Bài Tập Trắc Nghiệm Hệ Phương Trình Mũ Và Lôgarit Có Đáp Án

(1)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ, HỆ PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Để giải hệ phương trình mũ, hệ phương trình logarit ta thường sửa dụng các phương pháp quen thuộc như: phương pháp thế, biến đổi hệ về phương trình Đại số, phương pháp hàm số,… Cuối cùng là tạo ra một hệ đơn giản và kết luận nghiệm.

Câu 1. Giải hệ phương trình ²

2 1

4^{x y} 16 x y

+

ì + =- ïïíï =

ïî .

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^1;1⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{3; 7}^- ⁾. B. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -}^{1; 1}⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^7;3⁾. C. ⁽^{x y}^; ^{) ( )}⁼ ^1;1, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^3;7⁾. D. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^1;1⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^3;7⁾. Câu 2. Giải hệ phương trình

log log 2 10 900 .

x y

ì - =

ïïíï - = ïî

A.

100 10 x y ì =ïï

íï =ïî . B.

1800 900 x y ì =ïï

íï =ïî . C.

1000 10 x y ì =ïï

íï =ïî . D.

10 1000 x y ì =ïï íï =ïî .

Câu 3. Gọi ⁽^{x y}⁰^; ⁰⁾ là một nghiệm của hệ phương trình ² ²

25 .

log log 2

x y

x y

ì + =

ïïíï - =

ïî

Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ^x⁰⁼^{4 .}^y⁰ B. ^x⁰^{= +}⁴ ^y⁰^. C. ^y⁰⁼^{4 .}^x⁰ D. ^y⁰^{= +}⁴ ^x⁰^. Câu 4. Cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình

4 4 4

log log 2 1 log 9 2 20

x y

ì + = +

ïïíï + =

ïî ?

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^9;2⁾. B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^18;1⁾. C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^1;18⁾. D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^16;2⁾.

Câu 5. Hệ phương trình

2 .9 162 3 .4 48

x y x y

ìï =

ïíï =

ïî có tất cả bao nhiêu nghiệm ⁽^{x y}^; ⁾? A. ⁰. B. ¹. C. ². D. ³.

Câu 6. Tìm tất cả các cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ thỏa mãn hệ phương trình

6 2.3 2

6 .3 12 .

x y

ìï - =

ïíï = ïî

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 4 .}³ ⁾ B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{log 2;1 .}⁶ ⁾

C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 2 .}³ ⁾ D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 2}³ ⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{log 2;1 .}⁶ ⁾ Câu 7. Gọi ⁽^{x y}⁰^; ⁰⁾ là một nghiệm của hệ phương trình ¹⁽ ⁾

log 2

log 23 3.

x x

y

+ y

ì =

ïïíï + =

ïî

A. ^x⁰⁼^y⁰^. B. ^x⁰^>^y⁰^. C. ^x⁰^<^y⁰^. D. ^x⁰⁼^y⁰⁺^2.

Câu 8. Tìm tập nghiệm ^S của hệ phương trình ⁽ ⁾

3 27.3

log 2 log5 log3.

x y

x y ìï =

ïíï + = +

ïî

A. ^S⁼{⁽^{7;4 .}⁾} B. ^S⁼{⁽^{4;7 .}⁾} C. ^S⁼{⁽^{6;3 .}⁾} D. ^S⁼{⁽^{9;6 .}⁾}

(2)

Câu 9. Tìm tất cả các cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ thỏa mãn

4 2 2

x y=

và ^{log 2}⁽ ^x⁺²^y⁾⁼¹. A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{4;1 .}⁾ B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{2;3 .}⁾ C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{3;2 .}⁾ D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{5;9 .}⁾

Câu 10. Cho hệ phương trình ⁹⁽ ⁾

2 2

2

log

2 2

6 7 0

3 3

3 1

x y x y

x y - -

-

ìïïæö æö

ïç ÷ + ç ÷ - =

ïç ÷ ç ÷

í è ø è ø ïïï =

ïïî . Chọn khẳng định

đúng?

A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là ^x^{> >}^y ⁰. B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ⁽^{x y}^; ⁾.

C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= - -}^{1; 2}⁾. D. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI

Câu 1. Giải hệ phương trình

2

2 1

4^{x y} 16 x y

+

ì + =- ïïíï =

ïî .

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^1;1⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{3; 7}^- ⁾. B. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -}^{1; 1}⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^7;3⁾. C. ⁽^{x y}^; ^{) ( )}⁼ ^1;1, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^3;7⁾. D. ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= -} ^1;1⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^3;7⁾. Lời giải. Hệ phương trình tương đương với ² ²

2 1

4^{x y} 4 x y

+

ì + =- ïïíï = ïî

2 2 2

2 1

2 1 2 1 2 1 1; 1

.

1 3; 7

2 2 1 2 2 3 0

3

x y

x y x y x y y x

y y x

x y y y y y

y ì =- -

ì + =- ì =- - ì =- - ïï é =- =

ï ï ï ï

ï ï ï ïé ê

Û íïïî + = Û íïïî - - = Û íïïî - - = Û íïïïïîêêë =-= Û êë = =-

Chọn B.

Cách trắc nghiệm: Thay ngược từng đáp án và bấm máy tính.

Câu 2. Giải hệ phương trình

log log 2 10 900 .

x y

ì - =

ïïíï - = ïî

A.

100 10 x y ì =ïï

íï =ïî . B.

1800 900 x y ì =ïï

íï =ïî . C.

1000 10 x y ì =ïï

íï =ïî . D.

10 1000 x y ì =ïï íï =ïî . Lời giải. Điều kiện: ^{x y>}^, ⁰. Hệ phương trình tương đương với

log 2 100 100 0 1000

10 900 10 .

10 900 10 900

x x

x y x

y y

x y y

x y x y

ì ì

ï ï

ï = ï = ìï - = ìï =

ï ï

ï Û ï Û ï Û ï

í í í í

ï ï ïï - = ïï =

ï - = ï - = î î

ï ï

î î Chọn C.

Câu 3. Gọi ⁽^{x y}⁰^; ⁰⁾ là một nghiệm của hệ phương trình ² ²

25 .

log log 2

x y

x y

ì + =

ïïíï - =

ïî

(3)

A. ^x⁰⁼^{4 .}^y⁰ B. ^x⁰^{= +}⁴ ^y⁰^. C. ^y⁰⁼^{4 .}^x⁰ D. ^y⁰^{= +}⁴ ^x⁰^. Lời giải. Điều kiện:

0 0 x y ì >

ïïíï >

ïỵ . Hệ phương trình tương đương với

0

0 0

2 0

25 25

20

25 4

log 2 4 4 0 5

x y x y

x x

x y x y

x x

x y y y

y y

ì + = ì + =

ï ï

ï ï ìï + = ìï = =

ï ï

ï Û ï Û ï Û ï ¾¾® =

í í í í

ï = ï = ïï - = ï = =

ï ï ỵ ïỵ

ï ï

ỵ ỵ . Chọn A.

Câu 4. Cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ nào sau đây thỏa mãn hệ phương trình

4 4 4

log log 2 1 log 9 2 20

x y

ì + = +

ïïíï + =

ïỵ ?

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^9;2⁾. B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^18;1⁾. C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼^1;18⁾. D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^16;2⁾.

Lời giải. Điều kiện:

0 0 x y ì >

ïïíï >

ïỵ . Hệ phương trình tương đương với

( )

4 4

log 2 log 36 2 20

xy x y

ìï =

ïíï + = ïỵ

2 1

2 36 18 2 20 18 0 1; 18

.

2 20 20 2 20 2 9 9; 2

20 2

xy xy y y y y x

x y x y x y y y x

x y

ì éï =

ì ïê

ì = ì = ï - + = é = =

ï ï ï

ï ï ï ï ê ê

Û íïïỵ + = Û íïïỵ = - Û íïïỵ = - Û í ëïïï =ïỵ = - Û ëê = =

Chọn B.

Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án.

Câu 5. Hệ phương trình

2 .9 162 3 .4 48

x y x y

ìï =

ïíï =

ïỵ cĩ tất cả bao nhiêu nghiệm ⁽^{x y}^; ⁾? A. ⁰. B. ¹. C. ². D. ³.

Lời giải. Nhân vế theo vế trong hệ phương trình, ta được ^{6 .36}^x ^y⁼^162.48

2 5

6^x⁺ ^y 6 x 2y 5

Û = Û + = .

Thay ^x^{= -}^{5 2}^y và phương trình thứ hai của hệ, ta cĩ ³^{5 2}^- ^y^.4^y⁼⁴⁸

2 4

5

3 .4 2 .34 2 2 2 4 2 1.

3 3

9

y y

y ỉưç ÷ ỉưç ÷ y y x

Û = Û ççè ø÷÷ =ççè ø÷÷Û = Û = ¾¾® =

Vậy hệ phương trình cĩ duy nhất nghiệm ⁽^{x y}^; ^{) ( )}⁼^1;2 . Chọn B.

Câu 6. Tìm tất cả các cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ thỏa mãn hệ phương trình

6 2.3 2

6 .3 12 .

x y

ìï - =

ïíï = ïỵ

A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 4 .}³ ⁾ B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{log 2;1 .}⁶ ⁾

C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 2 .}³ ⁾ D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{1;log 2}³ ⁾, ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{log 2;1 .}⁶ ⁾ Lời giải. Đặt

6 0

3 0

x y

a b ìï = >

ïíï = >

ïỵ . Hệ phương trình trở thành

2 2

12 a b ab

ì - =

ïïíï = ïỵ

( ) ( )

( )

2

2 2

2 2 2 2 3 6

2 2 12 6 0 2

2 a b

a b a b b a

b b b b b

b

ì = +

ì = + ì = + ïïï ì

ï ï ï ï =

ï ï é =- ï

Û íïïỵ + = Û íïïỵ + - = Û íïïï =ï ëỵêêê Û íïïỵ = loại

thỏa mãn

.

1

6 6

log 2

3 2

x y

ì ì

ï = ï =

ï Û ï

í í

ï = ï =

(4)

Câu 7. Gọi ⁽^{x y}⁰^; ⁰⁾ là một nghiệm của hệ phương trình ¹⁽ ⁾

log 2

log 23 3.

x x

y

+ y

ì =

ïïíï + =

ïî

A. ^x⁰⁼^y⁰^. B. ^x⁰^>^y⁰^. C. ^x⁰^<^y⁰^. D. ^x⁰⁼^y⁰⁺^2.

Lời giải. Điều kiện:

0 1

0 . x y ì < ¹ ïïíï >

ïî Hệ phương trình tương đương với

( )

2

23 13

y x

y x

ìï =ïïí

ï + = + ïïî

( ) ( )

( )

2 2 2

0

3 3 2 2

2 0

2 .

2 4 11 0 4

2 3 22 0

23 1

y x

y x y x x x

y y

x x x

x x

ì

ì ì ï

ï = ï = ï = ìï = =

ïï ï ï ï

Û íïïïî + = + Û íïïî + + - = Û íïïïî - + + = Û íï = =ïî

Chọn C.

Câu 8. Tìm tập nghiệm ^S của hệ phương trình ⁽ ⁾

3 27.3

log 2 log5 log3.

x y

x y ìï =

ïíï + = +

ïî

A. ^S⁼

{

⁽^{7;4 .}⁾

}

_B.^S⁼

{

(^{4;7 .})

}

_C.^S⁼

{

(^{6;3 .})

}

_D.^S⁼

{

(^{9;6 .})

}

Lời giải. Điều kiện: ^x⁺²^y^>^0. Hệ phương trình ⁽ ⁾

3 3 .33

log 2 log15

x y

x y ìï =

Û íïïïî + =

3 7

2 15 4

x y x

x y y

ì = + ì =

ï ï

Û íïïî + = Û íïïî = . Chọn A.

Cách 2. Dùng CASIO thử từng đáp án.

Câu 9. Tìm tất cả các cặp số ⁽^{x y}^; ⁾ thỏa mãn

4 2 2

x y=

và ^{log 2}⁽ ^x⁺²^y⁾⁼¹. A. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{4;1 .}⁾ B. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{2;3 .}⁾ C. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{3;2 .}⁾ D. ⁽^{x y}^; ^{) (}⁼ ^{5;9 .}⁾ Lời giải. Điều kiện: ^{x y}^{+ >}⁰.



4 2 22 2 2 1.

2

x x y

y = Û ^- = Û x y- = ( )¹

 ^{log 2}⁽ ^x⁺²^y⁾^{= Û}¹ ²^x⁺²^y⁼^10. ^{( )}² Từ ^{( )}¹ và ^{( )}² , ta có hệ

2 1 2

2 2 10 3.

x y x

x y y

ì - = ì =

ï ï

ï Û ï

í í

ï + = ï =

ï ï

î î Chọn B.

Câu 10. Cho hệ phương trình ⁹⁽ ⁾

2 2

2

log

2 2

6 7 0

3 3

3 1

x y x y

x y - -

-

ìïïæö æö

ïç ÷ + ç ÷ - =

ïç ÷ ç ÷

í è ø è ø ïïï =

ïïî . Chọn khẳng định

đúng?

A. Điều kiện xác định của hệ phương trình là ^x^{> >}^y ⁰. B. Hệ phương trình đã cho có hai nghiệm ⁽^{x y}^; ⁾.

C. Hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= - -}^{1; 2}⁾. D. Hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải. Điều kiện: ^{x y}^- ^{> Û}⁰ ^x^>^y. Do đó A sai.

(5)

Xét phương trình thứ nhất của hệ:

2 2

2 6 2 2 7 0

3 3

x y- x y-

ỉư÷ ỉư÷

ç ÷ + ç ÷ - =

ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø . Đặt

2

2 2 0

3

x y

t ỉư÷-

=çç ÷çè ø÷ > ,

phương trình trở thành

( )

2

2 1 2 2 2

6 7 0 1 0.

3 2

7

t x y x y

t t

t

é = ỉư - -

ê ç ÷

+ - = Û êêë=- ¾¾®ççè ø÷÷ = Û = thỏa mãn

loại

Phương tình thứ hai của hệ:

( ) ( ) ( )

9 9

log log 0

3 ^{x y}^- = Û1 3 ^{x y}^- =3 Û log9 x y- = Û0 x y- =1.

Từ đĩ ta cĩ

2 0 1

1 2:

x y x

x y y

ì - = ì =-

ï ï

Û íïïỵ - = Û íïïỵ =- thỏa mãn điều kiện.

Vậy hệ phương trình đã cho cĩ một nghiệm duy nhất ⁽^{x y}^; ^{) (}^{= - -}^{1; 2}⁾. Chọn C.