Tài liệu tự học chủ đề đạo hàm - Trần Quốc Nghĩa - TOANMATH.com

(1)

(2)

ĐẠO HÀM

Vấn đề 1. ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

 Mở đầu

Nhiều bài toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … đòi hỏi phải tìm giới hạn dạng:

   

0

0 0

lim

x x

f x f x x x





 trong đó

^{f x}

  là một hàm số đã cho của đối số x .

Qua Đại số và Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của số gia đối số và số gia tương ứng của hàm số:



Số gia đối số là   x x – x

₀



Số gia tương ứng của hàm số là

 y f x

 

– f x

 

0

Ta sẽ dùng khái niệm và kí hiệu đó viết các giới hạn trên:    

0

0 0 0

lim lim

x x x

f x f x y

x x x

  

 

  

 Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số

^y^ ^{f x}

  , xác định trên 

^{a b}^;

 và

x0



a b;



Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại x

₀

, khi số gia đối số dần tới

0

, được gọi là đạo hàm của hàm số

^y^ ^{f x}

  tại điểm x

0

.

Đạo hàm của hàm số

^y^ ^{f x}

  tại x

0

được kí hiệu là

y x

 

0

hoặc

f

 

x0

:

     

0

0 0

0

lim

x x

f x f x f x

x x



  

 hoặc  

0

lim

x

y x y

x

 

  



 Đạo hàm một bên

a. Đạo hàm bên trái của hàm số

^y^ ^{f x}

0

, kí hiệu là f    x

0^

được định nghĩa là

     

0

0 0

0

lim lim

x x x

f x f x f x y

x x x

 



  

 

  

 

trong đó

xx₀^

được hiểu là

xx₀

và

xx₀

.

b. Đạo hàm bên phải của hàm số

^y^ ^{f x}

0

, kí hiệu là f    x

⁰^

được định nghĩa là

     

0

0 0

0

lim lim

x x x

f x f x f x y

x x x

 



  

 

  

 

trong đó

xx₀^

được hiểu là

xx₀

và

xx₀

.

Định lí: Hàm số ^y^ ^{f x}

  có đạo hàm tại điểm x

₀

thuộc tập xác định của nó, nếu và chỉ nếu

 

⁰

f  x

^

và f    x

⁰^

tồn tại và bằng nhau. Khi đó ta có: f    x

⁰

 f    x

⁰^

 f    x

⁰^

.

 Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa:

a. Hàm số

^y^ ^{f x}

  được gọi là có đạo hàm trên khoảng 

^{a b}^;

 nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng đó.

Chủ đề 2

(3)

b. Hàm số

^y^ ^{f x}

  được gọi là có đạo hàm trên đoạn 

^{a b}^;

 nếu nó có đạo hàm trên khoảng



^{a b}^;

 và có đạo hàm bên phải tại a , đạo hàm bên trái tại

b

.

Qui ước: Từ nay, khi ta nói hàm số ^y^ ^{f x}

  có đạo hàm, mà không nói rõ trên khoảng nào, thì điều đó có nghĩa là đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm số đã cho.

 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của h.số

Định lí: Nếu hàm số ^y^ ^{f x}

  có đạo hàm tại điểm x

₀

thì nó liên tục tại điểm đó.

 Chú ý: 1. Đảo lại không đúng, tức là một hàm số liên tục tại điểm x có thể không có ₀ đạo hàm tại điểm đó

2. Như vậy, hàm số không liên tục tại x

0

thì không có đạo hàm tại điểm đó.

 Ý nghĩa của đạo hàm 1. Ý nghĩa hình học

a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng  

^C

và một điểm cố định M

₀

trên

 

^C

, M là điểm di động trên  

^C

. Khi đó M M

₀

là một cát tuyến của  

^C

.

Định nghĩa: Nếu cát tuyến

M M

₀

có vị trí giới hạn M T

₀

khi điểm

M

di chuyển trên

 

^C

và dần tới điểm M

₀

thì đường thẳng M T

₀

được gọi là tiếp tuyến của đường cong

 

^C

tại điểm M

0

. Điểm M

₀

được gọi là tiếp điểm.

b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số

^y^ ^{f x}

  xác định trên khoảng 

^{a b}^;

 và

có đạo hàm tại

x0



a b;

 , gọi  

^C

là đồ thị hàm số đó.

Định lí 1:

^{f x}

0

là hệ số góc của tiếp tuyến M T

₀

của  

^C

tại điểm

   

0 0; 0

M x f x

c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  

^C

của hàm số

^y^ ^{f x}

  tại điểm

   

0 0; 0

M x f x

là

  

0 0

– –

y y  f  x x x

2. Ý nghĩa vật lí

a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: ^s^ ^{f t}

  , với

 

f t

là hàm số có đạo hàm. Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t

₀

là đạo hàm của hàm số

^s^ ^{f t}

  tại t

0

.

 

0

 

0

 

0

v t s t  f t

b. Cường độ tức thời: Điện lượng

Q truyền trong dây dẫn xác định bởi phương trình:

^Q^ ^{f t}

  , với

^{f t}

  là hàm số có đạo hàm. Khi đó, cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t

0

là đạo hàm của hàm số

^Q^ ^{f t}

  tại t

0

.

 

0

 

0

 

0

I t Q t  f t

M0

M T (C)

O f (x )0

f (x0 x) y

x

x0 x₀ x

x

 y



M0 T

(C) M

(4)

Dạng 1. Tìm số gia của hàm số

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính số gia của hàm số

^y^ ^{f x}

0

tương ứng với số gia

x

cho trước ta áp dụng công thức tính sau:   y f x 

0

  x   f x  

0

B. BÀI TẬP MẪU

VD 1.

Tìm số gia của hàm số y  2 x

²

 3 x  5 , tương ứng với sự biến thiên của đối số:

a) Từ x

₀

 1 đến x

₀

   x 2 b) Từ x

₀

 2 đến x

₀

   x 0,9 c) Từ x

₀

 1 đến

x  1 x

d) Từ x

₀

 2 đến

x  2 x

...

VD 2.

Tính  y và

^y x



 của hàm số sau theo x và x:

a) y  3 x  5 b) y  3 x

²

 7 c) y  2 x

²

 4 x  1 d) y  cos 2 x

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Tìm số gia của hàm số y  x

²

– 1 tại điểm x

₀

 1 ứng với số gia

x

, biết:

a)

 x 1

b)   x –0,1

(5)

Dạng 2. Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Để tính đạo hàm của hàm số

^y^ ^{f x}

0

bằng định nghĩa ta làm như sau:



Cách 1:



Cho x

₀

một số gia

x

và tìm số gia

 y f x



0 x



 f x

 

0



Tập tỉ số

^y x





Tìm giới hạn

lim0

x

y x

 



. Nếu:

 lim0 x

y x

 



tồn tại hữu hạn thì tại x

₀

hàm số có đạo hàm là  

0 0

lim

x

f x y

x

 

  



 lim0 x

y x

 



không tồn tại hữu hạn thì tại x

₀

hàm số không có đạo hàm.



Cách 2:



Tính    

0

0 0

lim

x

f x f x x x

 





Nếu    

0

0 0 x

lim

x

f x f x x x





 tồn tại hữu hạn thì tại x

₀

hàm số có đạo hàm là

     

0

0 0

0

lim

x x

f x f x f x

x x



  





Nếu    

0

0 0

lim

x x

f x f x x x





 không tồn tại hữu hạn thì tại x

₀

hàm số không có đạo hàm.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 3.

Tính đạo hàm của hàm số y  x

²

 2 x  4 tại x

₀

 2

...

VD 4.

Cho hàm số y  f x    2 x

²

 1

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x

₀

 2

b) Suy ra giá trị

3 f    2  5 f   2 3 

...

(6)

VD 5.

Cho   sin 3 khi 0

3 2 khi 0

x x

y f x

x x

 

  

 



. Tính đạo hàm của hàm số tại x

₀

 0 bằng định nghĩa.

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x

₀

:

a) y  2 x  1 tại x

₀

 2 b) y  x

²

 x tại x

₀

 1

c)

¹

1 y x

x

 



tại x

₀

 0 d)

y 2x7

tại x

₀

 1 Bài 3. Cho hàm số:  

sin

2

khi 0

0 khi 0

x x

y f x x

x

 

   

 



a) Chứng minh rằng

^{f x}

  liên tục tại x

₀

 0 . b) Tính đạo hàm (nếu có) của

^{f x}

0

 0 . Bài 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số  

2

1

cos khi 0

0 khi 0

x x

y f x x

x

 

   

 



tại điểm x

₀

 0

Bài 5. Chứng minh rằng hàm số:    

²

2

1 khi 0

khi 0

x x

y f x

x x

  

   

 

 

không có đạo hàm tại điểm x

₀

 0 nhưng có đạo hàm tại x

₀

 2 .

Bài 6. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số 1 y x

 x

 tại x

₀

 0 . Bài 7. Chứng minh rằng hàm số

2

2 3

3 1

x x

y x

 

  liên tục tại

x–3

nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

Bài 8. Tìm a ,

b

để hàm số  

2 khi 1

khi 1

x x

y f x

ax b x

 

  

 



có đạo hàm tại điểm

x1

.

Bài 9. Cho hàm số:   cos sin khi 0

1 khi 0

p x q x x

y f x

px q x

 

   

  



. Chứng minh rằng với mọi cách chọn

p

,

q

hàm số không thể có đạo hàm tại điểm

x0

.

Bài 10. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):

a) y  ax  3 b)

¹ ²

y 2ax

c)

¹

2 1

y x



với

¹

x 2

d)

y 3x

với

x3

(7)

Dạng 3. Quan hệ giữa liên tục và đạo hàm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Mối quan hệ giữa liên tục và đạo hàm ta cần nhớ các kết luận sau:



^{f x}

₀

   

0

0 0

lim lim 0

x x

f x f x

x

y

  

    



^{f x}

  có đạo hàm tại x

₀



^{f x}

₀



^{f x}

₀

chưa chắc

^{f x}

  có đạo hàm tại x

₀

B. BÀI TẬP MẪU

VD 6.

Cho hàm số   2

2 1

y f x x x

  

 .

a) Xét sự liên tục của hàm số tại x

₀

 2 b) Xét xem tại x

₀

 2 hàm số có đạo hàm không?

...

VD 7.

Cho  

2 2

2

sin 3 khi 0

0 khi 0

x x x

y f x x

x

 

 

  

 



.

a) Xét sự liên tục của hàm số tại x

₀

 0 b) Xét xem tại x

₀

 0 hàm số có đạo hàm không?

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 11. CMR: hàm số

2

2 3

3 1

x x

y x

 

  liên tục tại

x 3

nhưng không có đạo hàm tại điểm ấy.

Bài 12. Cho hàm số:  

2

1

sin khi 0

0 khi 0

x x

y f x x

x

 

   

 



a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi

x

.

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm

^f^

 

^x

không liên tục tại điểm x

₀

 0 .

(8)

Dạng 4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Bài toán tiếp tuyến

 Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Hệ số góc k

của cát tuyến

MN

với đường cong  

^C ^:^y^ ^{f x}

  , biết

^M

,

^N

theo

thứ tự có hoành độ là x

_M

, x

_N

được cho bởi:

^N ^M

N M

y y

k y

x x x



  

  với x

_N

 x

_M

 f

 

x0

là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong  

^C

tại

M x



0;f x

 

0



 Tiếp tuyến của đồ thị 1. Tiếp tuyến tại một điểm:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  

^C ^:^y^ ^{f x}

  tại điểm

M0



x0; y0

 :

  

0 0 0

y  y  f  x x  x Trong đó:

- M0



x0; y0

 gọi là tiếp điểm.

- k  f

 

x0

là hệ số góc.

Các chú ý:

-

Nếu cho x

₀

thì thế vào

^y^ ^{f x}

  tìm y

0

.

-

Nếu cho y

₀

thì thế vào

^y^ ^{f x}

  tìm x

0

.

2. Tiếp tuyến đi qua một điểm:

Để lập phương trình tiếp tuyến

d

với  

^C

biết

^d

đi qua

A x



A^;yA

 :

Cách 1: - Gọi M0



x0; y0

 là tiếp điểm.

-

Phương trình đường thẳng

d

qua M

₀

với hệ số góc

k f

 

x0

:

  

0 0 0

– –

y y  f x x x

- A x



_A;y_A



d y_A –y0  f

 

x0 x_A –x0



- Giải phương trình trên tìm

x

₀

, tìm

f

 

x0

, thế vào

^y^ ^{f x}

  tìm y

0

.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)

3. Tiếp tuyến biết hệ số góc:

- Giải phương trình: ^f^

 

^x ^^k

 các hoành độ tiếp điểm.

- Thế vào ^y^ ^{f x}

  để tìm tung độ.

- Viết tiếp tuyến: y–y0 k x.



–x0



 Chú ý:

- ti

ếp tuyến d // :  y  ax b   k  a

- ti

ếp tuyến d   : y  ax b   k a .   1

- ktan

, với



là góc giữa

d

với tia

Ox

.

x

y

  d d

(9)

B. BÀI TẬP MẪU

VD 8.

Cho đường cong  

^C ^:^y^^x³

và hai điểm

^A



^{1; 1}

 và

^B



¹^{ }^x^;1^{ }^y

 trên  

^C

.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến

AB

với

x

lần lượt là 0,1 và 0, 01 b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với  

^C

tại

^A

.

...

VD 9.

Cho hàm số

^y ^{f x}

 

¹

  x

có đồ thị  

^C

. Viết phương trình tiếp tuyến với  

^C

, biết:

a) tiếp điểm có hoành độ bằng

2

b) Tiếp điểm có tung độ bằng

3

c) Hệ số góc của tiếp tuyến

k–4

. d) Tiếp tuyến song song với d x :  9 y  2018 e) Tiếp tuyến vuông góc với d x :  4 y  0 . f) Tiếp tuyến qua điểm

^A



^^{8; 0}



...

(10)

VD 10.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x

³

, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng

– 1

. b) Tiếp điểm có tung độ bằng

8

. c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng

3

.

...

Bài 13. Cho Parabol y  x

²

và hai điểm

^A



^{2; 4}

 và B ( 2   x ; 4   y ) trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến

AB

biết

x

lần lượt bằng

1

; 0,1 và 0, 001 . b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm

A

.

Bài 14. Tìm hệ số góc của cát tuyến

MN

với đường cong  

^C

, biết:

a)  

^C ^:^y^^x² ^²^x

và hoành độ M N , theo thứ tự là x

_M

 2, x

_N

 1 . b)  

2

1

: x x

C y

x

   và hoành độ M N , theo thứ tự là x

_M

 1, x

_N

 3 .

(11)

Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol

y ¹

 x

, biết:

a) Tại điểm 1 2 ; 2

 

 

  .

b) Tiếp điểm có hoành độ bằng

–1

. c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng

¹

4

.

Bài 16. Cho đường cong   C : y  x . Viết phương trình tiếp tuyến của  

^C

:

a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

1

.

b) Biết tiếp tuyến song song với  : – 4 x y   3 0 . Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a)

¹

1 y x

x

 



, biết hoành độ tiếp điểm là x

₀

 0 . b)

y x2

, biết tung độ tiếp điểm là y

₀

 2 . Bài 18. Cho hai hàm số 1

2 y

x

 và

2

y  x . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên.

Bài 19. Cho parabol  

^P ^:^y^^x²

. Gọi M

1

và M

₂

là hai điểm thuộc  

^P

lần lượt có hoành độ x

₁

 –2 và x

₂

 1 . Hãy tìm trên  

^P

một điểm

E

sao cho tiếp tuyến tại

E

song song với cát tuyến

1 2

M M . Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Bài 20. Cho hàm số y  x

³

 3 x

²

 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  : 3 – 5 – 2018 x y  0 .

Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với  

^P ^:^y^^x²

, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm

^A



^{0 ; –1}

 .

Bài 22. Cho hàm số y  x

³

– 3 x

²

 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của  

^C

, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

^A



^{0; 3}

 .

Bài 23. Cho hàm số 

Cm



^:y f x

 

^–x⁴ ^–mx²m¹

. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để các tiếp tuyến của 

Cm

 tại

^A



^{1; 0}

 và

^B



^{–1; 0}

 vuông góc với nhau.

Bài 24. Cho h.số y  cos

²

x  m sin x ( m là tham số) có đồ thị  

^C

. Tìm m trong mỗi trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến của  

^C

tại điểm có x 



có hệ số góc bằng

1

. b) Tiếp tuyến của  

^C

tại các điểm có các hoành độ

x 4

 

và

x 3



song song hoặc trùng nhau.

Bài 25. Tìm giao điểm của hai đường cong  

^P ^:^y^ ^x²^{ }^x ¹

và  

^: ¹

H y 1

 x



. Chứng minh rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

Bài 26. Cho parabol  

^P ^:^y^^x²

. Viết phương trình tiếp tuyến với  

^P

, biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y :  4 x  3 .

b) Tiếp tuyến đi qua điểm

^A



^0; ^¹

 .

(12)

Dạng 5. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp 1

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cần nhớ các kết quả sau:



Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình

^s^^{s t}

  thì vận tốc tức thời của chất điểm đó tại thời điểm t

₀

là

v t

 

0 s t

 

0 .



Một dòng điện có điện lượng là

^Q^^{Q t}

  thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm t

₀

là

I t

 

0 Q t

 

0 .

B. BÀI TẬP MẪU

VD 11.

Một chất điểm chuyển động có phương trình là

^s^ ^{f t}

 

^^t²^²^t^^{3 s,m}

 

a) Tính đạo hàm của hàm số

^{f t}

  tại thời điểm t

₀

.

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm

t5

.

...

VD 12.

Cho biết điện lượng trong một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q  5 t  3 ( t tính bằng giây, Q tính bằng culông). Tính cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại

t8

.

...

Bài 27. Một viên đạn được bắn lên từ vị trí

M

cách mặt đất 1 m , theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là v

₀

 196 m/s (bỏ qua sức cản của không khí)

a) Tìm thời điểm t

₀

mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng

0

. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?

b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy g  9,8 m/s

²

) Bài 28. Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động

¹ ²

s 2gt

, trong đó g  9,8 m/s

²

và t được tính bằng giây.

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t đến

t t

với độ chính xác đến 0, 001 , biết

t

lần lượt nhận các giá trị 0,1 ; 0, 01 ; 0, 001 .

b) Tìm vận tốc tại thời điểm

t 5

giây.

Bài 29. Một chiếc xe chạy được quãng đường

^s



^km

 sau t (giờ) được tính bởi s  t

²

 3 t  2 . Hãy

tính vận tốc tức thời của xe đó sau khi chạy được

4

giờ.

(13)

Vấn đề 2. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp

1) 

^u^–^v^^w



^ ^^u^^–^v^^^w^

2)  

^ku ^ ^^{k u}^. ^

, với

^k

là hằng số.

3) 

^{u v}^.



^ ^^{u v}^ ^^{v u}^

4) 

^{u v w}^{. .}



 u vw uv w uvw    

5) u u v v u '

₂

'

v v

 

 

  

  6) 1 v

₂

'

v v

  

   

  7) y

_x

  y u

_u

  .

_x

 Bảng đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản

Đạo hàm của các hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của các hàm số hợp

 

^C ^{ }⁰

,

^C

hằng số

 

^x ^{ }¹

2

1 1

x x

  

   

 

²

1 u

u u

 

 

   

 

  1

2 x

x

   

2 u u

u

 



  x

^

 

^

. x

^^¹

  u

^

 

^

. u

^^¹

. u 



^sin^x



^{ }^cos^x



^sin^u



^ ^^u^^.cos^u



^cos^x



^{  }^sin^x



^cos^u



^ ^{ }^u^^.sin^u



^tan



¹₂ ^{1 tan}²

x cos x

  x 



tan



2



1 tan²



cos

u u u u

u

     

 

2



²



cot 1 1 cot

x sin x

x

     



cot



2



1 cot²



sin

u u u u

u

 

     

Dạng 1. Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số Đạo hàm của hàm số hợp

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.



Chú ý:

 Một số bài toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽ đơn giản hơn.



Sau khi tính đạo hàm xong, rút gọn để đưa về kết quả đjep hơn (nếu được).

B. BÀI TẬP MẪU

VD 13.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

yx⁷3x⁴4x²4 x4

b)

y 2x⁴ ³ 10x 25

 x 

c) y   x

²

  x 1   2 x

²

 3 x  1  d) y   2 x  1 4  x  3 

e)

³ ¹

4 5

y x x

 



f)

2 2

2 3 7

2 3

x x

y x x

 

  

(14)

...

VD 14.

a) y   2 x

²

 3 x 

²⁰¹⁶

b) y  4 x

³

 3 x

²

 2

c)  

⁴

5

2 3

y

x





d) y   2 x  3  

²¹

x  4 

²³

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 30. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau ( a là hằng số):

a)

¹ ⁴ ¹ ³ ¹ ² ³

4 3 2

y x  x  x  x a

b)



²



⁵

1 1 y

x x



 

c) y  3 x

⁵

 8 3  x

²



d)

^y^



^x^¹



^x^²



^x^³

 e)

₂²

1 y x

 x



f)

₂⁵ ³

1 y x

x x

 

 

g) 1

y  x x h)

2

1

y x

x

  i) y  2 5  x  x

²

j)

yx²x x1

k) 1

1 y x

x

 

 l)

2 2

y x

a x





(15)

Dạng 2. Tìm đạo hàm của các hàm số lượng giác

Sử dụng các quy tắc, các công thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác trong phần tóm tắt lí thuyết để tính.



^sin^x



^{ }^cos^x



^sin^u



^^^u^^.cos^u

 sin

ⁿ

u    n .sin

ⁿ^¹

u . sin  u  



^cos^x



^{  }^sin^x



^cos^u



^^{ }^u^^.sin^u

 cos

ⁿ

u    n .cos

ⁿ^¹

u . cos  u  



^tan



¹₂

x cos

  x



^tan



₂

cos u u

u

  

 tan

ⁿ

u    n .tan

ⁿ^¹

u . tan  u  



^cot



¹₂

x sin

x

  



^cot



₂

sin u u

u

 

 

 cot

ⁿ

u    n .cot

ⁿ^¹

u . cot  u  

Chú ý:

 Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau khi tính (nếu được).

 Có thể rút gọn trước khi tính đạo hàm để việc tính toán dễ dàng hơn.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 15.

a)

2 sin sin 2 sin² 2sin sin² 2

y x x x x

     x

b) y  sin

²

 2 x

²

 3 x  1  c)

^y^ ^{sin 4}



^x²^^x



...

(16)

VD 16.

a)

^sin

1 cos y x

 x



b) 1 cos

²

2

y   x c)

2 20 2

1 tan 1 tan y x

x

  

  

  

d)

^{1 cos}

1 cos y x

x

 



e) y  x sin x  cos x f) y  3 tan x  tan 3 x  tan

³

x  tan x

²

g) y  x cot  x

²

 1 

h) y  cot 2

³

x  3cot 2 x i)

^sin ^cos sin cos

x x

y x x

 



j)

2 2

sin 2 4 cos 4

sin 2 4 cos

x x

y x x

 

 

...

(17)

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 31. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y  5sin x  3cos x b) y  sin  x

²

 3 x  2  c)

^y^^{cos 2}^x^¹

d) y  sin 3 .cos 5 x x e)

y 1 2 tan x

f) y  tan 3 x  cot 3 x g) y  4sin x  3cos x h) y  4 sin

²

x  3cos

⁴

x i)

1 cos y x

 x



j)

^{1 sin}

1 sin y x

x

 



k)

^cos

sin 1 y x

 x



l) y  2 cot x x  x

²

m)

y 1 2 tan x

n) y  sin 3 .cos 4 x x o)

^{2 cos} ^{sin 2} ^cos

 

²

2

y x x x

p) y  sin

²

x .cos

³

x q) tan

³

2 y  x



4 

   

  r) y  sin

²

  cos

²

 tan x   

u) y  cot

²

x

²

 1 v) y  sin

³

x

²

 1 w)

^y^^sin²



^{cos 3}^x



Bài 32. Cho hàm số

^y^ ^{f x}

 

^ ^x³

và  

⁴ ^sin

2

y g x x x

  

. Tính tổng

^f^

 

¹ ^^g^

 

¹

?

Bài 33. Tính đạo hàm của hàm số sau: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 cos

y     x , với

^x^



^0;^



(18)

Dạng 3. Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bài toán thường được đặt ra dưới dạng:

“Cho hàm số

^y^ ^{f x}

  , hãy gi ải phương trình

^{g y y }



^,



⁰

”

Khi đó, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1.

Tính đạo hàm y .

Bước 2. Chuyển phương trình ^{g y y }



^,



⁰

về phương trình đại số thông thường để giải.

 Chú ý: Cho tam thức ^{f x}

 

^^ax²^^bx^^c^, ⁽^a^⁰⁾

1/

  0, 0

0

f x x  a 

    

  

 2/

  0, 0

0

f x x  a 

    

  



3/

  0, 0

0

f x x  a 

    

  

 4/

  0, 0

0

f x x  a 

    

  



B. BÀI TẬP MẪU

VD 17.

Cho hàm số y  x

³

 3 x

²

  x 2 . Tìm x sao cho: a) y   2 b) y  10

...

VD 18.

Giải các bất phương trình:

a) y  0 với

2

3 3

1

x x

y x

 

  b) y  0 với

2 2

1 1 x x

y x x

  

 

...

(19)

VD 19.

a) Cho y  sin 2 x  2 cos x . Hãy giải phương trình y  0 .

b) Cho y  3sin 2 x  4 cos x  12 x . Hãy giải phương trình y  2 .

...

VD 20.

Cho hàm số:

^y^ ^{f x}

 

^^x³^²^x²^^mx^³

. Tìm m để:

a)

^f^

 

^x

là bình phương của một nhị thức bậc nhất.

b)

^f^

 

^x ^^0,^{ }^x ^

.

c)

^f^

 

^x ^⁰

có hai nghiệm phân biệt đều dương.

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 34. Tìm các nghiệm của phương trình sau:

a)

^f^

 

^x ^⁰

với  

¹ ³ ² ² ⁶ ¹

f x 3x  x  x

. b)

^f^

 

^x ^^–5

với  

¹ ⁴ ³ ³ ² ³

4 2

f x  x x  x 

. Bài 35. Cho hàm số

^{f x}

 

^^x³^³^x²^²

. Hãy giải các bất phương trình sau: a)

^f^

 

^x ^⁰

b)

^f^

 

^x ^³

Bài 36. Giải phương trình y  0 trong mỗi trường hợp sau:

a) y  sin 2 x  2 cos x b) y  cos

²

x  sin x c) y  cos

²

x  sin x d) y  tan x  cot x e) y  3cos x  4 sin x  5 x f) 2

1 sin( ) 2 cos 2

y x



x



  

     

 

Bài 37. Cho hàm số y  mx

³

 x

²

  x 5 . Tìm m để:

a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất.

b) y có hai nghiệm trái dấu. c) y  0 với mọi

x

.

(20)

Dạng 4. Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi trong khoảng 

^{a b}^;

 thì đạo hàm luôn triệt tiêu trong khoảng đó. Đảo lại ta có định lí sau:

“Nếu hàm số

^y^ ^{f x}

 

có đạo hàm trong khoảng



^{a b}^;



^và ^f^

 

^x ^^0,^{ }^x



^{a b}^;



thì hàm số ^y^ ^{f x}

 

không đổi trong khoảng



^{a b}^;

 ”

Từ đó ta thực hiện các dạng toán:

Dạng 1. Chứng minh rằng: ^{A x}

 

^^c^,^{ }^x ^D^.

Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Tính

^{A x}^

  , rồi khẳng định

^{A x}^

 

^^0,^{ }^x ^D

.

Bước 2. Chọn

x0D A x

 

0 c

.

Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để ^{A x}

 

không phụ thuộc vào

x . Ta thực hiện các bước:

Bước 1. Tính

^{A x}^

  , rồi tìm điều kiện để

^{A x}^

 

^^0,^^x

.

Bước 2. Kết luận.

B. BÀI TẬP MẪU

VD 21.

Cho hai hàm số

^{f x}

 

^^sin⁴^x^^cos⁴ ^x

và  

¹^{cos 4}

g x  4 x

. Chứng minh

^f^

 

^x ^^{g x}^

  . Nhận xét ?

...

(21)

VD 22.

Chứng minh rằng hàm số

4 4

6 6 4

sin 3cos 1

sin cos 3cos 1

x x

y x x x

 

    có đạo hàm không phụ thuộc vào x .

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 38. Chứng minh rằng:

a) Hàm số y  tan x thỏa mãn hệ thức y  – y

²

– 1 0  . b) Hàm số y  cot 2 x thỏa mãn hệ thức y   2 y

²

  2 0 . Bài 39. Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định:

a) Nếu

^{f x}

 

^^{2 cos}²



⁴^x^¹

 thì f x    8 . Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

b) Nếu

^{f x}

 

^^{tan 3}^x

thì

^f^

 

^x ^³

. Tìm giá trị của x để đẳng thức xảy ra.

Bài 40. Chứng minh rằng với mọi x ta đều có:

           

2 2 2

cos xa sin x b 2 cos xa sin x b sin a b cos a b

Bài 41. Chứng minh rằng biểu thức

²

2

² ²

2

sin sin sin

3 3

A  x



 x  x





        

    không phụ thuộc vào x .

Bài 42. Chứng minh rằng hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc x : a) y  sin

⁶

x  cos

⁶

x  3sin

²

x .cos

²

x

b)

² ² ²

2

²

2

²

cos cos cos cos 2sin

3 3 3 3

y 



x  



x  



x  



x  x

                

       

(22)

Vấn đề 3. VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

A. VI PHÂN

 Định nghĩa

Cho hàm số

^y^ ^{f x}

  xác định trên 

^{a b}^;

 và có đạo hàm tại

^x^



^{a b}^;

 .

Cho số gia

x

tại x sao cho

^x^{  }^x



^{a b}^;

 .

Ta gọi tích

^f^

 

^x ^.^^x

(hoặc y   . x ) là vi phân của hàm số

^y^ ^{f x}

  tại x ứng với số gia

x

và ký hiệu là dy hoặc

^{df x}

  . Như vậy, ta có:

dy  y x   hoặc

^{df x}

 

^ ^f^

 

^x ^^x

Áp dụng: Với hàm số

yx

, ta được:

^d^x^

 

^x ^^^x^{ }^1. ^x^{ }^x

Vậy ta có: d y  y x  d hoặc

^d^{f x}

 

^ ^f^

 

^x ^d^x

.

 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:  

0 lim0

x

f x y

x

 

  



Do đó, với

x

đủ nhỏ thì:

 

0

 

0



0

  

0

 

0

f x y y f x x f x x f x f x x

x

             





f x



0 x



 f x

 

0  f

 

x0 x

Đó là công thức tính gần đúng đơn giản nhất.

B. ĐẠO HÀM CẤP CAO

 Định nghĩa

Giả sử hàm số

^y^ ^{f x}

  có đạo hàm

^f^

 

^x

.



^f^

 

^x

, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số

^{f x}

  .

Kí hiệu là y hay

^f^

 

^x

.



Tương tự, đạo hàm của hàm số

^f^

 

^x

, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp ba của hàm số

 

f x

.

Kí hiệu là y hay

^f^

 

^x

.



^f^

 

^x

, nếu có, được gọi là đạo hàm cấp bốn của hàm số

^{f x}

  .

Kí hiệu là

y^{ }⁴

hay f

^{ }⁴

  x .



Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp

n–1 được gọi là đạo hàm cấp

n của hàm số

 

y f x

.

Kí hiệu là y^{ }ⁿ hay

f

^{ }ⁿ

  x .

 Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình:

^s^ ^{f t}

  với

^{f t}

  là hàm số có đạo hàm.

Khi đó, gia tốc tức thời  

^

của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số

 

s f t

tại t là

^

 

^t ^ ^f^

 

^t

.

(23)

Dạng 1. Tìm vi phân của hàm số

 Tính vi phân của hàm số

^{f x}

  tại x

0

cho trước:



Tính đạo hàm của hàm số tại x

₀



Suy ra vi phân của hàm số tại x

₀

ứng với số gia

x

là df x  

0

 f    x

0

 x

 Tính vi phân của hàm số

^{f x}

  :



Tính đạo hàm của hàm số



Suy ra vi phân của hàm số là d y  d f x    f    x d x

B. BÀI TẬP MẪU

VD 23.

Cho hàm số

^{f x}

 

^⁶^x³^²^x²^⁴^x^¹

.

Tính vi phân của hàm số tại điểm x

₀

 1 , ứng với số gia   x 0, 01 .

...

VD 24.

Tìm vi phân của hàm số

y f x

 

sin 3 .cos 2x x

.

...

VD 25. Bài 38. Chứng minh

a)

1x yd dx0

với

y 2 1x

. b) 

^x^²^y



^d^x^^{x y}^d ^⁰

với y  2 x

²

 x .

...

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 43. Tính vi phân của hàm số y  sin 2 x tại điểm

x 3



ứng với a)   x 0, 01 b)   x 0, 001 Bài 44. Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

a)

yx²x x x 8

b)

y ax b

(với a ,

b

là hằng số)

c) y  tan

²

  3 x  cot 3  x

²

 d) y