Chuyên đề lượng giác ôn thi đại học môn toán

Chuyên đề: LƯỢNG GIÁC A. BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC Các công thức biến đổi:

1) Hệ thức giữa các giá trị lượng giác của các cung góc có liên quan đặc biệt:

* Cung đối nhau:

cos(-x) = cosx; sin(-x) = -sinx; tg(-x) = - tgx; cotg(-x) = - cotgx

* Cung bù nhau:

cos(π - x) = - cosx sin(π - x) = sinx tg(π - x) = - tgx cotg(π - x) = -cotgx

* Cung phụ nhau:

cos( x 2

π ) = sinx sin( x 2

π  ) = cosx tg( x 2

π ) = cotgx cotg( x 2

π ) = tgx

* Cung hơn kém nhau π:

cos(π+ x) = - cosx sin(π + x) = - sinx tg(π - x) = tgx cotg(π - x) = cotgx 2) Công thức cộng:

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa sin(a - b) = sina cosb - sinb cosa tg(a + b) =

tgatgb 1

tgb tga



 tg(a - b) =

tgatgb 1

tgb tga



 3) Công thức nhân đôi:

sin2a = 2sina cosa; cos2a = 2cos²a - 1 = 1 - 2sin²a = cos²a - sin²a; tg2a =

a tg 1

tga 2

 2

4) Công thức hạ bậc:

) a 2 cos 1 2( a 1

cos²   ; (1 cos2a)

2 a 1

sin²   ;

a 2 cos 1

a 2 cos a 1

tg²



  5) Công thức tính sina, cosa, tga theo t =

2 tga

2 2

2

2 1 t

t tga 2

; t 1

t a 1 cos

; t 1

t a 2

sin  



 

 

6) Công thức biến đổi tổng thành tích:

2 b cosa 2

b cosa 2 b cos a

cos     ;

2 b sina 2

b sina 2 b cos a

cos  





 2

b cosa 2

b sina 2 b sin a

sin     ;

2 b sina 2

b cosa 2 b sin a

sin    

b cos . a cos

) b a tgb sin(

tga b;

cos . a cos

) b a tgb sin(

tga     

7) Công thức biến đổi tích thành tổng:

2cosacosb = cos(a - b) + cos(a + b) 2sinasinb = cos(a - b) - cos(a + b) 2sinacosb = sin(a - b) + sin(a + b)

Bài tập:

Bài 1: Chứng minh:

a)

 

gx x cot

sin

x sin 2 1

x tg 4



 



 

 

b) tgx

x sin 2 x sin 2

4 x cos 2 x cos 2







 

 



 

 



c) cos³asina - sin³acosa = 4

a 4

sin d) sin2a cos2a

2a tg 1

2a tg 2 2 ) tga 1

(  







e) sin5x2sinx(cos4xcos2x)sinx g) cosxcos2x 2

sinx 2

x sin7 2

x cos3 2

x

cos5  

Bài 2: Rút gọn: A =

a 22 sin 2 a cos 1

a 3 sin a 5 sin a 2 sin







 B =

) x 22 g cot 1 ( x 22 sin

2 2 2 x cos 2 3

2 x sin 2







B. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các dạng phương trình đã biết cách giải tổng quát:

1) PTLG cơ bản:































 



















 



k v u gv cot gu cot

; k

v u tgv tgu

2 k v u v cos cou 2 ;

k v u

2 k v v u

sin u sin

2) PT bậc nhất, bậc hai, ... theo một HSLG

3) Phương trình bậc nhất theo sinu và cosu: asinu + bcosu = c

- Cách giải: Chia hai vế cho a² b² . Đặt:  

 

  sin

b a

; b cos b

a a

2 2 2

2

- Điều kiện có nghiệm: a²b² c²

4) Phương trình đẳng cấp: asin²ubsinucosuc.cos²u0 - Xét cosu = 0

- Trường hợp cosu 0, chia hai vế của phương trình cho cos²u 5) Phương trình theo sinucosuvà sinu.cosu:

- Đặt t = sinucosu, suy ra: sinu.cosu = 2

1 t² 



- Lưu ý: )

u 4 sin(

2 u cos u

sin 





 , u  2

Bài tập:

Bài 1: Giải các phương trình:

a) ) cotgx 0

x 5 (

tg    b) cos(115⁰ - 2x) = -sin3x c) tgx.cotg3x = 1 Bài 2: Giải các phương trình:

a) cos2x + 9cosx + 5 = 0 b) 0

4 x 3 cos 2 x 2

sin²  ²   c)

2 3 tgx 9

4 x 2

sin  

d) 2

x 5 cos 6 3 4

x 2

cos 



 

 





 



 

 e) 0

2 tgx 1 x 2 sin 2 x 2

cos    

Bài 3: Giải các phương trình:

a) sinx 3cosx 2 b) 2x) 3sin( 2x) 1

sin(2    

c) 2 3 3 x 4

4 sin x sin

2 



 



 







 



 

 d) 3sinx 4 0

2 sin x

8 ²    e)

2 x 3 cos x sin 3 x

cos²  

Bài 4: Giải các phương trình

a) 2

x 1 cos 2 x 2 sin x

sin²   ²  b) sin³x2sin²x.cosx3cos³x0 c) 8sin²x.cosx = 3sinx + cosx

Bài 5: Giải các phương trình:

a) 2(sinx + cosx ) + 3sin2x - 2 = 0 b) ) 3 0

2 cosx 2 (sinx 2 2 x

sin    

c) sin³xcos³x1( 22)sinxcosx d) 5(sinxcosx)sin3xcos3x2 2(2sin2x) e) 1 - sin2x = |cosx + sinx|

Một số gợi ý giải phương trình lượng giác:

- Đối với một PTLG tổng quát, trong quá trình giải ta cố gắng dùng các công thức lượng giác thích hợp để đưa về PTLG đã biết cách giải tổng quát ở trên hoặc là tích của các phương trình đó.

- Trong quá trình biến đổi ưu tiên việc biến đổi thành tích A.B = 0 trước, sau đó là ưu tiên đưa về cùng một góc lượng giác.

- Nếu trong phương trình có chứa mẫu thức hoặc tg, cotg thì phải đặt điều kiện trước khi giải.

Tùy theo trường hợp mà điều kiện có thể để nguyên phương trinh lượng giác cơ bản hay giải tường minh ra x.

- Nếu đưa được PT về theo một hàm lượng giác của cùng một góc thì dùng ẩn phụ (với điều kiện tương ứng).

- Nếu trong phương trình chỉ chứa tgx và sin2x, cos2x, tg2x, cotg2x hoặc chỉ chứa toàn bộ các hàm lượng giác của cùng góc x thì đặt t = tgx. (Nếu Pt bậc n thu được giải được)

Lưu y: Các nhận xét trên chỉ mang tính chất tương đối, nhiều phương trình phải dựa vào đặc trưng riêng của phương trình đó mà đưa ra cách giải thích hợp.

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a) cos²2x2(cosxsinx)³3sin2x30 b)

x cos ) 1 tgx 1 ( 3 x cos 2 x sin

3    

c) 4(sin3xcos2x)5(sinx1) d) 5 + cos2x = 2(2 - cosx)(sinx -cosx) e) sinx4sin³xcosx0 f) 2sin³xcos2xcosx 0

g) sin³xcos3xcos³xsin3xsin³4x h) cos2x 3sin2x 3sinxcosx4 = 0 i) cos³x + cos²x + 2 sinx - 2 = 0 j) cos³xsinx3cosxsin²x0

Bài 7: Giải các phương trình sau:

a) sin 2x

x 2 cos x 1

2 g cot

1  ₂



 b) 3

1 x sin x cos 2

x cos x sin 2 x cos

2 







c) 16(1 cos4x)

x 2 cos

x tg x g

cot ^{2 2}



 

d)

x 2 sin x 1 2 sin 2 gx cot tgx

2   

Bài 8: Giải các phương trình sau:

x 3 sin x 3

cos  

     

c) cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 d)

x 2 sin 8 x 1 2 g 2cot 1 x

2 sin 5

x cos x

sin⁴  ⁴  

e) cos x

x 3 sin ) x 2 sin 2 1 ( x

tg ₄

2

4    f) 3 - tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0

g) sin2x

2 x 1 tgx sin

1 x 2 1 cos gx

cot  ² 

 

 (A-2003) h) cos2x + cosx(2tg²x - 1) = 2

i) sin2x

x 2 2 sin 4 tgx gx

cot    (B-2003) j) 3cos⁴x - 8cos⁶x + 2cos²x + 3 = 0 Bài 9: Giải các phương trình sau:

a) 0

2 3 x 4

3 4 sin x cos x sin x

cos^{4 4}  



 



 

 



 



 





 (D - 2005)

b) 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 (B - 2005) c) cos²3xcos2x - cos²x = 0 (A - 2005) Bài 10: Giải các phương trình sau:

a) 2(cos x sin x) sin x cos x^{6 6} 2 2sin x 0

  

 (A-2006) b) x

cot gx sin(1 tgx.tg ) 4

  2  (B-2006)

c) cos3x + cos2x –cosx –1 = 0 (D-2006) d) cos7x + sin8x = cos3x –sin2x

e) 3

1 sin cos

2

2 sin cos

2 





 x x

x

x f)

4 4

2

x x

sin 2-cos 2 = 1+sin2x sin2x 2sin (x+ )π

4

g (sin⁴x + cos⁴x) + sin4x – 2 = 0 h) sin³x + cos³x = 2(sinx + cosx) –1 i) cos (x² ) cos (2x² ) cos (3x² ) 3 cos

2 2 2 6

   

     

Bài 12: Giải các phương trình

a) 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2 b)

5 x 5 sin 3

x 3

sin 

Bài 13: Định m để phương trình: sin 2x m 0 4

x 1 2 cos x cos x

sin⁴  ⁴   ²   có nghiệm

Bài 14:Giải các phương trình sau :

a) (KA-2007) (1sin² x)cosx(1cos² x)sinx1sin2x b) (KB-2007) 2sin²2xsin7x1sinx

c) (KD-2007) 3cos 2

cos2 sin2

2



 



 



 x x x

d) (KA-2008) _



 



 





 

 

 x

x x 4

sin 7 4 2 sin 3

1 sin

1 



e) (KB-2008) sin³x 3cos³xsinxcos²x 3sin²xcosx f) (KD-2008) 2sinx(1cos2x)sin2x12cosx

Bài 15:Giải các phương trình sau (các đề thi dự bị)

2 3

3 2

3   

b) (K.B-2007)

2 cos3 4 2

cos 2 4

2

sin 5x x  x



 

 





 



  

c) (K.B-2007) x x

x x x

x tan cot

sin 2 cos cos

2

sin   

d) (K.A-2007) 2cos²x2 3sinxcosx13(sinx 3cosx)

e) (K.A-2007) x

x x x

x 2cot2

2 sin

1 sin

2 sin 1 2

sin    