Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai - THCS.TOANMATH.com

BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

 I – KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: ^{ax2bx c 0 * ,}

  

^{a0 ,}



^{ b24ac.}

Gọi S, P lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm x x₁, ₂. Hệ thức Viét: ^{1 2}

1 2

S x x b a P x x c

a

    



  



.

 Điều kiện ^PT

 

^* có hai nghiệm trái dấu  P 0.

 Điều kiện ^PT

 

^* có hai nghiệm phân biệt cùng dấu 0 0 P

 

   .

 Điều kiện ^PT

 

^* có hai nghiệm phân biệt dương

0 0 0 S P

 

 

  .

 Điều kiện ^PT

 

^* có hai nghiệm phân biệt âm

0 0 0 S P

 

 

  .

 Các hệ thức thường gặp:

 x1²x2² 



x1²2 .x x1 2x2²



2 .x x1 2



x1x2



²2 .x x1 2 S²2P.

 x1x2 



x1x2



²4x x1 2   S²4P.

 x2  x1



x1x2



²4x x1 2   S²4P.

 x1²x2²



x1x2



x1x2



 



x1x2

 

x1x2



²4x x1 2  S S. ²4P.

 x1³x2³ 



x1x2

 

x1²x x1. 2x2²







x1x2

 

 x1x2



²3 .x x1 2S S.



²3P



.

 ^{x14x24 }

    

^{x12 2 x22 2 x12x22}



^{22 .x x12 22}_



^x1x2



^{22x x1 2}_^{22x x12 22.}



^{S2 2P}



^{2 2P2}

   .

 ^{1 2}

1 2 1 2

1 1 x x S

x x x x P

    .

 2 1



1 2



² 1 2 ²

1 2 1 2 1 2

1 1 x x x x 4x x S 4P

x x x x x x P

 

 

      .

 1 2 1² 2²



1 2



1 2

 

1 2

 

1 2



² 1 2 ²

2 1 1 2 1 2 1 2

4 . 4

x x x x x x

x x x x

x x x x S S P

x x x x x x x x P

  

 

 

      

 ^x13x23



^x1x2

 

^{x12x x1. 2x22}



^



^x1x2

 

^_ ^x1x2



^{2x x1. 2}_^.

 



^{x1 x2 2 4x x1 2}



^



^{x1 x2}



^{2 x x1. 2}



^{S2 4P S}



^{ 2 P}

            .

 ^x14x24

    

^{x12 2 x22 2 x12x22}



^x12x22

 

^{  S22P S S}

 

^{. 24P}



^.

II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA

Câu 1: Cho phương trình



^2m1



^{x22mx 1 0}. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng



^1;0



^.

Lời giải

 Xét 1

2 1 0

m   m 2 phương trình trở thành       ^{x 1 0 x 1}



^1;0



 Xét 2 1 0 1

m   m 2 khi đó ta có:

   

²

2 2

' m 2m 1 m 2m 1 m 1 0

          mọi m.

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m. Ta thấy nghiệm x1không thuộc khoảng



^1;0



Với 1

m 2phương trình còn có nghiệm là 1 1

2 1 2 1

x m m

m m

   

 

Phương trình có nghiệm trong khoảng



^1;0



^{suy ra}

1 2

1 0 0

1 1 0 2 1 2 1 0

2 1 2 1 0 2 1 0

m

m m m

m m m

    

 

           

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng



^1;0



khi và chỉ khi m0. Câu 2: Cho phương trình ^x2



^2m1



^{x m 2 1 0 (x} là ẩn số)

a) Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình đã cho thỏa mãn:



x1x2



² x1 3x2. Lời giải

a) ^{ }



^2m1



^24.



^{m2  1}



^{5 4m}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt 5 m 4

  b) Phương trình hai nghiệm 5

m 4

 

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2} ₂

1 2

2 1

1

x x m

x x m

  

  

 Theo đề bài:

 

 

   

2

1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

2 2

1 2

1 2

3

4 3

2 1 4 1 3

3 5 4

x x x x

x x x x x x

m m x x

x x m

  

    

     

   

Ta có hệ phương trình: ^{1 2 1}

1 2

2

1

2 1 2

3 5 4 3( 1)

2 x m

x x m

x x m m

x

  

   

 

     

  



   

2

2 2

2

1 3( 1)

2 2 1

3 1 4 1

1 0 1

m m

m

m m

m m

 

   

   

  

  

Kết hợp với điều kiện   m 1 là các giá trị cần tìm

Câu 3: Tìm m để phương trình x²5x3m 1 0 (x là ẩn số, m là tham số) có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁³x³₂3x x_{1 2} 75

Lời giải

 

52 4.1. 3m 1 29 12m

     

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 29

0 m 12

     Áp dụng hệ thức Vi-ét ^{1 2}

1 2

5

3 1

x x x x m

  

  



Ta có: x₁³x³₂3x x_{1 2}75



^{x1 x2}

  

^{x1 x2}



^{2 x x1 2}



^{3x x1 2 75}

     



x1 x2



25 x x1 2



3x x1 2 75

    



1 2

 

1 2



1 2 1 2 25 x x x x x x 3x x 75

     

1 2 3

x x

  

Kết hợp x₁x₂ 5 suy ra x₁ 1;x₂ 4 Thay vào x x_{1 2} 3m1 suy ra 5 m3

Vậy 5

m3 là giá trị cần tìm

Câu 4: Cho phương trình x²10mx 9m0 (m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa điều kiện

1 9 2 0

x  x 

Lời giải

a) Với m1 phương trình đã cho trở thành x²10x 9 0 Ta có a b c  0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là ¹

2

1 9 x x

 

  b) ^{  '}



^5m



^{21.9m25m29m}

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là   ' 0 25m²9m0 (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

1 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 2

10 10 10

9 0 9 9 9 ,(*) 1

9 9 9 9 0 0

1

x x m x m x m x m

x x x x x m x m m

x x m x x m m m m

m





    

  

          

   

        

    

Câu 5: Cho phương trình x²2(m1)x m ²  m 1 0 (m là tham số) a) Giải phương trình đã cho với m0.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện

1 2

1 1 4

x x  Lời giải

a) Với m0, phương trình đã cho trở thành: x²2x 1 0 ' 2 ; x1,2 1 2

   

Vậy với m0 thì nghiệm của phương trình đã cho là x_1,2 1 2.

b) '  m 2 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt         0 m 2 0 m 2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2} ₂

1 2

2( 1) 1

x x m

x x m m

  

   

 Do đó:

1 2

2

1 2 1 2

2 2

2 2

1 1 2( 1)

4 4 4

1

1 0 1 0 1

1 2( 1) 2 3 0 3

2

x x m

x x x x m m

m m m m m

m m m m m m

 

     

 

 

       

  

           

Kết hợp với điều kiện 3 1; 2

m  

   

  là các giá trị cần tìm.

Câu 6: Cho phương trình 2x²(2m1)x m  1 0 (m là tham số). Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn 3x₁4x₂11

Lời giải Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thì  0



^{2m 1}



^{2 4.2.}



^{m 1}



⁰

    

 

2 2

4 12 9 0

2 3 0

3 2

m m

m m

   

  

 

Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:

    

 

  



 



1 2

1 2

1 2

x x 2m 1

2 x .x m 1

2 3x 4x 11

2

 

 

 



   



1

13- 4m x 7 x 7m 7

26 -8m 13- 4m 7m 7

3 4 11

7 26 -8m

Giải phương trình 13- 4m 7m 7 

3 4 11

7 26 -8m

Ta được 2

4,125 m

m

  

 

Vậy 2

4,125 m

m

  

  là các giá trị cần tìm

Câu 7: Cho phương trình x²2(m1)x m ² 3 0 (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.

Lời giải a) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  ^' 0



^{m 1}



^{2 1.}



^{m2 3}



⁰

       2m 4 0

    2

 m

Vậy m2 là các giá trị cần tìm

b) Với m2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm.

Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là a thì nghiệm kia là 3a. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

2

3 2 2

.3 3

a a m

a a m

  

  



2

1 1 2

3 3

2 2

m m

a     m

      

2 6 15 0

m m

    3 2 6

   m (thỏa mãn điều kiện) Vậy    m 3 2 6 là các giá trị cần tìm.

Câu 8: Cho phương trình 1 ² 1 ² 4 1 0

2x mx2m  m  (m là tham số).

a) Giải phương trình đã cho với m 1 .

b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn _{1 2}

1 2

1 1 x x

x x   Lời giải

a) Với m 1 phương trình trở thành 1 ² 9 ²

0 2 9 0

2x    x 2 x  x 

1 2

1 10

1 10

x x

   

 

  



b) Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì  0

 

^{2 4. .1 1 2 4 1 0 8 2 0 1}

2 2 4

m  m m  m m

            

Để phương trình có nghiệm khác 0 1 ²

4 1 0

2m m

   

1 2

4 3 2 4 3 2 m

m

   

 

  



Ta có 1 2



1 2



1 2



^{1 2}

1 2

1 2

1 1 0

1 0

1 0 x x x x x x x x

x x x x

 

          

2

2 0 0

4 19

8 3 0

4 19

m m m m m

m

 

  

           Kết hợp với điều kiện ta được 0

4 19

m m

 

   



Vậy 0

4 19

m m

 

   

 là các giá trị cần tìm.

Câu 9: Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình x²m x m²   1 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên.

Lời giải

 

^{m2 2 4.1.}



^{m 1}



^{m4 4m 4}

       

Phương trình có nghiệm nguyên khi  m⁴4m4 là số chính phương

Nếu 0

1 m m

 

  thì  0 (loại) Nếu m2 thì   4 2² (nhận)

Nếu m3 thì ^{2m m}



^2



^{ 5 2m24m 5 0}

 

   

2

4 2 4

2 2

2 2

2 4 5 4 4

2 1

1

m m m

m m m

m m

          

     

    

 không là số chính phương.

Vậy m2là giá trị cần tìm

Câu 10: Cho phương trình x²2(m1)x m  3 0 (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P x ₁²x₂² (với x₁, x₂ là nghiệm của phương trình đã cho) Lời giải

a) ^'



¹



^{2 1.}



³



^{2 3 4 3 2 7 0}

2 4

m m m m m 

               , m Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2 1 2}

1 2 1 2

2( 1) 2 2

3 2 2 6

x x m x x m

x x m x x m

     

 

     

 

1 2 2 1 2 4 0

x x x x

     không phụ thuộc vào m. c) P x 1²x²2 



x1x2



²2x x1 2 4



m1



²2



m3



5 2 15 15

2m 2 4 4

 

     , m Do đó _min 15

P  4 và dấu " " xảy ra khi 5 5

2 0

2 4

m   m Vậy _min 15

P  4 với 5 m4.

Câu 11: Cho phương trình x²mx m  1 0 (m là tham số).

a) Gọi hai nghiệm của phương trình là x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức

2 2

1 2

2 2

1 2 1 2

1 x x M x x x x

 

  . Từ

đó tìm m để M 0.

b) Tìm giá trị của m để biểu thức P x ₁²x₂²1 đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải a) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2}

1 2 1

x x m x x m

 

  



Ta có

 

   

 

2 2

2 2

1 2 1 2

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 1

1

1

x x x x m m

x x

M x x x x x x x x m m

     

 

  

  

   

 

2 2 1 1 2

1 1

m m m

m m m m

  

 

 

Để

 



²

  

0

1 0 1

0 1 0 1 0

1 0 0

1 0 m

m m

M m m m

m m m m

m

 

   

  

            

b) Ta có P x 1²x²2 1



x1x2



²2x x1 2 1 m²2



m 1 1



 

²

2 2 1 1 0

m m m

      , m

Do đó P_min 0 và dấu " " xảy ra khi m   1 0 m 1 Vậy P_min 0 với m1.

Câu 12: Cho phương trình ^x2



^2m2



^x2m0 ₍^m là tham số). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁  x₂  2

Lời giải Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm x₁, x₂ là

1 2

1 2

' 0 0 0 x x x x

 

  

 



2 1 0

2( 1) 0 0

2 0

m

m m

m

  

    

 



Theo hệ thức Vi-ét: 1 2

 

1 2

2 1

2

x x m

x x m

   

 



Ta có x₁ x₂  2   x₁ x₂ 2 x x_{1 2} 2 2m 2 2 2m   2 m 0 (thoả mãn) Vậy m0 là giá trị cần tìm.

Câu 13: Cho phương trình ^x2



^m1



^{x m 0} ₍^m là tham số). Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A x x ₁² ₂x x_{1 2}²2007 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải Ta có  [-(m+1)]²4m m ²2m 1 (m1)²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ^{  0}



^m1



^{2   0 m 1}

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2}

1 2

1 x x m x x m

  

 



Ta có A x x 1² 2x x1 2²2007x x x1 2



1x2



2007



¹



^{2007 2 2007 2 2. .1 1 2006 3}

2 4 4

m m m m m m

          

1 2 8027 8027

2 4 4

m 

     , m Dấu " " xảy ra 1 1

2 0 2

m   m  Vậy _min 8027

A  4 với 1

m 2.

Câu 14: Cho phương trình x²2mx2m 1 0 (m là tham số). Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của m để A x x ₁² ₂x x_{1 2}² đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

Ta có ^{ }

 

^{2m 24.1. 2}



^{m 1}



^{4m28m 4 4}



^m1



²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ^{  0}



^m1



^{2   0 m 1}

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2}

1 2

2

2 1

x x m

x x m

  

  



Ta có A x x 1² 2x x1 2² x x x1 2



1x2





¹



²⁰⁰⁷



^{2 1}



²



^{4 2 2 4 2 1}

m m m m m m m 2m

             

2

2 1 1 1 1 1 1

4 2. . 4

4 16 16 4 4 4

m m m

   

             , m Dấu " " xảy ra 1 1

4 0 4

m   m Vậy _{m ax} 1

A  4 với 1 m 4.

Câu 15: Cho phương trình ^x22



^m1



^{x2m 5 0} ₍^m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ 1 x₂.

Lời giải

a) Ta có ^{  }_ ²



^m1



^_^{24.1. 2}



^m5



^{4m212m22}

 

²m ² 2.2 .3 9 13m



2m 3



² 13 0

        , m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có ^{1 2}

1 2

2 2

2 5

x x m

x x m

  

  

 (I)

Theo giả thiết 1 2 ¹



1



2



1 2



1 2



2

1 1 0 1 1 0 1 0

1 0

x x x x x x x x x

x

  

              (II) Thay (I) vào (II) ta có:



^{2m 5}

 

^{2m   2}



^{1 0 0.m 2 0}, đúng với mọi m.

Vậy với mọi m thì phương trình trên có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ 1 x₂. Câu 16: Cho phương trình x²mx m  2 0 (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình thỏa mãn

2 2

1 2

1 2

2 2

. 4

1 1

x x

x x

  

  .

Lời giải

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

2 4.( 2) 2 4 8 ( 2)2 4 4 0

m m m m m

            , m Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Vì a b c        1 m m 2 1 0, m nên phương trình có 2 nghiệm x x₁, ₂ 1, m. Phương trình x²mx m   2 0 x² 2 mx m

Ta có ^{12 22 1 2}

1 2 1 2

2 2

. 4 . 4

1 1 1 1

x x mx m mx m

x x x x

      

   

2 1 2 2

1 2

( 1)( 1)

4 4 2

( 1)( 1)

m x x

m m

x x

 

      

 

Vậy m 2 là các giá trị cần tìm.

Câu 17: Cho phương trình x²mx 1 0 (1) (m là tham số).

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.

b) Gọi x₁, x₂ là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức:

2 2

1 1 2 2

1 2

1 1

x x x x

P x x

   

 

Lời giải

a) Ta có ^{a c. 1. 1}

 

^{   1 0, với m} nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m.

b) Ta có

2

1 1

2

2 2

1 1 x mx x mx

  



 

 do x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (1).

Do đó

2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2 1 2

1 1 1 1 1 1

x x x x mx x mx x

P x x x x

         

   

       

1 2

1 2

1 1

1 1 0

x m x m

m m

x x

 

       vì x₁, x₂0. Vậy P0.

Câu 18: Cho phương trình ^x2



^2m1



^{x m 2 1 0}

 

^{1 (m} là tham số).

a) Tìm điều kiện của m để phương trình

 

1 có 2 nghiệm phân biệt.

b) Định m để hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình

 

1 thỏa mãn:



x1x2



²  x1 3x2. Lời giải

a) ^{  }_



^2m1



^_^24.1.



^{m2  1}



^4m5

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 5

0 4 5 0

m m 4

       

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có ^{1 2} ₂

1 2

2 1

1

x x m

x x m

  

  



Ta có



x1x2



²  x1 3x2



x1x2



²4x x1 2  x1 x24x2



^{2m 1}



^{2 4}



^{m2 1}



^{2m 1 4x2 6m 6 4x2 0 x2 3m}₂^3

            

Suy ra ₁ 1 2 x  m

Do đó 1 3 3 ^{2 2}

. 1 1 0 1

2 2

m m

m m m

          (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)

Vậy m 1 là các giá trị cần tìm.

Câu 19: Tìm m để phương trình x²2x2m 1 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn điều kiện x x₂²( ₁² 1) x x₁²( ₂² 1) 8.

Lời giải

 

^{2 2 4.1. 2}



^{m 1}



^8m

      

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   0 8m 0 m0 Theo hệ thức Vi-ét, ta có ^{1 2}

1 2

2

2 1

x x x x m

 

   

 (I)

Ta có x x2²( 1² 1) x x1²( 2²  1) 8 2



x x1 2



²(x1²x2²) 8



1 2



² 1 2 ² 1 2

2 x x (x x ) 2x x  8

     (II)

Thay (I) vào (II) ta có:

 

2 2

2( 2 m1) 4 2 2  m1  8 2m 3m 2 0 1

2 2 m m

  



 



So với điều kiện có nghiệm m0. Vậy m2 là giá trị cần tìm.

Câu 20: Xác định giá trị m trong phương trình x²8x m 0 để 4 3 là nghiệm của phương trình.

Với m vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.

Lời giải Do 4 3 là nghiệm của phương trình nên thỏa:



^{4 3}

 

^{28 4 3}



^{ m 0}

13 0 13

m m

    

Thay m13vào phương trình ta được phương trình: x²8x13 0

 

^*

 

²

' 4 1.13 3

    

Phương trình

 

* có hai nghiệm phân biệt là: ¹

2

4 3

4 3

x x

  

  



Vậy x 4 3 là giá trị cần tìm.

Câu 21: Cho phương trình ^x2



^2m1



^{x m 2  m 1 0} ₍^m là tham số).

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m sao cho A



2x1x2



2x2x1



đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

a) Ta có ^{  }



^2m1



^^24.1.



^{m2   m 1}



^{5 0}, m. Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2} ₂

1 2

2 1

1

x x m

x x m m

  

   



Ta có ^A



^2x1x2



^2x2x1



^{5x x1 22}



^x12x22



^{9x x1 22}



^x1x2



²



²

  

^{2 2}

9 m m 1 2 2m 1 m m 11

       

2

2 1 1 1 1 45 45

2. . 11

2 4 4 2 4 4

m m m 

           , m Dấu " " xảy ra 1 1

2 0 2

m  m  Vậy _min 45

A   4 với 1 m 2.

Câu 22: Cho phương trình ² 2 ² 1 0

x  mx m  2 (m là tham số).

a) Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m. b) Tìm m để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

c) Tìm m để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Lời giải

a) ^'

 

^{2 1. 2 1 1 0}

2 2

m m 

        , m.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị m.

b) Hai nghiệm của phương trình là ¹

2

2 2

2 2 x m

x m

  



  



Theo đề bài ta có 2 2 ² 1 ² 1

2 2

2 2 2 2

m  m m  m m  m

2 2m 0 m 0

   

c) Theo định lý Pitago ta có:

2 2

2 2 2

2 2 9 2 8 0 4 0

2 2 2

m m m m m

m

     

          

    

      

   

Vậy 2

2 m m

 

  

 là các giá trị cần tìm.

Câu 23: Cho phương trình x²2x m  3 0 (m là tham số).

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1. Tính nghiệm còn lại.

b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức x₁³x₂³8 Lời giải

a) Vì phương trình x²2x m  3 0 có nghiệm x 1 nên ta có:

( 1) ²2.( 1)         m 3 0 m 6 0 m 6 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

x₁x₂   2 1 x₂  2 x₂ 3 Vậy m6 và nghiệm còn lại là x3. b) ^{  ' 12 1.}



^m3



^{  m 2}

Phương trình có hai nghiệm phân biệt      ^' 0 m 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: ^{1 2}

1 2

2 3 x x x x m

 

  

 Ta có

3 3

1 2

3

1 2 1 2 1 2

3

8

( ) 3 ( ) 8

2 3.( 3).2 8

6( 3) 0

3 0 x x

x x x x x x m

m m

 

    

   

  

  

3

m  (thỏa mãn điều kiện) Vậy m 3 là giá trị cần tìm.

Câu 24: Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ^x2



^2m1



^{x m 2 1 0} có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ sao cho biểu thức P x ₁²x₂² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải



^{2m 1}



^{2 4.1.}



^{m2 1}



^{4m 5}

       

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt 0 5 m 4

     . Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 1 2

 

2 1 2

2 1

1

x x m

x x m

   



 



Ta có P x 1²x2² 



x1x2



²2x x1 2



^{2m 1}



^{2 2}



^{m2 1}



^{2m2 4m 3}

        



²

  

²

2 m 2. .1 1 1m 3 2 m 1 1 1

         , m Dấu " " xảy ra m   1 0 m 1 (nhận) Vậy P_min 1 khi m1.

Câu 25: Cho phương trình ^x2



^m5



^{x2m 6 0 (x} là ẩn số)

a) Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x₁, ₂ thỏa mãn: x₁²x²₂ 35.

Lời giải:

a) ^Δ 



^{m 5}



²^{4.1. 2m 6}







^



^m5



^{24. 2}



^m6



m²10m25 8 m24 m²2m1

^



^m1



^{2 0; m}

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.

b) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x₁, ₂ thỏa hệ thức Vi-ét:

1 2

1 2

5;

2 6

S x x b m

a P x x c m

a

     



    



Ta có: x₁²x₂²35



x1 x2



² 2x x1 2 35

   



^{m 5}



^{2 2 2}



^{m 6}



³⁵

    

2 10 25 4 12 35 0

m m m

      

 

2 6 22 0 1

m m

   

 

' 32 1. 22 9 22 31 0

       

Vì ' 0  nên phương trình

 

1 có hai nghiệm phân biệt: m₁  3 31;m₂   3 31 Vậy ^{m  }



^{3 31; 3  31}



Câu 26: Cho phương trình x²2x m  2 0

 

^{1 (m} là tham số) a) Tìm m để phương trình

 

1 có nghiệm

b) Tìm m để phương trình

 

1 có 2 là một nghiệm và tìm nghiệm còn lại Lời giải

a) Phương trình

 

1 có nghiệm :

  ' 0

 

1 m 2 0

   

3 m 0

   3

 m

Vậy phương trình

 

1 có nghiệm khi m3

b) Do phương trình

 

1 có 2 là một nghiệm nên thỏa:

222.2  m 2 0 6 0

  m 6

m 

Thay m 6 vào phương trình

 

1 ta được phương trình: x²2x 8 0

 

^*

 

' 12 1. 8 1 8 9 0, ' 9 3

          

Do ' 0  nên phương trình

 

* có hai nghiệm phân biệt: ₁ 1 3 2; ₂ 1 3 4

1 1

x    x      Vậy m 6 và nghiệm còn lại là 4 là các giá trị cần tìm.

Câu 27: Cho phương trình x²mx m  1 0

 

^{1 với x là ẩn số}

a) Giải phương trình khi m2

b) Chứng tỏ phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m .

c) Gọi x x₁, ₂ là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của biểu thức



1 1

 

² 2 1



² 2016 A x  x   .

Lời giải

a) Khi m = 2, phương trình

 

1 trở thành: x²2x 1 0

 

²

Ta có a b c     1 2 1 0 nên phương trình

 

2 có hai nghiệm: _{1 2} 2

1; 2

1 x x c

       a Vậy khi m2, tập nghiệm của phương trình

 

^{2 là S   }



^{1; 2}



b) ^{ m24.1.}



^{m 1}



^{m24m 4}



^m2



^{20;với mọi m.}

Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.

c) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x₁, ₂ thỏa hệ thức Vi-ét:

1 2

1 2 1

S x x b m

a P x x c m

a

     



    



Ta có: A



x11

 

² x21



²2016



1 1



2 1



² 2016 A x  x   



1 2 1 2 1



² 2016 A x x  x x  



^{1 1}



^{2 2016}

A m  m  02 2016 A 

2016 A

Câu 28: Cho phương trình ^x2



^2m¹



^x^2m⁰ với x là ẩn số; m là tham số. Tìm m để phương trình có nghiệmx2. Tìm nghiệm còn lại.

Lời giải

Do phương trình có nghiệm x2 nên thỏa: ²²



^2m^{1 .2 2}



 ^m⁰ 4 4m 2 2m 0

     2m 2 0

  

2m 2

   1

  m

Thay m 1vào phương trình ta được phương trình: x²3x 2 0

 

^*

Ta có ^{a b c}      ¹

 

^{3 2 0} nên phương trình

 

* có hai nghiệm: _{1 2} 2

1; 2

1 x x c

   a Vì x₂2 nên nghiệm còn lại là x₁1

Vậy m 1 và nghiệm còn lại là 1 là giá trị cần tìm.

Câu 29: Cho phương trình ^x2



^m1



^{x m  2 0 (x} là ẩn số, m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂

b) Tính tổng và tích của hai nghiệm x x₁, ₂ của phương trình theo m

c) Tính biểu thức A x ₁²x₂²6x x_{1 2} theo m và tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất Lời giải

a) ^{  }_



^m1



^_^24.1.



^m2



^



^m1



^24



^m2



^{m22m 1 4m8}

2 2 9

m m

   ^



^{m22m 1}



^{8 }



^m1



^{2 8 0; với mọi m}

Vậy phương trình lương có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ với mọim .

b) Với mọi m, phương trình đã cho có hai nghiệm x x₁, ₂ thỏa hệ thức Vi-ét:

1 2

1 2

1 2

S x x b m

a P x x c m

a

     



    



c) Ta có A x ₁²x₂²6x x_{1 2} 



x1x2



²8x x1 2 ^



^m1



^28



^m2



^{m22m 1 8m16}

2 6 17

m m

   m²6m 9 8 ^



^m3



^{2 8 8; với mọi m}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi m3

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là: MinA8 khi và chỉ khi m3.

Câu 30: Cho phương trình: ^x22



^m1



^{x4m0 (x} là ẩn số, m là tham số).

a) Giải phương trình với m 1.

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải

a) Với m 1 phương trình trở thành: x²4x 4 0

 

^*

' 22 1.4 0

   

Vì ' 0  nên phương trình

 

* có nghiệp kép: _{1 2} ' 2 1 2 x x b

   a     Vậy với m 1, tập nghiệm của phương trình

 

^{* là S  }

 

²

b) Ta có

 

²

 

' m 1 1. 4m

       ^



^m1



^{24mm22m 1 4m m22m1}



^m1



²

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt    ^{' 0}



^m¹



²      ^{0 m 1 0 m 1} Vậy m 1 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 31: Cho phương trình x²2x m ² 1 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tính tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m.

c) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm thỏa: x₁ 3x₂ Lời giải

a) Ta có ^{  ' 12 1.}



^m21



^{ 1 m21m2 2 0, với mọi m}

Vì ' 0  , với mọi mnên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x₁, ₂ thỏa hệ thức Vi-ét:

1 2

2 2

1 2

2 2

1

1 1

1 S x x b

a

c m

P x x m

a

 

      

  

      



c) Ta có x₁x₂ 2 (do trên) và x₁ 3x₂ nên ta có hệ phương trình sau:

 

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 1

2 2 2

2 2 2

3 3 0 3 0

2 1 2 3

*

2 2 1 1

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x

           

  

        

 



          

 

      

Thay

 

* vào biểu thức x x_{1 2}  m²1 ta được:

 

^{3 .1 m2 1 m2    2 m 2}

Vậy m  2 là các giá trị cần tìm.

Câu 32: Cho phương trình: ^x2



^m2



^{x m  1 0 (m} là tham số)

a) Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m b) Gọi x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để có x₁²x₂²13x x_{1 2}

Lời giải

a) Ta có ^{ }



^m2



^24.1.



^m1



^{m24m 4 4m4 m2 8 0, với mọi m.}

Vì  0, với mọi m nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. b) Với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt nên thỏa hệ thức Vi-ét:

   

1 2

1 2

2 2

1

1 1

1 b m

S x x m

a c m

P x x m

a

 

        



      



Theo đề bài, ta có:

2 2

1 2 13 1 2

x x  x x 



x1x2



²2x x1 2 13 x x1 20



x1x2



²3x x1 213 0



^{m 2}



^{2 3}



^{m 1 13 0}



        ^



^m2



^23



^{m 1 13 0}



^

2 4 4 3 3 13 0

m m m

      

2 6 0 m m

   

 

^*

 

12 4.1. 6 1 24 25 0; 25 5

          

Do  0 nên phương trình

 

* có hai nghiệm phân biệt:

1 2

1 5 1 5

2; 3

2.1 2.1

m    m    

Vậy m₁2; m₂ 3 là các giá trị cần tìm .

Câu 33: Cho phương trình x²   x m 2 0 với m là tham số và x là ẩn số a) Tìm điều kiện của mđể phương trình có nghiệm

b) Giả sử x x₁, ₂ là hai nghiệm của phương trình trên. Tìm m để x x_{1 2}³x x_{1 2}³  10 Lời giải

a) Ta có ^{  12 4.1.}



^m2



1 4  m8 9 4  m

Để phương trình có nghiệm 9

0 9 4 0 4 9

m m m 4

           

Vậy 9

m4 thì phương trình có nghiệm . b) Với 9

m 4 thì phương trình trên có hai nghiệm x x₁, ₂ thỏa hệ thức Vi-ét:

1 2