ĐẠO HÀM
Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM
Mở đầu
Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:
0
0 0
lim
x x
f x f x x x
trong đó
f x là một hàm số đã cho của đối số x .
Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:
Số gia đối số là x x – x
0
Số gia tương ứng của hàm số là
y f x
– f x
0Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:
0
0 0 0
lim lim
x x x
f x f x y
x x x
Định nghĩa đạo hàm
Cho hàm số
y f x , xác định trên
a b; và
x0
a b;
Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x
0, khi số gia đối số dần tới
0, được gọi là đạo hàm của hàm số
y f x tại điểm x
0.
Đạo hàm của hàm số
y f x tại x
0được kí hiệu là
y x
0hoặc
f
x0:
0
0 0
0
lim
x x
f x f x f x
x x
hoặc
00
lim
x
y x y
x
Đạo hàm một bên
a. Đạo hàm bên trái của hàm số
y f x tại điểm x
0, kí hiệu là f x
0được định nghĩa là
0
0
0 0
0
lim lim
x x x
f x f x f x y
x x x
trong đó
xx0được hiểu là
xx0và
xx0.
b. Đạo hàm bên phải của hàm số
y f x tại điểm x
0, kí hiệu là f x
0được định nghĩa là
0
0
0 0
0
lim lim
x x x
f x f x f x y
x x x
trong đó
xx0được hiểu là
xx0và
xx0.
Định lí: Hàm số y f x
có đạo hàm tại điểm x
0thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu
0f x
và f x
0tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f x
0 f x
0 f x
0.
Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa:
a. Hàm số
y f x được gọi là có đạo hàm trên khoảng
a b; nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.
Chủ đề 2
b. Hàm số
y f x được gọi là có đạo hàm trên đoạn
a b; nếu nó có đạo hàm trên khoảng
a b; và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại
b.
Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số y f x
có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.
Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số
Định lí: Nếu hàm số y f x
có đạo hàm tại điểm x
0thì nó liên tục tại điểm đó.
Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x có thể không có 0 đạo hàm tại điểm đó
2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x
0thì không có đạo hàm tại điểm đó.
Ý nghĩa của đạo hàm 1. Ý nghĩa hình học
a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:
Cho đường cong phẳng
Cvà một điểm cố định M
0trên
C, M là điểm di động trên
C. Khi đó M M
0là một cát tuyến của
C.
Định nghĩa: Nếu cát tuyến
M M
0có vị trí giới hạn M T
0khi điểm
Mdi chuyển trên
Cvà dần tới điểm M
0thì đường thẳng M T
0được gọi là tiếp tuyến của đường cong
Ctại điểm M
0. Điểm M
0được gọi là tiếp điểm.
b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho hàm số
y f x xác định trên khoảng
a b; và
có đạo hàm tại
x0
a b; , gọi
Clà đồ thị hàm số đó.
Định lí 1:
Đạo hàm của hàm số
f x tại điểm x
0là hệ số góc của tiếp tuyến M T
0của
Ctại điểm
0 0; 0
M x f x
c. Phương trình của tiếp tuyến:
Định lí 2:
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị
Ccủa hàm số
y f x tại điểm
0 0; 0
M x f x
là
0 0
– –
y y f x x x
2. Ý nghĩa vật lía. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t
, với
f t
là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t
0là đạo hàm của hàm số
s f t tại t
0.
0
0
0v t s t f t
b. Cường độ tức thời: Điện lượng
Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:
Q f t , với
f t là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t
0là đạo hàm của hàm số
Q f t tại t
0.
0
0
0I t Q t f t
M0
M T (C)
O f (x )0
f (x0 x) y
x
x0 x0 x
x
y
M0 T
(C) M
Dạng 1. Tìm số gia của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính số gia của hàm số
y f x tại điểm x
0tương ứng với số gia
xcho trước ta áp dụng công thức tính sau: y f x
0 x f x
0B. BÀI TẬP MẪU
VD 1.
Tìm số gia của hàm số y 2 x
2 3 x 5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:
a) Từ x
0 1 đến x
0 x 2 b) Từ x
0 2 đến x
0 x 0,9 c) Từ x
0 1 đến
x 1 xd) Từ x
0 2 đến
x 2 x...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 2.
Tính y và
y x
của hàm số sau theo x và x:
a) y 3 x 5 b) y 3 x
2 7 c) y 2 x
2 4 x 1 d) y cos 2 x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm số gia của hàm số y x
2– 1 tại điểm x
0 1 ứng với số gia
x, biết:
a)
x 1b) x –0,1
Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để tính đạo hàm của hàm số
y f x tại điểm x
0bằng định nghĩa ta làm như sau:
Cách 1:
Cho x
0một số gia
xvà tìm số gia
y f x
0 x
f x
0
Tập tỉ số
y x
Tìm giới hạn
lim0x
y x
. Nếu:
lim0 x
y x
tồn tại hữu hạn thì tại x
0hàm số có đạo hàm là
0 0lim
x
f x y
x
lim0 x
y x
không tồn tại hữu hạn thì tại x
0hàm số không có đạo hàm.
Cách 2:
Tính
00 0
lim
xf x f x x x
Nếu
0
0 0 x
lim
xf x f x x x
tồn tại hữu hạn thì tại x
0hàm số có đạo hàm là
0
0 0
0
lim
x xf x f x f x
x x
Nếu
0
0 0
lim
x xf x f x x x
không tồn tại hữu hạn thì tại x
0hàm số không có đạo hàm.
B. BÀI TẬP MẪU
VD 3.
Tính đạo hàm của hàm số y x
2 2 x 4 tại x
0 2
...
...
...
...
VD 4.
Cho hàm số y f x 2 x
2 1
a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x
0 2
b) Suy ra giá trị3 f 2 5 f 2 3
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 5.
Cho sin 3 khi 0
3 2 khi 0
x x
y f x
x x
. Tính đạo hàm của hàm số tại x
0 0 bằng định nghĩa.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x
0:
a) y 2 x 1 tại x
0 2 b) y x
2 x tại x
0 1
c)
11 y x
x
tại x
0 0 d)
y 2x7tại x
0 1 Bài 3. Cho hàm số:
sin
2khi 0
0 khi 0
x x
y f x x
x
a) Chứng minh rằng
f x liên tục tại x
0 0 . b) Tính đạo hàm (nếu có) của
f x tại điểm x
0 0 . Bài 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số
2
1
cos khi 0
0 khi 0
x x
y f x x
x
tại điểm x
0 0
Bài 5. Chứng minh rằng hàm số:
22
1 khi 0
khi 0
x x
y f x
x x
không có đạo hàm tại điểm x
0 0 nhưng có đạo hàm tại x
0 2 .
Bài 6. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 1 y x
x
tại x
0 0 . Bài 7. Chứng minh rằng hàm số
2
2 3
3 1
x x
y x
liên tục tại
x–3nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.
Bài 8. Tìm a ,
bđể hàm số
2 khi 1
khi 1
x x
y f x
ax b x
có đạo hàm tại điểm
x1.
Bài 9. Cho hàm số: cos sin khi 0
1 khi 0
p x q x x
y f x
px q x
. Chứng minh rằng với mọi cách chọn
p,
qhàm số không thể có đạo hàm tại điểm
x0.
Bài 10. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):
a) y ax 3 b)
1 2y 2ax
c)
12 1
y x
với
1x 2
d)
y 3xvới
x3Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:
f x liên tục tại x
0
0
0 0
lim lim 0
x x
f x f x
xy
f x có đạo hàm tại x
0
f x liên tục tại x
0
f x liên tục tại x
0chưa chắc
f x có đạo hàm tại x
0B. BÀI TẬP MẪU
VD 6.
Cho hàm số 2
2 1
y f x x x
.
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x
0 2 b) Xét xem tại x
0 2 hàm số có đạo hàm không?
...
...
...
...
...
...
...
VD 7.
Cho
2 2
2
sin 3 khi 0
0 khi 0
x x x
y f x x
x
.
a) Xét sự liên tục của hàm số tại x
0 0 b) Xét xem tại x
0 0 hàm số có đạo hàm không?
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11. CMR: hàm số
2
2 3
3 1
x x
y x
liên tục tại
x 3nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.
Bài 12. Cho hàm số:
2
1
sin khi 0
0 khi 0
x x
y f x x
x
a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi
x.
b) Chứng tỏ rằng đạo hàm
f
xkhông liên tục tại điểm x
0 0 .
Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Bài toán tiếp tuyến
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm
Hệ số góc k
của cát tuyến
MNvới đường cong
C :y f x , biết
M,
Ntheo
thứ tự có hoành độ là x
M, x
Nđược cho bởi:
N MN M
y y
k y
x x x
với x
N x
M f
x0là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong
Ctại
M x
0;f x
0
Tiếp tuyến của đồ thị 1. Tiếp tuyến tại một điểm:
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị
C :y f x tại điểm
M0
x0; y0 :
0 0 0
y y f x x x Trong đó:
- M0
x0; y0 gọi là tiếp điểm.
- k f
x0là hệ số góc.
Các chú ý:
-Nếu cho x
0thì thế vào
y f x tìm y
0.
-Nếu cho y
0thì thế vào
y f x tìm x
0.
2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:Để lập phương trình tiếp tuyến
dvới
Cbiết
dđi qua
A x
A; yA :
Cách 1: - Gọi M0
x0; y0 là tiếp điểm.
-
Phương trình đường thẳng
dqua M
0với hệ số góc
k f
x0:
0 0 0
– –
y y f x x x
- A x
A;yA
d yA –y0 f
x0 xA –x0
- Giải phương trình trên tìm
x
0, tìm
f
x0, thế vào
y f x tìm y
0.
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:
- Giải phương trình: f
x k các hoành độ tiếp điểm.
- Thế vào y f x
để tìm tung độ.
- Viết tiếp tuyến: y–y0 k x.
–x0
Chú ý:
- ti
ếp tuyến d // : y ax b k a
- tiếp tuyến d : y ax b k a . 1
- ktan, với
là góc giữa
dvới tia
Ox.
x
y d d
B. BÀI TẬP MẪU
VD 8.
Cho đường cong
C :yx3và hai điểm
A
1; 1 và
B
1 x;1 y trên
C.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến
ABvới
xlần lượt là 0,1 và 0, 01 b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với
Ctại
A.
...
...
...
...
...
VD 9.
Cho hàm số
y f x
1 x
có đồ thị
C. Viết phương trình tiếp tuyến với
C, biết:
a) tiếp điểm có hoành độ bằng
2b) Tiếp điểm có tung độ bằng
3c) Hệ số góc của tiếp tuyến
k–4. d) Tiếp tuyến song song với d x : 9 y 2018 e) Tiếp tuyến vuông góc với d x : 4 y 0 . f) Tiếp tuyến qua điểm
A
8; 0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 10.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x
3, biết:
a) Tiếp điểm có hoành độ bằng
– 1. b) Tiếp điểm có tung độ bằng
8. c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
3.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 13. Cho Parabol y x
2và hai điểm
A
2; 4 và B ( 2 x ; 4 y ) trên parabol đó.
a) Tính hệ số góc của cát tuyến
ABbiết
xlần lượt bằng
1; 0,1 và 0, 001 . b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm
A.
Bài 14. Tìm hệ số góc của cát tuyến
MNvới đường cong
C, biết:
a)
C :yx2 2xvà hoành độ M N , theo thứ tự là x
M 2, x
N 1 . b)
2
1
: x x
C y
x
và hoành độ M N , theo thứ tự là x
M 1, x
N 3 .
Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol
y 1 x
, biết:
a) Tại điểm 1 2 ; 2
.
b) Tiếp điểm có hoành độ bằng
–1. c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng
14
.
Bài 16. Cho đường cong C : y x . Viết phương trình tiếp tuyến của
C:
a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng
1.
b) Biết tiếp tuyến song song với : – 4 x y 3 0 . Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:
a)
11 y x
x
, biết hoành độ tiếp điểm là x
0 0 . b)
y x2, biết tung độ tiếp điểm là y
0 2 . Bài 18. Cho hai hàm số 1
2 y
x
và
2
2
y x . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.
Bài 19. Cho parabol
P :yx2. Gọi M
1và M
2là hai điểm thuộc
Plần lượt có hoành độ x
1 –2 và x
2 1 . Hãy tìm trên
Pmột điểm
Esao cho tiếp tuyến tại
Esong song với cát tuyến
1 2
M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó.
Bài 20. Cho hàm số y x
3 3 x
2 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : 3 – 5 – 2018 x y 0 .
Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với
P :yx2, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
A
0 ; –1 .
Bài 22. Cho hàm số y x
3– 3 x
2 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của
C, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
A
0; 3 .
Bài 23. Cho hàm số
Cm
:y f x
–x4 –mx2m1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các tiếp tuyến của
Cm tại
A
1; 0 và
B
–1; 0 vuông góc với nhau.
Bài 24. Cho h.số y cos
2x m sin x ( m là tham số) có đồ thị
C. Tìm m trong mỗi trường hợp sau:
a) Tiếp tuyến của
Ctại điểm có x
có hệ số góc bằng
1. b) Tiếp tuyến của
Ctại các điểm có các hoành độ
x 4
và
x 3
song song hoặc trùng nhau.
Bài 25. Tìm giao điểm của hai đường cong
P :y x2 x 1và
: 1H y 1
x
. Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.
Bài 26. Cho parabol
P :yx2. Viết phương trình tiếp tuyến với
P, biết:
a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y : 4 x 3 .
b) Tiếp tuyến đi qua điểm
A
0; 1 .
Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cần nhớ các kết quả sau:
Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình
ss t thì vận tốc tức thời của chất điểm đó tại thời điểm t
0là
v t
0 s t
0 .
Một dòng điện có điện lượng là
QQ t thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t
0là
I t
0 Q t
0 .B. BÀI TẬP MẪU
VD 11.
Một chất điểm chuyển động có phương trình là
s f t
t22t3 s,m
a) Tính đạo hàm của hàm số
f t tại thời điểm t
0.
b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm
t5.
...
...
...
...
...
VD 12.
Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q 5 t 3 ( t tính bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại
t8.
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 27. Một viên đạn được bắn lên từ vị trí
Mcách mặt đất 1 m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là v
0 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí)
a) Tìm thời điểm t
0mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng
0. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?
b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy g 9,8 m/s
2) Bài 28. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động
1 2s 2gt
, trong đó g 9,8 m/s
2và t được tính bằng giây.
a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến
t tvới độ chính xác đến 0, 001 , biết
tlần lượt nhận các giá trị 0,1 ; 0, 01 ; 0, 001 .
b) Tìm vận tốc tại thời điểm
t 5giây.
Bài 29. Một chiếc xe chạy được quãng đường
s
km sau t (giờ) được tính bởi s t
2 3 t 2 . Hãy
tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được
4giờ.
Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp
1)
u–vw
u–vw2)
ku k u. , với
klà hằng số.
3)
u v.
u v v u4)
u v w. .
u vw uv w uvw 5) u u v v u '
2'
v v
6) 1 v
2'
v v
7) y
x y u
u .
x Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản
Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp
C 0,
Chằng số
x 12
1 1
x x
21 u
u u
1
2 x
x
2 u u
u
x
. x
1 u
. u
1. u
sinx
cosx
sinu
u.cosu
cosx
sinx
cosu
u.sinu
tan
12 1 tan2x cos x
x
tan
2
1 tan2
cos
u u u u
u
2
2
cot 1 1 cot
x sin x
x
cot
2
1 cot2
sin
u u u u
u
Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.
Chú ý:
Một số bài toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.
Sau khi tính đạo hàm xong, rút gọn để đưa về kết quả đjep hơn (nếu được).
B. BÀI TẬP MẪU
VD 13.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
yx73x44x24 x4b)
y 2x4 3 10x 25 x
c) y x
2 x 1 2 x
2 3 x 1 d) y 2 x 1 4 x 3
e)
3 14 5
y x x
f)
2 2
2 3 7
2 3
x x
y x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 14.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y 2 x
2 3 x
2016b) y 4 x
3 3 x
2 2
c)
45
2 3
y
x
d) y 2 x 3
21x 4
23...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 30. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):
a)
1 4 1 3 1 2 34 3 2
y x x x x a
b)
2
51 1 y
x x
c) y 3 x
5 8 3 x
2
d)
y
x1
x2
x3 e)
221 y x
x
f)
25 31 y x
x x
g) 1
y x x h)
2
1
y x
x
i) y 2 5 x x
2j)
yx2x x1k) 1
1 y x
x
l)
2 2
y x
a x
Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.
sinx
cosx
sinu
u.cosu sin
nu n .sin
n1u . sin u
cosx
sinx
cosu
u.sinu cos
nu n .cos
n1u . cos u
tan
12x cos
x
tan
2cos u u
u
tan
nu n .tan
n1u . tan u
cot
12x sin
x
cot
2sin u u
u
cot
nu n .cot
n1u . cot u
Chú ý:
Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau khi tính (nếu được). Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.
B. BÀI TẬP MẪU
VD 15.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
2 sin sin 2 sin2 2sin sin2 2y x x x x
x
b) y sin
2 2 x
2 3 x 1 c)
y sin 4
x2x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 16.
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a)
sin1 cos y x
x
b) 1 cos
22
y x c)
2 20 2
1 tan 1 tan y x
x
d)
1 cos1 cos y x
x
e) y x sin x cos x f) y 3 tan x tan 3 x tan
3x tan x
2g) y x cot x
2 1
h) y cot 2
3x 3cot 2 x i)
sin cos sin cosx x
y x x
j)
2 2
2 2
sin 2 4 cos 4
sin 2 4 cos
x x
y x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 31. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:
a) y 5sin x 3cos x b) y sin x
2 3 x 2 c)
ycos 2x1d) y sin 3 .cos 5 x x e)
y 1 2 tan xf) y tan 3 x cot 3 x g) y 4sin x 3cos x h) y 4 sin
2x 3cos
4x i)
1 cos y x
x
j)
1 sin1 sin y x
x
k)
cossin 1 y x
x
l) y 2 cot x x x
2m)
y 1 2 tan xn) y sin 3 .cos 4 x x o)
2 cos sin 2 cos
22
y x x x
p) y sin
2x .cos
3x q) tan
32 y x
4
r) y sin
2 cos
2 tan x
u) y cot
2x
2 1 v) y sin
3x
2 1 w)
ysin2
cos 3x
Bài 32. Cho hàm số
y f x
x3và
4 sin2
y g x x x
. Tính tổng
f
1 g
1?
Bài 33. Tính đạo hàm của hàm số sau: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 cos
y x , với
x
0;
Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:
“Cho hàm số
y f x , hãy gi ải phương trình
g y y
,
0”
Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1.
Tính đạo hàm y .
Bước 2. Chuyển phương trình g y y
,
0về phương trình đại số thông thường để giải.
Chú ý: Cho tam thức f x
ax2bxc, (a0)1/
0, 0
0
f x x a
2/
0, 0
0
f x x a
3/
0, 0
0
f x x a
4/
0, 0
0
f x x a
B. BÀI TẬP MẪU
VD 17.
Cho hàm số y x
3 3 x
2 x 2 . Tìm x sao cho: a) y 2 b) y 10
...
...
...
...
...
...
...
VD 18.
Giải các bất phương trình:
a) y 0 với
2
3 3
1
x x
y x
b) y 0 với
2 2
1 1 x x
y x x
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 19.
a) Cho y sin 2 x 2 cos x . Hãy giải phương trình y 0 .
b) Cho y 3sin 2 x 4 cos x 12 x . Hãy giải phương trình y 2 .
...
...
...
...
...
...
...
VD 20.
Cho hàm số:
y f x
x32x2mx3. Tìm m để:
a)
f
xlà bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b)
f
x 0, x .
c)
f
x 0có hai nghiệm phân biệt đều dương.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 34. Tìm các nghiệm của phương trình sau:
a)
f
x 0với
1 3 2 2 6 1f x 3x x x
. b)
f
x –5với
1 4 3 3 2 34 2
f x x x x
. Bài 35. Cho hàm số
f x
x33x22. Hãy giải các bất phương trình sau: a)
f
x 0b)
f
x 3Bài 36. Giải phương trình y 0 trong mỗi trường hợp sau:
a) y sin 2 x 2 cos x b) y cos
2x sin x c) y cos
2x sin x d) y tan x cot x e) y 3cos x 4 sin x 5 x f) 2
1 sin( ) 2 cos 2
y x
x
Bài 37. Cho hàm số y mx
3 x
2 x 5 . Tìm m để:
a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.
b) y có hai nghiệm trái dấu. c) y 0 với mọi
x.
Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng
a b; thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:
“Nếu hàm số
y f x
có đạo hàm trong khoảng
a b;
và f
x 0, x
a b;
thì hàm số y f x
không đổi trong khoảng
a b; ”
Từ đó ta thực hiện các dạng toán:
Dạng 1. Chứng minh rằng: A x
c, x D.Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính
A x , rồi khẳng định
A x
0, x D.
Bước 2. Chọn
x0D A x
0 c.
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để A x
không phụ thuộc vàox . Ta thực hiện các bước:
Bước 1. Tính
A x , rồi tìm điều kiện để
A x
0,x.
Bước 2. Kết luận.
B. BÀI TẬP MẪU
VD 21.
Cho hai hàm số
f x
sin4xcos4 xvà
1cos 4g x 4 x
. Chứng minh
f
x g x . Nhận xét ?
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
VD 22.
Chứng minh rằng hàm số
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
x x
y x x x
có đạo hàm không phụ thuộc vào x .
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 38. Chứng minh rằng:
a) Hàm số y tan x thỏa mãn hệ thức y – y
2– 1 0 . b) Hàm số y cot 2 x thỏa mãn hệ thức y 2 y
2 2 0 . Bài 39. Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:
a) Nếu
f x
2 cos2
4x1 thì f x 8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
b) Nếu
f x
tan 3xthì
f
x 3. Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Bài 40. Chứng minh rằng với mọi x ta đều có:
2 2 2
cos xa sin x b 2 cos xa sin x b sin a b cos a b
Bài 41. Chứng minh rằng biểu thức
22
2 22
sin sin sin
3 3
A x
x x
không phụ thuộc vào x .
Bài 42. Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x : a) y sin
6x cos
6x 3sin
2x .cos
2x
b)
2 2 22
22
2cos cos cos cos 2sin
3 3 3 3
y
x
x
x
x x
Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO
A. VI PHÂN
Định nghĩa
Cho hàm số
y f x xác định trên
a b; và có đạo hàm tại
x
a b; .
Cho số gia
xtại x sao cho
x x
a b; .
Ta gọi tích
f
x .x(hoặc y . x ) là vi phân của hàm số
y f x tại x ứng với số gia
xvà ký hiệu là dy hoặc
df x . Như vậy, ta có:
dy y x hoặc
df x
f
x xÁp dụng: Với hàm số
yx, ta được:
dx
x x 1. x xVậy ta có: d y y x d hoặc
df x
f
x dx.
Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng
Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:
0 lim0x
f x y
x
Do đó, với
xđủ nhỏ thì:
0
0
0
0
0f x y y f x x f x x f x f x x
x
f x
0 x
f x
0 f
x0 xĐó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.
B. ĐẠO HÀM CẤP CAO
Định nghĩa
Giả sử hàm số
y f x có đạo hàm
f
x.
Đạo hàm của hàm số
f
x, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số
f x .
Kí hiệu là y hay
f
x.
Tương tự, đạo hàm của hàm số
f
x, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số
f x
.
Kí hiệu là y hay
f
x.
Đạo hàm của hàm số
f
x, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số
f x .
Kí hiệu là
y 4hay f
4 x .
Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp
n–1 được gọi là đạo hàm cấpn của hàm số
y f x
.
Kí hiệu là y n hay
f
n x .
Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:
s f t với
f t là hàm số có đạo hàm.
Khi đó, gia tốc tức thời
của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số
s f t
tại t là
t f
t.
Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính vi phân của hàm số
f x tại x
0cho trước:
Tính đạo hàm của hàm số tại x
0
Suy ra vi phân của hàm số tại x
0ứng với số gia
xlà df x
0 f x
0 x
Tính vi phân của hàm số
f x :
Tính đạo hàm của hàm số
Suy ra vi phân của hàm số là d y d f x f x d x
B. BÀI TẬP MẪU
VD 23.
Cho hàm số
f x
6x32x24x1.
Tính vi phân của hàm số tại điểm x
0 1 , ứng với số gia x 0, 01 .
...
...
...
VD 24.
Tìm vi phân của hàm số
y f x
sin 3 .cos 2x x.
...
...
...
VD 25. Bài 38. Chứng minh
a)
1x yd dx0với
y 2 1x. b)
x2y
dxx yd 0với y 2 x
2 x .
...
...
...
...
...
...
...
...
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 43. Tính vi phân của hàm số y sin 2 x tại điểm
x 3
ứng với a) x 0, 01 b) x 0, 001 Bài 44. Tính vi phân của mỗi hàm số sau:
a)
yx2x x x 8b)
y ax b(với a ,
blà hằng số)
c) y tan
2 3 x cot 3 x
2 d) y