[PTMH TOAN 2021] DẠNG-02-CSC-CSN-GV.docx

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Cấp số cộng

+ Nếu

 

un là cấp số cộng với công sai d , ta có công thức truy hồi: u_n^1u_nd _với n^*. + Nếu cấp số cộng có số hạng đầu u¹ và công sai d

thì số hạng tổng quát uⁿ được xác định bởi công thức: u_n  u1



n1



d _với n2.

+ Cho cấp số cộng

 

un với công sai d . Đặt tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng là

1 2

n n

S  u u  ... u . _{Khi đó:}



1

  

1

1

2 2

 

 ⁿ  

n

n u u n n d

S nu .

 Cấp số nhân

+ Nếu

 

un là cấp số nhân với công bội q, ta có công thức truy hồi: uⁿ_¹u qⁿ _với n^*.

+ Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u¹ và công bội q thì số hạng tổng quát uⁿ được xác định bởi công thức: uⁿ u .q^{1 n1} _với n2.

+ Cho cấp số nhân

 

un với công bội q1. Đặt tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

1 2

n n

S  u u  ... u . _{Khi đó:}

 

1 1 1

n n

u q

S .

q

 



II-PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Vận dụng các công thức của cấp số cộng và cấp số nhân.

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

BÀI TẬP MẪU

Câu 1: (ĐỀ MINH HỌA BDG 2020-2021) Cho cấp số cộng

 

un có u¹ 1 và u² 3. Giá trị của u³ bằng

A. 6 B. 9 C. 4 D. 5.

Phân tích hướng dẫn giải 1. DẠNG TOÁN: Đây là dạng toán tìm giá trị của uⁿ của cấp số cộng 2. HƯỚNG GIẢI:

B1: Sử dụng công thức uⁿ_¹uⁿd _{để tìm d}

B2: Dùng công thức u_n  u1



n1



d _với n2 _{để tìm} ^u3_. Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Lời giải Chọn D

Ta có: u²    u¹ d d u²   u¹ 3 1 2. Mà u³ u¹ 2d  1 2 2 5.  .

Bài tập tương tự và phát triển:

 Mức độ 1

DẠNG TOÁN 2: CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN

Câu 1. Cho một cấp số cộng có u¹ 3;u⁶ 27. Tìm ^d?

A. ^{d 5}. B. ^d7. C. ^d6. D. ^{d 8}. Lời giải

Chọn C

Ta có: u⁶ 27 u¹ 5d 27  3 5d 27 d 6. Câu 2. Cho cấp số cộng

 

un

có: u¹  0,3;u⁸ 8. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1, 4 . B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.

C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3, 6 . D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7 . Lời giải

Chọn D

Ta có: ^{8 1}

8 7 8 0,3 7 8 11

u   u d    d   d 10 Số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

un

là: ^{0,3 11}



¹



n 10

u   n

7 6,9

u  .

Câu 3. Cho dãy số

 

un

có: ¹

1 1

4; 4

u  d  

. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ⁵ 5 S 4

. B. ⁵

4 S 5

. C. ⁵

5 S  4

. D. ⁵

4. S  5 Lời giải.

Chọn C

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên:

   

1 1 *

2 1

2 2 ,

n n

n u n d n u u

S        n

Tính được: ⁵ 5 S  4

.

Câu 4 . Xác định x để 3 số : 1x x; ;1² x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

A. Không có giá trị nào của x. B. x 2_.

C.x 1_{. D.} x0_.

Lời giải Chọn C

Ba số : 1x x; ;1² x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi^{x2 }



^{1 x}



^{  1 x x2}

2x2 2 x 1

     suy ra chọn đáp án C.

Câu 5 . Một cấp số cộng

 

^u_{n có} u₁₃ 8 và d  3. Tìm số hạng thứ ba của cấp số cộng

 

^u_{n .}

A. 50 . B. 28 . C. 38 . D. ⁴⁴

Lời giải Chọn C

Ta có: u¹³  u¹ 12d   8 u1 12. 3

 

 u₁ 44u₃  u₁ 2d 44 6 38  . Câu 6 . Cho cấp số cộng

 

un , biết u² 3 và u⁴ 7. Giá trị của u¹⁵ bằng

A. 27 . B. 31. C. 35 . D. 29 .

Lời giải Chọn D

Từ giả thiết u² 3 và u⁴ 7 suy ra ta có hệ phương trình:

1 1

3

3 7

u d

u d

  

  



1 1

2 u d

 

   . Vậy u¹⁵ u¹ 14d 29.

Câu 7 . Cấp số cộng

 

un

có số hạng đầu u¹3, công sai ^{d 5}, số hạng thứ tư là

A. ^{u4 23} B. u⁴ 18 C. u⁴ 8 D. u⁴ 14 Lời giải

Chọn B

4 1 3

u u  d  3 5.318.

Câu 8 . Cho cấp số nhân

 

un

có số hạng đầu u¹ 3 và công bội 2 q 3

. Số hạng thứ năm của

 

un

là A.

27

16. B.

16

27. C.

27

16

. D.

16

27 . Lời giải

Chọn D

Ta có ^{un u q1. n1}

4 5

3. 2 u  3

     

16

 27 . Câu 9 . Cho cấp số nhân

 

un

với ^{1 7}

1; 32 u  2 u  

. Tìm ^q? A. q=±1

2 _{. B.}

q=±2

_{. C.}

q=±4

_{. D.}

q=±1

_.

Lời giải Chọn B

Áp dụng công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có

1 6 6

1 7 1

. 64 2

2

n n

u u q u u q q q

q

  

         .

Câu 10 . Cho cấp số nhân:

1 1

; ; 5 a 125

 

. Giá trị của a là:

A.

1 . a  5

B.

1 . a 25

C.

1. a 5

D. a 5.

Lời giải Chọn B

Ta có:

2 1 1 1 1

5 . 125 625 25

a          a .

 Mức độ 2

Câu 1. Xác định x để ba số ^{2x1; ; 2x x1} lập thành một cấp số nhân:

A.

1. x 3

B. x  3.

C.

1 . x  3

D. Không có giá trị nào của x. Lời giải

Chọn C

Ba số: ^{2x1; ; 2x x1} theo thứ tự lập thành cấp số nhân ^



^{2x1 2}

 

^{x 1}



^x2

2 2

4x 1 x

   3x² 1

1 . x 3

  

Câu 2. Cho một cấp số nhân có các số hạng đều không âm thỏa mãn u² 6, u⁴ 24. Tính tổng của 12 số hạng đầu tiên của cấp số nhân đó.

A. ^{3.212 3} B. 2¹²1 C. ^3.2121 D. ^3.212 Lời giải

Chọn A

Gọi công bội của CSN bằng ^q. Suy ra ^{u4 u q2. 2  q 2}. Do CSN có các số hạng không âm nên ^q2.

Ta có

12

12 1

.1 1 S u q

q

 



1 212

3. 1 2

 

 ^{3 2}



^121



_.

Câu 3. Tính tổng vô hạn sau: ²

1 1 1

1 ... ...

2 2 2ⁿ

S     

A. 2ⁿ1. B.

1 1

1 2. 2 1 1

2

n 

 . C. ⁴. D. ².

Lời giải Chọn D

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với u¹ 1 ; 1 q 2

.

Khi đó :

1

1 S u

 q



1 1 1

2



 2.

Câu 4. Cho cấp số cộng

 

un _có u₁ 1 và công sai d 2. Tính tổng u¹u²  u³ ... u¹⁰ bằng.

A. ^200. B. ^100. C. ²¹. D. ^19.

Lời giải Chọn B

Cấp số cộng

 

^u_n có số hạng đầu u¹ và công sai d thì tổng ⁿ số hạng đầu của cấp số cộng là:

 

1 2 3 1

. 1 .

... . .

n n 2

n n d

S u u u u n u 

       Ta có

 

10 1 2 3 10

10. 10 1 .2

... 10.1 100.

S u u u u 2

       

Câu 5. Cho cấp số cộng

 

un ⁽n^,n^1),biết u³ 4, u¹¹16.Tính u⁷.

A. u⁷ 8. B. u⁷ 10. C. u⁷ 12. D. u⁷ 20. Lời giải

Chọn B

Gọi d là công sai của cấp số cộng.

Ta có:

3 1 1

11 1

4 2 4 1

16 10 16 3

2

u u d u

u u d d

 

  

  

      

  

. Suy ra:

7 1

6 1 6.3 10.

u  u d   2 

Câu 6. Cho cấp số công

 

^{1 5}

4

6 5 28

: 14

n

u u

u S

 

 

 . Chọn đáp án đúng

A.

1 6

2 u d

 

  . B.

1 2

6 u d

 

  . C.

1 3

8 u d

  

  . D.

1 8

3 u d

 

  

 .

Lời giải Chọn D

Ta có

 



^{1 1}



1 5 1 1

1

4 1

6 5 4 28

6 5 28 11 20 28 8

2 3 7

14 2 2 3 14 3

u u d

u u u d u

u d

S u d d

  

     

   

          

  .

Câu 7. Cho cấp số cộng

 

un

có u¹ 123, u³u¹⁵ 84. Số hạng u¹⁷ bằng

A. 235 . B. ¹¹. C. 9. D. 81.

Lời giải Chọn B

Giả sử cấp số cộng

 

un

có công sai d.

Theo giả thiết ta có: u³u¹⁵ 84  u₁ 2d u ₁ 14d 84  12d84   d 7. Vậy u¹⁷  u¹ 16d ^{123 16. 7}

 

^ _11.

Câu 8. Cho cấp số nhân

 

^u_n có hai số hạng đầu là u¹ 1,u² 2021. Tính u²⁰²¹. A. ^{u202120202021}. B. ^{u202120212021}.

C. ^{u202120212020}. D. ^{2021 2020}

1 u 2021

. Lời giải

Chọn C Với

 

un

là cấp số nhân với công bội ^q, ta có: u² u q¹. ²₁

2021 2021 1

q u

  u   . Khi đó: ^{u2021u q1. 202020212020}.

Vậy ^{u202120212020}.

Câu 9. Ba số  3 ; ; 3 3x  theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Tìm công bội ^q của cấp số nhân đó.

A. q 3. B. q  3. C. q3. D. q  3. Lời giải

Chọn D

Do  3 ; ; 3 3x  là một cấp số nhân x²    9 x 3.

Vậy công bội của cấp số nhân là ^{3 3} q x  

 .

Câu 10. Cho cấp số cộng

 

un

có u¹ 2019, công sai ^{d 5}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u_n 2019 5 n. B. un  ^{5 2019}



n¹



. C. un ^{2019 5}



n¹



. D. u_n  5 2019n.

Lời giải Chọn C

Ta có: u_n  u1



n1



d2019 5



n1



. Câu 11. Cho cấp số cộng

 

un

có u¹2021, công sai ^{d 5}. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. u_n 2021 5 n. B. u_n 2021n2016 . C. u_n 2016 5 n. D. u_n  5 2021n.

Lời giải Chọn C

Ta có: u_n  u1



n1



d 2021 5



n 1



2016 5 . n .

 Mức độ 3

Câu 1. Cho một cấp số cộng ( )uⁿ có u¹1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

1 2 2 3 49 50

1 1 1

...

S u u u u  u u

A. S 123. B.

4 S 23

. C.

9 S 246

. D.

49 S 246

. Lời giải

Chọn D

Ta có S¹⁰⁰24850



1



24850

2 ⁿ

n u u

  

100 496

u  . Vậy u¹⁰⁰  u¹ 99d ^{ d u100}₉₉^u1  d 5.

1 2 2 3 49 50

1 1 1

...

S u u u u  u u ^{1 1 1} _... ¹ 1.6 6.11 11.16 241.246

    

.

5 5 5 5

5 ...

1.6 6.11 11.16 241.246

 S     1 1 1 1 1 1

1 6 6 11 ... 241 246

      

1 1

1 246

  245

 246 49 S 246

  .

Câu 2. Trong sân vận động có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước ⁴ ghế, hỏi sân vận động đó có tất cả bao nhiêu ghế?

A. 2250. B. 1740. C. 4380. D. 2190 .

Lời giải Chọn D

Gọi u u¹, ,...² u³⁰ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai,… và dãy ghế số ba mươi. Ta có công thức truy hồi ta có u_n u_n14



n2,3,...,30



.

Ký hiệu:S³⁰    u¹ u² ... u³⁰, theo công thức tổng các số hạng của một cấp số cộng, ta được:

 

   

30 1

30 2 30 1 4 15 2.15 29.4 2190

S  2 u     

. Câu 3. Cho hai cấp số cộng

 

x_n : 4, 7 , 10 ,… và

 

yn

: ¹, 6 , ¹¹,…. Hỏi trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số có bao nhiêu số hạng chung?

A. 404 . B. 673 . C. 403. D. 672 .

Lời giải Chọn C

Số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

xn

là: xn   ⁴



n ^{1 .3}



3n1. Số hạng tổng quát của cấp số cộng

 

yn

là: ym  ¹



m^{1 .5}



5m4.

Giả sử k là ¹ số hạng chung của hai cấp số cộng trong 2018 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số.

Vì k là ¹ số hạng của cấp số cộng

 

xn nên k 3 1i với 1 i 2018 và ^i^*. Vì k là ¹ số hạng của cấp số cộng

 

yn

nên ^k5j4 với ^{1 j 2018} và j^*.

Do đó ^{3 1 5i  j4 3i 5j5} i5 i



5;10;15;...;2015



 có 403 số hạng chung Câu 4. Người ta trồng 3003 cây theo dạng một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất trồng ¹ cây, hàng

thứ hai trồng ² cây, hàng thứ ba trồng 3 cây, …, cứ tiếp tục trồng như thế cho đến khi hết số cây. Số hàng cây được trồng là

A. 77 . B. 79 . C. 76 . D. 78 .

Lời giải Chọn A

Gọi số cây ở hàng thứ n là uⁿ.

Ta có: u¹ 1, u² 2, u³ 3, … và S u    ¹ u² u³ ... u_n 3003. Nhận xét dãy số

 

un là cấp số cộng có u¹ 1, công sai d 1. Khi đó

 

2 1 1

2

n u n d

S     

3003.

Suy ra

 

2.1 1 1

2 3003

n  n   ^{n n}



^{ 1}



⁶⁰⁰⁶_n²_{ n 6006 0} ⁷⁷78 n n

 

     n 77 (vì n ).

Vậy số hàng cây được trồng là 77 .

Câu 5. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

A.

1 5

3;1;3. B.

1 7

4;1;4. C.

3 5

4;1;4. D.

1 3

2;1;2. Lời giải

Chọn C

Gọi d là công sai của cấp số cộng và các cạnh có độ dài lần lượt là a d , a, a d



^{0 d a}



Vì tam giác có chu vi bằng 3 nên 3a3  a 1.

Vì tam giác vuông nên theo định lý Pytago ta có



^1d

 

^{2  1 d}



^212 _{4d 1} ^{ d 1}_4.

Suy ra ba cạnh của tam giác có độ dài là 3 5 4;1;4.

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại^A có ba cạnh ^{CA AB BC, ,} lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là ^q. Tìm ^q?

A.

5 1 q 2

. B.

2 2 5 q 2

 . C.

1 5

q 2

. D.

2 5 2

q 2 

 .

Lời giải Chọn B

Vì tam giác ABC vuông tại^A nên ^{BC2  AB2AC2}. Theo giả thiết ta có ba cạnh , ,

CA AB BC lần lượt tạo thành một cấp số nhân có công bội là ^q nên BC q AC ². và .

AB q AC .

Do đó ^{BC2  AB2AC2} q AC⁴. ² q AC². ²AC²q⁴q² 1 0

2

2

1 5

2

1 5

2 q

q

 

 



 

  . Vì ^q0 nên

2 1 5

q 2

 2 2 5

q 2

  .

Câu 7. Bạn A thả quả bóng cao su từ độ cao 10 m theo phương thẳng đứng. Mỗi khi chạm đất nó lại nảy lên theo phương thẳng đứng có độ cao bằng

3

4 độ cao trước đó. Tính tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn.

A. ⁴⁰m. B. ⁷⁰m. C. 50 m. D. ⁸⁰m.

Lời giải Chọn B

Các quãng đường khi bóng đi xuống tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn có u¹ 10và 3 q4

.

Tổng các quãng đường khi bóng đi xuống là

1

1 S u

 q



10 1 3

4



 40 . Tổng quãng đường bóng đi được đến khi bóng dừng hẳn 2S10 70 .

Câu 8. Cho ba số x; 5 ; ^2y lập thành cấp số cộng và ba số x; ⁴; ^2y lập thành cấp số nhân thì x2y bằng

A. x2y 8

. B. x2y 9

. C. x2y 6

. D. x2y 10 . Lời giải

Chọn C

Ta có:

 

 

²

2 2.5

. 2 4

x y

x y

 



 

 

2 10

. 2 16 x y x y

 

  

8

2 2

x y

 

   hoặc 2

2 8

x y

 

 

 .

Từ đó, ta có x2y   8 2 6 .

Câu 9. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình ^{x3mx26x 8 0} có ba nghiệm thực lập thành một cấp số nhân?

A. m1. B. m 3. C. m3. D. m 4.

Lời giải Chọn B

Ta chứng minh nếu x¹, x², x³ là nghiệm của phương trình ^{x3mx26x 8 0} thì

1 2 3

1 2 3 8

x x x m

x x x

  

 

 .

Thật vậy x³mx²6x 8



x x 1

 

x x 2

 

x x 3



   

3 2 3 2

1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3

6 8

x mx x x x x x x x x x x x x x x x x

           

1 2 3

1 2 3 8

x x x m

x x x

  

   .

Điều kiện cần: Phương trình ^{x3mx26x 8 0}có ba nghiệm thực x¹x² x³ lập thành một cấp số nhân ^{x x1. 3 x22  x x x1. .2 3 x23 8 x23} x² 2. Vậy phương trình ^{x3mx26x 8 0}phải có nghiệm bằng ².

Thay x2 vào phương trình ta có m 3.

Điều kiện đủ: Thử lại với m 3 ta có ^{x33x26x 8 0}

4 2

1 x x x

  

 

  

 (thỏa yêu cầu bài toán).

Câu 10. Để tiết kiệm năng lượng, một công ty điện lực đề xuất bán điện sinh hoạt cho dân với theo hình thức lũy tiến (bậc thang) như sau: Mỗi bậc gồm 10 số; bậc ¹ từ số thứ ¹ đến số thứ 10 , bậc ² từ số thứ ¹¹ đến số 20 , bậc 3 từ số thứ ²¹ đến số thứ 30 ,…. Bậc ¹ có giá là 800 đồng/¹ số, giá của mỗi số ở bậc thứ n1 tăng so với giá của mỗi số ở bậc thứ n là ^2,5%. Gia đình ông A sử dụng hết 347 số trong tháng ¹, hỏi tháng ¹ ông A phải đóngbao nhiêu tiền? (đơn vị là đồng, kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm).

A. ^{x415481,84}. B. ^{x402832, 28}. C. ^{x402903, 08}. D. ^{x433868,89}. Lời giải

Chọn D

Gọi u¹ là số tiền phải trả cho 10 số điện đầu tiên. u¹=10. 800= 8000 (đồng) u2 là số tiền phải trả cho các số điện từ ¹¹ đến 20 : u² u¹(1 0, 025) u34 là số tiền phải trả cho các số điện từ 331 đến 340 : ^{u34 u1(1 0,025) 33}

Số tiền phải trả cho 340 số điện đầu tiên là:

 

 

34

1 1

1 1 0,025

. 420903,08

1 1 0, 025 S u  

 

 

Số tiền phỉ trả cho các số điện từ 341 đến 347 là: S² 7.800(1 0, 025) ³⁴ 12965,80 Vậy tháng ¹ gia đình ông A phải trả số tiền là: S S¹S² 433868,89 (đồng).

 Mức độ 4

Câu 1. Cho hình vuông

 

C1

có cạnh bằng a. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông

 

^C_{2 (Hình vẽ).}

Từ hình vuông

 

C2

lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông C¹,C², C³,., Cn... Gọi Sⁱ là diện tích của hình vuông C i_i







1, 2,3,...

 

. Đặt T S¹S²S³...S_n.... Biết

32 T  3

, tính a?

A. ². B.

5

2. C. 2 . D. 2 2 .

Lời giải Chọn A

Cạnh của hình vuông

 

C2

là:

2 2

2

3 1 10

4 4 4

a   a  a  a

    . Do đó diện tích

2 2

5

S 8a 5 ₁ 8S

 .

Cạnh của hình vuông

 

C3 là:

2 2 2

3 2 2 2

10

3 1 10

4 4 4 4

a   a   a  a  a  . Do đó diện tích

2 2

3 2

5 5

8 8

S    a  S

  . Lý luận tương tự ta có các S¹,S², S³,... ...S_n . tạo thành một dãy cấp số

nhân lùi vô hạn có u¹S¹ và công bội 5 q8

.

1

1 T S

 q

 8 2

3

 a

. Với

32 T  3

ta có ^{a2   4 a 2}.

Câu 2. Hai siêu máy tính ^A và ^B tham gia thi đấu trong trận chung kết giải cờ vua. Máy nào thắng một ván được cộng một điểm và không có ván hòa. Xác suất thắng một ván của Máy ^A là 0,6 và

của Máy ^B là 0, 4 . Máy nào hơn máy kia hai điểm thì thắng trận đấu. Vậy xác suất để Máy ^A thắng trong trận đấu là bao nhiêu, nếu số ván đấu là vô cùng lớn ?

A.

9

13 . B.

4

13 . C.

7

12 . D.

3 4 . Lời giải

Chọn A

Gọi ⁿ là số ván máy ^B thắng, khi đó số ván máy ^A thắng là n2, khi đó số ván đấu là 2n2

Gọi uⁿ là số khả năng xảy ra trong trường hợp trận đấu có 2n2 ván.

- Nếu n0 thì có một khả năng là aa khi đó u⁰ 1

- Nếu n1 thì có hai khả năng là abaa hoặc baaa khi đó u¹2.

- Giả sử số ván đấu là 2k2 khi đó số khả năng là u^k với k0 và ta luôn có máy A phải thắng hai ván cuối, nghĩa là các trường hợp xảy ra phải là ...aa.

Với mỗi khả năng thì luôn cảm sinh ra hai khả năng để số ván đấu là ^{2(k 1) 2} đó là ...aaba hoặc ...baaa, do đó u_k¹ 2u_k, nghĩa là ( )uⁿ lập thành một cấp số nhân với công bội bằng 2, nên ^{un 2n}

Do đó xác xuất để máy^A thắng là

0 2 1 3 2 2 4 2

2 .0,6 2 .0, 4.0,6 2 .0, 4 .0,6 ... 2 .0, 4 .0,6^{n n n} ...

P     ^ 

Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu bằng ^{P1 2 .0, 60 2 0,36}, công bội

là

1 1 3

2

2 .0, 4 .0, 6 12 2 .0, 4 .0,6 25

n n n

n n n

q

  

  

Do đó

1 0,36 9

1 1 12 13

25 P P

 q  

 

Câu 3. Cho dãy số

 

an xác định bởi a¹ 5, a_n¹q a. _n3 với mọi n1, trong đó ^q là hằng số, ^q0, 1

q . Biết công thức số hạng tổng quát của dãy số viết được dưới dạng

1 1 1

. 1

n n n

a q q

 ^   q^

 

 . Tính ²?

A. 13 . B. 9 . C. ¹¹. D. 16 .

Lời giải Chọn C

Cách 1. Ta có: an_1 k q a



n k



_{ k kq3} 3 k 1

  q

 Đặt vⁿ aⁿk v_n1q v. _n q v². _n1 ... q vⁿ. ₁

Khi đó ¹ 1 ¹



1



¹

. . . 5 3

1

n n n

vn q v q a k q

q

    

       

Vậy

1

1 3 1 3 3 1 1

. 5 . 5 5. 3.

1 1 1 1

n

n n n

n n

a v k q k q q q

q q q q

        

                .

Do đó:  ^5; ³  2  5 2.3 11 .

Cách 2. Theo giả thiết ta có a¹5,a² 5q3. Áp dụng công thức tổng quát, ta được

1 1 1 1 1

2 1 2 1

2

. 1

1 . 1

1 a q q

q a q q

q q

 

 



 

 

 

   



   







 

 , suy ra

5

5q 3 q



 



 

 

 , hay

5 3





 

  2 5 2.3 11

 

    

Câu 4. Ông A vay ngân hàng 300 triệu đồng để mua nhà theo phương thức trả góp với lãi suất ^0,500 mỗi tháng. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng số tiền cố định ^5,6 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả. Hỏi sau khoảng bao nhiêu tháng ông A sẽ trả hết số tiền đã vay?

A. 60 tháng. B. 36 tháng. C. 64 tháng. D. 63 tháng

Lời giải Chọn D

Sau tháng thứ nhất số tiền còn nợ (đơn vị triệu đồng) là ¹

300 1 0,5 5,6 100

 

    T

. Sau tháng thứ hai số tiền còn nợ là

2

0,5 0,5

300 1 5, 6 1 5,6

100 100

T       

0,5 2 0,5

300 1 5, 6 1 5, 6

100 100

   

        .

Ký hiệu 1 0,5

 100

t thì số tiền còn lại ở tháng thứ n là:

1 2

300 ⁿ 5,6 ^{n n} ... 1 Tn  t  t ^ t ^   

300 5,6 1 1

n tn

t t

  

 300tⁿ1120tⁿ1120  820tⁿ1120.

Như vậy để trả hết nợ thì số tháng là ^11000,5

log 1120 62,5 820

  

n

.

Câu 5. Cho bốn số , a b, , c d theo thứ tự đó tạo thành cấp số nhân với công bội khác ¹. Biết tổng ba số hạng đầu bằng

148

9 , đồng thời theo thứ tự đó chúng lần lượt là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng. Tính giá trị biểu thức T    a b c d .

A.

101 T  27

. B.

100 T  27

. C.

100 T   27

. D.

101 T   27

. Lời giải

Chọn C

Ta có

 

 

 

2 2

1 2

148 3 9

ac b bd c a b c

 



 

   

 .

Và cấp số cộng có u¹ a , u⁴ b, u⁸ c. Gọi x là công sai của cấp số cộng. Vì cấp số nhân có công bội khác ¹ nên ^x0.

Ta có :

3 7 b a x c a x

  

  



 

⁴ _.

Từ

 

¹ _và

 

⁴ ta được : ^{a a}



^7x

 

^{ a3x}



² _ax9x² _0.

Do ^x0 nên ^a9x.

Từ

 

³ _và

 

⁴ _{, suy ra} ^{3a10x148}_{9 .}

Do đó : 4 4 9 a x

 

 



16 3 64

9 256

27 b c d

 



 

 

 .

Vậy

100 T a b c d 27

    

.

Câu 6. Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác ABC được gọi là tam giác trung bình của tam giác ABC.

Ta xây dựng dãy các tam giác A B C A B C A B C^{1 1 1}, ^{2 2 2}, ^{3 3 3},... sao cho A B C^{1 1 1} là một tam giác đều cạnh bằng 3 và với mỗi số nguyên dương n2, tam giác A B C^{n n n} là tam giác trung bình của tam giác A B Cⁿ_^{1 n}_^{1 n}_¹. Với mỗi số nguyên dương n, kí hiệu Sⁿ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác A B C^{n n n}. Tính tổng SS¹S² ... S_n...?

A.

15 . S _ 4

B. S 4 . C.

9 . S _ 2

D. S 5 . Lời giải

Chọn B

Vì dãy các tam giác A B C A B C A B C^{1 1 1}, ^{2 2 2}, ^{3 3 3},... là các tam giác đều nên bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác bằng cạnh

3

 3 .

Với ^n1 thì tam giác đều A B C^{1 1 1} có cạnh bằng ³ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C^{1 1 1}

có bán kính ¹ 3. 3 R  3

2 1

3. 3 S  3 

    .

Với ^n2 thì tam giác đều A B C^{2 2 2} có cạnh bằng 3

2 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

2 2 2

A B C có bán kính ²

1 3

3. .2 3 R 

2 2

1 3

3. .2 3

S  

    .

Với ^n3 thì tam giác đều A B C^{3 3 3} có cạnh bằng 3

4 nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

2 2 2

A B C có bán kính ³

1 3

3. .4 3 R 

2 3

1 3

3. .4 3

S  

   

  . ...

Như vậy tam giác đều A B C^{n n n} có cạnh bằng 1 1

3. 2

 n

   nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

n n n

A B C có bán kính

1 1 3

3. .

2 3

n

Rn

  

   

1 2

1 3

3. .

2 3

n

Sn 

    

       .

Khi đó ta được dãy S¹, S², ... ...Sⁿ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u¹S¹ 3 và công bội

1 q4

.

Do đó tổng SS¹S² ... S_n... ¹ 4 1

u

q 

 

 .

Câu 7. Cho cấp số cộng

 

un

có các số hạng đều dương, số hạng đầu u¹ 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên bằng 14950 . Tính giá trị của tổng

2 1 1 2 3 2 2 3 2018 2017 2017 2018

1 1 1

...

S u u u u u u u u  u u u u

   .

A.

1 1

3 1 6052

  

 

 . B.

1 1

 6052

. C. 2018 . D. ¹.

Lời giải Chọn A

Gọi d là công sai của cấp số cộng. Khi đó:

100 1

100.99

100 100 4950 14950 3

S  u  2 d   d  d

. Do đó u²⁰¹⁸ u¹ 2017d 6052.

Ta có: ^{uk1 uk 1u uk k1  uk. uk1.}



^{1uk  uk1}



^{ 1d. uukk1.uku1k  1d.} ^{1uk  u1k1}. Do đó:

1 2 2 3 2017 2018 1 2018

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

. . ... . .

S d u u d u u d u u d u u

     

 

             

       

1 1

3 1 6052

 

   

 .

Câu 8. Cho hai cấp số cộng

 

an

: a¹4; a² 7;.;a¹⁰⁰ và

 

bn

: b¹1; b² 6;.;b¹⁰⁰. Hỏi có bao nhiêu số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên.

A. 32 . B. 20 . C. 33 . D. 53 .

Lời giải

Chọn B

Cấp số cộng

 

an

: a¹4; a² 7;.;a¹⁰⁰ có số hạng tổng quát: an   ⁴



n ^{1 3 3}



 n¹ . Cấp số cộng

 

bn : b¹1; b² 6;.;b¹⁰⁰ có số hạng tổng quát:bm ¹



m^{1 5 5}



 m⁴. Các số có mặt đồng thời trong cả hai dãy số trên thỏa mãn hệ:

 

3 5 1

3 1 5 4

1 100 1 100

1 100 1 100

n m

n m

n n

m m

 

   

 

     

 

     

  .

Vì ^3n5



^m1



_{nên n5 và m1 3 với m 1 0}

Ta lại có ^{n1003n3005}



^{m 1}



^{300 m 61}_.

Có ^{m1 3} ^{m 3t 1}, t *. Vì 1 m 61   1 3 1 61t   0 t 20. Vì t^* t



1; 2;3;...; 20



.

Vậy có 20 số hạng có mặt đồng thời ở hai dãy số trên.

Câu 9. Do ảnh hưởng của dịch Covid 19 nên doanh thu 6 tháng đầu năm của công ty A không đạt kế hoạch. Cụ thể, doanh thu 6 tháng đầu năm đạt 20 tỷ đồng, trong đó tháng 6 đạt 6 tỷ đồng.

Để đảm bảo doanh thu cuối năm đạt được kế hoạch năm, công ty đưa ra chỉ tiêu: kể từ tháng 7 mỗi tháng phải tăng doanh thu so với tháng kề trước 10% . Hỏi theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là bao nhiêu tỷ đồng (làm tròn đến một chữ số thập phân)?

A. 56,9 . B. 70,9 . C. 66,3 . D. 80,3 .

Lời giải Chọn B

Ta có:

Doanh thu của công ty trong tháng 7 : T7 6. 1 10%







; Doanh thu của công ty trong tháng 8 : T8 6. 1 10%







²;

…

Doanh thu của công ty trong tháng 12 : T12 6. 1 10%







⁶;

Do đó, theo chỉ tiêu đề ra thì doanh thu cả năm của công ty A đạt được là

   

²

 

⁶

  

^{1 10%}



^{6 1}

20 6. 1 10% 6. 1 10% .... 6. 1 10% 20 6. 1 10% . 70,9

T 10% 

           

. Câu 10. Một kỹ sư mới ra trường làm việc với mức lương khởi điểm là 5.000.000 đồng/tháng. Cứ sau

9 tháng làm việc, mức lương của kỹ sư đó lại được tăng thêm 10% . Hỏi sau 4 năm làm việc tổng số tiền lương kỹ sư đó nhận được là bao nhiêu?

A. 298.887.150 đồng. B. 296.691.000 đồng. C. 291.229.500 đồng. D. 301.302.915 đồng.

Lời giải Chọn A

4 năm tương ứng với 48 9.5 3  tháng, ta chia thành 5 khoảng 9 tháng và 3 tháng cuối như sau:

Tổng số tiền lương của 9 tháng đầu là: T¹ 9.1.5000000 đồng.

Tổng số tiền lương của 9 tháng thứ 2 là: T2 9. 1,1 .5000000

 

đồng.

Tổng số tiền lương của 9 tháng thứ 3 là: T3 9. 1,1 .5000000

 

² đồng.

Tổng số tiền lương của 9 tháng thứ 4 là: T4 9. 1,1 .5000000

 

³

đồng.

Tổng số tiền lương của 9 tháng thứ 5 là: T5 9. 1,1 .5000000

 

⁴ đồng.

Tổng số tiền lương của 3 tháng cuối là: T6 3. 1,1 .5000000

 

⁵ đồng.

Sau 4 năm tổng số tiền nhận được là:

1 2 3 4 5 6

T T T     T T T T

 

^{1,1 5 1}

 

⁵

45000000. 15000000. 1,1 298.887.150 1,1 1

   

 đồng.