.

Lời giải Chọn A

Đ ều ki n:

P ương t n tương đương với:

 

2

9 3 3

log x log 3x  1 log m m m

2 4 3

1 x3

   

3 3 3 3 3

3 1 3 1

log log 3 1 log log x log x

x x m m m f x

x x

 

        

Xét ; Bảng biến thiên

Để p ương t n c ng m thì , suy ra có 2 giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 12. (THPT QG-2019) C o p ương t n ( là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương c a để p ương t n đã c o c đúng nghi m phân bi t

A. . B. . C. Vô số. D. .

Lời giải Chọn B

Đ ều ki n:

Với , p ương trình trở thành

.

P ương t n n y c ng m (thỏa) Với , đ ều ki n p ương t n

Pt

Do không là số nguyên, nên p ương t n c đúng 2 ng m khi và chỉ khi

 

^{3 1; 1;}

3

f x x x

x

  

  

 

 

¹₂ ^{0; 1;}

f x x 3

x

 

     

 

 

^0;3

m



^{4 log22xlog2x5}



^{7x m 0 m}

m

49 47 48

7

0 log x

x m

 

  1

m



^{4 log22xlog2x5}



^{7x 1 0}

2 2

2 2

2

log 1

4 log log 5 0 5

log 4

7 1 0

0 ( )

x

x

x x

x x loai

 

    

   

  

  

2

m xlog₇m

2

2 5

2 2 4

2

log 1 2

4 log log 5 0 5

log 2

7 0 4

7 7

x

x x

x x

x x

x x

m m

m



 

 

 

     

         

5

2 4 2, 26 x

  

(nghi m không thỏ đ ều ki n và nghi m thỏ đ ều ki n và khác )

V y . Suy ra có giá trị c a .

Do đ c tất cả giá trị c a

Câu 13. (THPT QG-2018) Gọi S là t p hợp tất cả các giá trị nguyên c a tham số m sao cho p ương t n 16^xm.4^x15m²450 có hai nghi m phân bi t. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

A. 13 . B. 3 . C. 6 . D. 4 .

Lời giải Chọn B.

Đặt t4^x, t0. P ương t n đã c o t ở thành

2 2

4 5 45 0

t  mt m  

 

^{* .}

Với mỗi nghi m t0 c p ương t n

 

^* sẽ tương ứng với duy nhất một nghi m x c a p ương t n b n đầu. Do đ , yêu cầu b toán tương đương p ương t n

 

^* có hai nghi m dương p ân b t. K đ

0 0 0 S P

 

 

 



2

2

45 0

4 0

5 45 0

m m m

  

 

  



3 5 3 5

0 3 3

m m

m m

  

 

  

 



3 m 3 5

   .

Do m nên ^m



^4;5;6



^.

Câu 14. (THPT QG-2018) Cho a0, b0 thỏa mãn



^{2 2}

  

3 2 1 6 1

log _{a b} 9a b  1 log _ab 3a2b 1 2. Giá trị c a a2b bằng

A. 6 . B. 9 . C. ⁷

2. D. ⁵

2 . Lời giải

Chọn C.

2

3 7 m m

 

 



5

24

x



 x2

log7m



3; 4;5;...; 48



m 46 m

47 m

Ta có a0, b0 nên ^{2 2}

3 2 1 1

9 1 1

6 1 1

a b a b ab

  

   

  



 

 

2 2

3 2 1

6 1

log 9 1 0

log 3 2 1 0

a b ab

a b a b

 



   

 

  

 .

Áp dụng BĐ Cô-si cho hai số dương t được



^{2 2}

   

^{2 2}

  

3 2 1 6 1 3 2 1 6 1

log _{a b} 9a   b 1 log _ab 3a2b 1 2 log _{a b} 9a   b 1 log _ab 3a2b1



^{2 2}



6 1

2 2 log _ab 9a b 1

    log6_ab1



9a²b² 1



19a²  b² 1 6ab1



^{3a b}



^{2 0}

   3ab. Vì dấu “” đã xảy ra nên



^{2 2}

  

3 2 1 6 1

log _{a b} 9a b  1 log _ab 3a2b1 log3_b1



2b² 1



log2_b²_1



3b1



2b2 1 3b 1

    2b²3b0 ³ b 2

  (vì b0). Suy ra ¹ a2.

V y 2 ¹ 3

a b 2 7

2.

Câu 15. (THPT QG-2018) C o p ương t n 5^x m log5



x m



với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên c a ^{m }



^{20; 20}



để p ương t n đã c o c ng m?

A. 20 . B. 19 . C. 9 . D. 21.

Lời giải Chọn B.

Đ ều ki n xm

Ta có 5^x m log5



x m



5^x   x x m log5



x m



5^x x 5^{log5x m }log5



x m



 

^{1 .}

Xét hàm số ^{f t}

 

^{ 5t t,} f

 

t 5 ln 5 1 0,^t    t , do đ từ

 

1 suy ra

 

log5 5^x

x x m   m x .

Xét hàm số ^{g x}

 

^{ x 5x, g x}

 

^{ 1 5 .ln 5x ,}

 

5 5 0

0 log 1 log ln 5

g x   x ln 5  x . Bảng biến thiên

Do đ để p ương t n c ng m thì mg x

 

0  0,92.

Các giá trị nguyên c a ^{m }



^{20; 20}



^là



19; 18;...; 1 



, có 19 giá trị m thỏa mãn.