Kĩ năng tìm biểu thức liên hợp hoặc nhân tử của phương trình vô tỉ – Vũ Hồng Phong - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

(1)

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

KĨ NĂNG TÌM BIỂU THỨC LIÊN HỢP HOẶC NHÂN TỬ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Vũ Hồng Phong GV THPT Tiên Du 1, Bắc Ninh

BẢN CHÍNH THỨC

Lưu ý trước khi sử dụng tài liệu

+Bài viết gồm 5 chuyên đề: Chuyên đề 1 là các phương trình không dùng Casio .Chuyên đề 2 và 3 là các thí dụ dùng máy tính Casio có hướng dẫn sơ lược, chuyên đề 4 và 5 là lí thuyết hướng dẫn chi tiết cách dùng máy tính Caiso tìm biểu thức liên hợp hoặc tìm nhân tử cần xuất hiện trong phương trình của chuyên đề 2 và 3. Trong đó có chuyên đề phụ một cách tạo ra một phương trình tích từ các biểu thức phù hợp

+Do có nhiều phương trình mới lạ và phức tạp nên bài viết không là tài liệu để ôn tập cho các kì thi +Các PT trong bài viết có nghiệm là nghiệm của PT bậc 3,bậc 4 nên nó phức tạp hơn các dạng PT khác +Các phương trình chưa được sắp xếp thành hệ thống hợp lí và có thể có sai sót

+Tài liệu cung cấp một số ý tưởng để tạo ra các phương trình vô tỷ đưa về dạng tích

Chuyên đề 1.

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ KHÔNG DÙNG CASIO HỖ TRỢ

Chuyên đề này gồm các PT có nghiệm đẹp ta hoàn toàn nhẩm được. Dù vất vả trong việc nhẩm và tính toán nhưng giúp chúng ta tiến bộ khi học môn Toán.

A. Các Phương trình tìm biểu thức liên hợp không dùng Casio

Một số ví dụ ngoài cách nhân liên hợp có thể làm theo hướng đưa về tích hoặc tìm tổng và hiệu các căn rồi tìm từng căn theo x.

Thí dụ 1 Giải phương trình

3 2 2 1 2

2 1 2

6x² x  x²x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax²bxc 6x²2x1

(2)

Do 0;1;3là nghiệm PT nên ta có hệ



















7 3

9

3 1

c a a

c b a c









 1 1 1

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x1 6x²2x1

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x22 2x²x1 0

1 2

2 2 1

2 6

1 ² ² ²

2           

x x x x x x x x

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Nâng cấp: Giải phương trình

2 3

3 2 1

2 2

1 1

2 6

) 1 ₂



 





 





 x x

x x

x x x

x x a

2 3

7 5 1

2 2

3 1

2 6

) 2 ₂



 





 





 x x

x x

x x x

x x b

PTcó 2 nghiệm x0; x1(lưu ý coi t  x 3 là nghiệm ngoại lai)

2 5

2 8

1 6 2 6

) ₂

2 3 3 4 2









 



 x x

x x x x x x

x c

Hướng dẫn.

0 ) 1 2 6 1 )(

1 2 6 1 2 6

( ²   ²  ²   ²  

 x x x x x x x x

pt

PTcó 4 nghiệm

3

; 1 3

; 1

;

0    

 x x x

x



⁶ ² ¹

 

² ² ¹



⁹

)

2 3 3 2

2

2 x x x  x x x x 

x d

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3



⁶ ² ¹

 

² ² ¹



² ³ ³ ¹

) ³ ²

2 3 3 2

2

2  x x  x x x x  x  x  x

x e

1 2 2

1 2 1 2

2 2

) 2 ₂

2

2 



 

 



x x

x x x

x x f x

(3)

Hướng dẫn.

2 ) 1 ( 2 1 2

1 2

1 2 ₂

2 2

2



 



 

 x x

x x

x x x x

PT 2

1 1

2 2

1 2 2 1

2 2 2

2



 





 

x x

x

x x x



^¹ ² ²^² ^¹^ ²^¹



⁽ ² ^ ^²⁾^



² ^ ^²^² ² ² ^ ^¹



⁽ ² ^¹⁾^⁰

 x x x x x x x x x x x

Nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

Chú ý: biểu thức liên hợp cần tìm là x²x22 2x²x1 biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²1 x1 2x²2x1

1 2 2

4 2

2 2

) 2 ₂

2 3 4

2 



 



 x x

x x x x

x h x

Hướng dẫn.

2 2 1

2 2

4 2

2

2 2 2

2 3 4



 



 

x x

x x x PT x

Biến đổi tương tự bài trước và nhân liên hợp suy ra PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

3 1 6

2 1 2 ) 6

2 2

2   



 x x

x x

x k x

Hướng dẫn.



⁶ ² ¹ ¹

 

³ ² ⁶



⁽ ¹⁾ ⁰

3 ²   ²    ²  ²  

 x x x x x x x x

PT

nhân liên hợp suy ra PTcó 2 nghiệm x1;x3

4 4 1

2 6

13 10

) 2 ₂ ₂

2



 



x x

x x p x

Hướng dẫn. Nhận thấy x4



² ¹⁰ ¹³ ⁴

 

¹ ² ⁶



⁽ ⁴⁾ ⁰

) 4

( ²  ²     ²   ²   

 x x x x x x x x x x

PT

nhân liên hợp suy ra PTcó 2 nghiệm x1;x3

(4)

4 3 3

2 1 8

2 1 2 6

) ₂

2 2

2



 







 x x

x x x

x x

x q

Hướng dẫn.

4 3 3

) 1 2

1 2 6 )(

1 2

1 2 6 ( 1 2 2

1 2

6 ₂

2 2











 







 x x

x x x

x x

x x x x

x PT





















 

(*) 4 3 3 1 2

2 1 2 6 2

0 1 2

1 2 6

2 2

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

PT x

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x1 6x²2x1 biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x22 2x²x1 PT đã cho có 4 nghiệm

4

; 1 3

; 1

;

0   

 x x x

x

(*) 3 2 1

2 6 2

3 1 2

2

) x² x  x  x²  x x  x s

Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0;1

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 2 2x² x13x2(axb) Do 0;1là nghiệm PT nên ta có hệ









 3 2 b a b







  2 1 b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2 2x² x13x2(x2)

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 6x² 2x1x(x1) Do VT(*)0 suy ra

2

3

 x

Xét 2

1  3

 x có: 6x² 2x1x  4x² 2x² 2x1x 1

2

4 ²     

 x x x x x

suy ra VT(*)1

(5)

Do 2 1 3

 x suy raVP(*)2x31

Vì vậy PT(*) có nghiệm x1Khi đó 6x² 2x1x (x1)0 0

) 2 ( 2 3 1 2

2 x² x  x  x 

2 0

) 1 (

1 2 6 1

) 2 (

1 2

(*) 2

2 2

2

2            

 MS

x x x

x MS

x x x

PT x

Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx0;x1

10 7 7

10 2 1 12

2 3 1 2 6 2

) ₂

2 2

2





 







 x x

x x x

x x

x t

Hướng dẫn.

10 7 7

) 1 2

3 1 2 6 2 )(

1 2

3 1 2 6 2 ( 2

1 2

3 1 2 6 2

2

2 2











 









x x

x x x

x x

x

x x x

x PT





















 

(*) 10 7 7 1 2

6 1 2 6 4

0 1 2

3 1 2 6 2

2 2

2

2 2

x x x

x x

x

x x x

PT x

Giải (*):Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x1 6x²2x1 biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x22 2x²x1 PT đã cho có 4 nghiệm

6

; 5 3

; 1

;

0   

 x x x

x

*Một cách tạo ra phương trình từ 2 biểu thức liên hợp Dạng PT:

B a b

A  hay

B b a

A 

Cách giải.

0 ) (

)

(    



 B A a a B b

B b a

A

(6)

Nhân liên hợp ta sẽ giải quyết được PT đã cho Thí dụ minh họa Giải phương trình

1 2

2

1 2

1 2 6

2 2 2

2



 



x x

x x x

x

x x

Hướng dẫn.



² ² ¹ ² ²

 

⁶ ² ¹ ¹



⁽ ²⁾ ⁰

1 2

6 ²  ²   ²   ²   ²  ²  

 x x x x x x x x x x x x

PT

Nhân liên hợp PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Thí dụ 2 Giải phương trình

5 4 4 1 2

2 1 2 6

3 x² x  x²x  x² x Hướng dẫn.



















7 3

9

3 1

c a a

c b a c









 1 1 1

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x1 6x²x1

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x22 2x²x1 0 1 2

2 2 ]

1 2 6 1 [

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Thí dụ 3 Giải phương trình

5 3

1 2 6 2

1 2 1 2

2

4 ²

2 2

2   



 



 x x

x x x

x

Hướng dẫn.

Ta có 6x²2x1 4x²x²(x1)²  4x² 2x 2x

(7)

nên đkxđ:xR

 

₃ ₅

1 2 6 2

) 2 ( 1 2 1 6

2

4 ²

2 2 2 2

2   







 



 x x

x x x

x x

x x x pt

5 3 3 1 2

4 1 2

6 ²   ²   ² 

 x x x x x x



















7 3

9

3 1

c a a

c b a c









 1 1 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x22 2x²x1 0 ] 1 2

2 2 [

2 1 2 6

1 ² ² ²

2           

x x x x x x x x

PT

2 4

1 2 6 1 1 15 2

2 ²

2 2

2   



 



 x x

x x x

Hướng dẫn.

 

₄ ₂

1 2 6 1

) 1 ( 1 2 . 6

3 1 2

2 ²

2 2 2 2

2   







 



 x x

x x x

x x

x x x pt

5 4 4 1 2

2 1 2 6

3 ²   ²   ² 

 x x x x x x

(8)



















7 3

9

3 1

c a a

c b a c









 1 1 1

c b a

2 2 ]

1 2 6 1 [

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

7 9 4 1

2 6

1 2 5 1

2

6 6

6 2

2 2 2

2   



 





 x x

x x

x

x x x

x x

Hướng dẫn.

   

₄ ₉ ₇

1 2 6

) ( 1 2 6 2

1 2

2

) 2 ( 1 2

. 2

3 ²

2 2 2 2

2 2 2

2   







 









  x x

x x x

x x

pt x

5 4 4 1 2

2 1 2 6

3 ²   ²   ² 

 x x x x x x



















7 3

9

3 1

c a a

c b a c









 1 1 1

c b a

2 2 ]

1 2 6 1 [

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

(9)

7 6 3 9 12 7

4 8 5

2 x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0;1;3

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax²bxc 5x²8x4

Do 0;1;2là nghiệm PT nên ta có hệ

















5 3

9

1 2

c a a

c b a c













 2

2 1

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²2x2 5x²8x4

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²2x3 7x²12x9 0 9 12 7

3 2 )

4 8 5 2 2 (

2 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Nâng cấp: Giải phương trình

2 3

5 2 2

9 12 7

1 2

4 8 5

) 1 ₂



 



 



 x x

x x

x a

2 3

7 3 2

9 12 7

2 2

4 8 5

) 1 ₂



 



 



 x x

x x

x b

PTcó 3 nghiệm x0; x1;x9

c) 7 12 9

3 2 2

2 4 8 5

2 2 2

2







 









x x

x x x

x

x x

Hướng dẫn.



⁵ ⁸ ⁴ ² ²

 

⁷ ¹² ⁹ ² ³



⁽ ² ²⁾ ⁰

9 12

7 ²  ²   ²   ²   ²  ²  

PT

Nhân liên hợp PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3

(10)

7 6 3

7 20 9 13

12 7

4 8 5 2

) ₂

2 2

2







 







 x x

x x x

x x

x d

Hướng dẫn.

7 6 3

) 9 12 7 9 8 5 2 )(

9 12 7

9 8 5 2 (

9 12 7 4 8 5 2

2

2 2



















 











x x

x x x

x x

x

x x

x x PT

























 

0 9 12 7

4 8 5 2

0 9 12 7

4 8 5 2

2 2

x x

x PT x

PT đã cho có 4 nghiệm

13

; 7 3

; 1

;

0   

 x x x

x

(*) 3 2 1 6 9 12 7

1 4 4 8 5

) x²  x  x  x²  x  x  x e

Hướng dẫn.

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là 5x² 8x44x1(axb)















 4 3

1 1

b a

b a b







  2 1 b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là 5x²8x44x1(x1)

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là 7x² 12x96x1(x2) ĐKXĐ: 5x²8x44x10(1) và 7x²12x96x10(2)

Có:

11 ) 3

1

( x 

29 94 2 ) 12

2

(  x   suy ra

11

3

 x

Khi đó 5x² 8x44x1(x1)0 0 ) 2 ( 1 6 9 12

7x² x  x  x 

(11)

2 0

) 3 2 ( 9 12 7

1

) 2 2 ( 8 8 (*) 5

2 2

2

2           

 MS

x x x

x MS

x x x

PT x

Nhân liên hợp lần nữa kết hợp điều kiện ta suy ra PT đã cho có 2 nghiệmx0;x1;x3

3 6 10 4

9 12 7

3 2 4 8 8 5

2 2

2

2   







 



 x x

x x

x

x x x

x

Hướng dẫn.

3 6 10 4

) 9 12 7

3 2 ( 3

) 3 2 9 12 7

)(

3 2 9 12 7 4 ( 8 5

2 2

2   















 





 x x

x x

x

x x

x x x

x pt

3 6 10 4

3

3 2 9 12 4 7

8 5

2 2

2          

 x x x x x

x x

















5 3

9

1 2

c a a

c b a c













 2

2 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²2x3 7x²12x9 0 9 12 7 3 2 )

4 8 5 2 2 (

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Thí dụ 8 Giải phương trình

3 9 4 4 9 12 7

3 2

8 1

2 4 8 5

3

12 ²

2 2 2

2   







 









 x x

x x

x

x x x

x x

Hướng dẫn.

(12)

3 9 4 4 )

9 12 7

3 2 ( 3

) 3 2 9 12 7

)(

3 2 9 12 7

(

1 2 4 8 5

) 1 2 4 8 5 )(

1 2 4 8 5 (

2 2

2

2 2



 















 













 

x x x

x x

x

x x

x pt x

3 9 4 4 3

3 2 9 12 1 7

2 4 8 5

2 2

2            

 x x x x x

x x

x

















5 3

9

1 2

c a a

c b a c













 2

2 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²2x3 7x²12x9 0 9 12 7 3 2 )

4 8 5 2 2 (

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 3 nghiệm x0;x1;x3 Thí dụ 9 Giải phương trình

6 2 2 8 10 18 4 6

14x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 1;2;4

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax²bxc 14x²6x4

Do 1;2là nghiệm PT nên ta có hệ























8 2

4

4 2

c a a

c b a













 2

1 1

c b a

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x2 14x²6x4

(13)

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x4 18x²10x8 0

8 10 18

4 4

6 14

2 ² ² ²

2           

x x x x x x x x

PT

PTcó 4 nghiệm x2;x1;x4

Nâng cấp:

8 10 18

4 2

4 6 14

2 2 2

2







 





x x

x x x

x

x x



¹⁴ ⁶ ⁴ ²

 

¹⁸ ¹⁰ ⁸ ⁴



⁽ ²⁾ ⁰

8 10

18 ²  ²   ²   ²   ²  ²  

PT

PTcó 4 nghiệm x2;x1;x4 Thí dụ 10 Giải phương trình

7 7 3 8 10 18 1 4

7 18 4 2

6 14

2 ²

2 2

2   







 



 x x

x x x

x

Hướng dẫn.

7 7 3 8

10 18

1 4

) 1 4 8 10 18 )(

1 4 8 10 18

4 ( 6 14

2 ²

2 2 2

2   















 



 x x

x x

x

x x

x x x

x PT























8 2

4

4 2

c a a

c b a













 2

1 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x4 18x²10x8 0 8 10 18 4 ]

4 6 14 2 [

2 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 4 nghiệm x1;x2;x3

(14)

10 4 4 8 10 18 4 6 14

3 x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.























8 2

4

4 2

c a a

c b a













 2

1 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x4 18x²10x8 0 8 10 18 4 ]

4 6 14 2 [

3 ²   ²   ²   ²  

 x x x x x x x x

PT

PTcó 4 nghiệm x2;x1;x4 Thí dụ 12 Giải phương trình

7 2 3 1 4 8 10 18

14 4 4 4

6 14 1 3

5 12

5 2

2 2 2

2   











 







 x x

x x

x

x x x

x x

Hướng dẫn.

7 2 3 1

4 8 10 18

) 1 4 8 10 18 )(

1 4 8 10 18 .( 2

4 6 14 1 3

) 1 3 4 6 14 )(

1 3 4 6 14 (

2 2

2 2 2



 

















 







 

x x x

x x

x x x

x x

x PT x























8 2

4

4 2

c a a

c b a













 2

1 1

c b a

(15)

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²x4 18x²10x8 0 ] 8 10 18 4 [

2 4 6 14

2 ² ² ²

2           

x x x x x x x x

PT

PTcó 4 nghiệm x1;x2;x3 Thí dụ 13 Giải phương trình

7 4 2 28 32 13

21 28

11x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 1;2;3

Do1;2 là nghiệm PT nên ta có hệ





















11 2

4

3 2

4

2

c a a

c b a













 3

2 1

c b a

Tương tự,biểu thức liên hợp nữa cần tìm là x²2x4 13x²32x28 0 28 32 13

4 2 21

28 11

3

2 ² ² ²

2           

x x x x x x x x

PT

PTcó 4 nghiệm x1;x2;x3 Nâng cấp: Giải phương trình

12 7

7 2 2

28 32

13

1 2

21 28

11

) 1 ₂



 



 



 x x

x x

x a

12 7

10 3 2

9 12 7

2 2

4 8 5

) 1 ₂



 



 



 x x

x x

x a

PTcó 3 nghiệm x1; x4;x9

(16)

5 2 2 13 14 10

2 3 2

2 x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 1;2

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x22 2x²3x2 và x²x3 10x²14x13

PTcó 3 nghiệm x1;x2 Thí dụ 15 Giải phương trình

11 4 4 13 14 10

3 2 3 2

2 x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x22 2x²3x2 và x²x3 10x²14x13

PTcó 3 nghiệm x1;x2 Thí dụ 16 Giải phương trình

7 3 3 13 14 10

2 3 2

4 x² x  x² x  x² x Hướng dẫn.

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x22 2x²3x2và x²x4 10x²14x13 PTcó 3 nghiệm x1;x2

x x x x

x x

x 5 2 2

8 8 9 6 6 4

2 2

2        

(17)

Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 2

;1

1

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2x²x1 x 4x²6x6và 3x²x1 x 9x²8x8 PTcó 3 nghiệm

2

; 1 1 



 x x

x x x x

x x

x 9 4 4

8 8 9 6 6 4 3

2 2

2       

Hướng dẫn.

;1

1

2

; 1 1 



 x x

x x x x

x x

x 7 3 3

8 8 9 6 6 4 2

2 2

2       

Hướng dẫn.

;1

1

2

; 1 1 



 x x

2 2 5 8 8 9 6 6

4 ²    ²    

x x x

x x

x

(18)

Hướng dẫn.

x x x x

x x

x

PT 5 2 2

8 8 9 6 6 4

2 2

2        



Do 5x²2x20 nên x0

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 2

;1

1

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 4x⁴6x³6x² và 3x²2x1 9x⁴8x³8x²

PTcó 2 nghiệm x1; 2

 1 x

3 3 7 8 8 9 6 6 4

2 ²   ²    

x x x

x x

x

Hướng dẫn.

x x x x

x x

x

PT 7 3 3

8 8 9 6 6 4

2 2

2        



Do 7x²3x30 nên x0

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 2

;1

1

Biểu thức cần tìm là 2x²x1 4x⁴6x³6x² và 3x²2x1 9x⁴8x³8x² PTcó 2 nghiệm x1;

2

 1 x

2 2 5 8 8 9 6

6

4 ⁴ ³ ²  ⁴ ³ ²  ² 

 x x x x x x x x

PT

3 3 7 8 8 9 6

6 4

2 ⁴ ³ ²  ⁴ ³ ²  ² 

 x x x x x x x x

PT

(19)

x x x x

x x

x 3 2 4

6 3 10

5 4

2 2

2        

Hướng dẫn.

Do 3x²2x40 nên x0

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 1;2

Biểu thức cần tìm là 2x²x2 4x⁴5x³10x² và x²x2 x⁴3x³6x² PTcó 2 nghiệm x1;x2

x x x x

x x

x 5 4 8

6 3 3

10 5 4

2 2

2        

Hướng dẫn.

Do 3x²2x40 nên x0

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp (kể cả nghiệm âm) của PT là 1;2

Biểu thức cần tìm là 2x²x2 4x⁴5x³10x² và x²x2 x⁴3x³6x² PTcó 2 nghiệm x1;x2

1 3 2 1 10 2 4 1 2 4

2 x⁴ x³  x⁴ x³ x²  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là

2

; 1 0

; 2 



4 2 3 6 3 10

5

4 ⁴ ³ ²  ⁴ ³ ²  ² 

 x x x x x x x x

PT

8 4 5 6 3 3

10 5

4 ⁴ ³ ²  ⁴ ³ ²  ² 

 x x x x x x x x

PT

(20)

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2x²x1 4x⁴2x³1và 1

10 2

4 1

2x²x  x⁴ x³ x² PTcó 3 nghiệm

2

; 1 0

;

2   



 x x

x

6 2 5 16 49

16 6

9 ² ⁴ ² ²

4 x  x x  x  x  x  x

x

Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 1;2

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x2 x⁴9x²6xvà 4x²x4 16x⁴49x²16x PTcó 3 nghiệm x1;x2

12 5 4 32 16

2 24 21

4x⁴ x² x x⁴ x² x  x² x Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 2;1

Biểu thức liên hợp cần tìm là 2x²x4 4x⁴21x²24xvà x

x x

x

x 4 8 2 16 32

2 ²   ⁴ ² PTcó 3 nghiệm x2;x1 Thí dụ 27 Giải phương trình

4 3 2 ) 2 5 ( 2 ) 8 13 4

( x²  x  x x² x  x²  x x

Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 2;1

Biểu thức liên hợp cần tìm là x² x2 x(4x²13x8)và x² 2x2 2x(x² 5x2) PTcó 4 nghiệm x2;x1

(21)

3 1

4 5

4 ³ ² ²

3

4x   x  x  x x x

x

Hướng dẫn.

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x2 x⁴x³4và 1 x³5x²4x1 PTcó 3 nghiệm x0;x1;x4

Thí dụ 29 Giải phương trình

2 ) 1 5 ( 4

4 ³ ²

3

4 x   x  x x   x

x

Hướng dẫn.

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x2 x⁴x³4và 5x x³4x PTcó 3 nghiệm x0;x1;x4

Thí dụ 30 Giải phương trình

5 2 ) 1 5 ( 5

14

4 ³ ²

3

4 x   x  x x   x 

x

Hướng dẫn.

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0;1;4 Với x1 thìx³14x51145100 . Do đó nghiệm PT phải thỏa mãn x1x10

Biểu thức liên hợp cần tìm là x²x2 x⁴x³4và 5(x1) x³14x5 PTcó 3 nghiệm x0;x1;x4

1 )

1 )(

4 2 (

1 ² ²

2

4 x   x x  x x

x

Hướng dẫn.

(22)

1 )

1 )(

4 2 ( 1 )

(  ⁴ ²    ²  ²  

 f x x x x x x x

PT

Ta nhẩm được các nghiệm đẹp của PT là 0,1 1 2 4 2 4 2

1 4 3 1

) 2 (

' 3 2

2 2

4

3  



 





  x

x x x

x x x x

f

Ta có f'(1)0nên PT có nghiệm bội x1 (tính f''(1)0 Pt có nghiệm képx1) Các ví dụ kiểm tra chính xác là nghiệm kép xin dành cho bạn đọc)

Giả sử biểu thức liên hợp cần tìm là ax²bxc x⁴x²1 Lấy đạo hàm được biêu thức

1 2 2

)

( 4 2

3





 





x x

x b x

ax x

P

Do1;0 là nghiệm PT nên ta có hệ (*) 1

1









 c

c b a













 3

2 1

c b a

Do PT có nghiệm kép x1nên nó là nghiệm của P(x) suy ra2ab10(**)

Từ (*) và (**) suy ra









 1 1 1

c b a