Đại số - Tiết 55: Công thức nghiệm thu gọn

KiÓm tra bµi cò :

1. Gi¶i ph ¬ng tr×nh b»ng c¸ch dïng c«ng thøc nghiÖm : a) 3x² + 8x + 4 = 0

b) 3x²  4 6x  4 0

2 . ViÕt b¶ng tãm t¾t c«ng thøc nghiÖm ?

Ch÷a bµi tËp kiÓm tra :

a) 3x² + 8x + 4 = 0

82 4.3.4 64 48 16 0;

       ^{  4} Ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

1 2

8 4 4 2 8 4 12

; 2

2.3 6 3 2.3 6

x     x   

      

* KÕt luËn : Ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt

1 2

2 ; 2

x 3 x

  

)3 2 4 6 4 0 b x  x  





^{ }

          12

Ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

1

4 6 12 2(2 6 6) 2 6 6

2.3 2.3 3 ;

x       ₂ ^{4 6 12 2(2 6 6) 2 6 6}

2.3 2.3 3

x      

* KÕt luËn :

§èi víi ph ¬ng tr×nh ax² + bx + c = 0 ( a  0 ) vµ biÖt thøc  = b² – 4ac:

• NÕu  > 0 th× ph ¬ng tr×nh bËc hai cã hai nghiÖm ph©n biÖt:

x₁ = ; x₂ =

• NÕu  = 0 th× ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp x₁ = x₂ =

• NÕu  < 0 th× ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm.

b 2a

   b

2a

  

b

 2a

C«ng thøc nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh bËc 2 :

Em hãy nhắc lại 1 số cách giải ph ơng trình bậc 2 đã học ?

-Cách 1 : đ a ph ơng trình bậc hai về ph ơng trình tích - Cách 2 : Giải bằng ph ơng pháp vẽ đồ thị Parbol và

đ ờng thẳng để tìm toạ độ điểm chung. Giá trị hoành độ tìm đ ợc là nghiệm của ph ơng trình

-Cách 3 : Dùng hằng đẳng thức bình ph ơng của 1 tổng (hoặc 1 hiệu) . Biến đổi ph ơng trình về dạng

số để lập luận

- Cách 4 : Dùng công thức nghiệm .

^{... ...} ^{2 }

? Trong các cách nêu đó , cách nào áp dụng giải đ ợc cho tất cả

mọi ph ơng trình bậc 2 mà em thấy dễ áp dụng nhất .

Trong tr ờng hợp hệ số b là số chẵn ta còn có công thức nghiệm ngắn gọn hơn , giải ra nghiệm nhanh hơn .

Đó là : công thức nghiệm thu gọn .

công thức nghiệm thu gọn 1) Công thức nghiệm thu gọn

Ph ơng trình ax² + bx + c = 0 .Nếu hệ số b chẵn đặt b = 2b’

Tính theo hệ số b’ ?



2 4 (2 ')2 4 4 '2 4 4( '2 )

b ac b ac b ac b ac

        

Đặt có : ' b '²  ac ^{  4 '}

* Nếu  > 0  ’… > 0 thì ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt:

Em hãy xét mối quan hệ dấu của và . Từ đó xét nghiệm của ph ơng trình theo ?

 '

 '

1 2

x b

a

  

  ... 2 ...  2a

-2b’ ’ b ' '

a ²

2 ' 2 '

; 2

' 2

' x b

a b

a a

   b

       



* Nếu  = 0  … = 0 thì ph ơng trình có nghiệm kép

 ’

1 2

2 2

x x b

a a

    ^-2b’ ^-b’

a

* Nếu  < 0  … < 0 thì ph ơng trình vô nghiệm. '

Qua kÕt qu¶ suy luËn trªn , em h·y tãm t¾t l¹i c«ng thøc nghiÖm thu gän?

* C«ng thøc nghiÖm thu gän : SGK T 48

C«ng thøc nghiÖm :

*NÕu ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

*NÕu ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

* NÕu ph ¬ng tr×nh v«

nghiÖm

C«ng thøc nghiÖm thu gän:

*NÕu ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt :

*NÕu ph ¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp:

* NÕu ph ¬ng tr×nh v«

nghiÖm

Ph ¬ng tr×nh ax² + bx + c = 0 (a  0) :

  0

1 ; 2

2 2

b b

x x

a a

     

 

  0

1 2

2 x x b

a

  

  0

' 0

 

1 2

' ' ' '

b ; b

x x

a a

     

 

' 0

 

1 2

' x x b

a

  

' 0

 

2 4

b ac

   ^{b  2 '; 'b   b '2  ac}

2) Bµi tËp ¸p dông :

Gi¶i ph ¬ng tr×nh b»ng c«ng thøc nghiÖm thu gän )3 2 8 4 0

a x  x   _{b x)3} ² _{ 4 6x  4 0} a) C¸c hÖ sè : a = 3 ; b = 8 => b’ = 4 ; c = 4

Gi¶i

2 2

' b' ac 4 3.4 4 0

       ;  ' 2

Ph ¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt

1

' ' 4 2 2

3 3 ; x b

a

     

   ₂ ' ' 4 2

3 2 x b

a

    

   

b) C¸c hÖ sè : a = 3 ; b = ; c = - 4

4 6 b' 2 6

   

2 2

' b' ac ( 2 6) 3.( 4) 24 12 36 0

          

 ' 6 . Ph ¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt ' ' 2 6 6

  b  _ ^{  b' '} _ ^{2 6 6}

* KÕt luËn :

So với cách dùng công thức nghiệm để giải ph ơng trình bậc 2 ta đã làm đầu giờ học , cách này có u điểm gì hơn không ? Em hãy quan sát lại lời giải :

Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt :

* Kết luận : Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt a) 3x² + 8x + 4 = 0

82 4.3.4 64 48 16 0;

         4

1 2

8 4 4 2 8 4 12

; 2

2.3 6 3 2.3 6

x     x   

      

1 2

2 ; 2

x 3 x

  

Dùng công thức nghiệm :

a) Các hệ số : a = 3 ; b = 8 => b’ = 4 ; c = 4

 ' 2

; Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt

1

4 2 2 3 3 ;

x      ₂ 4 2

3 2

x     

* Kết luận :

' 42 3.4 4 0

    

Dùng công thức nghiệm thu gọn :

)7 2 6 2 2 0 c x  x  

' ( 3 2)2 7.2 18 14 4 0;

         ' 2

Ph ơng trình có 2 nghiệm phân biệt :

1

3 2 2

x  7 2

3 2 2

x 7



* Kết luận :

Trong bài tập khi nào ta nên dùng công thức nghiệm thu

gọn ?

•Chú ý : Nếu hệ số b là số chẵn ta nên dùng công thức nghiệm thu gọn để giải ph ơng trình bậc 2

Nh ng kh«ng ph¶i cø gi¶i ph ¬ng tr×nh bËc hai lµ ta dïng c«ng thøc nghiÖm hoÆc c«ng thøc nghiÖm thu gän ®©u nhÐ !!!

Nªn gi¶i b»ng c¸ch nµo ???

a) 3x² + 2x = 0 b) - 5x² - 10 = 0

c) d)

2 1

6 0

x  x  2

3 x

 2 5 x   1 0

Bài tập 19( SGK/Trg49)

Đố em biết vì sao khi a > 0 và ph ơng trình ax² + bx + c = 0 vô

nghiệm thì ax² + bx + c > 0 với mọi x.

Đố ?

Gợi ý:

Khi nào ph ơng trình ax² + bx + c = 0 vô nghiệm ?

Với a > 0 và thì ax² + bx + c > 0 với mọi x nghĩa là tam thức bậc hai đó có giá trị nhỏ nhất là 1 số d ơng .

  0

Bài toán quy về tìm GTNN của một đa thức

Thử quan sát lời giải

Bµi tËp 19( SGK/Trg49)

§è ?

§è em biÕt v× sao khi a > 0 vµ ph ¬ng tr×nh ax² + bx + c = 0 v«

nghiÖm th× ax² + bx + c > 0 víi mäi x.

Gi¶i :

Ta cã: ax² + bx + c = ^{a x( 2 b x c )}

a a

 

2 2

2

2 2

( 2 )

2 4 4

b b b c

a x x

a a a a

     ^{2 2}

2

( ) 4

2 4

b b ac

a x a a

  

    

 

2 2 4

( )

2 4

b b ac

a x a a

   

ph ¬ng tr×nh ax² + bx + c = 0 v« nghiÖm

2

2 4

0 4 0 0

4

b ac b ac

a

         ( do a > 0 )

2 4

4 0

b ac

a

   

2

2 4

( ) 0

2 4

b b ac

a x a a

    

KÕt luËn : VËy víi a > 0 vµ ph ¬ng tr×nh ax² + bx + c = 0 v« nghiÖm th× ax² + bx + c > 0 víi mäi x

CHÚC CÁC

EM HỌC

TỐT

H íng dÉn vÒ nhµ: ( ChuÈn bÞ cho giê häc sau )

Häc thuéc c¸c c«ng thøc nghiÖm,

c«ng thøc nghiÖm thu gän cña ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn. Lµm c¸c bµi tËp 17, 18 b,d ( SGK- Trang 49, 50) , 27, 28, 29 (SBt- trang 42, 50).