Toán 11 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học | Hay nhất Giải bài tập Toán lớp 11

(1)

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

A. Câu hỏi hoạt động trong bài

Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n):

“3ⁿ < n + 100” và Q(n): “2ⁿ > n” với n *.

a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

b) Với n * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?

Lời giải:

a)

Với n = 1 thì P(1): “3¹< 1 + 100” đúng, Q(1): “2¹> 1” đúng.

Với n = 2 thì P(2): “3² < 2 + 100” đúng, Q(2): “2² > 2” đúng.

Với n = 3 thì P(3): “3³ < 3 + 100” đúng, Q(3): “2³ > 3” đúng.

Với n = 4 thì P(4): “3⁴ < 4 + 100” đúng, Q(4): “2⁴ > 4” đúng.

Với n = 5 thì P(5): “3⁵ < 5 + 100” sai, Q(5): “2⁵ > 5” đúng.

b) Với P(n): Do với n = 5 thì P(n) sai nên P(n) không đúng với mọi n *

Với Q(n): Quan sát 2ⁿ ta thấy 2ⁿ tăng rất nhanh so với n nên 2ⁿ > n với mọi n * hay Q(n) đúng với n *.

Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *

thì ^{n n 1}

( )

1 2 3 ... n

2 + + + + = + .

Lời giải:

Khi n = 1, VT = 1 Suy ra 1(1 1)

VP 1

2

= + =

Giả sử đẳng thức đúng với n= k 1, nghĩa là:

(2)

k

k(k 1)

S 1 2 3 k

2

= + + ++ = +

Ta phải chứng minh rằng đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

k 1

(k 1)(k 2)

S 1 2 3 k (k 1)

+ 2

+ +

= + + ++ + + =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có:

k 1 k

k(k 1)

S S (k 1) (k 1)

+ 2

= + + = + + + k(k 1) 2(k 1)

2 + + +

= (k 1)(k 2)

2 + +

=

Vậy đẳng thức đúng với mọi n *.

Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3ⁿ và 8n với n *. a) So sánh 3ⁿ với 8n khi n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Dự đoán kết quả tổng quát và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Lời giải:

a)

n = 1 suy ra 3¹ = 3 < 8 = 8.1 n = 2 suy ra 3² = 9 < 16 = 8.2 n = 3 suy ra 3³ = 27 > 24 = 8.3 n = 4 suy ra 3⁴ = 81 > 32 = 8.4 n = 5 suy ra 3⁵ = 243 > 40 = 8.5

b) Dự đoán kết quả bằng tổng quát: 3ⁿ > 8n với mọi n3 Với n = 3, bất đẳng thức đúng

(3)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k 3, nghĩa là: 3^k > 8k

Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:

3^k+1 > 8(k + 1)

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3^k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k Với k3 suy ra 16k 16.3 =48 8

Suy ra 3^k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1)

Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n3. B. Bài tập

Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *, ta có các đẳng thức:

a) ^{n 3n 1}

( )

2 5 8 ... 3n 1

2 + + + + − = +

b)

n

n n

1 1 1 1 2 1

2 4 8 ... 2 2

+ + + + = −

c) 2 2 2 2 n n 1 2n 1

( )( )

1 2 3 ... n

6

+ +

+ + + + =

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:

a) ^{n 3n 1}

( )

2 5 8 ... 3n 1

2

+ + + + − = + (1)

Với n = 1, vế trái chỉ có một số hạng là 2, vế phải bằng 1.(3.1 1) 2 2

+ = .

(4)

Do đó hệ thức (1) đúng với n = 1.

Đặt vế trái bằng S_n

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n= k 1, tức là

k

k(3k 1)

S 2 5 8 3k 1

2

= + + ++ − = +

Ta phải chứng minh rằng (1) cũng đúng với n= +k 1, nghĩa là phải chứng minh

( )    

k 1

(k 1) 3(k 1) 1 S 2 5 8 3k 1 3(k 1) 1

+ 2

+ + +

= + + ++ − + + − =

Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:

( )  

Sk 1₊ = 2+ + ++5 8 3k 1− + 3(k 1) 1+ − =S_k +3k+2 k(3k 1)

3k 2 2

= + + +

3k2 k 6k 4 2

+ + +

= 3k² 7k 4

2 + +

= (k 1)(3k 4)

2

+ +

= (k 1)(3k 3 1)

2 + + +

=

 

(k 1) 3(k 1) 1 2

+ + +

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n *. b)

n

n n

1 1 1 1 2 1

2 4 8 ... 2 2

+ + + + = − (2)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1

2, vế phải bằng 1 2 Do đó hệ thức (2) đúng với n = 1.

(5)

k

k k k

1 1 1 1 2 1

S ...

2 4 8 2 2

= + + + + = −

Ta phải chứng minh

k 1

k 1 k 1

2 1

S 2

+

+ +

= −

k 1 k k 1

1 1 1 1 1

S ...

2 4 8 2 2

+ = + + + + + + _k 1_{k 1} S 2 ⁺

= + ²^k _k ¹ ¹_{k 1} 2 2 ⁺

= − +

(

^k

)

k 1

2 2 1 1 2 ⁺

= − +

k 1 k 1

2 2 1 2

+ +

= − + 2^{k 1}_{k 1}1 2

+ +

= − (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n *. c) 2 2 2 2 n n 1 2n 1

( )( )

1 2 3 ... n

6

+ +

+ + + + = (3)

Với n = 1 thì vế trái bằng 1, vế phải bằng 1(1 1)(2 1) 6 1

+ + =

Do đó hệ thức (3) đúng với n = 1.

( )( )

2 2 2 2

k

k k 1 2k 1

S 1 2 3 ... k

6

+ +

= + + + + =

Ta phải chứng minh

( )( ) ( )

k 1

k 1 k 2 2 k 1 1

S ⁺ 6

+ +  + + 

=

Sk+1 = 1² + 2² + 3² + … + k² + (k + 1)² = Sk + (k + 1)²

(6)

( )( ) ( )

²

k k 1 2k 1 6 k 1

+ +

= + + ^{k k 1 2k 1}

( )( ) (

^{6 k 1}

)

²

6

+ + + +

=

(

^{k 1 k 2k 1}

) ( ) (

^{6 k 1}

)

6

+  + + + 

=

(

^{k 1 2k}

) ( 2 k 6k 6)

6

+ + + +

=

(

^{k 1 2k}

) ( 2 7k 6)

6

+ + +

=

(

^{k 1 k}

)(

^{2 2k}

)(

³

)

6

+ + +

=

(

^{k 1 k}

)(

^{2 2k}

)(

^{2 1}

)

6

+ + + +

=

(

^{k 1 k}

)(

²

) (

^{2 k 1}

)

¹

6

+ +  + + 

= (điều phải chứng minh)

Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n *.

Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n * ta có:

a) n³+ 3n²+ 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ+ 15n − 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Lời giải:

a) n³+ 3n²+ 5n chia hết cho 3;

Đặt Sn = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S1 = 1³ + 3.1² + 5.1 = 9 chia hết cho 3 Giả sử với n= k 1,Sk =

(

k³+3k² +5k 3

)

Ta phải chứng minh rằng S_{k 1}₊ 3 Thật vậy :

Sk+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² +5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

(7)

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

= Sk + 3(k² + 3k + 3)

Theo giả thiết quy nạp thì S 3_k Mà ^{3 k}

(

² ⁺^3k⁺^{3 3}

)

^nênSk 1₊ 3

Vậy n³+ 3n²+ 5n chia hết cho 3 với mọi n ^*. Cách khác: chứng minh trực tiếp

Có: n³+ 3n²+ 5n

= n.(n²+ 3n+ 5)

= n.(n²+ 3n+ 2 + 3)

= n.(n²+ 3n+ 2) + 3n

= n(n + 1)(n + 2) + 3n

Mà ^{n n 1 n}

(

⁺

)(

⁺²

)

³ (tích của ba số tự nhiên liên tiếp) và 3n 3 Suy ra ⁿ³⁺³ⁿ² ⁺⁵ⁿ⁼^{n n 1 n}

(

⁺

)(

⁺²

)

⁺^{3n 3}

Vậy n³+ 3n²+ 5n chia hết cho 3 với mọi n *. b) 4ⁿ+ 15n − 1 chia hết cho 9;

Đặt Sn = 4ⁿ + 15n – 1

Với n = 1, S1 = 4¹ + 15.1 – 1 = 18 nên S 9₁ Giả sử với ⁿ^{= }^{k 1,S}^k ⁼

(

⁴^k ⁺^{15k 1 9}⁻

)

Ta phải chứng minh S_{k 1}₊ 9

(8)

Thật vậy, ta có:

Sk+1 = 4^k+1+ 15(k + 1) – 1

= 4.4^k + 15k + 15 – 1

= 4.4^k + 15k + 14

= 4.4^k + 60k – 45k + 18 – 4

= (4.4^k + 60k – 4) – 45k + 18

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18

= 4Sk – 9(5k – 2)

Theo giả thiết quy nạp thì S 9_k nên 4S 9_k Mặt khác ^{9 5k – 2}

( )

⁹^nên^S_{k 1}+ ⁹

Vậy 4ⁿ +15n –1 9 với mọi n *. c) n³ + 11n chia hết cho 6

Đặt Sn = n³ + 11n

Với n = 1, S1 = 1³ + 11.1 = 12 nên S 6₁ Giả sử với ⁿ^{= }^{k 1,S}^k ⁼

(

^k³ ⁺^{11k 6}

)

Ta phải chứng minh S_{k 1}₊ 6 Thật vậy, ta có:

Sk+1 = (k + 1)³+ 11(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

(9)

= (k³ + 11k) + (3k² + 3k + 12)

= (k³ + 11k) + 3(k² + k + 4)

= Sk + 3(k² + k + 4)

Theo giả thiết quy nạp thì S 6_k

Mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 là số chẵn nên ^{3 k}

(

² ^{+ +}^k ^{4 6}

)

Do đó S_{k 1}₊ 6

Vậy

(

ⁿ³⁺^{11n 6}

)

^{với mọi}ⁿ^ ^*^.

Cách khác: Chứng minh trực tiếp

Có: n³ + 11n

= n³– n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

Suy ra ⁿ

(

^{n – 1 n}

)(

⁺¹

)

⁶

Lại có 12n 6

Vậy ⁿ³+11n n n – 1 n 1=

( )(

+ +

)

12n 6 với mọi n *

Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n2, ta có các bất đẳng thức:

a) 3ⁿ > 3n + 1

(10)

b) 2ⁿ⁺¹> 2n + 3 Lời giải:

a) 3ⁿ > 3n + 1

Với n = 2 ta có: 3² = 9 > 7 = 3.2 + 1 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k 2, tức là: 3^k> 3k + 1 (1)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

3^k+1> 3(k + 1) + 1 = 3k + 4

Nhân hai vế của (1) với 3, ta được:

3^k+1> 9k + 3

3^k+1> 3k + 4 + 6k – 1

Vì k2 suy ra 6k 1 11 0−   nên 3^k+1> 3k + 4 + 11 > 3k + 4 = 3(k + 1) + 1 Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 3ⁿ > 3n + 1 đúng với mọi số tự nhiên n2. b) 2ⁿ⁺¹> 2n + 3

Với n = 2 ta có: 2²⁺¹= 8 > 7 = 2.2 + 3 (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với n= k 2, tức là: 2^k+1> 2k + 3 (2)

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, tức là cần chứng minh:

2^k+2> 2(k + 1) + 3 = 2k + 5

Nhân hai vế của (2) với 2, ta được:

2^k+2> 4k + 6

(11)

2^k+2> 2k + 5 + 2k + 1

Vì k2 suy ra 2k + 1 > 0 nên 2^k+2> 2k + 5 Tức là bất đẳng thức đúng với n = k + 1

Vậy bất đẳng thức 2ⁿ⁺¹> 2n + 3 đúng với mọi số tự nhiên n 2 . Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng

( )

n

1 1 1

S ...

1.2 2.3 n n 1

= + + +

+ với n *. a) Tính S1, S2, S3.

b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) ₁ 1 1

S =1.2 =2

2

1 1 2

S =1.2+ 2.3 =3

3

1 1 1 3

S =1.2 + 2.3+3.4 = 4

b) Từ câu a) ta dự đoán _n n S = n 1

+ (1), với mọi n *

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp Khi n = 1, vế trái là ₁ 1

S = 2 vế phải bằng 1 1 1 1= 2

+ . Vậy đẳng thức (1) đúng.

(12)

Giả sử đẳng thức (1) đúng với n= k 1, tức là:

k

1 1 1 k

S =1.2 +2.3++ k(k 1)= k 1

+ +

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là phải chứng minh:

k 1

S k 1

k 2

+

= + +

Ta có: _{k 1} _k 1

S S

(k 1)(k 2)

+ = +

+ +

k 1

k 1 (k 1)(k 2)

= +

+ + +

k(k 2) 1 (k 1)(k 2)

= + +

+ +

( )( )

k2 2k 1 k 1 k 2

+ +

= + +

( )

( )( )

k 1 2

k 1 k 2

= +

+ +

k 1 k 2

= + +

Tức là đẳng thức (1) đúng với n = k + 1 Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là n(n 3)

2

− .

Lời giải:

Kí hiệu đường chéo của đa giác n cạnh là Cn.

Ta chứng minh

( )

n

n n 3

C 2

= − (1) với mọi n *, n4. Với n = 4, ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác 4(4 − 3) : 2 = 2 nên (1) đúng với n = 4.

Vậy khẳng định đúng với n = 4.

Giả sử (1) đúng với n k 4=  , tức là _k k(k 3)

C 2

= −

(13)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k + 1. Tức là

( ) ( )

k 1

k 1 k 1 3

C ⁺ 2

+

 −

= +   Xét đa giác lồi k + 1 cạnh

Đa giác k cạnh A1A2...Ak có ^{k k}

(

³

)

2

− đường chéo (giả thiết quy nạp).

Nối Ak + 1với các đỉnh A2,...,Ak−1, ta được thêm k − 2 đường chéo.

Ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là

( )

k k 3

k 2 1 2

− + − + k² 3k 2 k 1

= − + − k² 3k 2k 2 2

− + −

= k² k 2

2

= − −

(

^{k 1 k}

)(

²

)

2

+ −

=

(

^{k 1}

) (

^{k 1}

)

³

2

+  + − 

=

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác k + 1 cạnh.

Vậy bài toán đã được chứng minh.