Chuyên đề phương trình Vô tỉ – Đặng Thành Nam - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

196

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 4:

PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỶ

197

198

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Phương trình vô tỷ, cùng với hệ phương trình là một bài toán hay thường xuyên xuất hiện trong đề thi TSĐH. Bài tập dạng này rất phong phú và đa dạng, đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt biến đổi cơ bản, đến đặt ẩn phụ hay, một số đánh giá nhỏ dựa vào bất đẳng thức, hàm số.

Với đề thi TSĐH thì bài toán theo nhận định chủ quan thì 2 phương pháp cơ bản để các em làm được các bài toán dạng này là biến đổi cơ bản( quan trọng) và đặt ẩn phụ nếu có.

Các phương pháp sẽ được trình bày theo từng dạng toán để các em có thể tiếp cận làm quen, về sau khi đã được tiếp cận từng phương pháp sẽ hình thành cho các em khả năng nhận dạng và tư duy phương pháp giải.

Xin được mở đầu bằng một số bài toán:

Bài 1. Giải bất phương trình sau: (x²3 ) 2x x²3x20(*)

Lời giải:

2 2

2

2 2

2 2

2 3 2 0

2 3 2 0

2 3 2 0

(*)

( 3 ) 2 3 2 0

( 3 ) 2 3 2 0

x x

x x

x x

x x x x

x x x x

   

    

    

   



   

 

     

2

1 1

1

2 2 1

2

2 2 2

2

1 1 2

( 2) ( ) ( 2) ( ) 1 3

2 2 ( 3) ( )

( 3) ( 0) 2

3 0

x x

x x

x x

x x

x x x x x

x x

x x

x x

   

     

     

  

   

  

             

 

    

 

      



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: ^{( , 1]}

 

^{2 [3, )}

D 2

    

199 Bài 2. Giải bất phương trình sau:

2 1 (*)

1 2( 1)

x x

x x

 

  

Lời giải:

+ Điều kiện: x 0, ta có 1 2( ² 1) 1 2( ¹)^{2 3} 1 ³ 0

2 2 2

x x x

         

Khi đó bất phương trình tương đương với:

2 2

1 2( 1) ( 1) 2( 1) 2 0 (1)

x x  x  x  x  x x  x

+ Ta có (x 1 x)² (x1)² x 2(x1) x2(x1)² 2x( do x 1 x0)

2 2

1 2( 1) 2 1 2( 1) 2 0 (2)

x x x x x x x x

            

Từ (1) và (2) suy ra:

2 3 5

1 2( 1) 2 1 0

x x x x x x x 2

          

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 5 D  2 

  

 

 

Bài 3. Giải phương trình sau: 2 3³ x 2 3 6 5 x 8 0(*)

Lời giải:

+ Điều kiện: ⁶ x5

+ Đặt u³3x2;v 6 5 x 0

3

3 2

2

3 2

5 3 5(3 2) 3(6 5 ) 8 (1) 6 5

u x

u v x x

v x

  

       

  



Mặt khác ta lại có: 2u3v 8 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra:

200

3 8 2 2 3 2

3( ) 8 0 45 12 96 120 0

3

u  u u u u

       

(u 2)(45u2 78u 60) 0 u 2 v 4

         

Khi đó: ³3x     2 2 x 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 2

Bài 4. Giải phương trình sau: 3x 1 6 x 3x² 14x 8 0

Lời giải:

Điều kiện: ¹ 6 3 x

  

Khi đó phương trình được biến đổi thành:¹ ( 3x 1 4) (1  6x) 3 x214x 5 0

3 15 5

( 5)(3 1) 0

3 1 4 1 6

x x

x x

x x

 

     

   

3 1

( 5)( 3 1) 0 5 0

3 1 4 1 6

x x x

x x

        

   

Do

3 1 1

( 3 1 0, 6)

3 1 4 1 6 x 3 x

x x

      

   

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x5.

Bài 5. Giải phương trình sau:

^{3 2x6 2x4 4x2 10 3 ( x x)} Lời giải:

+ Điều kiện: ^{ 2 x2}

2 2 2

2 2 2 2 4(2 ) 4 4 10 3 4 4

t x x t x x x x x

               

1 Xem phương pháp trục căn thức được trình bày ở dưới

201

2 0 2 2 2 6

3 3 2 2 2 3 5

t x x

PT t t x

t x x

    

           

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất ⁶ x5.

Bài 6. Giải bất phương trình:

2 2 2 3 2( )

x x   x x x

Lời giải:

+ Điều kiện: ² x3

Khi đó bất phương trình tương đương với:

( x 2 3x2) ( x2 x 2)0 2(2 )

( 2)( 1) 0

2 3 2

x x x

x x

     

  

( 2)( 2 1) 0

2 3 2

x x

x x

     

  

2 2

( 2) ( ) 0; ( ) 1,

2 3 2 3

x f x f x x x

x x

       

  

2

1 3

2 3 2

'( ) 1 0

( 2 3 2)

x x

f x

x x

  

   

  

2 5 3 2

( ) ( ) 0 2 0 2 2

3 3 2 3

f f x f BPT x x x

              

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 2 3, 2

D  

  

Bài 7. Giải phương trình sau:

(13 4 ) 2 x x 3 (4x3) 5 2 x2 8 16 x4x2 15(x)

202 Lời giải:

3 5

: (*)

2 2

DK x

  

2 2 2 2

2 3; 5 2 2 3; 5 2 2(1)

u x v x u x v x u v

            

2 2 2

2 2 2 2

13 4 2 3 & 4 3 2 3; 16 4 15

(2 3) (2 3) 2 8 8 ( (1))

x v x u uv x x

BPT v u u v uv u v uv do

         

         

2 (uv u v) 3(u v) (u v)2 6uv 2 (uv u v 3) (u v u v)( 3)

             

( 3)(2 ) 0 3

2 u v

u v uv u v

u v uv

  

         

(1) 2

2

7 16 4 15 7

( 0) 2 2

1 16 4 15 1

x x

uv uv

uv x x

     

  

 

    

 

2

2

16 4 15 7

2 2

16 4 15 1

x x

x

x x

   

  



   



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

Bài 8. Giải phương trình sau:²

2 2

(x2)( x 4x71)x( x  3 1)0(x)

Lời giải:

2 2

( 2)( ( 2) 3 1) ( 3 1) 0

BPT x x x x

         

( ) ( 2) ( ) 0; ( ) ( 2 3 1)

g x f x f x f x x x

       

2 2

'( ) 3 1 2 0 '( ) '( 2) '( ) 0

3

f x x x g x f x f x

x

          



2 Xem phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số

203

Do đó hàm số g x( ) đồng biến trên R, nên nếu phương trình g x( )0 có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. Nhận thấy ( 1)g     0 x 1là nghiệm của phương trình.

Bài 9. Giải phương trình sau: 2x 1 x²3x 1 0(x)

Lời giải:

+ Điều kiện: 2₂ 1 0 3 1 0(*) x

x x

  

   



2 2 2 2 2

2 1 ( 3 1) 2 1 ( 3 1) (( 1) )

PT x x x x x x x x

              

4 2 2 4 2 2

2x 1 (x 1) 2 (x x 1) x (x 1) 2 (x x 1) (x 1) 0

             

2 2

2

1 1 ( 1) (( 1) 2 1) 0

4 2 0 2 2

x x

x x x

x x x

  

        

    

 

Thử lại thấy các nghiệm đều thỏa mãn điều kiện (*).

Vậy nghiệm của phương trình là:

1; 2 2 x x 

Bài 10. Giải phương trình sau:

2 2x44 2x 9x216

Lời giải:

: 2(*) DK x

 

2 2

4(2 4) 16(2 ) 16 2(4 ) 9 16

PT x x x x

        

2 2 2

8(4 x ) 16 2(4 x ) x 8 (1)x

     

2 2 2

2(4 ) 0 (1) 4 16 8 0

t x t t x x

         

204

2

2 2

0 4 2

2 2(4 )

2 2 8(4 ) 3

4 0 2

t x

x x x

t x x

x x x

t

 

  

        

  

    



BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH DƯỚI DẠNG TƯƠNG ĐƯƠNG

Đưa về bình phương hai vế của phương trình, bất phương trình:

Phương trình, bất phương trình cơ bản:

0 0 A

A B B

A B

 

  

 



2

0 A B B

A B

 

  

 

2

0 0 0 B A B A

B

A B

 



 

 

 

 



Nếu phương trình có dạng: f x( ) g x( )  h x( ) k x( ) mà có f x h x( ). ( )k x g x( ). ( ) thì biến đổi về: f x( ) h x( )  k x( ) g x( )

Phương trình có dạng: ³ A³ B ³C

205

Lập phương hai vế của phương trình ta được: ^{AB33 AB}



^{3 A 3 B}



^C, lại có

3 A3 B3Csuy ra phương trình: A B 3C AB³ Cgiải phương trình suy ra nghiệm. Sau đó thử lại nghiệm xem thỏa mãn không.

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình sau: x 3 3x 1 2 x 2x2.

Lời giải:

Điều kiện: x 0.

Phương trình tương đương với 2 x x3 3x 1 2x2

2 2

5x 3 2 4x 12x 5x 3 2 6x 8x 2

        

2 2

4x 12x 6x 8x 2 x 1

      

Thử lại thấy nghiệm x1thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x1. Bài 2. Giải phương trình: x 4 1 x 1 2 x

Lời giải:

Điều kiện: 4 ¹ x 2

   .

Khi đó phương trình tương đương với:

206

  

1x 1 2 x  x4   1 x 1 2x2 1x 1 2 x x4

  

    

²

2 1 0

1 1 2 2 1

1 1 2 2 1

x

x x x

x x x

  

      

   



2

1 2 0

2 7 0

x x

x x

  

  

  



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

x  0

.

Bài 3. Giải bất phương trình:

2 16 5

3 3 3

x x

x x

   

  .

Lời giải:

Điều kiện:

2 16 0

3 0 4

x x

x

  

 

  



.

Khi đó quy đồng mẫu số, bất phương trình tương đương với:

2 2

16 3 5 16 8

x     x x   x

 

2

2 2

16 0 4 4

8 0 8 8

5 8 5 16 8 8

8 0 5

x x x

x x x

x x

x x x

x x

       

      

 

           

Đối chiếu với điều kiện suy ra tập nghiệm của bất phương trình là ^S



^5;



^.

Bài 4. Giải phương trình:

 x  1  16 x  17  8 x

²

 15 x  23

^.

Lời giải:

Điều kiện: ¹⁷ x 16 .

Khi đó phương trình tương đương với:

207



^x1



^16x17



^{x1 8}



^x23



^



^x1

 

^{16x178x23}



^0

 

²

1

1 0 1

8 23 0 16 17 8 23 4

16 17 8 23 x

x x

x

x x x

x x

  

      

 

         

Đối chiếu với điều kiện cả hai nghiệm này đều thỏa mãn. Vậy phương trình có hai nghiệm là 1

x  và x 4.

Bài 5. Giải phương trình: 2x²8x 6 x² 1 2x2.

Lời giải:

Để phương trình có nghiệm thì 2x20 x 1. Khi đó điều kiện của phương trình là:

2 2

2 8 6 0

1 0 1 1 1

x x

x x x x

   

   

  

  

  



 Nhận thấy x 1 thỏa mãn phương trình.

 Xét x1, khi đó phương trình tương đương với:



^{x1 2}



^x6



^



^x1



^x1



^2



^x1



2x 6 x 1 2 x 1

     

    

2x 6 x 1 2 2x 6 x 1 4 x 1

        

  

    

²

1 0

2 2 6 1 1 1

4 2 6 1 1

x

x x x x

x x x

  

       

   



Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1 và x1.

Bài 6. Giải phương trình: ^{x2  x 6 3 x 2}



^x25x3



208 Lời giải:

Điều kiện: x3.

Khi đó cả hai vế của phương trình đều không âm, nên bình phương hai vế ta được

   

2 2 2

8 6 6 6 2 5 3

x  x  x x  x  x  x



²

  

²

 

6 x x x 6 x x 2 6 x x 6 x x 2

          , do

x  3



²

  

²

  

²



36 x x 6 x x 2 x 2 x 34x 108 0

         

2 34 108 0 17 181

x x x

      

Vậy phương trình có hai nghiệm là x17 181.

Bài 7. Giải bất phương trình:

2

4 2 1

3 2

x x

x x x

 

 

Lời giải:

Điều kiện: x0;x1.

- Với ^x



^0;1



^{ x4 3x2 2x x23x2 2x0}

Khi đó bất phương trình tương đương với:

2 4 2 2 4 2

3 2 3

x x x  x  x x x x  x , hai vế của bất phương trình không âm nên bình phương hai vế, ta được

 

²

 

2 4 2 2

1 3 2 1 0

x x x x x x

       ; không thỏa mãn ^x



^0;1



^.

- Với x1hoặc x0 (*)thì x⁴3x² 2x0

Khi đó bất phương trình tương đương với: x²x x⁴3x² 2x x²x x⁴3x²

 

2

(*) 2

4 2 2 2

0 1 0

1 1

0 0

2 1 0

3

x x x

x x

x x x

x x

x x x x

     

 

   

   

    

 

      



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^{S  }



^{; 0}



^.

209

Bài 8. Giải bất phương trình

 

 

2 2

2

6 3 2 5 3

0

3 2 10

x x x x x

x x

     



  

Lời giải:

Điều kiện: x3

Ta có



^x3



^{2 x2 6x 9 x2x2 9 9}



²

 

²

 

²

 

²



2 x 9 2 x 10 x 3 2 x 10 x 3 2 x 10 0

            

Vậy bất phương trình tương đương với

   

2 2 2 2

6 3 2 5 3 0 6 3 2 5 3

x  x  x x  x   x  x  x x  x



^{x2 x 6 3 x}



^{2 2}



^{x2 5x 3}



^{6 x x}



^{2 x 6}



^{x x}



²



           

     

2 2

6 x x 6 x 2 x x 2 x 34x 108 0

         

2 3 17 181

34 108 0

17 181 x x x

x

   

     

 



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^{S }_^{3;17 181}_^



^3;



Bài 9. Giải phương trình ^{x33x23x2}



^x1



^{3 0}

Lời giải:

Điều kiện: x 1

Phương trình tương đương với

   

³

3 3 1 2 1 0

x  x x  x 

   

³

 

3 1 2 1 2 1 0

x x x x x x

       

210

 



¹



²



¹

 

¹



⁰

x x x x x x

       



^{x 1 x}

  

^{x x 1 x}



²



^{x 1}

 

⁰

        



^{x 1 x}

 

^{2 x 2 x 1}



⁰

     

 

2

2

0

1 5

1 0 1

0 2

2 1 0

2 2 2

4 1

x

x x

x x x

x x x

x

x x

 

  

        

        

  



Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 5 2 2 2;

x x 2

  

Bài 10. Giải bất phương trình 2 3x 1 4 x  3x²x2

Lời giải:

Điều kiện x0

Hai vế của phương trình không âm nên bình phương hai vế của phương trình ta được

   

²

4 3x1 16x16 x 3x1 3x   x 4 4 3x1

   

2

2 2

2

2 2 2

0

9 0

4 3 9 0 16

9 0

16 3 9

x

x x

x x x x x

x x

x x x x

 

  

       

  





   



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ^{S }



^0;16



Bài 11. Giải bất phương trình 3 x  3 4 2x x11

Lời giải:

Điều kiện x 3

211 Khi đó bất phương trình tương đương với

3 x  3 4 2x x113 x342x x11

 

²

 

²

 

9 x 3 4x 17x 27 2 2x 4 x 11 x 2x x 2 x 11

            

   

2 0

11 0 1 3 5

2 11 0 2

2 0 2 11 0 x

x x

x x x x

x

x x

  

    

         

  



   



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là 1 3 5 2; 2

S   

  

 

Bài 12. Giải phương trình 7x² x x5  3 2 xx²

Lời giải:

Phương trình tương đương với

 

2

2 2

3 1

3 2 0

5 2 2

7 5 3 2

x x x

x x x

x x x x x

  

    

 

 

   

      

 



2

2 0

3 1

0 2

5 4 5 2 2

x x

x x

x x x

x x



     

 

     

   

    

   



  

²



2 0

1 16 0 1

x x x x

  



   

  



Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Bài 13. Giải phương trình ²



^{2 2}



^x



^{2 2x}



^{ 9x2 16}

Lời giải:

212 Điều kiện:

  2 x  2

Khi đó bình phương hai vế của phương trình ta được

  

²

  

²

8 x2 16 2 4x 16 2x 9x 16

   

²

 

2 2 2 2

9x 8x 32 16 2 4 x 9x 8x 32 512 4 x

         

4 3

81x 144x 512x 1024 0

    



^{9 2 32 9}



^{2 16 32}



^{0 32}

x x x x 3

        , thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có hai nghiệm là 32 x  3 . Bài 14. Giải bất phương trình

 

 

2 1 3

1

2 2 1 1

x x

x x x x

 



    

Lời giải:

Điều kiện: 0x1

Ta có: ^{2 x}



^{2 x}



^{1x  1 x 2}



^{x 1x}



^{ 1x}



^{x 1x}





^{x 1 x}



^{2 1 x}



     và



^2x1



^x3



^{x 1x}



^{x 1x}



^x3

Vậy nên bất phương trình tương đương với:

 

    

1 3

1 3 2 1 1 3

2 1

x x x

x x x x x

x

  

        

 

Ta có ^{x x}



^3



^{2 do} 0x1 và ^{2 1x}



^1x



^x3



^2 . Dấu bằng xảy ra hai vế khi và chỉ khi x1 .

Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x1 .

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

213 Giải các phương trình, bất phương trình sau:

1.1. x 3 6x3 1.2. x 4 1 x 1 2 x 1.3. ³ x 4 ³ x 3 1 1.4. x  9 5 2x4

1.5.



^x3



^{10x2 x2  x 12}

1.6. 2 x 2 x 1 x 1 4 1.7. ³ x 1 ³ x 1 ³5x

1.8. ^{x x}



^1



^{ x x}



^2



^{2 x2}

1.9. x2 x 1 x2 x 1 2 1.10. 1 1 8 x²6x 1x² 10x² 1.11.



^{1x 1 x2 log}



²



^x2x



^0

1.12. ^{x 1x2   2 2}



^x21



1.13.



^x3



^{x2 4x29.}

1.14. ^{8 8} 6

2 8

x  x 

 

1.15. Giải các bất phương trình sau:

1. x  1 3 x4 2.



^{x1 4}



^x



^{ x 2}

3. x3 2x8 7x 4. x2 3x  52x

5. x²3x 2 x²6x 5 2x²9x7

214 6. 2x 6x² 1 x1

7. x² 4x 3 2x²3x  1 x 1 8. x 1 6 x 3 5x

9. 2 3x 1 4 x  3x²x2

10. 6x² 40x150 4x²60x100 2x10 11.

2

1 1 2

4

x x x

    

12.

 

 

³

2 1

1 x x

x x

 

 

13. ₂

2

1 1

2 3 2 3

x

x x

   

14.

 

4 2 2

2 2 2

4 16 4

4 4 1

x x x x

x x x x

 

  

  

 

   

15. _{2 2}

4 2

2 1 1

1 3

3 11 9

x

x x

x x x

  

 

  

16.

2 2

3 2 3 2

1

1 2 1

x x

x x

  



  

17.



²



2 3

1

1 1

x x x

x x x x

 



  

18.

 

 

3 2 3

2

3 3 2 1

0

1 2 2

x x x x

x x

   



  

19.

   

2 3

1 3

0

2 2 2 2 4 4 3 1

x x

x x x x

  



     

20.

 

³

2

5 5 2

0

2 2 1 2 10 6

x x x

x x x x

   



     

215

21.

 

2 2

2 3 1 4 3 2

0

2 2 1

x x x x

x x

    



 

22.

 

 

5 3 2 3

2 2

1

1 1

x x x x

x x x

   

 

 

Bài 12. Giải các phương trình sau:

1.1. 2x 6x²1  x1 1.2.

2

3 2 1 3 2

x x x

x    



1.3. 4x 1 4x² 1 1. 1.4.

 

2

2 2

2 2 1 1

x x

x

 

 

1.5. ^{3 2}



^{ x2}



^{2x x6}

1.6. ^{x x}



^1



^{ x x}



^2



^{2 x2}

1.7. ²



^{2 16}



7

3

3 3

x x

x

x x

 

  

 

1.8. ^{x23x 4 x1}



^x24x2



1.9. ^{3 1}

2 1 1 3 3

x

x x x

 

    

1.10. 3x²33 3 x 2x7 1.11.

3 3

3 3

7 5

7 5 6

x x

x x x

  

 

  

1.12. x² 5x 6 x 3 x21 x²9x42 1.13. ²



^2x5

 

^{x2 x 1}



^{x2 6x1}

1.14.



^{25 3 x}



^{x2 1 3x}

216 1.15.



^x2



^{x 1 2x20}

1.16.

3 5 2

2 7 5 0

os os

4 4

x x

x x

c c

  

  



1.17. ^{4 2} 28 27

27 24 1 6

3 2

x  x   x

PHƯƠNG PHÁP TRỤC CĂN THỨC

Áp dụng với các phương trình nhẩm được nghiệm x₀và ta biến đổi phương trình thành phương trình tương đương dạng



xx0



A x( )0. Sau đó chỉ ra ( )A x 0với x thuộc miền xác định của phương trình, ta thường đánh giá qua bất đẳng thức hoặc khảo sát tính đơn điệu của hàm số.

Sử dụng những hằng đẳng thức sau:

A B A B

A B

  



3 3

3 2 3 3 2

A B A B

A AB B

  

 

BÀI TẬP MẪU

Bài 1. Giải phương trình sau: ^{3x25x 1 x22  3}



^{x2 x 1}



^{ x23x4}

Lời giải:

Nhận thấy ^{3x25x 1 3}



^{x2 x 1}



^{ 2}



^x2



Và



^x22

 

^{ x23x4}



^3



^x2



Do đó trục căn thức phương trình tương đương với

217

 

 

 

2 2

2 2

2 2 3 2

2 3 4

3 5 1 3 1

x x

x x x

x x x x

  



   

    

 

 

2 2 2 2

3 2

2 0

2 3 4 3 5 1 3 1

x

x x x x x x x

 

 

   

 

          

 

2 0 2

x x

     .

Vậy x 2là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2. Giải phương trình sau: x² 12 x²  5 3x5

Lời giải:

Để phương trình có nghiệm thì 3 5 ² 12 ² 5 0 ⁵ x  x   x   x3.

Nhận thấy x  2là nghiệm của phương trình nên ta biến đổi về phương trình tương đương sau



^{x212 4}

 

^{ 3 x25}



^3x6

 

2 2

2 2

4 4

3 2

12 4 3 5

x x

x

x x

 

   

   

 

2 2

2 2

2 3 0 2

12 4 3 5

x x

x x

x x

   

       

   

 

Do 2 2 2 2

5 2 2 2 2

3 3 3 0

3 12 4 3 5 3 5 3 5

x x x x

x

x x x x

   

         

       

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2.

Bài 3. Giải phương trình sau: ³ x²  1 x x³2

Lời giải:

Điều kiện x ³ 2. Nhận thấy x3là nghiệm của phương trình, nên biến đổi về phương trình tương đương sau

218



^{3 x2 1 2}



^{  x 3 x3 2 5}

 

 

  

²



2

2 3 3

2 2

3

3 3 9

3 9

2 5

1 2 1 4

x x x

x x

x x x

  

    

 

   

 

 

2

2 3 3

2 2

3

3 3 9

3 1 0 (1)

2 5

1 2 1 4

x x x

x

x x x

 

  

 

     

 

     

 

Do x ³ 2nên

   

2

2 3 3 2 3

2 2 2

3

3 3 3 9

1 1 2

2 5

1 2 1 4 1 1 3

x x x x

x x x x

   

    

        

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x3.

Bài 4. Giải phương trình sau: x 2 4 x 2x² 5x1

Lời giải:

Điều kiện 2 x4

Nhận thấy x3là nghiệm của phương trình, khi đó phương trình tương đương với



^{x2 1}

 

^{ 4x1}



^{2x25x3}

  

3 3

3 2 1

2 1 4 1

x x

x x

x x

 

    

   



³



^{1 1}



^{2 1}



^{0 (1)}

2 1 4 1

x x

x x



 

      

   

 

Do ^{2 4 1 1}



^{2 1}



^{1 1 5 0}

2 1 4 1 2 1

x x

x x

          

    

Do đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x3. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x3.

Bài 5. Giải phương trình sau: ^{x2  x 1}



^x2



^x22x2

219 Lời giải:

Nhận thấy x 2không là nghiệm của phương trình nên phương trình tương đương với

2

2 1

2 2

2

x x

x x

x

    

 Phân tích:

Thêm vào 2 vế của phương trình lượng mx n , ta có

   

2

2 1

2 2

2

x x

x x mx n mx n

x

        



   

 

   

2 2 2 2

2

1 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 2

m x mn x n m x m n x n

x x mx n x

          

 

    

Ta chọn m n, sao cho 1 ^{2 2 1}

 

2 ²

0; 3

1 1 2 1 2

m mn n

m n

m m n n

 

 

    

    

Vậy phương trình tương đương với

2

2 1

2 2 3 3

2

x x

x x

x

      



2 2

2

2 7 2 7

2 2 3 2

x x x x

x x x

   

 

   

2

2

2 7 0

1 1

2 (1) 2 2 3

x x

x x x

   



 

    



Phương trình (1) vô nghiệm, nên phương trình tương đương với

2 2 7 0 1 7

x  x    x

Vậy phương trình có hai nghiệm là ^{x 1 7}.

Bài 6. Giải phương trình sau: x 2 4 x 2x 5 2x²5x

Lời giải:

220 Điều kiện ⁵ 4

2x

Nhẩm nghiệm thấy phương trình có nghiệm x 3, vì vậy biến dổi phương trình đã cho tương đương với



^x21

 

^{ 4x1}

 

^{ 2x5 1}



^{2x2 5x3}



³



^{1 1 2 2 1 0}

2 1 4 1 2 5 1

x x

x x x

 

       

     

 

3

1 1 2

2 1 0

2 1 4 1 2 5 1

x

x

x x x

 



     

      



Do ⁵ 4

2x nên ^{1 1 2} 2 1 0

2 1 4 1 2 5 1 x

x  x  x   

     

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

x  3

.

Bài 7. Giải phương trình: x 2 5x 6 2 8x 9 4x²

Lời giải:

Điều kiện: ⁹ x 8.

Khi đó phương trình tương đương với

  

²



4 4 7

2 2 5 6 2 8 9 4 2 0

3 3

x x

x x x x x x

 

   

            

   

   

           

 

2 2 2

2 4 7 9 8 9 2

4 9 2 2 5 6

4 2 0

4 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9

x x

x x x x

x x

x x x x x x

    

       

      

        



^{2 2}



^{1 1 32 4 0 (*)}

4 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9

x x

x x x x x x

 

       

        

 

Do ⁹

x 8 nên 1 1 32

4 0

4 3 2 2 5 6 4 7 3 8 9

x x  x x  x x  

        

Do đó phương trình (*) tương đương với: ² 1 2 0

2 x x x

x

  

     

thỏa mãn điều kiện.

221 Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1;x2.

Bài 8. Giải phương trình:

2x³4x²4x³16x³12x²6x34x⁴2x³2x1

Lời giải:

Điều kiện ^{2x34x24x2x x}



^22x2



^{0x0.}

Khi đó phương trình tương đương với



^{2x 1}



^{2 2x3 1}



^{2x 1}

 

^{2x 1}



³



^{2x 1}



^{3 4 2}



^{x3 1}

 

^{2x3 1 2}

 

^{x 1}



              

   

   

 

   

3 3

4 2 1 3

2 1

2 1 2 1

x x

x x

A B

 

    



^{2x3 1}



^{1 4 2x 1 0 (1)}

A B

 

      

 

Trong đó ^A



^2x1



^{2 2x3 1}



^2x1



^1



^{2 1}



²



^{2 1}

 

^{3 2 1}



^{3 4 2}



^{3 1}



³



^{2 1}



^{3 4 2}



^{3 1}



^{2 0}

B x  x x  x    x  x   

 

Do đó ^{1 4} 2x 1 0

A B   . Suy ra phương trình (1) tương đương với ³

3

2 1 0 1

x    x 2. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

3

1 x 2

Bài 8. Giải phương trình: 2 x 1 5x 1 x²1

Lời giải:

Điều kiện x1.

 Với 1 x2, phương trình tương đương với:

222

 

2 2 5

2 1 5 1 2 1 1 1 0 1

1 5 1 2

x x x x x x

x x

 

              

  

 

Do ^{2 5 1 0,}



^{1; 2}



1 5 1 2 x x

x  x     

  

 Với x2, phương trình tương đương với:

2 x  1 2 5x  1 3 x2 4



²



^{2 5 2 0 2}

1 1 5 1 2

x x x

x x

 

        

   

 

Do ^{2 5 2 0,}



^2;



1 1 5 1 2 x x

x  x     

   

Vậy phương trình có hai nghiệm là x1;x2.

Bài 9. Giải phương trình 7 6 5 8 9 10

8 9 10 7 6 5

x x x x x x

    

Lời giải:

Điều kiện: x10.

Khi đó phương trình được biến đổi thành

8 7 9 6 10 5

7 8 6 9 5 10 0

x x x x x x

     

   

3 15 5 15

15 0

8 7 9 6 10 5

56 54 50

7 8 6 9 5 10

x x

x

x x x x x x

 

    

           

  

     

     

15 x

  . Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x15.

Bài 10. Giải phương trình 4 x2 22 3 x x² 8 Lời giải:

Điều kiện: 2 ²² x 3

  

223 Phân tích:

Ta thấy x2,x 1là nghiệm của phương trình nên ta tìm cách biến đổi phương trình để có nhân tử chung



^x1



^x2



^{x2 x 2}

Vì thế ta viết phương trình lại như sau:

  

²



3 4 x 2 22 3 x 3 x 8

    

²



12 x 2 4x 16 3 22 3x 14 x 3 x x 2

           ³

 

     

2 2

16 2 2 2

3 2

12 2 4 16 3 22 3 14

x x x x

x x

x x x x

    

    

     

 

   

2 16 1

2 3 0

12 2 4 16 3 22 3 14

x x

x x x x

 

      

       

 

(*)

Do 2 ²²

x 3

   nên

   

16 1

3 0 12 x 2 4x 16 3 22 3x 14 x  

      . Do �