82 x Lời giải ĐK

HƯỚNG DẪN SỬA PHẦN 3 – MŨ - LOGARIT

Câu 1. [Câu 12 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Giải phương trình log (₄ x 1) 3.

A. x63 B. x65 C. x80 D.

82 x

Lời giải ĐK:     x 1 0 x 1

Phương trình log4



x 1



3   x 1 4³  x 65

Câu 2. [Câu 13 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Tính đạo hàm của hàm số y13^x A. y x.13^x1 B. y 13 ln13^x C. y 13^x D.

13 ln13 y  x

Lời giải Ta có:y 13 ln13^x .

Câu 3. [Câu 14 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Giải bất phương trình log 32



x 1



3.

A. x3 B. 1

3 x 3 C. x3 D.

10 x 3

Lời giải

Đkxđ: 1

3 1 0

x   x 3

Bất phương trình 3x 1 2³  3x  9 x 3(t/m đk).

Vậy bpt có nghiệm x3^.

Câu 4. [Câu 15 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Tìm tập xác định D của hàm số



²



log2 2 3

y x  x

A. ^{D   }



^{; 1}

 

^3;



^{B. D }



^1;3



C. ^{D   }



^{; 1}

 

^3;



^{D. D }



^1;3



Lời giải



²



log2 2 3

y x  x . Hàm số xác định khi x²2x 3 0  x 1 hoặcx3

Vậy tập xác định: ^{D   }



^{; 1}

 

^3;



Câu 5. [Câu 16 – Đề MINH HỌA 2016-2017]

Câu 6. [Câu 17 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Cho các số thực dương ,a b với a1. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?

A. ^{log 2}

 

^1log

2 ^a

a ab  b B. ^loga²

 

ab  ^{2 2log}ab C. ^{log 2}

 

^1log

4 ^a

a ab  b D. ^{log 2}

 

^{1 1log}

2 2 ^a

a ab   b

Lời giải

Ta có: ^{log 2}

 

^{log 2 log 2 1.log 1.log 1 1.log}

2 ^a 2 ^a 2 2 ^a

a ab  a a a b a b  b

Câu 7. [Câu 18 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Tính đạo hàm của hàm số 1 4^x y x



A.

 

2

1 2 1 ln 2

' 2

 

 x _x

y B.

 

2

1 2 1 ln 2

' 2 ^x

y  x



C.

 

2

1 2 1 ln 2

' 2^x

y  x

 D.

 

2

1 2 1 ln 2

' 2^x

y  x

 Lời giải

Ta có:

     

 

²

   

²

1 .4 1 . 4 4 1 .4 .ln 4

' 4 4

 

    

 

x x x x

x x

x x x

y

 

 

²



²



4 . 1 .ln 4 ln 4 1 .2ln 2 2ln 2 1 2 1 ln 2

4 2

4

     

  

x

x x

x

x x x

Câu 8. [Câu 19 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Đặtalog 3,₂ blog 3.₅ Hãy biểu diễnlog 45 theo ₆ a và b.

A. ₆ 2

log 45 a ab ab

  B.

2 6

2 2

log 45 a ab

ab

 

C. ₆ 2

log 45 a ab ab b

 

 D.

2 6

2 2

log 45 a ab

ab b

 

 Lời giải

   

2 2

2 2 2 2 3 5

6

2 2

log 3

2 2

log 3 .5 2log 3 log 5 2 log 3.log 5 log 3 2

log 45

log 2.3 1 log 3 1 1 1

 



 

     

    

a a a

a b a ab

a a a ab b

CASIO: Sto\Gán Alog 3,₂ Blog 3₅ bằng cách: Nhập log 3 \shift\Sto\₂ A tương tự B

Thử từng đáp án A: 2 ₆

log 45 1,34 A AB

AB

   ( Loại)

Thử đáp án C: 2 ₆

log 45 0 A AB

AB

   ( chọn )

Câu 9. [Câu 20 – Đề MINH HỌA 2016-2017]

Câu 10. [Câu 21 – Đề MINH HỌA 2016-2017] Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.

A.

100.(1,01)3

m 3 (triệu đồng) B.

3 3

(1,01) (1,01) 1 m

 (triệu đồng) C. 100.1,03

m 3 (triệu đồng) D.

3 3

120.(1,12) (1,12) 1 m

 ^(triệu đồng)

Lời giải

Cách 1: Công thức: Vay số tiền A lãi suất r% / tháng. Hỏi trả số tiền a là bao nhiêu để n tháng hết nợ

 

 

 

 

3 3

. . 1 100.0,01. 1 0,01

1 1 1 0,01 1

n n

Ar r

a r

 

 

    .

Cách 2: Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông A hoàn nợ 3 lần Với lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1%

Hoàn nợ lần 1:

-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0,01 100 100.1,01  (triệu đồng) - Số tiền dư : 100.1,01m(triệu đồng)

Hoàn nợ lần 2:

- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :



^100.1,01m



^.0,01



^100.1,01m

 

 ^{100.1, 01}m



.1, 01 100. 1, 01

 

²1, 01.m (triệu đồng)

- Số tiền dư:^{100. 1,01}

 

^{21, 01.m m} (triệu đồng) Hoàn nợ lần 3:

- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :

 

²

  

³



²

100. 1,01 1,01.m m .1,01 100. 1,01 1,01 m 1,01m

      

  (triệu đồng)

- Số tiền dư:^{100. 1,01}

  

^{3 1,01}



^{2m1, 01m m} (triệu đồng)

     

 

3

3 2

2

100. 1,01

100. 1,01 1,01 1, 01 0

1,01 1,01 1

m m m m

      

 

   

   

 

 

3 3

2 3

100. 1,01 . 1, 01 1 1,01 1,01 1 1, 01 1,01 1 . 1,01 1

m 

  

     

 

(triệu đồng)

Câu 11. [Câu 12 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Với các số thực dương a b, bất kì.

Mệnh đề nào dưới đây đúng.

A. ^ln

 

^{ab lnaln .b B. ln}

 

^{ab ln .ln .a b C. ln ln .}

ln

a a

b  b D.

lna ln ln .

b a

b  

Lời giải

Theo tính chất của lôgarit: ^{ a 0,b0: ln}

 

^{ab lnalnb}

Câu 12. [Câu 13 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm nghiệm của phương trình 3^x1 27

A. x9 B. x3 C. x4 D.

10 x

Lời giải

1 3

3^x 3   x 1 3  x 4.

Câu 13. [Câu 14 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức ^{s t}

   

^{s 0 .2 ,t trong đó s}

 

^{0 là số}

lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, ^{s t}

 

là số lượng vi khuẩn A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

A. 48 phút. B. 19 phút. C. 7 phút. D. 12 phút.

Lời giải

Sau 3 phút ta có: ^s

   

^{3 s 0 .23}

   

3

0 3 78125.

2 s s

  

Tại thời điểm

t

số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con nên ta có:

   

^{0 .2t}

s t s

 

 

^10.000.000

2 2

0 78125

t s t t

  s    2^t 128 t 7.

Câu 14. [Câu 15 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho biểu thức P  ⁴ x x.^{3 2}. x³ , với 0

x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

1

P x 

2 B.

13

P x 

24 C.

1

P x 

4 D.

2

P x 

3

Lời giải

Ta có, với x0:

7 13

3 7 13

4 3 4 3 4 4

4 .3 2. 3 . 2. 2 . 2 . 6 6 24

     

P x x x x x x x x x x x x .

Câu 15. [Câu 16 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Với các số thực dương a, b bất kì.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ₂ 2 ³ _{2 2}

log a 1 3 log log

a b

b

   

 

  . B.

3

2 2 2

2 1

log 1 log log

3

   

 

 

a a b

b .

C. ₂ 2 ³ _{2 2}

log   1 3 log log

 

a a b

b . D.

3

2 2 2

2 1

log 1 log log

3

   

 

 

a a b

b .

Lời giải

Ta có:

   

3 3 3

2 2 2 2 2 2 2

log 2  log 2 log log 2 log log 1 3log log

       

 

 

a a b a b a b

b .

Câu 16. [Câu 17 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

   

1 1

2 2

log x 1 log 2x1

A. ^S



^2;



^{. B. S }



^;2



^{. C. 1; 2}

S 2 

  ^{. D.}



^1;2



S  .

Lời giải

Điều kiện:

1 0 1 1

2 1 0 1 2

2 x x

x x x

  

     

    

  (*)

   

1 1

2 2

log x 1 log 2x   1 x 1 2x     1 x 2 0 x 2

Kết hợp (*)



¹; 2 S 2 

  ^.

Câu 17. [Câu 18 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tính đạo hàm của hàm số

 

y = ln 1 + x + 1 .

A. ^{y 2 x1 1}



^{1 x1}



^{B. y 1 1x1}

C. ^{y  x1 1}



^{1 x1}



^{D. y  x1 1}



^{2 x1}



Lời giải

Ta có:

 



^{ln 1 1}

 11 x 11 2 1 11 1

y x

x x x

  

     

     ^.

Câu 18. [Câu 19 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Cho ba số thực dương a b c, , khác 1. Đồ thị các hàm số

y a y b y c 

^x

, 

^x

, 

^x được cho trong hình vẽ bên

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. a b c  B. a c b  C. b c a  D.

c a b 

Lời giải

Đường thẳng x1đồ thị các hàm số

y a y b y c 

^x

, 

^x

, 

^x tại các điểm có tung độ lần lượt là y a y, b y, c như hình vẽ:

Từ đồ thị kết luận a c b 

Câu 19. [Câu 20 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017] Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình ^{6x }



^{3 m}



^{2x m 0} có nghiệm thuộc khoảng

 

^{0;1 .}

A.

 

^{3;4 B.}

 

^{2;4 C.}

 

^{2;4 D.}

 

^3;4

Lời giải

Ta có: ^{6x }



^{3 m}



^{2x m 0}

 

¹



^{6 3.2}

2 1

x x

x m

 

 Xét hàm số

 

^{6 3.2}

2 1

x x

f x  x

 xác định trên ^{, có}

 

12 .ln3 6 .ln 6 3.2 .ln 2

 

² 0, 2 1

x x x

f x   x    x

  nên hàm số ^{f x}

 

đồng biến trên 

Suy ra ^{0  x 1 f}

 

^{0  f x}

 

^{ f}

 

^{1  2 f x}

 

^{4 vì f}

 

^{0 2, 1f}

 

^4.

Vậy phương trình

 

¹ có nghiệm thuộc khoảng

 

^{0;1 khi m}

 

^{2;4 .}

Câu 20. [Câu 21 - Đề THỬ NGHIỆM 2016-2017]

Xét các số thực a, b thỏa mãn a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất

P

_min của biểu thức

 

2 2

log 3log  

 ^a_b  ^b   P a a

b ^.

A.

P

_min

 19

B.

P

_min

 13

C.

P

_min

 14

D.

min

 15 P

Lời giải Với điều kiện đề bài, ta có

 

2

2 2

2

log 3log   2log  3log   4 log  .  3log  

 ^ab  ^b   ^ab   ^b    ^ab   ^b  

a a a a

P a a b

b b b b

2

4 1 log_a 3log

b

b

b a

b

   

       

Đặt log_a 0

b

t b (vì a b 1), ta có

 

^{2 3 2 3}

 

4 1 4 8 4

       

P t t

t t f t

t .

Ta có ^{3 2}

  

²



2 2 2

2 1 4 3

3 8 3

( ) 8 6

8 8   

     t  t   t t t f t t

t t t

Vậy

 

^{0 1}

    2

f t t . Khảo sát hàm số, ta có _min ¹ ₁₅

  2

  



P f .

Câu 21. [Câu 2 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Tìm đạo hàm của hàm số ylogx.

A. 1

y  x B. ln10 y  x

C. 1

y ln10

  x D. 1

y 10ln

  x

Lời giải

Áp dụng công thức



^log



¹

ax ln

  x a, ta được 1 y ln10

  x .

Câu 22. [Câu 3 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ¹ 1

5 0

5

x   .

A. ^{S   }



^1;



^{. B. S    }



^1;



^.

C. ^{S    }



^2;



^{. D. S   }



^{; 2}



^.

Lời giải

Bất phương trình tương đương 5^x1 5^1      x 1 1 x 2.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^{S   }



^2;



^.

Câu 23. [Câu 12 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Tính giá trị của biểu thức



^{7 4 3}

 

^{2017 4 3 7}



²⁰¹⁶

P  

A. P1 B. P 7 4 3

C. P 7 4 3 D. ^P



^{7 4 3}



²⁰¹⁶

Lời giải

        

   

2017 2016 2016

2016

7 4 3 4 3 7 7 4 3 . 7 4 3 4 3 7

7 4 3 1 7 4 3.

P        

    

Câu 24. [Câu 13 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Cho a là số thực dương a1 và

3

log _a a3. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. P3 B. P1 C. P9 D.

1 P 3

Lời giải

1 3

3

3 3

log _a log 9

a

a  a  .

Câu 25. [Câu 15 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số ^{f x}

 

^{x xln} . Một trong bốn đồ thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số

 

y f x . Tìm đồ thị đó?

A. Hình 1 B. Hình 2 C. Hình 3 D.

Hình 4

Lời giải

Tập xác định ^D



^0;



Ta có ^{f x}

 

^{x xln  f x}

 

^{g x}

 

^lnx1.

Ta có ^g

 

^{1 1} nên đồ thị hàm số đi qua điểm

 

^1;1 . Loại hai đáp án B và D Và _x^lim₀



^{g x}

  

_x^{lim ln}₀

 

^x ¹. Đặt 1

t  x. Khi x0^ thì

t  

. Do đó _x^lim₀



^{g x}

  

_t^{lim ln} ¹_t ¹ _t^{lim ln}

 

^{t 1}

   

          nên loại đáp án A (Có thể dùng máy tính để tính tiệm cận đứng của ylnx1 )

Câu 26. [Câu 22 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của phương trình

   

2 2

log x 1 log x 1 3. A. ^{S  }



^3;3



^{B. S }

 

⁴

C. ^{S }

 

^{3 D. S  }



^{10; 10}



Lời giải

Điều kiện x1. Phương trình đã cho trở thành



^{2 }



^

log2 x 1 3 x² 1 8   3x

Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là

 

  3 3

x S

Câu 27. [Câu 33 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Cho a b, là các số thực dương thỏa mãn a1, a b và log_ab 3. Tính P log _b

a

b

 a . A. P  5 3 3 B. P  1 3

C. P  1 3 D. P  5 3 3 Lời giải

Cách 1: Phương pháp tự luận.

   

1 1

log 2 log 1 2 3 1 3 1

log 1 1log 1 3 2

log 2

a a

a a

a

b b

P a

b b b

a

  

   

  

1 3

   .

Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm.

Chọn a2, b2 ³. Bấm máy tính ta được P  1 3.

Câu 28. [Câu 35 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Hỏi phương trình

 

³

3x26xln x1  1 0 có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Lời giải

Điều kiện: x 1.

Phương trình đã cho tương đương với ^{3x26x3ln}



^{x  1 1 0}



^.

Xét hàm số ^{y3x26x3ln}



^{x 1 1}



liên tục trên khoảng



^{ 1;}



^.

 

^{3 6 2 3}

6 1

1 1

y x x

x x

     

  .

2 2

0 2 1 0

y   x     x 2 (thỏa điều kiện).

Vì 2

2 0 f  

 

 

  ^,

2 0

f  2 

 

  ^và lim

x y

   nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

Câu 29. [Câu 40 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Cho hàm số lnx

y x , mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 1₂

2y xy

  x . B. 1₂ y xy

  x .

C. 1₂

y xy

  x . D. 1₂ 2y xy

  x . Lời giải

Cách 1.

 

2 2 2

1. ln

lnx x x. .lnx x x x 1 lnx

y x x x

    

   

 

²

 

²

 

4

1 lnx x. x 1 lnx

y x

 

  

  ²

 

4

1.x 2 1 lnx x x

x

  



   

4 3 3

2 1 ln 1 2 1 ln 3 2ln

x x x x x

x x x

     

    

Suy ra: 1 ln₂ 3 2ln₃

2 2. x x

y xy x

x x

 

   2 2lnx ₂3 2lnx 1₂

x x

  

   .

Cách 2. Ta có xylnx, lấy đạo hàm hai vế, ta được 1 y xy  x

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được 1₂ y y xy

   x ,

hay 1₂

2y xy

  x .

Câu 30. [Câu 45 - Đề THAM KHẢO 2016-2017] Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong



^2017;2017



để phương trình ^log

 

^{mx 2log}



^x1



có nghiệm duy nhất?

A. 2017 . B. 4014. C. 2018. D.

4015.

Lời giải

Điều kiện x 1và x0.

     

²



¹



²

log 2log 1 1 x

mx x mx x m

x

       

Xét hàm ^{f x}

  

^{x 1}

 

^{2 x 1,x 0}



x

   

 ;

   

2 2

1 1

0 1

x x

f x x x l

 

        Lập bảng biến thiên

Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 4 0.

m m

 

 

Vì ^{m }



^2017;2017



^{và m} nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu là



2017; 2016;...; 1;4



m    .

Chú ý: Trong lời giải, ta đã bỏ qua điều kiện mx0 vì với phương trình

   

log_a f x log_a g x với 0 a 1 ta chỉ cần điều kiện ^{f x}

 

^{0 (hoặc}

 

⁰

g x  ).

Câu 31. [Câu 1 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Cho phương trình

 ¹  

4^x 2^x 3 0. Khi đặt t 2^x ta được phương trình nào sau đây

A. 4 3 0t  B. t²  t 3  0 C. t²  2t3 0 D.

  2t2 3t 0

Lời giải Phương trình  4^x 2.2^x 3 0

Câu 32. [Câu 2 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Cho

a

là số thực dương khác 1^. Tính Ilog _aa.

A. _ ¹

I 2 B. I0 ^C. I 2. ^D.

2 I

Lời giải

Với

a

là số thực dương khác 1 ^{ta được:}   ₁  

2

log _a log 2log_a 2

a

I a a a

Câu 33. [Câu 15 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Với

a

, b là các số thực dương tùy ý và

a

khác 1^{, đặt} P^log_ab3 ^log_a2b6. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

P  9log

_a

b

B.

P  27log

_a

b

C.

P  15log

_a

b

D.

 6log

_a

P b

Lời giải

log 3log 2 6  3 log  6log 6 log 2

a a a a a

P b b b b b.

Câu 34. [Câu 16 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Tìm tập xác định D ^{của hàm}

số _ ^

5 3

log .

2 y x

A. D  \{ 2}x B. D  ( 2; 3)

C. D   ( ; 2) [3; ) D. D    ( ; 2) (3;) Lời giải

Tập xác định của là tập các số

x

để ^ ^{ }



^



^



  ^{ }  

3 0 3 2 0 3

2 2

x x x x

x x

Suy ra ^{D   }



^{; 2}

 

^3;



^.

Câu 35. [Câu 17 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log²₂x5log₂x 4 0.

A. S[2 ; 16]  B. S(0 ; 2] [16    ;) C. ( ; 2] [ 6 1 ; ) D. S (  ;1] [4  ;)

Lời giải Điều kiện x0

Bpt    

     

2 2

log 4 16

log 1 2

x x

x x

Kết hợp điều kiện ta có ^S



^{0;2  }_{ }^16;



^.

Câu 36. [Câu 24 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Tập xác định D của hàm số

 

 1 ¹³ y x là:.

A. ^{D ;1}

 

^{B. D}



^1;



^C. D^ ^D.

 

\ 1 D

Lời giải

Hàm số xác định khi x   1 0 x 1^{. Vậy D}



^1;



^.

Câu 37. [Câu 35 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó sẽ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

A. 14 ^{năm B.} 12 ^{năm C.} 11 ^{năm D.} 13

năm

Lời giải

Ta có 50. 1 0, 06



^



^{n }100^{ }n log1,062^{ }n 12.

Câu 38. [Câu 39 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Tìm giá trị thực của

m

để phương trình log²₃x m log₃x m2  7 0 có hai nghiệm thực

x x

₁

,

₂ thỏa mãn

x x

_{1 2}

 81.

A. m 4 ^B. m44 ^C. m81 ^D.

4 m

Lời giải

Đặt

t  log

₃

x

ta được t² m t2m 7 0, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm

t t

_{1 2}

,

 

     

1 2 log3 1 log3 2 log3 1 2 log 81 43

t t x x x x

Theo vi-et suy ra

t t m m

₁

   

₂

4

(Thay lại m4 và đề bài ta thấy phương trình có hai

nghiệm thực

x x

₁

,

₂ thỏa mãn

x x

_{1 2}

 81

)

Câu 39. [Câu 42 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Cho

log

_a

x  3,log

_b

x  4

với ,

a b là các số thực lớn hơn 1. Tính

P  log .

_ab

x

A. _ ⁷

P 12 B. _ ¹

P 12 C. P12 ^D.

 12 P 7

Lời giải

    

 

1 1 1 12

log log log log 1 1 7

3 4

ab

x x x

P x

ab a b

Câu 40. [Câu 47 - Đề chính thức mã 101 năm 2016-2017] Xét các số thực dương x y,

thỏa mãn     

3 

log 1 3 2 4

2

xy xy x y

x y . Tìm giá trị nhỏ nhất

P

_min ^của

 

P x y

A. _min  2 11 3

P 3 B. _min 9 11 19

P 9 C. _min 18 11 29

P 21 D.

 

min

9 11 19 P 9

Lời giải

Với x y, dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức

    

3 

log 1 3 2 4

2

xy xy x y

x y ^{ta được 1xy  0}

Biến đổi     

3 

log 1 3 2 4

2

xy xy x y x y

       

log 1₃ xy log₃ x2y  3 1xy  x2y log 3₃

       

 

log 1³ xy log 3³ 3 1xy log³ x2y  x2y

        

 

log 3 1³ xy 3 1xy log³ x2y  x2y 1 Xét hàm số ^{f t}

 

^log₃^{t t trên D}



^0;



 

^{ 1  }

' 1 0

.ln 3

f t t với mọi x D nên hàm số f t

 

^log3t t^ đồng biến trên

 

 0;

D

Từ đó suy ra

 

^{1 3 1}



^xy



^{ x 2y 3 2y x}



^{1 3 y}



^{ x 3 2}_{1 3}^ _y^{y (do}

 0 y )

Theo giả thiết ta có x 0 ,y  0 nên từ  

 3 2 1 3 x y

y ^{ta được 0 } y ^{ 3}2 .

  

    

 

3 2 3 2 3

1 3 3 1

y y y

P x y y

y y

Xét hàm số ^{g y}

 

^3y₃²_y^{ }_^y₁ ^{3 với} 0 ^{  3} y 2

   

 

 



2

2

9 6 10

' 0

3 1

y y

g y y ^{ta được}

 1 11

y 3 .

Từ đó suy ra     1 11 

mi 2 11 .

n 3

3 P g 3

Câu 41. [Câu 6 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y.

A. log  log log^a

a

a

x x

y y B. ^loga ^loga



^



x x y

y C. log_a x log_axlog_ay

y ^D. log_a x log_axlog_ay y

Lời giải

Theo tính chất của logarit.

Câu 42. [Câu 9 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Tìm nghiệm của phương trình



^



^

log 12 x 2.

A. x 3. B. x 4. C. x3. D.

5 x .

Lời giải

Ta có log 12



^x



^2   1 x 4   x 3. Câu 43. [Câu 13 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017]

Câu 44. [Câu 28 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Tính đạo hàm của hàm số

 

log 2₂ 1

y x .

A.  

 2 2 1

y x ^B.  

 1 2 1

y x ^{C. y }



^{2x21 ln 2}



^D.

 

   1 2 1 ln 2

y x

Lời giải

Ta có ^{ }



2



^

 

^{ }

 

_^

 

^{ }



_



2 1 2

log 2 1

2 1 ln 2 2 1 ln 2

y x x

x x .

Câu 45. [Câu 29 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Cho log_ab2 và log_ac3. Tính P^loga

 

b c^{2 3} .

A. P108 ^B. P13 ^C. P31 ^D.

30 P

Lời giải

Ta có: ^loga

 

b c^{2 3 2log}ab^3logac^{2.2 3.3 13 } .

Câu 46. [Câu 30 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của phương trình 2



^{ }



1



^{ }



2

log x 1 log x 1 1.

A.    

 

 

3 13

S 2 B. ^S

 

^{3 C. S}



^{2 5; 2 5}



^D.

 

 

S 2 5

Lời giải Điều kiện   

    



1 0 1

1 0

x x

x ^.

Phương trình tương đương



^{ }

 

^{ }



^



^{ }

 

^{ }



2 2 2 2 2

log 1 1log 1 1 2log 1 log 1 log 2

x 2 x x x

   

log ₂ x1 ² log 2₂ x1 x²2x 1 2x2

 

  

    

  



2 2 5

4 1 0

2 5

x L

x x

x

Câu 47. [Câu 31 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2^x  ^x1 m 0 có hai nghiệm thực phân biệt A. ^{m ;1}

 

^{B. m}



^0;1_ ^{C. m}

 

^{0;1 D.}

 

 0;

m

Lời giải

Phương trình ^{4 2x  x1  m 0}

 

^{2x 22.2x m 0,}

 

^{1 .}

Đặt t2^x 0. Phương trình

 

¹ trở thành: t²  2t m 0,

 

^{2 .}

Phương trình

 

¹ có hai nghiệm thực phân biệt  phương trình

 

^{2 có hai}

nghiệm thực phân biệt và lớn hơn 0

  

 

   

 

       

  

  

1 0

0 2

0 0 0 1

0 1

1 0 m

S m

P m

.

Câu 48. [Câu 37 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Cho x y,  là các số thực lớn hơn 1 thoả mãn x²9y² 6xy^{. Tính   12}12



^{ 12}



1 log log 2log 3

x y

M x y ^.

A. 1

M 2. B. 1

M 3. C.  1

M 4. D.

1

M Lời giải

Ta có ^{x29y2 6xy}



^x3y



^{2   0 x 3y.}

Khi đó

   

 

   

 

12 12 12 12 2

2 2

12 12 12

1 log log log 12 log 36 1

2log 3 log 3 log 36

x y xy y

M x y x y y .

Câu 49. [Câu 41 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Đầu năm 2016, ông A thành lập một công ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 ^là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng?

A. Năm 2022 ^{B. Năm} 2021 ^{C. Năm} 2020 ^D.

Năm 2023

Lời giải

Áp dụng công thức ^{1. 1}



^r



^{n  2 1. 1 0,15}



^



^{n  2 n 4,96}

Vậy từ năm thứ 5 sau khi thành lập công ty thì tổng tiền lương bắt đầu lớn hơn 2 tỷ đồng.

Suy ra năm cần tìm là 2016 5 2021  .

Câu 50. [Câu 46 - Đề chính thức mã 102 năm 2016-2017] Xét các số thực dương a_, b

thỏa mãn     

2 

log 1 ab 2ab a b 3

a b . Tìm giá trị nhỏ nhất P_min của

 2 P a b_.

A. 

min 

2 10 3

P 2 B. 

min 

2 10 5

P 2 C. 

min 

3 10 7

P 2 D.

 

min

2 10 1 P 2

Lời giải

Điều kiện: ab1.

Ta có

        

             

2 2 2

log 1 ab 2ab a b 3 log 2 1 ab 2 1 ab log a b a b * . a b

Xét hàm số y f t^

 

^log2t t^ trên khoảng



^0;



^.

Ta có ^{f t}

 

^_{t.ln 2}^{1    1 0, t 0}.Suy ra hàm số ^{f t}

 

đồng biến trên khoảng



^0;



^.

Do đó,

 

^{*  f }_^{2 1}



^ab



^_^{ f a b}



^{ }



^{2 1}



^ab



^{  a b a b}



^{2 1 2    }



^{b a  }_{2 1}^b_b²

.

 

 

    



2 2 2

2 1

P a b b b g b

b ^.

  

^

  

^

           



2 2

5 2 0 2 1 5 2 1 10 10 2

2 2 4

2 1

g b b b b

b (vì

0 b ^).

Lập bảng biến thiên ta được ^min      10 2 2 10 3

4 2

P g .

Câu 51. [Câu 4 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Tìm nghiệm của phương trình



^{ }



25

log 1 1 x 2.

A. x6 ^B. x4 ^C.  23

x 2 D.

 6 x

Lời giải Điều kiện: x 1

Xét phương trình 25



^{  }



5



^{ }



log 1 1 log 1 1

x 2 x     x 1 5 x 4^. Câu 52. [Câu 10 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Cho a là số thực dương khác

2. Tính  

  

 

2

2

log^a 4

I a .

A.  1

I 2 B. I 2 C.  1

I 2 D.

 2

I Lời giải

   

     

   

2 2

2 2

log log 2

4 2

a a

a a

I

Câu 53. [Câu 11 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Tìm tập nghiệm S của phương trình log 2₃



x^{ }1 log



₃



x^{ }1 1



.

A. ^S

 

^{1 B. S 2}

 

^{C. S}

 

^{3 D.}

 

 4 S

Lời giải

ĐK:

 

      

   

  

2 1 0 1

2 1.

1 0 1

x x x

x x

Ta có



^{ }

 

^{ }



3 3

log 2x 1 log x 1 1  

     

 

3

2 1 2 1

log 1 3 4

1 1

x x x

x x ^(thỏa)

Câu 54. [Câu 22 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Cho hàm số y a y b ^x,   ^{x với} , 

a b là hai số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là

 

C₁ và

 

C₂ như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. 0  b a 1 ^B. 0  a 1 b ^C. 0  b 1 a ^D.

   0 a b 1 O

 

C1

 

C2

Lời giải

Theo hình ta thấy hàm y a ^x là hàm đồng biến nên a1^{, còn hàm} y b ^{x là hàm} nghịch biến nên 0 b 1^{. Suy ra} 0  b 1 .a

Câu 55. [Câu 28 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Cho log₃a2 và log₂  1 b 2. Tính ^ 3^_ 3

 

^_^ 1 ²

4

2log log 3 log

I a b .

A. I 0 ^B. I 4 C. 3

I 2 D.

 5 I 4

Lời giải

 

^

 

^

 

 ³ ³  ^{1 2 3 3}  ³  2² 4

2log log 3 log 2log log 3 log 2log

I a b a b

  2 1 3 2 2^.

Câu 56. [Câu 29 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Rút gọn biểu thức Q b ⁵³ :³ b với b0^.

A. Q b ^43 B. Q b ⁴³ C. Q b ⁵⁹ D.

 ² Q b

Lời giải

 ⁵³ :³  ⁵³ : ¹³  ⁴³

Q b b b b b

Câu 57. [Câu 32 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số ^ylog



^{x22x m 1}



có tập xác định là .

A. m2 B. m0 C. m0 D.

2

m Lời giải

Để hàm số có tâp xác định  khi và chỉ khi x²2x m  1 0,  x ^.

   0 ^{ }

 

^{1 21.}



^{  m 1 0}



^{ m 0.}

Câu 58. [Câu 42 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log²₂x2log₂x3m 2 0 có nghiệm thực.

A. m1 ^B. m1 ^C. m0 ^D.

2 m 3

Lời giải

Đặt t^log2x x



^0



, ta có bất phương trình : t²  2 3t m 2 0^. Để BPT luôn có nghiệm thực thì    3 3m  0 m 1^.

Câu 59. [Câu 43 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn a b² ² 8ab, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ^log



^{a b }

 

¹₂ ^logalogb



^B.



^{  }



^{1 }

log log log

a b 2 a b

C. ^log



^{a b }

 

¹₂ ^{1 log alogb}



^D.



^



^{  }

log a b 1 loga logb

Lời giải:

Ta có ^{a b2 2 8ab}



^{a b}



^{2 10ab.}

Lấy log cơ số 10 hai vế ta được:



^



^{2 }

 

^



^



^{  }

log a b log 10ab 2log a b log10 loga logb. Hay ^log



^{a b }

 

¹₂ ^{1 log alogb}



^.

Câu 60. [Câu 50 - Đề chính thức mã 103 năm 2016-2017] Xét hàm số ^{f t}

 

^_{9t }^9t_m2

với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho

   

^{ 1}

f x f y với mọi số thực x y, ^{thỏa mãn ex y e x y}



^



.Tìm số phần tử của S^.

A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0

Lời giải

Ta có f x

   

^ f y ^{ }1 9^{x y }m^{4   }x y log9m^{4 }log3m²

Đặt x y t t  , 0^{. Vì}

 

       1 ln  1 ln    0, 0

x y t

e e x y e et t t t t t (1)

Xét hàm ^{f t}

 

^{lnt 1 t với t0. f t}

 

^{  1}_t ^{1 1}_t ^{t   0 t 0}

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có ^{f t}

   

^{ f 1 , t 0  1 lnt t   0, t 0}

(2)

Từ

 

^{1 và}

 

^{2 ta có} t^{ }1 log3m^{2  }1 m^{2  }3 m^{ } 3

Câu 61. [Câu 5 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Tìm nghiệm của phương trình

 

log2 x 5 4.

A. x21 B. x3 C. x11 D.

13 x

Lời giải

ĐK: x    5 0 x 5 log2



x 5



4   x 5 16 x 21

Câu 62. [Câu 8 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Cho a là số thực dương tùy ý khác 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. log₂alog 2._a B. ₂

2

log 1 .

a log

 a C. ₂ 1

log .

log 2_a

a D.

log2a log 2._a

Lời giải

Áp dụng công thức đổi cơ số.

Câu 63. [Câu 11 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Tìm tập xác địnhD của hàm số ^y



^{x2 x 2}



^3.

A. D B. ^D



^{0; }



C. ^{D   }



^{; 1}

 

^{2; }



^{D. D}^\



^1;2



Lời giải

Vì 3 ^ nên hàm số xác định khix²     x 2 0 x 1;x2. Vậy

 

\ 1;2 D  ^.

Câu 64. [Câu 19 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình 3^x m có nghiệm thực.

A. m1 B. m0 C. m0 D.

0 m

Lời giải

Để phương trình 3^x m có nghiệm thực thì m0.

Câu 65. [Câu 26 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Tìm tập xác định D của hàm số ^ylog3



^x24x3



A. ^D



^{2 2;1}

 

^{ 3; 2 2}



^{. B. D}

 

^{1;3 .}

C. ^{D }



^;1

 

^{ 3;}



^{. D.}



^{; 2 2}

 

^{2 2;}



D      .

Lời giải

Điều kiện ² 1

4 3 0

3 x x x

x

 

      .

Câu 66. [Câu 29 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Với mọi a, b, x là các số thực dương thoả mãn log₂x5log₂a3log₂b. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. x3a5b B. x5a3b C. x a ⁵b³ D.

x a b 5 3

Lời giải

Có log₂x5log₂a3log₂blog₂a⁵log₂b³ log₂a b^{5 3}  x a b^{5 3}. Câu 67. [Câu 31 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017]

Câu 68. [Câu 40 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số yln(x²2x m 1) có tập xác định là .

A. m0 B. 0 m 3 C. m 1 hoặc m0 D.

0 m

Lời giải

Để hàm số có tâp xác định  khi và chỉ khi

 

2 1 0( )

2 1 0,

1 1 0 0

a ld

x x m x

m m

  

               ^.

Câu 69. [Câu 43 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Với các số thực dương x, y tùy ý, đặt log₃ x , log₃ y . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

3

log27 9

2 x

y  

     

   

   

  B.

3

log27

2 x

y  

 

   

 

  C.

3

log27 9

2 x

y  

     

   

   

  D.

3

log27

2 x

y  

 

   

 

  Lời giải

3

log27 x y

 

 

 

  ^{27 27}

3log 3log

2 x y

  1 _{3 3}

log log

2 x y  2

    .

Câu 70. [Câu 46 - Đề chính thức mã 104 năm 2016-2017] Xét các số nguyên dương ,

a bsao cho phương trình aln²x b lnx 5 0 có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ và phương trình 5log²x b logx a 0 có hai nghiệm phân biệt x₃, x₄ thỏa mãn x x_{1 2} x x_{3 4}. Tính giá trị nhỏ nhất S_min của S2a3b.

A. S_min 30 B. S_min 25 C. S_min 33 D.

min 17 S 

Lời giải

Điều kiện x0, điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

2 20

b  a.

Đặt tln ,x ulogx khi đó ta được at²  bt 5 0(1), 5t²  bt a 0(2). Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x, một u thì có một x. Ta có ₁. ₂ ¹. ^{2 1 2}

b

t t t t a

x x e e e ^ e^ , ₃. ₄ 10^{1 2} 10