Các bài toán phương trình nghiệm nguyên hay và khó ôn thi vào chuyên toán năm 2023

https://thuvientoan.net/

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN ÔN THI VÀO CHUYÊN TOÁN

Bài toán 1.

Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn x²6xy13y² 100.

Bài toán 2.

Tìm các số nguyên x y, thỏa mãn y³x³x² x 1.

Bài toán 3.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{p n;}



^{trong đó p} là số nguyên tố thỏa mãn p p



1



² 1 3 .ⁿ Bài toán 4.

Tìm các số nguyên x y z, , thỏa mãn x²⁰¹³y²⁰¹⁶z²⁰¹⁹2018²⁰²¹. Bài toán 5.

Tìm các cặp số tự nhiên



x y;



thỏa mãn



2019x2020



²y³1.

Bài toán 6.

Tìm các bộ ba số tự nhiên



^{x y z; ;}



^{thỏa mãn}



^3x^4y



^4x^5y



^{7 .z} Bài toán 7.

Tìm các bộ bốn số tự nhiên



^{x y z p; ; ;}



^{trong đó p} là số nguyên tố thỏa mãn



^2x3y



^3x2y



^{ pz.}

Bài toán 8.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{p n;}



^{trong đó p} là số nguyên tố thỏa mãn n³16p1.

Bài toán 9.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{x y p; ;}



^{trong đó p} là số nguyên tố thỏa mãn

2

2 2

1 2 4

.

1 2 4

p x x

p y y

   

   



Bài toán 10.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{x y;}



^{thỏa mãn 3x}^5y⁷ và biểu thức x  y đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 11.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{p n;}



^{trong đó} p là số nguyên tố thỏa mãn p8ⁿ47.

Bài toán 12.

Tìm các cặp số tự nhiên



^{x y;}



^{thỏa mãn y39x4170x2289.}

CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN HAY VÀ KHÓ

https://thuvientoan.net/

GỢI Ý – HƯỚNG DẪN GIẢI Bài toán 1.

Đưa phương trình về dạng:



^x3y



^{24 25}



^y2



^.

Bài toán 2.

Dùng nguyên lí kẹp: x³y³ 



x 2 .



³

Bài toán 3.

Chứng minh n chẵn sau đó đưa phương trình về dạng: ^{p p}



^1



^2



^{3k1 3}



^{k1 .}



Bài toán 4.

Xét mod 9.

Bài toán 5.

Xét mod 9.

Bài toán 6.

Chứng minh: 1 ^{4 5} 2.

3 4

x y

x y

  

 Bài toán 7.

Ta có: ^{2 3} .

3 2

a b

x y p

x y p

  

  



Bài toán 8.

Ta có:



^n1

 

^{n2  n 1}



^{16 .p}

Bài toán 9.

Trừ các phương trình vế theo vế.

Bài toán 10.

Đưa về ³



^x ¹



^{5 2}



^y



  ^{x 1 5 .a} Bài toán 11.

Xét mod 5 và mod 13.

Bài toán 12.

Phân tích vế phải sau đó xét mod 8. Sau đó dùng bổ đề về số nguyên tố có dạng 4p3.

---Chúc các bạn học tốt! ---