Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 21. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Chuyên đề 15. HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ A. Kiến thức cần nhớ

Trong quá trình giải hệ phương trình chứa tham số, để thỏa mãn điều kiện nào đó về nghiệm số của hệ phương trình, chúng ta cần nhớ một số kiến thức sau:

1. Phương trình ax b 0 (1)

 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất  a 0.

 Phương trình (1) vô nghiệm  a 0, b0.

 Phương trình (1) vô số nghiệm  a , b0.

2. Đối với hệ phương trình: ax by c a x b y c

 

     



Với điều kiện a b c  , , khác 0. Cần lưu ý đến tỉ số a b, a b và c

c để rút ra kết luận về số nghiệm của hệ phương trình. Cụ thể là:

 Nếu a b a b

  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 Nếu a b c a b c

   thì hệ phương trình có vô nghiệm.

 Nếu a b c a b c

   thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình hai ẩn x và y sau đây theo tham số m.

2 1 (1)

2 3 (2) mx y m

x my

  

  



(Thi học sinh giỏi toán 9, TP Hồ Chí Minh năm học 1991 – 1992. Vòng 1) Giải

Tìm cách giải. Giải và biện luận hệ phương trình là xét tất cả các trường hợp theo giá trị của tham số m và kết quả bài toán ứng với giá trị đó. Bài toán thường có nhiều cách giải. Trong bài này nên dùng phương pháp thế đưa về phương trình một ẩn. Chẳng hạn từ phương trình (1) biểu thị y theo x, thế vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn (ẩn x), số nghiệm của hệ phương trình phụ thuộc vào phương trình này.

Trình bày lời giải.

2 2

1 2 3

2 1 2

2 3 2 1

2 3

2

m x m m

mx m x

mx y m y

x my mx m

x my y

   

  

   

   

  

       

     





²



²

2 2 4 6

4 6

1 1 (*)

2 2

m x m m

x m x m m

mx m mx m

y y

     

    

 

        

 Nếu m2

Ta có

0. 0

(*) 2 3 2 3

2 2

x x R

x x

y y

 

 

 

     

 

 

 

 Nếu m 2

Ta có

0. 4

(*) 2 1 2 1

2 2

x x

x x

y y

 

 

 

   

 

 

 

 Nếu m 2

Ta có

  

  

2 2

3 2 3

6

2 2 2

(*) 4 .

1 1 1

2 2 2

m m m

m m

x x

x m m m m

mx m mx m y

y y

m

   

       

   

    

  

     

     

   

 

Kết luận:

 m2 hệ phương trình có vô số nghiệm. Công thức nghiệm tổng quát là: 2 3 2 x R y x

 

   



 m 2 hệ phương trình vô số nghiệm

 m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất

3 2. 1

2 x m

m y m

  

 

 

 

 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:



¹



^{3 1 (1)}

2 5 (2)

m x my m

x y m

   



  



a) Giải phương trình với m2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất sao cho x²y²4.

Giải a) Với m = 2 thế vào hệ phương trình.

Hệ phương trình 2 5 3

2 7 1

x y x

x y y

  

 

      là nghiệm của hệ phương trình.

b) Tìm cách giải. Bước đầu chúng ta tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất bằng phương pháp thế hoặc tỉ số các hệ số (trong câu này dùng phương pháp thế). Sau đó thay nghiệm vào x²y² 4 ta được bất phương trình chứa m. Giải bất phương trình ẩn m xong, ta kết hợp với điều kiện đề bài rồi kết luận.

Trình bày lời giải. Từ phương trình (2) y 2x m 5 Thế vào phương trình (1):



^m1



^{x m}



^{2x m 5}



^{3m 1}



^m1



^x



^m1



²

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất m       1 x m 1 y m 3

2 2 2 2

2 1 6 9 8 8 4

x y m  m m  m  m  8m 12 m 1, 5.

   

Vậy m1, 5 và m 1 thì x²y² 4

Ví dụ 3: Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

 

2 1

3 1 1

x my m x my

 

   



Giải

Tìm cách giải. Với điều kiện a b c  , , khác 0. Cần lưu ý đến tỉ số a b; a b và c

c để rút ra kết luận về hệ phương trình vô nghiệm. Cụ thể là: Nếu a b c

a b c

   thì hệ phương trình vô nghiệm. Tuy nhiên trước khi xét tỉ số, chúng ta cần xác định các trường hợp riêng a0, b0, c0.

Trình bày lời giải

 Xét m0 hệ phương trình có dạng: 1 1 x

x

  

 

 hệ phương trình vô nghiệm.

 Xét 1 3,

m hệ phương trình có dạng:

2 1

3

1 1

3 x y

y

  



 



hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

 Xét 1

0; . m  3

  

  Hệ phương trình vô nghiệm 1 2 3 1 1

m

m m

  

 

1 1

2 1 6 2 .

3 1 m m 6

 m        



Vậy với 1 0;6 m  

  

  thì hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình



¹



²

1 m x y mx y m

  



  



a) Giải hệ phương trình khi m = 2.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất thỏa mãn 2x y 3.

Giải a) Với m = 2, hệ phương trình 2

2 3 1

x y

x y x y

  

     

b)

 

2

2 1

1 2

1 2 1

1 1

y x m

m x y x

m y m m

mx y m

mx y m

   

  

  

   

  

   

  

 

    

là nghiệm.

Xét ^{2x y 2m 2 m22m  1 3}



^m2



^{2 3.} Điều phải chứng minh.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nguyên của n để hệ phương trình sau có nghiệm nguyên duy nhất 2 1 (1)

2 x ny 2 n 1 (2) nx y n

   



(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm 2009 – 2010) Giải

Tìm cách giải. Giải hệ phương trình để hệ có nghiệm nguyên là tìm nghiệm



^{x y;}



mà x, y đều là số nguyên. Trong bài này, đầu tiên chúng ta tìm nghiệm



^{x y;}



theo n. Sau đó tìm số nguyên n sao cho x, y nhận giá trị nguyên.

Trình bày lời giải.

Từ (1) suy ra: 1 2 n nx

y   thay vào (2) ta được:

( 1 )

2 2 1

2 n n nx

x   n

  

2 2

4x n n n x 4n 2

     



^{4 n2}



^{x n2 3n 2}

     



^{2 n}



^{2 n x}



^.



^{n 1 2}



ⁿ



^(*)

     

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  Phương trình (*) có nghiệm duy nhất



^{2 n}



^{2 n}



^{0 n 2.}

      

Với n 2, từ phương trình (*) ta có:

  

  

1 2 1

2 2 2.

n n n

x n n n

  

 

  

Khi đó

2 2

1 1 1 2 2

1 . .

2 2 2 2

n n n n n n

y n n

n n

     

 

      

2 1

2 y n

n

  



Nghiệm duy nhất là

1 3

2 1 2

2 1 3 .

2 2 2

x n

n n

y n

n n

    

  

 

   

  

 x, y nguyên   n 2 Ư(3)

Mà Ư(3) ^



^{1;3; 1; 3 }



nên ^{n 2}



^{1;3; 1; 3 }





1;1; 3; 5 .



  n   C. Bài tập vận dụng

15.1. Cho hệ phương trình



¹

 

¹



³⁷

2 3 1

m x m y m

x y m

    



  

 (m là tham số)

a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên x; y nguyên và xy bé nhất.

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012) Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (2) ta có: x3m 1 2 ,y thế vào phương trình (1) ta có:



^{m1 3}



^{m 1 2y}

 

^{ m1}



^{y m 37}



^m1



^{ym2 m 12 (*)}

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  phương trình (*) có nghiệm duy nhất

1 0 1.

m m

    

b) Với m1, từ phương trình (*) ta có:

2 12 12

1 1

m m

y m

m m

    

 

Suy ra: 12 24

3 1 2 1

1 1

x m m m

m m

 

         

1 24 1 12

1 x m

m y m

m

   

 

   

 



là nghiệm của hệ phương trình.

,

x yZ mà m    Ư(12) . Suy ra: Z m 1

m-1 -1 -2 -3 -4 -6 -12 1 2 3 4 6 12

m 0 -1 -2 -3 -5 -11 2 3 4 5 7 13

Mà 12

2 1 .

x y m 1

   m



Thử trực tiếp ta được: m 11 thì x  y 20 đạt giá trị nhỏ nhất.

15.2. Tìm tất cả các số thực m để hệ phương trình 2 (1)

3 5 (2)

mx y x my

  

  

 có nghiệm



^{x y;}



thỏa mãn 0

x và y0.

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh ĐakLac, năm học 2011 – 2012)

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ phương trình (1) của hệ suy ra: ymx2, thay vào phương trình (2) ta được:

 

²



²



3xm mx2  5 3xm x2m 5 x 3m  5 2m

2

2 2 2

5 2 5 2 5 6

; 2

3 3 3

m m m

x y

m m m

  

    

  

0 5 2 0 5.

x   m m 2

0 5 6 6.

y  m m5 Vậy 6

m5 thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x0;y0.

15.3. Cho hệ phương trình 2 1

3 1

x y x my

  

  

 (m là tham số) a) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm. Tìm nghiệm đó.

b) Xác định giá trị nhỏ nhất của ^P



^x2y1

 

^{2 3xmy1 .}



²

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm 2012 – 2013)

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Hệ phương trình 3 6 3

6 4

3 1

x y

my y x my

  

     



⁶



^{4 6}

y m m

     thì hệ phương trình có nghiệm:

2

6 .

4 6 x m

m y m

  

 

 

 



b) Nếu m6 thì



^{2 1}

 

^{2 3 6 1}



^{2 1}



^{10 20 2}



^{2 8 8}

10 5 5

P x y  x y  x y   Nếu m6 thì ^P



^x2y1

 

^{2 3xmy1}



^20.

Giá trị nhỏ nhất của P là 0 khi 2 4

; .

6 6

x m y

m m

  

 

15.4. Cho hệ phương trình 2 (1) 2 (2) x my

mx y

 

  



a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m.

b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất



^{x y;}



với x; y là các số nguyên.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) ta có: x 2 my, thay vào phương trình (2) ta được:



²



^{2 2 2 2}

m my   y m m y  y



^{2 1}



^{2 2}



¹



¹



^{2 1}

 

y m m y m m m

        

Xét m 1 0y 0 phương trình vô số nghiệm  hệ phương trình vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: x y 2

y R

  

 



1 0 4

m   y  phương trình vô nghiệm  hệ phương trình vô nghiệm

 

^{2 2}

1 1 2 ; .

1 1

m y m y x

m m

         

 

Kết luận:

 Với m1 thì hệ phương trình vô số nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ phương trình là:

2 x y y R

  

 



 m 1 thì hệ phương trình vô nghiệm.

 m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là

2 1. 2

1 x m y m

  

 

  

 b) Ta có x y,    Z m 1 Ư(2) và m 1



^{0; 2; 3}



 m   thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất



^{x y;}



thỏa mãn x y; Z . 15.5. Cho phương trình



¹



^{2 1}

(I)

3 1

a x y

x ay

  



 



a) Giải hệ (1) với a 3 1.

b) Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm.

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Với a 3 1 thì hệ (I) trở thành

 

3. 2 1

3 3 1 1

x y

x y

  



  



   

¹

3. 2 3. 3 3 1 3 1

1 .

3 3 1 1 3. 2 1 3

x y y y

x y x y x

 

      

  

         

b) Ta có 1 3

x ay thế vào phương trình (1)

Ta có:



^{1 1}

 

^{2 1 1}



¹



^{6 3}

3

a ay

y a a a y y

 

       



¹



^{6 4}



²



³



^{4 (3)}

a a y y a a a y a

         

Hệ (I) vô nghiệm  phương trình (3) vô nghiệm



^{a 2}



^{a 3}



⁰

    và a 4 0.

2; 3.

a a

   

15.6. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

 

2 1

3 1 1.

x my m x my

 

   



Hướng dẫn giải – đáp số Từ phương trình trên   x 1 2my

Thế vào phương trình dưới, ta được:



^m6m2



^{y 2 3 (*)m}

Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) vô nghiệm

6 2 0 1

0;6

2 3 0

m m

m m

    

   

   



Vậy với 1

0;6 m  

  

  thì hệ phương trình vô nghiệm.

15.7. Cho hệ phương trình 4 10 4

mx y m

x my

  

  



a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m.

b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất



^{x y;}



sao cho x0;y0.

c) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm



^{x y;}



với x; y là số nguyên dương.

d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho S x²y² đạt giá trị nhỏ nhất.

e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất



^{x y;}



thì điểm ^{M x y}



^;



luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn giải – đáp số a) Từ phương trình dưới   x 4 my

Thế vào phương trình trên: ^m



^4my



^{4y10m}



^{m 2}



^{m 2}



^{y 5}



^{m 2 (*)}



    

 Xét m2, hệ phương trình có dạng: 2 4 8 4 2

2 4

x y x y

x y y R

   

 

    

 

 Xét m 2, phương trình (*) có dạng: 0y 20 vô nghiệm

 hệ phương trình vô nghiệm.

 Xét ^m



^{2; 2}



từ (*) suy ra: 5 8

2 2.

y x m

m m

   

 

Kết luận:

 Với m2, hệ phương trình có vô số nghiệm, nghiệm tổng quát là: x 4 2y y R

  

 



 Với m 2, hệ phương trình vô nghiệm.

 Với ^m



^{2; 2}



hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

8 2. 5

2 x m

m y m

  

 

 

 

 b) Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì ^m



^{2; 2}



8 0

0 2 2 0

2 8

0 5 8 0

2 0 m

x m m

y m m

m

  

   

       

     

   

 



Vậy  2 m8 thì hệ phương trình có hai nghiệm dương.

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì ^m



^{2; 2}



và nghiệm duy nhất là:

8 10

2 2 1

5 2 x m

m m

y m

    

  

 

 



Để hệ phương trình có nghiệm nguyên dương m  Ư(5) và 2 m 2 0, , suy ra:

m+2 1 5

m -1 3

d) Với ^m



^{2; 2 ,}



hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

8 2. 5

2 x m

m y m

  

 

 

 



Xét

 

     

 

 

2 2 2

2 2

2 2 2 2

8 25 16 89 2 21 1 1

5 5

2 2 2 5 2

m m m m

S x y

m m m m

   

       

   

Vậy giá trị nhỏ nhất của S là 1

5 khi 21 2 . m

e) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì ^m



^{2; 2}



và nghiệm duy nhất là:

8 10

2 2 1

5 2 x m

m m

y m

    

  

 

 



suy ra: x2y 1.

Vậy điểm ^{M x y}



^;



luôn nằm trên một đường thẳng cố định là x2y 1.

15.8. Cho hệ phương trình:



^{m 1}



^{x y 3}

mx y m

  



   (với m là tham số)

Xác định tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện:

0.

x y

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015) Hướng dẫn giải – dáp số

Ta có:

   

   

 

 

1 1 (1)

1 3

1 1 3 2 1 3 (2)

y m x y m x

m x y

m x m x m x m

mx y m

   

 

  

  

  

      

    

  

 Khi 1

2,

m  phương trình (2) trở thành 5

0.x2 (vô lý). Hệ phương trình vô nghiệm.

 Khi 1

2,

m  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

 

3

2 1

2

2 1

x m m y m m

m

  

 

 

  

 Suy ra:

2 3

2 1 . m m x y

m

   

 Do

2

2 1 11

3 0

2 4

m   m m   

  nên 1

0 2 1 0 .

x  y m  m 2

Vậy với 1

m 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện: x y 0.