Hệ thống kiến thức Toán lớp 12 Giữa học kì 2

ĐỀ SỐ 1

THỜI GIAN: 60 PHÚT Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x( ) ^{1 1}₂

x x

= − là : A. lnx−lnx²+C. B. ln –x ¹

x +C. C. 1

ln x C

+ +x ¹

x +C. D. ln x ¹ C

− +x . Lời giải

Chọn C.

2

1 1 1

( ) ln

f x dx dx x C

x x x

 

=  −  = + +

 

^.

Câu 2. Nguyên hàm ^{F x}

( )

của hàm số

( ) (

3

) ( )

³

1 0

f x x x

x

= −  là

A.

( )

^{3ln 3 1}₂

F x x x 2 C

x x

= − + + + . B.

( )

^{3ln 3 1}₂

F x x x 2 C

x x

= − − − + .

C.

( )

^{3ln 3 1}₂

F x x x 2 C

x x

= − + − + . D.

( )

^{3ln 3 1}₂

F x x x 2 C

x x

= − − + + . Lời giải

Chọn D.

( )

^{3 3 2}

3 3

2 3 2

1 3 3 1

3 3 1 3 1

1 3ln

2

x x x x

dx dx

x x

dx x x C

x x x x x

− = − + −

 

=  − + −  = − − + +

 



.

Câu 3. Tính



sin(3x−1)dx, kết quả là:

A. ¹cos(3 1)

3 x C

− − + . B. ¹cos(3 1)

3 x− +C.

C. cos(3− x− +1) C. D. Kết quả khác

Lời giải Chọn A.

( )

sin(3 1) 1cos 3 1 x− dx= −3 x− +C



^.

Câu 4. F(x) là một nguyên hàm của hàm số y e^sinxcosx. Nếu F 5 thì e^sinxcos dx x bằng:

A.F x e^sinx 4. B. F x e^sinx C.

C. F x e^cosx 4. D. F x e^cosx C. Lời giải

Chọn A

Đặt t sinx dt cosxdx.

Suy ra I e dt^t e^t C e^sinx C.

Vì F 5 e^sin C 5 1 C 5 C 4. Suy ra F x e^sinx 4.

Câu 5. Hàm số f x x 1 e^x có một nguyên hàm F(x) là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này bằng 1 khi x= 0?

A. F x x 1 e^x. B. F x x 2 e^x.

C. F x x 1 e^x 1. D. F x x 2 e^x 3. Lời giải

Chọn D.

Giả sử F x f x dx x 1 e dx^x .

Đặt 1

x x

u x du dx

e dx dv v e

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

1 ^{x x} 1 ^{x x} 2 ^x

F x x e e dx x e e C x e C.

Theo bài ra, có F 0 1 0 2 e⁰ C 1 C 3. Vậy F x x 2 e^x 3.

Câu 6. Giả sử ( )d 2

b

a

f x x=



^{và b ( )d 3}

c

f x x=



^{và a b c thì c ( )d}

a

f x x



bằng bao nhiêu ?

A. 5 . B. 1. C. -1 D. -5

Lời giải Chọn C.

Ta có ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 2 3 1

c b c b b

a a b a c

f x x= f x x+ f x x= f x x− f x x= − = −

    

Câu 7. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b và số thực k bất kỳ trong R. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A ^b



^{( ) ( )}



^{b ( ) b ( )}

a a a

f x +g x dx= f x dx+ g x dx

  

^{. B. b ( ) a ( )}

a b

f x dx= − f x dx

 

^.

C. ( ) ( )

b b

a a

kf x dx=k f x dx

 

^{. D. b ( ) b ( )}

a a

xf x dx=x f x dx

 

^.

Chọn D.

Câu 8. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng F(1) 1= ,F(2)=4, (1) ³

G =2, (2)G =2 và

2

1

( ) ( ) 67 f x G x dx=12



.Tích phân

2

1

( ) ( ) F x g x dx



^có

giá trị bằng A. ¹¹

12. B. ¹⁴⁵

− 12 . C. ¹¹

−12. D. ¹⁴⁵ 12 . Lời giải

Chọn A.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

 

2 2 2

2 1

1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2) (2

.

) (1) (1) ( ) ( )

4 2 3 67 11

1 2

12 12

F x g x dx F x G x f x G x dx F G F G f x G x dx

 −

= =

= − = − −

 −

  

Câu 9 Tích phân

1 2 0

d

5 6

I x

x x

=



− + ^bằng

A. I =1. B. ln⁴

I = 3. C. I =ln 2. D. I = −ln 2. Lời giải

Chọn B.

( )( )

1 1

2

0 0

1 1

0 0

5 6 2 3

1 1 3 3 4

ln ln 2 ln ln

3 2 2 2 3

dx dx

I x x x x

dx x

x x x

= =

− + − −

 − 

 

=  − − −  = −  = − =

 



Câu 10. Tích phân

3

2 1

1 d

I =



x +x x ^bằng A. ^{4 2}

3

− . B. ^{8 2 2}

3

− . C. ^{4 2}

3

+ . D. ^{8 2 2}

3 + . Lời giải

Chọn B.

Đặt t= 1+x²  = +t² 1 x²t td =x xd . Đổi cận x=  =1 t 2; x= 3 =t 2

2 3 2

2

2 2

8 2 2

d 3 3

I = t t=  t = −



  ^.

Câu 11. Tính tích phân sau

1 2 0

1 I=



−x dx

A. 1

6

 ₊

B. 2

 C.

4

 D. Đáp án khác Lời giải

Chọn C.

Đặt x=sint ta có dx=costdt.

Đổi cận: 0 0; 1

x_{=  =}t x_{=  =}t 2 .

1 2 2

2 2 2

0 0 0

2 2

2 2

0

0 0

1 1 sin . ostdt = cos . ost

1 os2t sin 2

cos |

2 2 4 4

I x dx x c t c dt

c x t

tdt dt

 

 

 

= − = −

+  

= = = +  =

  

 

Câu 12. Tập hợp giá trị của m sao cho

0

(2 4)d 5

m

x− x=



^là

A.

 

^{5 . B.}



^{5 ; –1 .}



^C.

 

^{4 . D.}



^{4 ; –1 .}



Lời giải Chọn B.

Có

(

²

)

²

0

(2 4)d 4 4

m m

x− x= x − x o =m − m



Vậy ²

0

(2 4)d 5 4 5 0 1

5

m m

x x m m

m

 = −

− =  − − =   =



^.

Câu 13. Tích phân ²

0

sin d

I x x x



=



^{bằng :}

A. ²−4 B. ² +4 C. 2²−3 D.

2



2 ⁺ 3

Lời giải Chọn A.

Đặt u=x², dv=sin dx xdu=2 d ,x x v= −cosx

Khi đó: ^{2 2 2}

0

0 0

sin d cos 2 cos d 2

I x x x x x x x x K

  



 

=



= −  +



= +

0

cos d K =



x x x

Đặt u=x v, d =cos dx xdu=d ,x v=sinx

Khi đó:

 

_{0 0}

0 0

cos d sin sin d cos 1 1 2

K x x x x x x x x

 

 

=



= −



= = − − = −

Vậy: ^{I =2+ − =2}

( )

^{2 2−4}

Câu 14. Đổi biến x=2sint tích phân

1

2 0

d 4

x

−x



trở thành:

A.

6

0

d t t





^{B. 6}

0

dt





^{C. 6}

0

1dt t





^{D. 3}

0

dt





Lời giải Chọn B.

Đặt x=2sintdx=2cos dt t

Đổi cận: 1 ; 0 0

x_{=  =}t 6 x_{=  =}t Khi đó:

1 6 6 6 6

2 2 2 2

0 0 0 0 0

d 2 cos d 2 cos d cos d

d

4 4 4sin 2 1 sin cos

x t t t t t t

t

x t t t

   

= = = =

− − −

    

Câu 15. Tích phân

2

1

(2 1) ln d

K =



x− x x ^bằng:

A. 3ln 2 ¹

K = +2. B. ¹

K =2. C. K=3ln 2. D. 2 ln 2 ¹

K = −2 Lời giải

Chọn D.

Đặt ^{u=ln , dx v=}

(

^{2x−1 d}

)

^{x , suy ra du 1d ,x v x2 x}

= x = −

( ) ( )

( )

2 1

2 2 2

1

1 1

2 2 2 2

1

1

(2 1) ln d ln 1d

ln 2 ln 2 1

2 2

K x x x x x x x x x

x

x x x x x

= − = − − −

 

= − − −  = −

 

 

Câu 16. Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f x( )+ − =f( x) cos⁴x với mọi xR. Giá trị của tích phân

2

2

( ) I f x dx



−

=



^là

A. −2. B. ³ 16

 . C. ln 2 ³

−4. D. ln 3 ³

−5. Lời giải

Chọn B.

Đặt

2 2 2 2

2 2 2 2

( ) ( )( ) ( ) ( )

x t f x dx f t dt f t dt f x dx

   

   

−

− − −

= − 



=



− − =



− =



−

 

2 2 2

4

2 2 2

2 f x dx( ) f x( ) f( x dx) cos xdx

  

  

− − −





=



+ − =



^{ =I 3}₁₆^

Câu 17. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= −x y, =2x−x² có kết quả là

A. 4. B. ⁹

2. C. 5 . D. ⁷

2. Lời giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=2x−x² và y= −x là :

^{2 2} 0

2 3 0

3 x x x x x x

x

 =

− = −  − =   = Ta có:^{3x−x2  0, x}

 

^{0;3 .}

Do đó: ^{3 2 3}

(

²

)

^{2 3 3}

0 0 0

3 9

3 d 3 d

2 3 2

x x

S x x x x x x  

= − = − = −  =

 

 

^.

Câu 18. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin 2 ,x y=cosxvà hai đường thẳng 0 , 2

x₌ x₌ là A. ¹

( )

4 dvdt . B. ¹

( )

6 dvdt . C. ³

( )

2 dvdt . D. ¹

( )

2 dvdt . Lời giải

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sin 2x và y=cosx là:

( )

( )

sin 2 cos 2.sin . osx - cosx = 0 cos . 2sin 1 0 cos 0 2

1 2 sin 6

2 5

6 2

x x x c x x

x k

x

x k k

x

x k

 

 

 

=   − =

 = +

= 

 

 =  = + 



  = +



.

Xét trên 0;

2

 

 

  ^{nên nhận}x₌6 .

( ) ( )

6

2 2

0 0

6

6 2

0 6

sin 2 cos d sin 2 cos d sin 2 cos d

os2x os2x 1

sin sin

2 2 2

S x x x x x x x x x

c c

x x



 



 



= − = − + −

− −

   

= −  + −  =

  

.

Câu 19. Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường ^{y= −}

(

^{1 x2}

)

^{, y=0, x=0 và x= 1}

khi quay quanh trục Ox bằng:

A. ⁸ 15

 . B. 2. C. 46

15

. D. 5

2

 . Lời giải

Chọn A.

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường ^{y= −}

(

^{1 x2}

)

^{, y=0, x=0} và x= 1 khi quay quanh trục Ox là:

( ) ( )

1 1

2 2 2 4

0 0

1 d 1 2 d

V =



−x x=



− x +x x

3 5 1

0

2 8

3 5 15

x x

^x ^ 

=  − +  =

 

Câu 20.Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi

( )

^{: ; : 1}

C y= x d y=2x. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. 8 . B. 16

3

 . C. 8

3

 . D. 8

15

 . Lời giải

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm: 1 0 4 2

x x x x

 =

=   = .

Suy ra:

4 2 3 4

2

0 0

1 8

4 d 2 12 3

x x

V = ^x− x ^ x = ^ − ^ = 

   



^.

Câu 21. Cho ^{f x}

( )

là hàm liên tục trên đoạn

 

^{0;a thỏa mãn}

( ) ( ( )

^.

)  

¹

0, 0;

 − =



  



f x f a x

f x x a và

0

( )

d ,

1 =



^a + _{f x}^{x ba}_c ^{trong đó b c,} là hai số nguyên dương và ^b

c là phân số tối giản. Khi đó b c+ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A.

(

^{11; 22 .}

)

^B.

( )

^{0; 9 .}

C.

(

^{7; 21 .}

)

^D.

(

2017; 2020

)

Lời giải Đáp án B

Đặt t= −  = −a x dt dx

Đổi cận x=  =0 t a x; =  =a t 0 Lúc đó

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

0

01 1 01 0 1 01

1

= = − = = =

+ + − + − + +



^a

 

^a



^a



^a

a

f x dx

dx dt dx dx

I f x f a t f a x f x

f x Suy ra

( ) ( )

0 0

( )

0

2 1

1 1

= + = + = =

+ +



^{a dx}



^{a f x dx}



^a

I I I dx a

f x f x

Do đó ¹ 1; 2 3

= 2  = =  + =

I a b c b c

Cách 2: Chọn ^{f x}

( )

⁼¹ là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được

1 1; 2 3

=2  = =  + =

I a b c b c

Câu 22. Cho hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm liên tục trên đoạn

 

0;1 thỏa mãn

( ) ( ) ( )

1 1 2

2

0 0

d 1 d 1

4

x e

f x x x e f x x −

  = + =

 

 

^{và f}

( )

^{1 =0. Tính 1}

( )

0

d f x x



A. ¹ 2 e−

B.

2

4

e C. e−2 D.

2 e Lời giải

Chọn C

- Tính :

( ) ( )

0

1 e^x d

I =



x+ f x x=

( ) ( )

0 0

e^x d e^x d

x f x x+ f x x= +J K

 

^.

Tính ¹

( )

0

e^x d

K =



f x x^.

Đặt ^e

( )

^{d e}

( )

^e

( )

^d

d d

x x

x u f x f x x

u f x

v x v x

   

 = = +

   

 

 =  =

 

( ( ) )

¹₀ ¹

( ) ( )

0

e^x e^x e^x d

K x f x x f x x f x  x

 = −



 + 

¹

( )

¹

( )

0 0

e^x d e^x d

x f x x x f x x

= −



−

 (

^{do 1f}

( )

⁼⁰

)

1

( )

0

e^x d

K J x f x x

 = − −



¹

( )

0

e^x d

I J K x f x x

 = + = −



^.

- Kết hợp giả thiết ta được :

( ) ( )

1 2

2 0

1 2

0

d 1 4 d 1

4

x

f x x e xe f x x e

    = −

  



−  = −







( ) ( )

1 2

2 0

1 2

0

d 1 (1) 4

2 d 1 (2)

2

x

f x x e xe f x x e

    = −

  

 

  = − −







- Mặt khác, ta tính được :

1 2

2 2 0

d 1 (3) 4

x e

x e x= −



^.

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

( ) ( )

( )

1 2 2 2

0

2 e^x e ^x d 0

f x + x f x +x x=

 

 



( ( ) )

1 2

e^x d 0

o

f x x x





+ = ¹

( ( )

^ex

)

^{2d 0}

o

f x x x

 





+ =

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ^{y= f}

( )

^{x +xex, trục Ox}, các đường thẳng 0

x= , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

( )

^{x 0}

f x xe

 + = ^{ f}

( )

^{x = −xex f x}

( )

^{= −}



^{xe xxd = −}

(

^{1 x e}

)

^x+C.

- Lại do ^f

( )

^{1 =  = 0 C 0 f x}

( ) (

^{= −1 x e}

)

^x

( ) ( )

1 1

0 0

d 1 e d^x

f x x x x





=



−

( ( ) )

¹₀ ¹

0

1 x e^x e d^x x

= − +



= − +1 e^x10 = −e 2. Vậy ¹

( )

0

d e 2

f x x= −



^.

Câu 23. Trong không gian với hệ trục tọa độ cho và là véctơ cùng phương với thỏa mãn . Khi đó bằng bao nhiêu?

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Ta có là véctơ cùng phương với Suy ra

Suy ra

Câu 24.Trong không gian với hệ tọa độ , cho , , . Biết

là giá trị để tam giác vuông tại Khi đó giá trị gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A

Ta có .

Do tam giác vuông tại .

2 2

2

0

2 4 2 10 5 0

5 10 5 0 1

m m m m m

m m m m

 − + + + + =

 + + =  = − =

Trong các phương án thì gần nhất.

Câu 25. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu có tâm tiếp xúc với

mặt phẳng . Khi đó phương trình mặt cầu là?

A. B.

C. D.

Lời Giải:

Chọn A.

Ta có tiếp xúc với

Suy ra

Câu 26. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tam giác có , , . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn A.

,

Oxyz ^a=

(

^{2; 3;1−}

)

^b

a a b. = −28 b

2 14.

b = b =2 7. b = 14. b =14 2.

b a ^{ =b ka=}

(

^{2 ; 3 ;k − k k}

)

. 4 9 28 2.

a b= k+ k+ = −  = −k k

(

^{4;6; 2}

)

^{42 62 22 2 14.}

b= − −  b = + + =

Oxyz ^A

(

^{2;9; 1−}

)

^B

(

^{0; 4;1}

)

^{C m m}

(

^{; 2 +5;1}

)

m=m0 ABC C. m₀

0 −3 3 4

( )

( )

2; 2 5; 2

; 2 1; 0

AC m m

BC m m

 − +



 +

ABC C

0 1

m = − 0

Oxy ( )S I(2; 3; 0)−

( ) : 2P x− +y 2z− =1 0 ( )S

2 2 2

(x−2) +(y+3) +z =4. (x−2)²+(y+3)²+z² =2.

2 2 2

(x+2) +(y−3) +z =4. (x+2)²+(y−3)²+z² =2.

( )P

2 2 2

2.2 ( 3) 2.0 1

( ) ( , ( )) 2.

2 ( 1) 2

S R d I P − − + −

 = = =

+ − +

2 2 2

( ) : (S x−2) +(y+3) +z =4.

Oxyz ABC ^A

(

^0;1;1

)

^B

(

^{1; 2; 0−}

) (

^{2;1; 1}

)

C − − ABC

22 2 22 22

2

11 2

Ta có

.

Câu 27. Trong không gian với hệ tọa độ , cho tứ diện có , , , . Thể tích của tứ diện bằng bao nhiêu?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn D.

Ta có .

Suy ra .

Câu 28. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ^A

(

^{1; 2; 0 ,}

)

^B

(

^{3; 2; 2 ,−}

)

^C

(

^2;3;1

)

^{. Tọa độ}

của vectơAB AC,  bằng

A.

(

^{6;0; 6−}

)

^{. B.}

(

^{6; 6;0−}

)

^{. C.}

(

^−6;0;6

)

^{. D.}

(

^−6;6;0

)

^.

Lời giải.

Chọn C.

( )

( )

2; 4; 2 1;1;1

 = −



 = AB

AC ^_^{AB AC, }_^{= −}

(

^6;0;6

)

^.

Câu 29.Trong không gian với hệ trục tọa độ cho , , .

Khi đó tọa độ trọng tâm của tam giác là

A. B.

C. D.

Lời giải Chọn C.

Ta có

( )

( )

1; 3; 1 2; 0; 2 AB

AC

 = − −



= − −



( )

1 ^{62 42}

( )

^{6 2}

, 6; 4; 6 , 22

2 2

AB AC SABC AB AC + + −

 = −  =   = =

   

Oxyz ABCD ^A

(

^{0; 1;1−}

)

^B

(

^−2;1;1

) (

^1;0;0

)

C − ^D

(

^1;1;1

)

^{V ABCD}

1

V =6 1

V =3 V =2 V =1

(

^{2; 2; 0 ,}

) (

^{1;1; 1 ,}

) (

^{1; 2; 0}

)

AB= − AC= − − AD=

( )

^{1 1}

, 2; 2; 0 , . 2.1 2.2 0 1

6 6

AB AC V VABCD AB AC AD

 = −  = =   = − − + =

   

,

Oxyz ^A

(

^{1; 1;3−}

)

^B

(

^{−1; 2;1}

)

^C

(

^{−3;5; 4−}

)

G ABC

3;3; 0 . G−2 

  ^G

(

^{−3;6;0 .}

)

(

^{1; 2; 0 .}

)

G − 1 2

; ;0 . G−3 3 

( ) ( ) ( )

( )

( )

1 1 3

3 1

1 2 5

2 1; 2; 0 .

3

3 1 4

3 0

G

G

G

x

y G

z

+ − + −

 = = −



− + +

 = =  −



 + + −

= =



Câu 30. Trong không gian với hệ tọa độ , cho hình hộp biết

, , , . Khi đó tọa độ điểm là?

A. . B. . C. . D. .

Lời giải Chọn C.

Gọi . Ta có .

là hình bình hành

Gọi

là hình bình hành

Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu

. Hỏi trong các mặt phẳng sau, đâu là mặt phẳng không cắt mặt cầu?

A. B.

C. D.

Lời Giải:

Chọn C.

Mặt cầu có tâm và bán kính .

Thử A. Ta có cắt

Thử B. Ta có tiếp xúc với

Thử C. Ta có không cắt

Câu 32.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với ^A

(

^{1;2;1 ,}

)

^B

(

^{2;1;3 ,}

) (

^{3;2;2 ,}

)

C ^D

(

^1;1;1

)

. Độ dài chiều cao DH của tứ diện bằng A. ^{3 14}

7 . B. ¹⁴

14 . C. ^{4 14}

7 . D. ^{3 14}

14 . Lời giải.

Chọn D.

Oxyz ABCD A B C D. ' ' ' ' ^A

(

^{1; 1; 0−}

)

( )

' 2;1;3

B ^C'

(

^{−1; 2; 2}

)

^D'

(

^{−2;3; 2}

)

^B

(

^{1; 2;3}

)

B ^B

(

^{−2; 2;0}

)

^B

(

^{2; 2;0−}

)

^B

(

^{4; 2;6}

)

( )

' ; ;

A x y z  ^{B A x' '}

(

^{−2;y−1;z−3}

)

^{C D' '}

(

^{−1;1; 0}

)

' ' ' ' A B C D

( ) ( )

2 1 1

' ' ' ' 1 1 2 ' 1; 2;3 ' 0; 3; 3 .

3 0 3

x x

B A C D y y A A A

z z

− = − =

 

 

 =  − =  =   − −

 − =  =

 

(

^{; ;}

)

^'

(

^{2; 1; 3 .}

)

B a b c B B a− b− c− ' '

ABB A

( )

2 0 2

' ' 1 3 2 2; 2; 0 .

3 3 0

a a

B B A A b b B

c c

− = =

 

 

 =  − = −  = −  −

 − = −  =

 

Oxy (S) : x²+y²+ −z² 2x+4y−2z− =3 0 (1) :x−2y+2z− =1 0. (₂) : 2x+2y− +z 12=0.

(3) : 2x− +y 2z+ =4 0. (₄) :x−2y+2z− =3 0.

( )S I(1; 2;1)− R=3

1 2 2 2 1

1 2.( 2) 2.1 1

( , ( )) 2 3 ( )

1 ( 2) 2

d I  = ^{− − + −} =  = R 

+ − + (S).

2 2 2 2 2

2.1 2.( 2) 1 12

(I, ( )) 3 ( )

1 ( 2) 2

d  = ^{+ − − +} = = R 

+ − + (S).

3 2 2 2 3

2.1 ( 2) 2.1 4 10

( , ( )) 3 ( )

1 ( 2) 2 3

d I  = ^{− − + +} =  = R 

+ − + (S).

+

( )

(

^{1; 1; 2}

)

^,

(

^{1;3; 2}

)

2;0;1

 = −

  = −

 =  



AB AB AC

AC

, ^AD=

(

^{0; 1;0−}

)

+ AB AC AD, . = −3 ¹ , . ¹

6   2

V^ABCD = AB AC AD =

+ ¹ , ¹⁴

2 2

^ABC =   =

S AB AC 3 3 14

 14

 = ^ABCD =

ABC

DH V

S .

Câu 33. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A

(

2; 0; 2 , ⁻

) (

B 3; 1; 4 , ^{− −}

) (

C ⁻2; 2; 0

)

. Điểm D trong mặt phẳng

( )

^Oyz có cao độ âm sao cho thể tích của khối tứ diện ABCD bằng 2 và khoảng cách từ _D đến mặt phẳng

(

^Oxy

)

bằng 1 là:

A. ^D

(

^{0; 3; 1− −}

)

^{. B. D}

(

^{0; 2; 1−}

)

^{. C. D}

(

^{0;1; 1−}

)

^{. D. D}

(

^{0; 3; 1−}

)

Lời giải

Chọn D.

Câu 34. Cho 2 điểm A(2; 4; 1), B(–2; 2; –3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

A. x²+(y−3)²+ −(z 1)² =9. B. x²+ +(y 3)²+ −(z 1)² =9. C. x²+(y−3)²+ +(z 1)² =3. D. x²+ −(y 3)²+ +(z 1)² =9. Lời giải

Gọi I là tâm cầu, khi đó do AB là đường kính nên I là trung điểm AB. . . Nên bán kính . .

Vậy phương trình mặt cầu: .

Chọn D

Câu 35. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, tam giácABCcó^A

(

^{− −1; 2; 4}

)

^,B

(

^{− −4; 2; 0}

)

( )

,C 3; 2;1− . Số đo của góc B là:

A. 45^o. B. 60^o. C. 30^o. D. 120^o

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

0; y; z , z 0.

,Oxy 1 1 1( ) 0; y; 1 .

1( )

1; 1; 2 , 4; 2; 2 , 2; 6; 2 , 2; y; 1

, . 6 6 6 6 3

, 2 2

6 6 6 1

ABCD ABCD

D Oyz D

z l

d D z D

z n

AB AC AB AC AD

AB AC AD y y y

V V

y

  

=  =  = = −  −

 

= − − = −  = − = − −

  − −  =

 

= = =  =   = −

(

^{0;3; 1}

)

I −

(

^{2;1; 2}

)

^{22 12 22 3}

IA →IA= + + = R=3

( ) (

²

)

²

2 3 1 9

x + y− + +z =

Lời giải:

Chon A

Ta có AB= −( 3;0; 4)− AB=5;

(4;0; 3) 5;

AC= − AC=

(7;0;1) 50

BC= BC=

2 2 2

;

AB AC BC AB AC

 = = + .

Vậy ABC vuông cân tại A  =B 45⁰

THỜI GIAN: 60 PHÚT Câu 1. Nguyên hàm của hàm số f x( ) 2x ³₂

= +x là : A. x^{2 3} C

− +x . B. x^{2 3}₂ C

+ x + . C. x²+3lnx²+C. D. x^{2 3} C + +x . Lời giải

Chọn A.

2 2

3 3

( ) 2

f x dx x dx x C

x x

 

=  +  = − +

 

^.

Câu 2. Tìm



(cos 6x−cos 4 )dx x ^là:

A. ¹sin 6 ¹sin 4

6 x 4 x C

− + + . B. 6sin 6x−5sin 4x C+ .

C. ¹sin 6 ¹sin 4

6 x−4 x C+ . D. −6sin 6x+sin 4x C+ .

Lời giải Chọn C.

1 1

(cos 6 cos 4 ) sin 6 sin 4

6 4

x− x dx= x− x C+



^.

Câu 3. F(x) là nguyên hàm của hàm số y sin⁴x.cosx. F(x) là hàm số nào sau đây?

A.

cos5

5

F x x C. B.

cos4

4

F x x C.

C.

sin4

4

F x x C. D.

sin5

5

F x x C. Lời giải

Chọn D.

Đặt t = sin x, suy ra dt = cosx.dx.

Khi đó

5 5

4 sin

5 5

t x

I t dt C C.

Câu 4. Để tính xln 2 x dx theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. .

d ln 2 d

u x

v x x B. ln 2

d d .

u x

v x x

C. ln 2

d d .

u x x

v x D. ln 2

d d .

u x

v x

Lời giải

Chọn B.

Chú ý: “ Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.

Câu 5. Kết quả của I xe x^xd là:

A. I e^x xe^x C. B.

2

2 x x

I e C. C. I xe^x e^x C. D.

2

2

x x

I x e e C. Lời giải

Chọn C.

Đặt ^{u x} _x ^du _x^dx

dv e dx v e

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

x x x

I xe dx xe e dx xe^x d e^x xe^x e^x C. Câu 6. Giả sử ( )d 2

b

a

f x x=



^{và b ( )d 3}

c

f x x=



^{và a b c thì c ( )d}

a

f x x



bằng bao nhiêu ?

A. 5 . B. 1. C. –1. D. –5 .

Lời giải Chọn C.

Ta có ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 2 3 1

c b c b b

a a b a c

f x x= f x x+ f x x= f x x− f x x= − = −

    

^.

Câu 7. Cho hàm số f liên tục trên R và số thực dương a. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào luôn đúng?

A. ( ) 1

a

a

f x dx=



^{. B. a ( ) 0}

a

f x dx=



^{. C. a ( ) 1}

a

f x dx= −



^{. D. a ( ) ( )}

a

f x dx= f a



^.

Lời giải Chọn B

Câu 8. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng (0) 0

F = , F(2) 1= , G(0)= −2, G(2) 1= và

2

0

( ) ( ) 3 F x g x dx=



. Tích phân

2

0

( ) ( ) f x G x dx



^{có giá}

trị bằng

A. 3 B. 0 C. -2 D.- 4

Lời giải Chọn C.

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta có

 

₀

0 0

2

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( 2)

( )

(2) (2) (0) (0) ( ) ( )

1 1 0 3 2.

f x G x dx F x G x F x g x dx

F G F G F x g x dx

 −

= −

= − −

=  − − =−

 



Câu 9. Tính

1 2 01 I dx

= x



+ A. 4

 B.

2

 C. 1 6

 ₊

D. 1 12

 ₊ Lời giải

Chọn A.

Đặt x=tan ,t ta có ^{dx= +}

(

^{1 tan2t dt}

)

^.

Đổi cận:

0 0

1 4

x t

x t 

= → =



 = → =

 .

Vậy

1 4 2 4

04

2 2

0 0 0

(1 tan )

| .

1 1 tan 4

dx t

I dt dt t

x t

 

 

= = + = = =

+ +

  

Câu 10. Tích phân

2 2

4 1

1 d

I x x

x

 

=



 +  ^bằng A. ¹⁹

8 . B. ²³

8 . C. ²¹

8 . D. ²⁵

8 . Lời giải

Chọn C.

2 2 2

2 2

4 4

1 1 1

2 2

3

3 1 1

1 1

d d d

1 8 1 1 1 21

3 3 3 3 24 3 8

I x x x x x

x x

x

x

 

=  +  = +

       

=  −  = −   − − =

  

.

Câu 11. Tích phân ¹

( )

¹⁹

0

1 d

I =



x −x x ^bằng A. ¹

420. B. ¹

380. C. ¹

342. D. ¹

462. Lời giải

Chọn A.

Đặt t= −  − =1 x dt dx.

Đổi cận: x=  =0 t 1; x=  =1 t 0

( ) ( )

¹

0 1 20 21

19 19 20

1 0 0

1 1 1

1 d d

20 21 20 21 420

t t

I t t x t t x  

= − − = − = −  = − =

 

 

Câu 12. Biết rằng

5

1

1 d ln

2 1 x a

x =



− . Giá trị của a là :

A. 9 B. 3 C. 27 D. 81

Lời giải Chọn B.

Có

5 5

1 1

1 1 1

d ln 2 1 ln 9 ln 3

2 1 x 2 x 2

x = − = =



− ^.

Suy ra: a= 3.

Câu 13. Tích phân

2

0

sin d

I x x



=



^bằng:

A. –1 B. 1 C. 2 D. 0

Lời giải Chọn B.

Ta có:

2

2 0 0

sin d cos cos cos 0 1

I x x x 2



 _  _

=



= − = − − =

Câu 14. Cho ²

( )

1

cos ln d

e x

I x

x



=



, ta tính được:

A. I = cos1 B. I = 1 C. I = sin1 D. Một kết quả khác

Lời giải Chọn B.

Đặt t lnx dt ¹dx

=  = x

Đổi cận: 1 0; ²

2

 

=  = =  =

x t x e t

Khi đó: ²

( )

²

2 0

1 0

cos ln

d cos d sin 1

e x

I x t t t

x

 

=



=



=  =

Câu 15. Tích phân ²

0

sin d

I x x x



=



^{bằng :}

A. ²−4 B. ²+4 C. 2²−3 D. 2²+3

Chọn A.

Đặt u=x², dv=sin dx xdu=2 d ,x x v= −cosx

Khi đó: ^{2 2 2}

0

0 0

sin d cos 2 cos d 2

I x x x x x x x x K

  



 

=



= −  +



= +

0

cos d

K x x x



=



Đặt u=x v, d =cos dx xdu=d ,x v=sinx

Khi đó:

 

_{0 0}

0 0

cos d sin sin d cos 1 1 2

K x x x x x x x x

 

 

=



= −



= = − − = −

Vậy: ^{I =2+ − =2}

( )

^{2 2−4}

Câu 16. Tích phân

2 2 1

lnxd

I x

=



x ^bằng:

A. ¹

(

^{1 ln 2}

)

2 + . B. ¹

(

^{1 ln 2}

)

2 − . C. ¹

(

^{ln 2 1}

)

2 − . D. ¹

(

^{1 ln 2}

)

4 +

Lời giải Chọn A.

Đặt u=ln , dx v=x⁻²dx , suy ra du ¹d ,x v ¹

x x

= = −

( )

2 2 2

2 2

2

1 1 1

1 1

ln 1 1 1 1 1 1

d ln d ln 1 ln 2

2

I x x x x x

x x x x x x

=



= − +



 = − − = +

Câu 17. Tính tích phân

2

2

| 1|

I x dx

−

=



+ ^.

A. 4 B. 3 C. 5 D.6 Lời giải

Chọn C.

Nhận xét: 1, 1 2

1 .

1, 2 1

x x

x x x

+ −  

+ = − − −   − Do đó

( ) ( )

2 1 2

2 2 1

1 2

1 2 2 2

2 1 2 1

| 1| | 1| | 1|

1 1 5.

2 2

I x dx x dx x dx

x x

x dx x dx x x

−

− − −

− −

− − − −

= + = + + +

   

= − + + + = − +  + +  =

   

  

 

Câu 18. Cho hàm số f liên tục trên R thỏa f x( )+ f(− =x) 2 2 cos 2+ x , với mọi xR. Giá trị của tích phân

2

2

( ) I f x dx



−

=



^là

A. 2. B. −7. C. 7. D. −2.

Lời giải Chọn A.

Ta có

2 0 2

0

2 2

( ) ( ) ( )

I f x dx f x dx f x dx

 

 

− −

=



=



+



⁽¹⁾

Tính

0 1

2

( ) I f x dx

−

=



^{. Đặt x= − t dx= −  dt 1 2 2}

0 0

( ) ( )

I f t dt f x dx

 

=



− =



− ^. Thay vào (1), ta được

  ( )

2 2 2 2

0 0 0 0

( ) ( ) 2 1 cos 2 2 cos 2 cos 2

I f x f x dx x x dx xdx

   

=



− + =



+ =



=



= ^.

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=e^x;y=1 và x=1 là

A. e−2. B. e. C. e+1. D. 1−e.

Lời giải Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=e^x và trục y=1 là:

e^x =  =1 x 0.

Do đó: ^{1 1}

( ) ( )

¹₀

0 0

1 d 1 d 2

x x x

S=



e − x=



e − x = e −x = −e ^.

Câu 20. Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x³, trục Ox, x= −1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

A. . B. 2. C. 6

7

 . D. 2

7

 Lời giải

Chọn D.

y=x trục Ox, x= −1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

( ) ( )

¹

1 1 7

3 2 6

1 1 1

d d 2 .

7 7

V  x x  x x  x 

− − −

=



=



= =

Câu 21. Cho hàm số ^{f x}

( )

có đạo hàm dương, liên tục trên đoạn

 

0;1 thỏa mãn ^f

( )

^{0 =1 và}

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2

0 0

5 ' 1 2 '

f x f x 25 dx f x f x dx

   +  

 

 

 

. Tích phân ¹

( )

³

0

f x dx

 

 



^.

A. ²⁵

33. B. ⁵

4. C. ¹

2. D. ⁵³