SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2015-2016 ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (2,0 điểm).
Cho biểu thức: 4 1 2 5
4 2 : 1 2
+ +
= + −
− − +
x x
A x x x .
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình: (x+1)(x−2)(x+6)(x− =3) 45x2.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên
( )
x y th; ỏa mãn: x x(
2+ + =x 1)
4y −1.Câu 3 (1,0 điểm).
Cho các số nguyên x, y thỏa mãn 3x+2y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
= − + + + −2
H x y xy x y .
Câu 4 (3,0 điểm).
Cho hai điểm A, B phân biệt, lấy điểm C bất kì thuộc đoạn AB sao cho 3 0< AC <4AB; tia Cx vuông góc với AB tại C. Trên tia Cx lấy hai điểm D, E phân biệt sao cho CE = CA = 3.
CB CD
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADC và đường tròn ngoại tiếp tam giác BEC cắt nhau tại điểm thứ hai H (H không trùng với C).
a) Chứng minh rằng ADC =EBC và ba điểm ,A H E thẳng hàng , b) Xác định vị trí của C để HC⊥ AD.
c) Chứng minh rằng khi điểm C thay đổi thì đường thẳng HC luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5 (1,0 điểm).
Cho ba số thực không âm x y z th, , ỏa mãn x+ + =y z 2. Chứng minh rằng:
2 (2 )(2 )(2 )
+ + ≥ − − −
x y z x y z .
Câu 6 (1,0 điểm).
Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng và không có bốn điểm nào cùng thuộc một đường tròn. Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn đi qua ba điểm trong năm điểm đã cho và hai điểm còn lại có đúng một điểm nằm bên trong đường tròn.
---Hết---
Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….. Số báo danh:…….………..…
ĐỀ CHÍNH THỨC
