Ôn Thi Vào Lớp 10 Môn Toán Chuyên 2. TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

(1)

Chuyên đề 2 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN A. Kiến thức cần nhớ

1. Định nghĩa (h.2.1)

• α cạnh đối

sin = ;

cạnh huyền • α cạnh kề

cos = ;

cạnh huyền

α cạnh đối

tan = ;

cạnh kề • α cạnh kề

cot = .

cạnh đối

Từ định nghĩa ta cĩ cả bốn tỉ số lượng giác dương vàsin α 1; cos α 1.  .

2. Định lí

Nếu hai gĩc phụ nhau thì sin của gĩc này bằng cơsin của gĩc kia, tang của gĩc này bằng cơtang của gĩc kia

3. Một số hệ thức cơ bản

α α

α α ²α ²α .

sin cos

tan = (1); cot = (2);

cos sin

tan .cot = 1 (3); s

•

• • in + cos = 1 (4)

4. So sánh các tỉ số lượng giác

Cho α, là hai gĩc nhọn. Nếu α thì

•sin α α

•

sin , tan tan ; cosα cos ; cotα cot .

 

 

 

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh các hệ thức:

a) ² 1₂

1 tan α ;

cos α

  b) ² 1₂

1 cot α .

sin α

 

Giải

a) Ta cĩ

2 2 2 2

2

2 2 2

sin α sin α cos α sin α 1

1 tan α 1 1

cos α cos α cos α cos α

  

        ;

b) Ta cĩ

2 2 2 2

2

2 2 2

cos α cos α sin α cos α 1

1 cot α 1 1 .

sin α sin α sin α sin α

  

       

 

Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã biến đổi vế trái thành vế phải. Ta cũng cĩ thể biến đổi vế phải thành vế trái theo chiều ngược lại.

Hai hệ thức trên cũng là hệ thức cơ bản, nên nhớ để sau này vận dụng.

Ví dụ 2. Cho α là một gĩc nhọn. Chứng minh rằng:

(2)

a)sin α < tan α; b) cos αcot α.

Giải

a) Ta có sin AC, tan AC

BC AB mà BC ABnên

 . AC AC BC AB

Do đó sin αtan α;

b) Ta có cos AB, cot AB

BC AC

Mà BC ABnên AB AB. BC AC Do đó coscot .

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dùng định nghĩa của tỉ số lượng giác.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:tanB tanC 2.

Giải

ABCvuông tại A nênB C 90 .^o Suy ra tanBcot ; tanCC cot .B

Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM.

Khi đó 1

, 2

 

AH AM AM BChayBC2AM. Ta có cot  CH , cot  BH .

C B

AH AH

Do đó 2 2

cot cot  CH  BH  BC  AM  AH 2

C B

AH AH AH AH AH

(Dấu “=” xảy ra khi AM AH  ABCvuông cân tại A).

Suy ra tanB tanC 2( Dấu “=” xảy ra khi ABCvuông cân tại A).

Nhận xét: Cách giải như trên là dựa vào quan hệ giữa tang và côtang của hai góc phụ nhau.

Nếu dựa vào bất đảng thức Cô-si ta có lời giải rất đơn giản:

tan tan  AC AB2 AC AB. 2

B C

AB AC AB AC

(dấu “=” xảy ra khi AC  AB AB AC

2 2

AB  AC AB AC ABC vuông cân tại A)

(3)

Ví dụ 4. Chứng minh định lí sin: Trong một tam giác nhọn, độ dài các cạnh tỉ lệ với sin của các gĩc đối diện:

sina  sinb sinc .

A B C

Giải

* Tìm cách giải:

Để cĩ sinA (hoặc sinB, sinC) thì phải xét tam giác vuơng với A là một gĩc nhọn.

Do đĩ phải vẽ thêm đường cao.

* Trình bày lời giải:

Vẽ đường cao CH.

Xét ∆ACH vuơng tại H ta cĩ: sin CH

A AC (1) Xét ∆BCH vuơng tại H ta cĩ:sin CH

B BC (2) Từ (1) và (2) suy ra sin

sinACH CH:  BC a

B AC BC AC b Do đĩ sina  sinb .

A B

Chứng minh tương tự ta được . sinb sinc

B C

Vậy .

sina sinb sinc

A B C

Lưu ý: Nếu ABCcĩ C90^othì ta vẫn cĩ:

sina sinBb A

Ví dụ 5. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Biết diện tích tam giác ADE bằng3

4diện tích tam giác ABC. Tính số đo gĩc A.

Giải

(g .g).

ABD∽ACE Suy ra AB  AD.

AC AE Do đĩ AD  AE. AB AC

ΔADE và ABC co ù: A chung :Δ AD AE AB  AC VậyADE∽ABC c g c( . . ).

(4)

Suy ra

2

  .

  

ADE ABC

S AD

S AB

Do đó ³



^cosA



² ^cosA ³ ^{cos 30}

4    2  ^o

Vậy A30^o

Nhận xét: Phương pháp giải ví dụ này là dựa vào tam giác đồng dạng. Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Tỉ số đồng dạng này chính là cosA, do đó có thể tính được góc A.

Ví dụ 6. Tìm góc x, biết rằng:

a) tanx3cot x; b)sinxcosx 2.

Giải

a)tanx3cotx. Suy ra 3 tanx tan

x(vì 1 cotx tan

x).

Do đótan²x 3 tanx 3tan 60 .^o Vậyx60 .^o b)sinxcosx 2.

Bình phương hai vế ta được: sin²x2 sin cosx xcos²x2 2 sin cos 1 2

 x x  (vìsin²xcos²x1)

2 2

2 sin cos 1 1 2 sin cos 0 sin 2sin cos cos

 x x   x x  x x x x



^sin ^cos



² ⁰

 x x  . Do đó sinxcosx

 

sin sin 90

 x ^ox (vì^cos^x^^{sin 90}



^o^^x



⁾

Dẫn tới x90ô x 2x90ô  x 45 .ô

Nhận xét: Phương pháp chung để giải ví dụ này là tìm cách đưa phương trình có hai tỉ số lượng giác về dạng còn một tỉ số lượng giác bằng cách vận dụng quan hệ giữa các tỉ số lượng giác đó.

C. Bài tập vận dụng

 Vận dụng định nghĩa sin và côsin

2.1. Cho tam giác ABC vuông tạiA AB, 3, AC4. Trên cạnh AC lấy điểm M. Tìm giá trị nhỏ nhất của sin AMB.

2.2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ MN BC. Chứng minh rằng sin  AN.

C CM

(5)

2.3. Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ các đường cao BD và CE. Tính số đo của góc A để diện tích tam giác ADE bằng diện tích tứ giác BCDE.

2.4. Cho tam giác^{ABC A}^, ^^{α 0}



^o^{ }^α ⁹⁰^o



. Vẽ các đường cao BD và CE.

a) Chứng minh rằngDEBCcos α;

b) Gọi M là trung điểm của BC. Tính giá trị của α để tam giác MDE là tam giác đều.

2.5. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Vẽ ba đường cao AD, BE, CF.

a) Chứng minh rằngS_AEF S_BFDS_CDF cos A²  cos B²  cos C² ;

b) Tính diện tích tam giác DEF biết A60 , ^o B45^o(lấy kết quả với ba chữ số thập phân).

2.6. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm E, trên cạnh CD lấy điểm F sao cho 1

  4

BE CF cạnh hình vuông. TínhcosEAF.

2.7. Cho tam giácABC AB, c BC, a CA, b. Các đường trung tuyến AA'đường cao BB' và đường phân giác CC'đồng quy tại O. Chứng minh rằng

cos 

 C b

a b.

2.8. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 1 sin sin .sin .

2 2 2 8

A B C

2.9. Cho tam giác ABC, đường cao AH (H nằm giữa B và C). Vẽ đường trung tuyến AM. Biết

6 , 4 , 9

  

AH cm HB cm HC cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc HAM.

 Vận dụng định nghĩa tang và côtang

2.10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Cho biếtAH 4cm BC, 10cm. Chứng minh rằng: tanB4 tanChoặc 1

tan tan .

 4

B C

2.11. Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H. Cho biếtHA HD: k,chứng minh rằng:

tan . tanB C k 1.

2.12. Cho tam giác ABC vuông tại A cóB60^o. Trên cạnh BC lấy điểm M khác B và C sao choMB MC: k. Vẽ BH và CK cùng vuông góc với đường thẳng AM. Chứng minh rằng:

a)AK  3.BH; b)AK AH: 3k

2.13. Cho tam giác ABC có diện tích S, góc A tù. Đường cao AH = h. Chứng minh rằng:

a) Nếu cot BcotC 4thìS2h²;

(6)

b) Nếu S2h²thìcotBcotC4.

2.14. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD. Cho biết

30 , 40

 

DB cm DC cm vàHDAα. Chứng minh rằng:α 10 ^o.

 Vận dụng các hệ thức cơ bản

2.15. Không dùng máy tính hoặc bảng số, tính giá trị của các biểu thức sau bằng cách hợp lí:

a) Psin²1ôsin²2ôsin²3ô...  sin²88ôsin²89 ;ô b)Qtan 15 .ôtan 25 .ôtan 35 .ôtan 45 .ôtan 55 ô tan 65 .ôtan 75ô. 2.16. Biết 20

cos α

29. Tính sin α, tan αvà cot α.

2.17. Chocosx4 sinx. Tính giá trị của tích sin cosx x. 2.18. ChoS 8sinx15 cosx. Tìm giá trị lớn nhất của S.

2.19. Cho0^o  x 90^o. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a)Asin⁴xcos⁴x; b)Bsin⁶xcos⁶x.

2.20. Biết 2

sin α cos α ,

 5 tính sin α, cos α, tan αvàcot α.

2.21. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của góc

 

α 0^o α 90^o :

a) 2 sin α cos α





 

² sin α cos α



²6 sin α cos α;

b)tan α sin α² ₂ ² sin α cos α tan α tan α ;

 

c) sin α⁶ cos α 3sin α cos α.⁶  ² ²

2.22. Cho 1

tan α

 4, tính giá tri cua biêu thức sin α 2 cos α 2 sin α cos α.

  M 

2.23. Cho 5

tan α

12, tính giá tri của biểu thứcN 6sin α² 7 cos α² .

2.24. Tam giác ABC có các góc B và góc C nhọn thoả mãn điều kiện sin²₂ sin²₂ tan² tan²

cos cos 2

 

 

B C B C

B C . Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A.

 Vận dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

(7)

2.25. Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

a)tan69 , ô sin65 ,ô cos33 ,ô cot25ô ;

b)cos65 ,ô cot63 ,ô sin20 ,ô tan28 ,ô cos 66 .ô 2.26. Cho α45ôChứng minh rằng:

a)sin αcos α;

b)tan αcot α.

2.27. Cho tam giác ABC vuông tại A và các biểu thức:

sin 2sin tan 3 tan

; .

2 cos cos 3cot cotC

 

 

 

B C B C

P Q

B C B

Giả sử các biểu thức P và Q đều có nghĩa, chứng minh rằngP Q. 0. 2.28. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) ^{cos 43} ^{cot 48} : cos 25 .sin 65



sin 25 .cos 65 ;



sin 47 tan 42

 

   

 

o o

o o o o

o o

M

b) 180 α α 180 α α 180 α α

sin .cos cos .sin tan . tan

2 2 2 2 2 2

  

 ô  ô  ô

N

(với0^o α 180^o).

 Vận dụng định lý sin

2.29. Cho tam giác nhọn ABC có sin sin

sin 2

 B C

A . Chứng minh rằng:

2 .

 ABAC BC

2.30. Cho tam giác nhọn ABC. Có thể xảy ra đẳng thức sin A = sin B + sin C không? Vì sao?

2.31. Cho tam giác nhọn ABC BC, a CA, b AB, c Chứng minh rằng:

  

sinA sin  sin    sin sin sin .

a b B c C a b c A B C

2.32. Cho tam giác nhọnABC BC, a CA, b AB, c. Chứng minh rằng asin , sin , sinA b B c Clà số đo ba cạnh của một tam giác.

Hướng dẫn giải 2.1

∆ABC vuông tại A, AB3;AC 4nên BC5

(8)

Xét AMBcó 3

sin  AB 

AMB BM BM .



^sin^AMB



nhỏ nhất BM lớn nhấtM C.

Khi đó 3

sinAMB5. Vậy^{min sin}

 

³

5

AMB khi M C. 2.2

( . ).

NBM∽ABC g g Suy ra BN  BM. BA BC

Do đó BN  BA (1) BM BC

∆BNA và ∆BMC cóBchung; BN  BA BM BC.

Do đó BNA∽BMC (c. .c).g Suy ra BN  AN . (2) BM CM

Từ (1) và (2) ta được BA  AN. BC CM

Xét ABCvuông tại A cósin  BA

C BC, do đó sin  AN . C CM

Nhận xét: Ta phải chứng minh sin  AN

C CM tức là phải chứng minh BA  AN .

BC CM Do đó phải dùng phương pháp tam giác đồng dạng.

2.3.

( . ).

ABD∽ACE g g Suy raAD  AB

AE AC. Do đóAD  AE AB AC.

ADEvà ABCcó chung;AD  AE.

A AB AC

Do đó

2

(c. .c).suy ra   .

    

 

ADE ABC

S AD

ADE ABC g

S AB

∽

Xét ABDvuông tại D có AD cos . AB A

Do đó ^ADE cos² (1)

ABC

S A

S

Ta có S_ADE S_BCDEsuy ra 1

. (2)

2

ADE ABC

S S

(9)

Từ (1) và (2) ta có ² 1 2

cos cos cos 45 .

2 2

    ^o

A A Do đóA45^o.

2.4

* Tìm cách giải

Ta phải chứng minh DEBC.cos α cos α

  DE

BC

Mặt khác cos α AD

AB nên cần chứng minh DE  AD. BC AB Muốn vậy ta dùng phương pháp tam giác đồng dạng.

* Trình bày lời giải

a) Cũng chứng minh như bài 2.3, ta đượcADE∽ABC c g c( . . ), suy ra AD  DE

AB BC

Xét ABDvuông tại D có cos  AD. A AB

Suy ra cos  DE

A BCdẫn tới DEBC.cos α

b) Xét tam giác vuông EBC và DBC có EM, DM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên 2 .

  BC EM DM

Vậy MDEđều DEEM DM cos α

2 2

  BC   BC

DE BC (vìDEBC.cos α)

cos α 1 cos 60 α 60 .

  2 ^o   ^o 2.5

a) ABE∽ACF g g( . ). Suy raAE  AB

AF AC. Do đóAE  AF AB AC.

AEFvà ABCcó: Achung;AE  AF AB AC. Do đó AEF∽ABC c g c( . . ).

Suy ra

2

cos2 .

 

  

 

AEF ABC

S AE

S AB A

Mặt khác S_ABC 1 nên S_AEF cos²A.

(10)

Chứng minh tương tự ta đượcS_BFD cos²B;S_CDE cos²C. Do đóS_AEFS_BFDS_CDE cos²Acos²Bcos²C.

b) Ta có S_AEFS_BFDS_CDES_DEF S_ABC.

Suy ra SDEF ^SABC ^



^cos²A^^cos²B^^cos²C



^{ }¹



^{cos 60}² ô^^{cos 45}² ô^^{cos 75 .}² ô



1 1

1 0, 06698.... 0,183

4 2

 

     (đvdt).

2.6

* Tìm cách giải

Để tính dược cos EAF ta cần chứng minh ∆EAH vuông tại H và tính các độ dài AH, AE. Các độ dài AH, AE có thể tính được nhờ định lí Py-ta-go và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Gọi giao điểm của AF với DE là H.

∆ADF và ∆DCE có: ADDC D; C90 ;^o DFCE (vì DCBCvàCFBE) Do đó ADF  DCE(c.g.c). Suy ra A¹D¹.

Ta có D1D290^onênA1D2 90^o, suy ra AFDE. Đặt BC CD4a thì BECFa DF; 3 .a

Áp dụng định lý Py-ta-go vào các tam giác vuông ABE, ADF ta tính được AEa 17;AF5 .a Xét ∆ADF vuông tại D, đường cao DH ta có: AD² AF AH.

2 2

16 16

5 5 .

  AD  a 

AH a

AF a

Xét ∆EAH vuông tại H có

16

16 17 cos 5

17 85

  

AH a

EAF AE a .

2.7

* Tìm cách giải Ta có

B BC' vuông tại B'nên ' cos  B C.

C BC

Cạnh BC đã biết nên chỉ cần tínhB'C.

(11)

Ta có AA BB CC', ', 'đồng quy nên theo định lý Xê-va ta có ' ' '

. . 1.

' ' ' 

A B B C C A A C B A C B b Do AA'la đường trung tuyến nên '

' 1 A B

A C do đó ' '

. 1

' ' 

B C C A B A C B . Lại do CC'là đường phân giác nên '

'   . C A AC b C B BC a

Do đó ' '

. 1 .

'   ' 

B C b B C a B A a B A b

Suy ra ' ' '

 

B C B A a b B C a hay

'

  b a b

B C a , dẫn tới '  .

 B C ab

a b

Xét B BC' vuông tại B'có

 

cos  '   .

 

B C ab b

C BC a a b a b

2.8

* Tìm cách giải Nếu tính được sin

2

A thì bằng cách chứng minh tương tự ta cũng tính được

sin ,sin .

2 2

B C

Đã có góc A, muốn có 2

Ata phải vẽ đường phân giác của góc A và vẽ BH vuông góc với đường

phân giác ấy để tính sin 2 A.

Ta đặtABc BC, a CA, b. Vẽ đường đường phân giác AD vàBH AD. Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có DB  AB

DC AC

    

 

DB DC DB DC a AB AC AB AC b c

Xét ABHvuông tại H ta có sin .

2   

 A BH BD a AB AB b c

Mặt khác b c 2 bc(bất đẳng thức Cô-si) nên sin . 2  2

A a

bc

Chứng minh tương tự ta được sin ;sin .

2  2 2  2

B b C c

ca ab

Do đó 1

sin .sin .sin . .

2 2 2 2 2 2 8 8

A B C a b c abc

bc ca ab abc ^. (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a   b c ABCđều).

(12)

2.9.

Ta có 4 2 6 2

; .

6 3 9 3

   

HB HA

HA HC

AHBvà CHAcó:

90 ; 2.

  ^o HB  HA  3 AHB CHA

HA HC

Do đó AHB∽CHA(c.g.c). Suy raA₁C. Mặt khác A₁ B 90^onênC B 90^o. Vậy ∆ABC vuông tại A

 

1 1

4 9 6, 5

2 2

     

AM MB MC BC (cm).

6, 5 4 2, 5

    

HM MB HB (cm)

Xét ∆ HAM vuông tại H, đặtHAM α. Ta có:

2.5 5 6 12

sin α ; cos α ;

6, 5 13 6, 5 13

2.5 5 6 12

tan α ; cot α .

6 12 2, 5 5

     

HM AH

AM AM

HM AH

AH HM

2.10

* Tìm cách giải

Điều phải chứng minh có liên quan đến tan B, tan C.

tan  AH; tan  AH.

B C

BH HC

Đã biết AH nên cần tính BH và CH.

Ta đặt HBx thì HC 10x

Xét ABCvuông tại A, đường cao AH ta có:

2  .

AH HB HCdo đó⁴²^^x



¹⁰^^x



.

Suy ra x²10x160hay



^x^²



^x^⁸



^⁰, có nghiệm x2hoặc x8

 Với x2 ta có HB2và HC8.

Khi đó 4 4 1

tan 2; tan

2 8 2

 AH    AH  

B C

BH HC

Vì 1

2 4.

 2nêntanB4 tanC.

(13)

 Với x8 ta có HB8và HC 2

Khi đó 4 1 4

tanB ; tan 2.

8 2 2

 AH    AH  

BH C HC

Vì 1 1

2 4.2nên 1

tan tan .

4

B C

2.11. (h.2.16)

Ta có: tan  AD; tan  AD

B C

BD CD

Do đó

2

tan .tan . (1)

 AD.

B C

BD CD

Gọi E là giao điểm của tia BH và AC.

( . )

BHD∽ACD g g . Suy ra HD  BD CD AD

. . (2)

BD CDHD AD

Từ (1) và (2) suy ra tan . tan ² .

 AD.  AD

B C

BD CD HD

Ta có 1

1

 

  

HA HA HD k

HD k HD hay AD  1.

HD k

Do đó tan . tanB C k 1.

Nhận xét: Nếu góc A vuông hoặc tù thì bài toán trên vẫn đúng.

2.12

* Tìm cách giải

Ta phải chứng minh AK BH 3 hay AK  3.

BH

Mà 3tan 60^o tan  AC

B ABdo đó ta cần chứng minh AK  AC BH AB . Muốn vậy ta dùng phương pháp tam giác đồng dạng.

∆ACK và ∆BAH có:K H 90^ob;

1 1

A B (cùng phụ với góc BAM).

Do đó ACK∽BAH g g( . ) Suy ra CK  AK  AC tan

AH BH BA BAC

tan 60^o  3 (1)

(14)

Vậy AK  3  3. .

AK BH

BH

b) Từ (1) 3 .

3

CK   CK

AH AH Do đó

3. 3 . (2)

3

 

AK BH BH

AH CK CK

Ta có HBM∽KCM g g( . ).Suy ra

  (3) BH MB CK MC k

Từ (2) và (3) suy ra AK 3 . AH k

2.13

a) Vì góc A tù nên các góc B và góc C nhọn.

Xét ABH,ACHvuông tại H, ta có:

cot  BH ; cot CH

B C

AH AH

Do đó cot cot  BH CH  BC  BC.

B C

AH AH AH h

Vì cotBcotC4nên BC 4

h hay BC4 .h

Diện tích ABClà 1 1 ²

. 4 . 2 .

2 2

  

S BC AH h h h

b) Ta có 1 2 .



S BC h mà S 2h²nên 1 ²

. 2 .

2BC h h Do đó 1

2BC2h hay BC4h

Ta có 4

cot cot  BC  h 4.

B C

h h 2.14.

* Tìm cách giải

Xét ∆AHD vuông tại H, muốn xác định được góc HAD, ta cần biết độ dài hai cạnh AH và HD nhờ hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Vì AD là đường phân giác nên 30 3 40 4

  

AB DB

AC DC . Suy ra .

3  4 AB AC

(15)

Do đó ² ² ² ² ²



^{30 40}



²

9 16 9 16 25 25 196.

 

    



AB AC AB AC BC

Vậy AB²9.196AB42 (cm AC); ² 16.196AC56 (cm) Xét ABCvuông tại A, đường cao AH ta có

. 42.56

. . 33, 6

   AB AC  70  AB AC BC AH AH

BC (cm)

Ta lại có ² ² 42²

. 25, 2

   AB  70  AB BC BH BH

BC ^(cm).

Do đóHD30 25, 5 4,8 (cm)

Xét HADvuông tại H, ta có 4,8

tan α tan 8 8 '.

33, 6

 HD   ^o AH

Do đó αtan 8 8 ' 10^o  ^o.

2.15. Áp dụng định lý nếu hai góc phụ nhau thì sin của góc này bằng côsin góc kia, tang của góc này bằng côtang của góc kia, ta có:

a) Psin 1² ôsin 2² ôsin 3² ô.... sin 88 ² ôsin 89² ô

     

2 2 2 2 2 2 2

sin 1 sin 89 sin 2 sin 88 .... sin 44 sin 46 sin 45 sin 1 cos 1 sin 2 cos 2 .... sin 44 cos 44 sin 45

       

o o o o o o o

2

1 1 ... 1 2 44, 5.

2

 

      

 

b) Qtan15 . tan 25 . tan 35 . tan 45 . tan 55 . tan 65 . tan 75ô ô ô ô ô ô ô

     

tan15 . tan 75 . tan 25 . tan 65 . tan 35 . tan 55 . tan 45

tan15 .cot15 . tan 25 .cot 25 . tan 35 .cot 35 . tan 45 1.1.1.1 1.



  

o o o o o o o

2.16. Ta có

2

2 2 2 2 20 441

sin α cos α 1 sin α 1 cos α 1 .

29 841

 

        

 

Do đó 21 sin α 21 20 21 20

sin α ; tan α : ; cos α .

29 cos α 29 29 20 21

    

2.17. Ta có cosx4 sinxcos²x4 sin cos .x x (1)

1 2 1

cos 4 sin sin cos sin cos sin . (2)

4 4

    

x x x x x x x

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

Do đó ² ² 17

cos sin sin cos

  4

x x x x hay 17

1 sin cos .

 4 x x

(16)

Do đó 17 4

sin cos 1: .

4 17

 

x x

2.18. Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki



^{ax by}^



² ^



^a²^^b²



^x²^^y²



^{ta có:}

 

²

  

2  8sin 15cos  82152 sin2 cos2 289,1

S x x x

 S 17 (dấu “=” xảy ra khi sin 8 cosx 15

x hay khitanxtan 28 4 '^o  x 28 4 '^o ).

Vậy maxS 17khix28 4 '^o . 2.19.

a) Ta có ^A^^sin⁴^x^^cos⁴^x^



^sin²^x^^cos²^x



²^^{2 sin}²^x^cos²^x

2 2

1 2 sin cos .

 

A x x

Mặt khác

2 2 2

2 2 sin cos 1

sin cos

2 4

  

  

 

x x

x x nên 1 1

1 2.4 2

   A

Vậy 1

minA 2khi sinxcosx x 45 .^o b) ^B^^sin⁶^x^^cos⁶^x^



^sin²^x

 

³^ ^cos²^x



³

^





^sin⁴^x^^sin²^x^cos²^x^^cos⁴^x



^^{1 sin}^_



⁴^x^^sin⁴^x



^^sin²^x^cos²^x^_

^





²^^{2 sin}²^x^cos²^x^^sin²^x^cos²^x^{ }^{1 3sin}²^x^cos²^x

Mặt khác

2 2 2

2 2 sin cos 1

sin cos

2 4

  

  

 

x x

x x nên 1 1

1 3. .

4 4

   B

Vậy 1

minB 4khisinxcosx x 45^o.

2.20. Ta có



sin α cos α



² sin α cos α² ² 2sin α cos α 1 2.² ⁹.

5 5

      

Suy ra 3 3

sin α cos α cos α sin α.

5 5

    

Do đó 3 2

sin α. sin α 5 5

  

 

 

2 2

3 2

sin α sin α 5sin α 3 5 sin α 2 0 5 5

      



^{5 sin α 1}



^{5 sin α 2}



⁰

    . Suy ra 1

sin α

 5hoặc 2 sin α

 5.

 Nếu 1

sin α 5

 thì 2 1 2

cos α : .

5 5 5

 

(17)

Khi đó sin α 1 2 1

tan α : ; cot α 2.

cos α 5 5 2

   

 Nếu 2

sin α 5

 thì 2 2 1

cos α : .

5 5 5

 

Khi đó sin α 2 1 1

tan α : 2; cot α .

cos α 5 5 2

   

2.21.

a) 2 sin α cos α





 

² sin α cos α



²6 sin α cos α;



² ²

 

² ²



2 2 2 2

2 2

2 sin α cos α 2 sin α cos α sin α cos α 2 sin α cos α 6 sin α cos α 2sin α 2 cos α 4 sin α cos α sin α cos α 2 sin α cos α 6 sin α cos α sin α cos α 1

      

      

  

b)

2 2 2

2 2

tan α sin α sin α cos α sin α 1

1 sin α cos α.

tan α tan α tan α tan α

    

2

2 2

sin α 1

1 sin α cos α. 1 cos α cos α 1.

sin α sin α

cos α cos α

      

c) sin α cos α 3sin α cos α⁶  ⁶  ² ² =sin α cos α 3sin α cos α sin α cos α⁶  ⁶  ² ²



²  ²





sin α cos α² ²



³

  (vì



^{a b}^



³^^a³^^b³^³^{ab a b}



^



^{) 1}^ ³^¹

2.22. Chia cả tử và mẫu của biểu thức M cho cos α(docos α0) ta được

  

sin α 2 cos α 2 sin α cos α

: tan α 2 2 tan α 1

cos α cos α cos α cos α

   

        

M

1 1 7

2 : 2. 1 .

4 4 6

   

      

   

2.23. Ta có

2 2

2

1 5 169

1 tan α 1 .

cos α 12 144

 

     

  Do đó ² 144

cos α

169

Vậy N 6sin α 7 cos α²  ² 6 1 cos α



 ²



7 cos α²  6 cos α²

144 144

6 6

169 169

   .

Hướng dẫn giải

2.24. Ta có ² 1₂ ² 1₂

1 tan α tan α 1.

cos α cos α

    

Vận dụng hệ thức này để biến đổi điều kiện đã cho:

(18)

   

 

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

sin sin tan tan

cos cos 2

1 cos 1 cos 1 1 1

1 1

cos cos 2 cos cos

2 cos cos 1 1 1

cos cos 2 cos cos 2

2 cos cos 2

1 1

cos cos 2 cos cos cos cos

  



      

         

   

      

     

 

B C B C

B C

B C B C

B C

B C B C

B C

B C B C B

   

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

cos cos

2 cos cos

cos cos 4 cos cos cos cos 0

 

     

B C

C B C

B C B C B C

2 2

cos cos cos cos

 B C B CBC ABCcân tại A

 Vận dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau a) Ta có cos 33ôsin 57 ; cos 25ô ô tan 65 .ô

Vì sin 57ôsin 65ôtan 65ôtan 69ônên cos 33ôsin 65ô cot 25ô tan 69 .ô b) cos 65ô sin 25 ; cot 63ô tan 27 ; cos 66ô ô sin 24ô

Vì sin 20ô sin 24ô sin 25ôtan 27ôtan 28ô nên sin 20ôcos 66ô cos 65ôcot 63ô tan 28ô 2.26.

a) Nếu α45ô thì90ô α 45ô. Do đó ^{sin α}^^{sin 90}



^o^^α



^hay^{sin α}^^{cos α}

b) Ta có^{tan α}^^{tan 90}



^o^^α



^{do đó}^{tan α}^^{cot α}

2.27. ∆ABC vuông tại A nên A B 90 .^o

Do đó sinBcos ;sinC Ccos ; tanB Bcot ; tanC Ccot .B Ta có cos 2 cos



2 cos cos



2 cos cos 2 cos cos 1 0.

 

    

 

B C

C B

P B C B C



^3cot ^cot



cos 3cot

3cot cot 3cot cot 1 0.

 

     

 

B C

C B

Q B C B C

Vậy P Q. 0vì là tích của hai số cùng dấu.

2.28

a) ^{cos 43} ^{cot 48} : cos 25 .sin 65



sin 25 .cos 65



sin 47 tan 42

 

   

 

o o

o o o o

o o

M

 

  

² ²



sin 47 tan 42

: sin 65 .sin 65 cos 65 .cos 65 sin 47 tan 42

1 1 : sin 65 cos 65 2 :1 2.

 

   

 

    

o o

o o o o

o o

(19)

b) 180⁰ α α 180⁰ α α 180⁰ α α

sin .cos cos .sin tan .tan

2 2 2 2 2 2

  

  

N

2 2

α α α α α α

sin 90 .cos cos 90 .sin tan 90 . tan

2 2 2 2 2 2

α α α α α α α α

cos .cos sin .sin cot . tan cos sin 1 1 1 0

2 2 2 2 2 2 2 2

     

           

     

        

o o o

 Vận dụng định lý sin 2.29. Ta có sin sin

sin 2

 B C

A suy ra sinBsinC2 sinA

Theo định lý sin ta có: .

sin sin sin sin sin

   



BC AC AB AB AC

A B C B C

Vậy sin 2sin

 

BC AB AC

A A suy ra

2

 ABAC

BC .

2.30. Theo định lý sin ta có: . sina sinb sinc

A B C

Suy ra .

sin sin sin

 



a b c

A B C

Nếu sinAsinBsinCthìa b c. Điều này trái với bất đẳng thức tam giác.

Vậy không thể xảy rasinAsinBsinC.

2.31. Theo định lý sin ta có: .

sina sinb sinc  A B C k Suy ra ak.sin ;A bk.sin ;B ck.sinC.

Ta có asinA bsinB csinC ksin²A ksin²B ksin²C



sin sin sin



(1)

 k A B C

Mặt khác



^{a b c}^{ }



^sin^A^^sin^B^^sin^C



^ ^k



^sin^A^^sin^B^^sin^C



²



^sin ^sin ^sin



⁽²⁾

 k A B C Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

2.32. theo định lý sin ta có:

sina sinb sinc 

A B C k

Suy ra ak.sin ;A bk.sin ;B ck.sinC.

Vì A nhọn nên a²b²c²(xem bài 1.17). Suy ra a a. b b c c.  . . Do đó a k. .sinAb k. .sinBc k. .sinCdẫn tới a.sinAb.sinBc.sinC Chứng minh tương tự ta được

.sin  .sin  .sin ; .sin  .sin  .sin . b B c C a A c C a A c C

(20)

Vậy a.sinA, b.sinB, c.sin C là số đo ba cạnh của một tam giác.