Dãy số đơn điệu và dãy số có giới hạn - Lê Phúc Lữ

Chủ đề 1.

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN

A. Kiến thức cần nhớ.

Xét dãy số thực (u_n) đơn điệu tăng (trường hợp giảm tương tự). Ta biết rằng:

- Nếu dãy bị chặn thì sẽ hội tụ, tức là có giới hạn hữu hạn.

- Nếu dãy không bị chặn thì sẽ có limu_n  , tức là vẫn có giới hạn nhưng giới hạn ở vô cực.

Điều này cho thấy một khi dãy tăng thì luôn có giới hạn. Ý tưởng này có thể vận dụng để giải nhiều bài toán giới hạn dãy số từ dễ đến khó.

* Một kết quả quan trọng:

1) Tổng ^{1 1 1 1}

1 2 3

sn

       n .

Thật vậy, xét hiệu _{4 2} ^{1 1 1}; _{8 4} ^{1 1 1 1 1},...

3 4 2 5 6 7 8 2

s    s s      s tương tự 2 2 1

1

k k 2

s s   nên khi chỉ số của tổng tăng thêm gấp đôi thì tổng sẽ tăng thêm hơn ¹

2 đơn vị; giá trị này không nhiều nhưng cũng đủ làm cho s_n có thể tới được vô cực.

2) Tổng ¹₂ ¹₂ ¹₂ ¹₂

1 2 3

vn

     n bị chặn.

Thật vậy, 1 1 1 1

2 2.

1 2 2 3 ( 1)

vn

n n n

      

     Từ đây cũng thấy được v_n hội tụ.

3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

Cấp số nhân có công bội q ( 1;1) thì lim ¹ .

n 1 S u

 q

 B. Bài tập vận dụng, rèn luyện.

Bài 1. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn

1 2 2 1

2018, 2017, _{n n n} 2016

u u u u u

  n

     với n1.

Chứng minh rằng u_n hội tụ và tính limu_n. Bài 2. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn

1 1 2 2 2

1 2

1, _n 1 , 1.

n

u u n

u u u

   

   với n1.

Chứng minh rằng u_n hội tụ và tính limu_n.

Bài 3. Cho dãy Fibonacci (F_n) xác định bởi F₁F₂ 1,F_n2F_n1F_n. Xét dãy số sau

1 2

1 2

2 2 2

n

n n

F F F

u     . Tính limu_n.

Bài 4. Cho dãy số (a_n) thỏa mãn

1 1

1 2

1, _{n n} 1 , 1

n

a a a n

a a a

    

   . Chứng minh rằng lima_n  . Bài 5. Cho dãy số (a_n) thỏa mãn ¹

2 1

3,

4 _n 5 _n 3 _n 4, 1.

a

a_ a a n

 

    



Chứng minh rằng lima_n  và tính

2

1 1

2 1

lim 2

1

n n n

n n n

a a a

a a a

 



 

  .

Bài 6. Cho dãy số (a_n) thỏa mãn

1 2

1

2 2

1, 2,

3 4

, 1.

2

n n

n

a a

a a

a n

n





  

 

   



a) Đặt ₁

2

n

n n

b a _ a , chứng minh rằng b_n bị chặn.

b) Chứng minh rằng (a_n) hội tụ.

Bài 7. Cho dãy số (u_n) thỏa mãn

2

1 1

2018, 2

2017 ^{n n n} _n

u u u u n

 u

    với n1.

a) Thử thay u₁1 để ra công thức tổng quát của u_n, từ đó dự đoán khoảng giá trị của (u_n) và tính  u₂₀₁₈.

 

  b) Chứng minh rằng

1 2

1 1 1

n

n

a u u   u hội tụ.

c) Chứng minh rằng

1 2

1 2

n .

n

b n

u u u

     

Bài 8*. Cho dãy số (x_n) thỏa mãn ₁ , _{n 1 n} x₂ⁿ

x a x x

 n

   . Chứng minh rằng (x_n) hội tụ.

Bài 9*. Cho a₀a b, ₀b với a b, 0. Xét các dãy số (a_n),( )b_n thỏa mãn

1 1 1

1 1

2017 , 2018

n n n n n

n n

a a b a b

a b

     

 với n0.

a) Chứng minh rằng tồn tại k để a_k2018.

b) Chứng minh rằng limb_n . c) Chứng minh rằng dãy số (a_n) hội tụ.

Bài 10*. Với mỗi số nguyên dương n, xét f n( ) là tích các chữ số của n. Xét dãy số u1 a ^ và u_n1u_n f u( _n).

Chứng minh rằng tồn tại số hạng của dãy mà trong các chữ số của nó có chữ số 0.

Gợi ý. Một số có k chữ số nhưng không chứa chữ số 0 thì hai chữ số đầu tiên của nó nhỏ nhất có thể là mấy?

Gợi ý cho các bài.

Bài 1. Dễ thấy u₃u₁ nên _{4 3 2} 2016 _{2 1} 2016 ₃

2 1

u  u  u  u  u u , cứ như thế quy nạp được dãy giảm. Mà dãy bị chặn dưới bởi 0 nên hội tụ, đặt limu_n  L 0, thay vào có L2.

Bài 2. Dễ thấy _{1 2 2 2 2 2 2}

1 2 1 2 1

1 1

n n

n n

u u

u u u u u u





  

      nên dãy giảm, bị chặn dưới

bởi 0 nên hội tụ. Đặt limu_n  L 0. Viết _{1 2 2 2 3}

1 2 2

1 1

1 1

n n

n n

n n

u u

u u u u u

u

   

     nên suy

ra u_n1u_n1u³_nu_n. Đến đây mới được thay L vào để có lim0.

Bài 3. Nhắc lại công thức tổng quát của dãy ^{1 1 5 1 5}

2 2

5

n n

Fn

    

      

   

       

nên dễ thấy u_n là

tổng của hai cấp số nhân có công bội ₁ ^{1 5}, ₂ ^{1 5}

4 4

q  q 

  đều lùi vô hạn.

Suy ra ^{1 2}

1 2

lim 1 2.

1 1

n 5

q q

u q q

 

 

     

Bài 4. Rõ ràng dãy đã cho tăng. Nếu nó bị chặn, đặt chặn trên là C thì u_nC,n. Ta có a_{n 1} a_n ¹

  nC, suy ra _{1 1} ^{1 1 1 1}

1 2 an a

C n



 

       , mâu thuẫn.

Bài 5. Ta có a_n1a_n nên dãy tăng. Nếu dãy bị chặn thì có lima_n L 0, thay vào thấy vô

lý. Chú ý rằng ¹ 4 ¹

4 ⁿ 5 3 1 lim ⁿ 2

n n n

a a

a a a

 

      , trong biểu thức đã cho, chia tử và mẫu cho a_n² là tính được giới hạn.

Bài 6. a) Ta có ₂ ¹ ₁ 4_{2 1} 4₂

2 2

n n

n n n n

a a

a a b b

n n



          nên dễ thấy ( )b_n bị chặn.

b) Ta có dãy a_n tăng và ₁ 2

n n

a _ a C với mọi n, suy ra ^{1 1} ₁ 2

2 2

n n n

n

a a a

C a C

 



     .

Bài 7. a) Dự đoán n²u_n(n1) .² Chứng minh bằng quy nạp.

Chú ý rằng _{n 1 n} 2 _n u₂ⁿ ( 1)² 2( 1) 1 ( 2)²

u u u n n n

   n        và

   

2 2 2

1 2 2

2 1

( 1) 2 ⁿ 1 1 0

n n n n

n

u n u n u n u u n

n u n n



 

 

               .

Dễ dàng có được  u₂₀₁₈  2018.

b) Ước lượng với ¹₂ ¹₂

1 2  c) Ước lượng với ^{1 1} 1 2

Bài 8. a) Giả sử ngược lại là a_k2018,k thì b_n1b_n nên với mọi n thì b_nb.

Do đó ₁ 1 ₀

2017 2018 2017 2018

n n

a a a n

b b

       

     , mâu thuẫn.

b) Xét vị trí k để a_k2018, đặt 1 2018

ak

q  thì b_k1qb_k và

1 2

2 1 1

2018 2018

k k

k k k k

a a

b_  ^ b_  b_ q b nên tương tự có b_{k n} q bⁿ _k. Suy ra limb_n  . c) Ta có _{k 2 k 1} ¹

k

a a

   qb nên ₁ 1 1 1₂ 1_{1 1} 1 1

k n k n k 1

k k

a a a

b q q q b q

   

 

          . Dãy a_n bị chặn trên nên hội tụ (vì rõ ràng dãy đã tăng).

Bài 9. Chỉ cần chứng minh (x_n) bị chặn trên. Ta có

2

1 2 4 2

1 1

4 2

n

n n n

x x x x

n n n



 

      nên

1 2

1

n n 2

x x

   n , tính tổng này thì thấy _{1 1} ^{1 1}₂ ¹₂ ¹_{2 1} 1

2 1 2

xn x x

 n

 

        . Bài 10. Rõ ràng nếu u_n có chứa chữ số 0 thì f u( _n)0 và dãy trở thành hằng. Ngược lại nếu không có số hạng nào như thế thì dãy tăng và tiến tới vô cực. Chú ý rằng

,

lim ( ) 0

m m

f m

  m 



vì nếu đặt ma a_{1 2}a_k a₁ 10^k1, còn f m( )a a_{1 2}a_k a₁ 9^k1 nên

( ) 9 1

10 0.

f m k

m

 

    Do dãy u_n   nên với mỗi k^, đều có số hạng có ít nhất k chữ số. Gọi n_k là chỉ số của số hạng đầu tiên như thế thì ₁

nk

u _ có không quá k1 chữ số nên ₁ 10 .¹

k

k

un_  ^ Hai chữ số bắt đầu của

nk

u nhỏ nhất là 11 (không thể là 10) nên u_nk  11 10^k2 suy ra

2 1

1 1

1

( ) 1

( ) 10

10

k

k k k

k

k n

n n n

n

f u u u f u

u

 

 



     .

Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với nhận xét lim f m^{( )} 0

m  ở trên.