LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2021
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ TNTHPT MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH, HÀ NỘI NĂM 2020 - 2021
LẦN 2
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Cho hàm số f(x) có đạo hàm f0(x) = (x −1)
3
(x −2) với mọi x ∈R. Hàm số đã cho đạt cực đại tại
A. x = 1. B. x=−2. C. x=−1. D. x = 2.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:
x= 1− t y = 2 + 3t z= 5− t
(t ∈ R).
Một véc-tơ chỉ phương củad là A.
#»u
2 = (−1; 3;−1). B. u#»
4 = (1; 3;−1). C. u#»
3 = (1; 2; 5). D. u#»
1 = (1; 3; 1).
Câu 3.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
A. x= 1. B. x =−5.
C. x=−3. D. x =−2.
x f0(x)
f(x)
−∞ −2 1 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
−3
−3
−5
−5
+∞ +∞
Câu 4. Gọiz
1, z
2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2+ 2z+ 5 = 0. Giá trị của|z
1|2+|z
2|2 bằng
A. 10. B. 5. C. 18. D. 50.
Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d
1:
x= 2−2t y = 4t z=−3 + 6t
và
d2:
x = 1− t y = 2 + 2t z = 3t
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d1 ≡ d2. B. d1 k d2. C. d
1 và d
2 chéo nhau. D. d
1 ⊥ d
2. Câu 6.
Hàm số nào sau đây có bảng biến thiên như hình vẽ?
A. y =−x4+ 2x2+ 1.
B. x4−2x2+ 1.
C. y =−x3+ 3x2+ 1.
D. y =x3−3x2+ 1.
x f0(x)
f(x)
−∞ −1 0 1 +∞
+ 0 − 0 + 0 −
−∞
−∞
2 2
1 1
2 2
−∞
−∞
Câu 7. Cho cấp số nhân (un) có số hạng đầu u
1 và công bội q. Số hạng tổng quát (un) được xác định theo công thức
A. un=u
1qn−1. B. un =u
1qn. C. un=u
1+ (n −1)q. D. un =u
1qn+1.
Câu 8. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =x2−4 và y =x −4 được xác định bởi công thức nào dưới đây?
A. Z1
0
(x − x2) dx. B. Z2 0
(x − x2) dx. C. Z2
0
(x2− x) dx. D. Z1
0
(x2− x) dx. Câu 9.
Cho hàm số y = ax4 +bx2 +c có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 2f(x)−5 = 0 là
A. 4. B. 1. C. 2. D. 3.
x y
O
−2 2
3
−1
Câu 10.
Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như hình bên. Hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng
A. (−1; 2). B. (−2; 1).
C. (−∞;−1). D. (2; +∞).
x f0(x)
f(x)
−∞ −1 2 +∞
+ 0 − 0 +
−∞
−∞
1 1
−2
−2
+∞ +∞
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) :x2+y2+z2−2x+ 4y − 6z −2 = 0. Tâm của mặt cầu (S) có tọa độ là
A. (1;−2; 3). B. (−2; 4;−6). C. (−1; 2;−3). D. (2;−4; 6).
Câu 12. Cho hình trụ có độ dài đường sinh ` = 5 và bán kính đáy r = 3. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng
A. 5π. B. 24π. C. 15π. D. 30π. Câu 13. Cho khối nón có bán kính đáyr = 2 và chiều caoh=
√
3. Thể tích của khối nón đã cho là
A. 4π√
3 3
. B.
4π 3
. C. 4π√
3. D.
2π√ 3 3
.
Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1; 2; 1). Hình chiếu vuông góc củaA trên trục Oy có tọa độ là
A. (0; 2; 0). B. (0; 0; 1). C. (−1; 2; 0). D. (−1; 0; 1).
Câu 15. Họ nguyên hàm của hàm số f(x) = 3
x
là A.
3
x
ln 3
+ C. B.
3
x
log 3
+ C. C. 3
x
ln 3 + C. D. 3
x
log 3 + C.
Câu 16. Cho khối chóp S.ABC có SA = a√
3, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC vuông tại B,AC =a, tam giác SBC cân. Thể tích khối chóp S.ABC bằng
A. a3√
3 3
. B.
a3√ 3 6
. C. a3√
3. D.
2a3√ 3 3
.
Câu 17. Biết rằng phương trình log2x+ log3x = 1 + log2xlog3x có hai nghiệmx
1,x
2. Giá trị của x2
1 +x2
2 bằng
A. 13. B. 5. C. 2. D. 25.
Câu 18. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho hai mặt phẳng (α) : 3x −2y+ 2z+ 7 = 0 và (β) : 5x −4y+ 3z+ 1 = 0. Phương trình mặt phẳng (P) đi qua gốc tọa độ đồng thời vuông góc với (α) và (β) là
A. 2x+y −2z = 0. B. x − y −2z= 0.
C. 2x − y+ 2z = 0. D. 2x+y −2z+ 1 = 0.
Câu 19. Nghiệm của phương trình 3
3x+6
= 1 27
là A. x =−3. B. x=
1 9
. C. x= 3. D. x = 9.
Câu 20. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmM(1; 2; 1) và mặt phẳng (P) : x − 3y+z −1 = 0. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) bằng
A. 5
√ 11 11
. B.
√ 15 11
. C.
4
√ 3 3
. D.
√ 12 3
. Câu 21. Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
√x −1−1 x −2
là
A. 1. B. 0. C. 3. D. 2.
Câu 22. Choa, b ∈R thỏa mãn
a+bi
1− i = 3 + 2i. Giá trị của tíchab bằng
A. −5. B. −1. C. 1. D. 5.
Câu 23.
Cho các số a, b, c >0 và a,b,c 6= 1. Đồ thị của các hàm số y = logax, y = logbx và y = logcx được cho bởi hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng
A. c < a < b. B. a < b < c.
C. c < b < a. D. b < a < c. x
y
O
y=log
ax
y= logb x y
=log
cx
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, 4ABD đều cạnh a√ 2, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =
3a√ 2 2
. Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng (ABCD) bằng
A. 60
◦
. B. 30
◦
. C. 45
◦
. D. 90
◦
. Câu 25. Với biến đổi u= lnx, tích phân
Z3 e
1
xlnxdx trở thành
A. Zln 3
1
1
udu. B.
e3
Z
1
1
udu. C. Z3
e
1
udu. D. Zln 3
0
1 udu. Câu 26. Với các sốa,b >0, a 6= 1, giá trị của loga2(ab) bằng
A. 1 2
+ 1 2
logab. B. 1 + 1 2
logab. C. 1 2
logab. D. 2 + 2 logab. Câu 27. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số có ba chữ số?
A. 216. B. 20. C. 729. D. 120.
Câu 28. Số phức (2 + 4i)i bằng số phức nào sau đây
A. −4 + 2i. B. −4−2i. C. 4 + 2i. D. 4−2i.
Câu 29. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) =
x2−3x x+ 1
trên đoạn [0; 2] bằng
A. −1. B. 0. C. −9. D. −2
3 . Câu 30. Với số thực dương a, biểu thức e
2 lna
bằng A. a2. B.
1
2a. C. 2a. D.
1 a2.
Câu 31. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 đường thẳng d
1:
x= 3 +t y = 3 + 2t z=−2− t
, d2:
x −5 3
= y+ 1
−2
= z −2
−1
và d
3: x −1
1
= y −2
2
= z −1
3
. Đường thẳng d song song với d
3
cắtd
1 và d
2 có phương trình là A.
x −1 3
= y+ 1
2
= z 1
. B.
x −2 1
= y −3
2
= z −1
3 . C.
x −3 1
= y −3
2
= z+ 2
3
. D.
x −1 1
= y+ 1
2
= z 3 .
Câu 32. Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên đoạn [1; 2], f(2) = 1 và f(4) = 2021. Giá trị I =
Z2 1
f0(2x) dx bằng
A. −2018. B. 1010. C. −1008. D. 2018.
Câu 33. Xét các số phức z thỏa mãn |z −3 + 4i| = 2. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z|. Tổng M2+m2 bằng
A. 58. B. 52. C. 65. D. 45.
Câu 34.
Cho hàm sốy =f(x) với−1 ≤ x ≤4 có đồ thị các đoạn thẳng như hình bên. Tích phânI =
Z4
−1
f(x) dx bằng
A. 4. B. 1. C. 5,5. D. 2,5. x
y
−1 1 2
3 4
−1 2
Câu 35. Số giá trị nguyên của tham sốm để hàm số y =x3− mx2+ (m −6)x+ 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2) là
A. 3. B. 4. C. 5. D. 2.
Câu 36. Cho hai số phức z
1, z
2 thỏa mãn |z
1| = 2;|z
2| = 1 và |2z
1−3z
2| = 4. Tính giá trị của biểu thứcP =|z
1+ 2z
2|. A. P =
√
11. B. P= 2
√
5. C. P =
√
15. D. P =
√ 10.
Câu 37. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho mặt phẳng (P) : 3x+ 4y+ 5z+ 8 = 0.
Đường thẳngd là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) : x −2y+ 1 = 0 và (β) : x −2z −3 = 0.
Gọiφ là góc giữa d và (P), tính φ. A. φ = 60
◦
. B. φ= 30
◦
. C. φ= 90
◦
. D. φ= 45
◦
. Câu 38.
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Số điểm cực trị của hàm sốy =f(|x+ 2|) là
A. 3. B. 2. C. 5. D. 1.
x y
−1O
1
−3 1
Câu 39.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với AB = AC= 2. Cạnh bênSAvuông góc với đáy vàSA = 3. GọiM là trung điểm của SC. Tính khoảng cách giữa AM và BC.
A. d(AM, BC) = 3
√ 22 11
. B. d(AM, BC) =
√ 22 6
. C. d(AM, BC) =
√ 3 2
. D. d(AM, BC) = 2
√ 3 3
.
S
B
A C
M
Câu 40.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = 1, AD = 2. Cạnh bên SA= 1 vàSAvuông góc với đáy. GọiElà trung điểmAD. Diện tích Smc của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là
A. Smc = 11π. B. Smc = 3π. C. Smc = 2π. D. Smc = 5π.
S
E
B A
C
D
Câu 41. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham sốm để phương trình 9
x −(2m −2)3
x − m+ 4 = 0 có hai nghiệm phân biệt?
A. 1. B. 3. C. Vô số. D. 2.
Câu 42. Một bình đựng 5 quả cầu xanh khác nhau, 4 quả cầu đỏ khác nhau và 3 quả cầu vàng khác nhau. Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu trong 12 quả cầu trên. Xác suất để chọn được 3 quả cầu khác màu là
A. 3 11
. B.
3 14
. C.
3 5
. D.
3 7 .
Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmM(2; 3; 4) và mặt phẳng (P) : 2x − y −z+ 6 = 0. Hình chiếu vuông góc của điểmM trên mặt phẳng (P) là điểm nào sau đây?
A. Å
1;
7 2
; 9 2
ã
. B. (2; 8; 2). C.
Å 3;
5 2
; 7 2
ã
. D. (1; 3; 5).
Câu 44. Tìm tất cả các giá trị của tham số thựcmsao cho đồ thị hàm sốy =
x −1 x3+ 3x2+m+ 1 có đúng một tiệm cận đứng.
A.
ñm ≤ −5 m > −1
. B.
ñm < −5 m > −1
. C. −5≤ m < −1. D.
ñm ≤ −4 m >0
.
Câu 45. Cho a, b, c là các số thực và hàm số f(x) = x3+ax2+bx+c thỏa mãn f0(t) = f0(t+ 5) = 2 với t là hằng số. Giá trị
t+5
Z
t
f0(x) dx bằng A. −105
2
. B.
19 4
. C. −1
2
. D.
134 3
. Câu 46.
Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hình chiếu của A0 trên (ABC) là tâm O của 4ABC. Gọi O0 là tâm của tam giác A0B0C0, M là trung điểm AA0 và G là trọng tâm tam giác B0C0C. Biết VO0OMG = a3, tính chiều cao h của khối lăng trụ ABC.A0B0C0.
A. h= 36a√
3. B. h= 24a√ 3.
C. h= 18a√
3. D. h= 9a√ 3.
B0
B A
A0
M
C
C0
O
O0 G
Câu 47. Cho phương trìnhxlog2020(x3)−a= 2021 với a là số thực dương. Biết tích các nghiệm của phương trình là 32. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. 1 ≤ a ≤2. B. 2≤ a <3. C. 3≤ a ≤ 4. D. 4< a ≤ 5.
Câu 48. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3
= y 2
= z 2
, điểm A(3;−1;−1) và mặt phẳng (P) : x+ 2y+ 2z −3 = 0. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và tạo với mặt phẳng (P) một góc φ. Biết khoảng cách giữa d và ∆ là 3, tính giá trị nhỏ nhất của cosφ.
A. 1 3
. B.
2 3
. C.
4 9
. D.
5 9 .
Câu 49. Có bao nhiêu số nguyên m ∈(−20; 20) để phương trình log2x+ log3(m − x) = 2 có nghiệm thực
A. 15. B. 24. C. 14. D. 23.
Câu 50. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham sốm để hàm sốy =mx+ (m+ 1)
√x −2 nghịch biến trên D = (2; +∞) là
A. m ≤ −1. B. −2 ≤ m ≤1. C. m < −1. D. m ≤0.
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
1. A 2. A 3. A 4. A 5. A 6. A 7. A 8. A 9. A 10. A 11. A 12. D 13. A 14. A 15. A 16. A 17. A 18. A 19. A 20. A 21. D 22. A 23. A 24. A 25. A 26. A 27. A 28. A 29. A 30. A 31. D 32. B 33. A 34. D 35. C 36. A 37. A 38. A 39. A 40. A 41. A 42. A 43. A 44. A 45. A 46. A 47. A 48. C 49. A 50. A
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Ta có f0(x) = (x −1)
3
(x −2) = 0⇔
ñx= 1 x= 2. Ta có bảng xét dấu của f0(x).
x f0(x)
−∞ 1 2 +∞
+ 0 − 0 +
Dựa vào bảng xét dấu, hàm sốf(x) đạt cực đại tại x = 1.
Chọn đáp án A
Câu 2. Đường thẳng d:
x= 1− t y = 2 + 3t z= 5− t
có một véc-tơ chỉ phương là u#»
2 = (−1; 3;−1).
Chọn đáp án A
Câu 3. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x= 1.
Chọn đáp án A
Câu 4. Ta có z2+ 2z+ 5 = 0 ⇔ ñz
1 =−1 + 2i z2 =−1−2i.
Vậy|z
1|2+|z
2|2 = 10.
Chọn đáp án A
Câu 5. Ta có d
1:
®
qua A(2; 0;−3) vtcp
a#»= (−2; 4; 6) và d
2:
®
qua B(1; 2; 0) vtcp
#»b = (−1; 2; 3). Ta có
#»a = 2
#»b và A ∈ d2 suy ra d1 ≡ d2.
Chọn đáp án A
Câu 6. Xét hàm số y =−x4+ 2x2+ 1, ta có y0 =−4x3+ 4x = 0⇔
x = 0 x = 1 x =−1.
Chọn đáp án A
Câu 7. Số hạng thứ n của cấp số nhân (un) là un =u
1· qn−1.
Chọn đáp án A
Câu 8. Phương trình hoành độ giao điểm x2−4 = x −4⇔
ñx = 0 x = 1.
Diện tích hình phẳng S = Z1
0
(x2−4)−(x −4) dx=
Z1 0
(x − x2) dx.
Chọn đáp án A
Câu 9. Ta có 2f(x)−5 = 0⇔ f(x) = 5 2 .
Dựa vào đồ thị, phương trình 2f(x)−5 = 0 có 4 nghiệm.
Chọn đáp án A
Câu 10. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho nghịch biến trong khoảng (−1; 2).
Chọn đáp án A
Câu 11. Mặt cầu (S) : x2+y2+z2−2x+ 4y −6z −2 = 0 có tâm I(1;−2,3).
Chọn đáp án A
Câu 12. Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho là Sxq = 2πr` = 2π ·3·5 = 30π.
Chọn đáp án D
Câu 13. Thể tích của khối nón là V = 1 3
πr2· h= 4π√
3 3
.
Chọn đáp án A
Câu 14. Hình chiếu vuông góc của điểm Alên trục Oy là điểm B(0; 2; 0).
Chọn đáp án A
Câu 15. Ta có R
3
x
dx = 3
x
ln 3 + C.
Chọn đáp án A
Câu 16.
Ta có4SBC cân nên SC=SB=
√SA2+AC2 = 2a. Ta có AB=BC =
AC√ 2
=a√ 2.
Vậy thể tích khối chóp S.ABC bằng V =
1 3
· SA · 1 2
AB2 = a3√
3 3
.
A
B
C S
Chọn đáp án A
Câu 17. Ta có
log2x+ log3x= 1 + log2xlog3x ⇔log2x
(1−log3x)−
(1−log3x) = 0
⇔ (log2x −1)·(1−log3x) = 0⇔ ñ
log2x= 1 log3x= 1
⇔ ñx
1 = 2 x2 = 3. Vậyx2
1 +x2
2 = 13.
Chọn đáp án A
Câu 18. Mặt phẳng (α) có một véc-tơ pháp tuyến
u#»= (3;−2; 2).
Mặt phẳng (β) có một véc-tơ pháp tuyến
#»v = (5;−4; 3).
Mặt phẳng (P) có một véc-tơ pháp tuyến là
#»n = [
#»u ,#»v] = (2; 1;−2).
Mặt phẳng (P) qua gốc tọa độ có phương trình là 2x+y −2z= 0.
Chọn đáp án A
Câu 19. Ta có 3
3x+6
= 1 27
⇔3x+ 6 = log3
Å 1 27
ã
⇔3x+ 6 = −3⇔ x=−3.
Chọn đáp án A
Câu 20. Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là
d(M,(P)) =
|xM −3yM+zM −1| p
12+ (−3)2+ 12
= 5
√ 11 11
.
Chọn đáp án A
Câu 21. Hàm số có tập xác định là D = [1; +∞)\ {2}. Ta có lim
x→+∞y = 0. Vậy y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Ta có lim
x→2+
y = 1 2
. Vậy x= 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Chọn đáp án D
Câu 22. Ta có
a+bi
1− i = 3 + 2i ⇔ a+bi = (3 + 2i)(1− i) = 5− i ⇔
®a= 5 b=−1
Ñ ab =−5.
Chọn đáp án A
Câu 23. Đồ thị hàm số y = logcx nghịch biến nên 0< c <1.
Đồ thị hàm sốy = logbx và y = logax đồng biến nên a,b > 1.
Từ đồ thị ta có với x >1 thì logax >logbx Ñ1 < a < b. Vậyc < a < b.
Chọn đáp án A
Câu 24.
Ta có SA ⊥ (ABCD) suy ra hình chiếu của SO lên (ABCD) làAO.
Khi đó góc giữaSO và (ABCD) là góc giữa SO và AO. Ta có 4ABD đều cạnh bằng a√
2 nên AO = AB√
3 2
= a√
6 2
.
Ta có tan’SOA= SA AO =
√
3ÑSOA’= 60
◦
.
A B
D S
O C
Chọn đáp án A
Câu 25. Đặt u= lnx Ñdut= 1
x dx và
®x = eÑ u= 1 x = 3Ñ u= ln 3.
Khi đó I = Z3
e
1
xlnx dx= Zln 3
1
du u .
Chọn đáp án A
Câu 26. Ta có loga2(ab) = 1 2
loga(ab) = 1 2
[logaa+ logab] = 1 2
[1 + logab].
Chọn đáp án A
Câu 27. Có tất cả 6
3
= 216 cách lập được ba chữ số từ các chữ số đã cho.
Chọn đáp án A
Câu 28. Ta có (2 + 4i)i =−4 + 2i.
Chọn đáp án A
Câu 29. Ta có y0 =
−2x2−2x (x+ 1)2
. Choy0 = 0 ⇔ −2x2+ 2x = 0⇔
ñx= 0 ∈[0; 2]
x= 1 ∈[0; 2]. Ta cóy(0) = 0, y(1) =−1, y(2) = −2
3 . Vậy min
x∈[0;2]
y =−1.
Chọn đáp án A
Câu 30. Ta có e
2 lna
= e
lna2
=a2.
Chọn đáp án A
Câu 31. Đường thẳng d cắt d1 tạiA(3 +t; 3 + 2t;−2− t).
Đường thẳngd cắt d
2 tại B(5 + 3m;−1−2m; 2− m).
Khi đó, đường thẳng d có nhận
# »
AB = (3m − t+ 2;−2m −2t −4; 4− m+t) làm một véc-tơ chỉ phương.
Mà đường thẳngd song song với d
3 có véc-tơ chỉ phương là
#»u = (1; 2; 3).
Suy ra tồn tại số thựck sao cho
# »
AB=k#»u ⇔
3m − t+ 2 =k
−2m −2t −4 = 2k 4− m+t = 3k
⇔
3m − t − k =−2
−2m −2t −2k= 4
− m+t −3k =−4
⇔
m =−1 t =−2 k = 1. Khi đó đường thẳngd quaA(1;−1; 0) và nhận
# » AB=
#»u làm một véc-tơ chỉ phương. Phương trình đường thẳngd là
x −1 1
= y+ 1
2
= z 3 .
Chọn đáp án D
Câu 32. Đặt t = 2x Ñ 1 2
dt = dx và
®x= 1 Ñ t = 2 x= 2 Ñ t = 4.
Khi đó I = Z4
2
1 2
f0(t) dt = 1 2
Z4 2
f0(t) dt = 1 2
(f(4)− f(2)) = 1 2
·(2021−1) = 1010.
Chọn đáp án B
Câu 33. Ta có||z| − |(3−4i)|| ≤ |z−3 + 4i| ⇔ ||z| −5| ≤2⇔ −2 ≤ |z|−5≤2⇔3 ≤ |z| ≤7.
Vậym = 3, M = 7 suy ra M2+m2 = 58.
Chọn đáp án A
Câu 34. Dựa vào hình vẽ, ta có hàm số f(x) được xác định như sau
f(x) =
2x+ 2 khi −1≤ x <0 2 khi 0≤ x <1
−2x+ 4 khi 1≤ x <2
− x+ 2 khi 2≤ x <3
−1 khi 3≤ x <4. Khi đó
I = Z4
−1
f(x) dx = Z0
−1
f(x) dx+ Z1
0
f(x) dx+ Z2
1
f(x) dx+ Z3
2
f(x) dx+ Z4 3
f(x) dx
= Z0
−1
(2x+ 2) dx+ Z1
0
2 dx+ Z2
1
(−2x+ 4) dx+ Z3
2
(−x+ 2) dx+ Z4
3
(−1) dx = 5 2 .
Chọn đáp án D
Câu 35. Hàm số y = x3− mx2+ (m −6)x+ 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2) khi và chỉ khiy0 = 3x2−2mx+m −6 ≤0, ∀x ∈(0; 2) vày0 = 0 tại một số giá trị hữu hạn.
Ta có
3x2−2mx+m −6≤0, ∀x ∈(0; 2)
⇔ m(1−2x)≤6−3x2. (1) Xét x ∈
Å 0;
1 2
ã
Ñ1−2x >0.
Khi đó (1)⇔ m ≤ 6−3x2
1−2x =f(x), ∀x ∈(0; 2)⇔ m ≤ min
x∈(0;2)
f(x).
Xét f(x) =
6−3x2 1−2x trên
Å 0;
1 2
ã , ta có f0(x) =
(−6x)(1−2x)−(−2)(6−3x2) (1−2x)2
=
6x2−6x+ 12 (1−2x)2
= 0. (vô nghiệm) Bảng biến thiên
x f0(x)
f(x) 0
1 2
+
6 6
+∞ +∞
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấym ≤ 6.
Xét x ∈ Å
1 2
; 2 ã
Ñ1−2x <0.
Khi đó (1)⇔ m ≥ 6−3x2
1−2x =f(x), ∀x ∈(0; 2)⇔ m ≥ max
x∈(0;2)
f(x).
Xét f(x) =
6−3x2 1−2x trên
Å 1 2
; 2 ã
, ta có f0(x) =
(−6x)(1−2x)−(−2)(6−3x2) (1−2x)2
=
6x2−6x+ 12 (1−2x)2
= 0. (vô nghiệm) Bảng biến thiên
x f0(x)
f(x)
1
2 2
+
−∞
−∞
2 2
Dựa vào bảng biến thiên, ta thấym ≥ 2.
Vậy 2≤ m ≤ 6 thì hàm số y =x3− mx2+ (m −6)x+ 1 nghịch biến trên khoảng (0; 2). Khi đó có 5 giá trị nguyên.
Chọn đáp án C
Câu 36. Áp dụng công thức mô-đun |mz1+nz2|2 =m2|z1|2+n2|z2|2+mn(z1z2+z2z1).
Ta có 16 =|2z
1−3z
2|2 = 4|z
1|2+ 9|z
2|2−6 (z
1z
2+z
2z
1)Ñ (z
1z
2+z
2z
1) =
4·4 + 9·1−16 6
=
3 2 .
Vậy|z1+ 2z2|2 =|z1|2+ 4|z2|2+ 2 (z1z2+z2z1) = 4 + 4 + 3 = 11Ñ P =
√ 11.
Chọn đáp án A
Câu 37. Ta có mặt phẳng (α), (β) và (P) có các véc-tơ pháp tuyến lần lượt là
#»nα = (1;−2; 0), n#»β = (1; 0;−2),
n#»P = (3; 4; 5).
Dod là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) nên véc-tơ chỉ phương của dlà #»nα;
#»nβ
= (4; 2; 2).
Hayd có một véc-tơ chỉ phương
u#»d = (2; 1; 1).
Do đó sin (d; (P)) = sinφ=
|3·2 + 4·1 + 5·1|
√
22+ 12+ 12·√
32+ 42+ 52
= 15 10
√ 3
=
√ 3 2
. Vậyφ= 60
◦
.
Chọn đáp án A
Câu 38. Ta có y0 = (f(|x+ 2|))
0
=
x+ 2
|x+ 2|· f0(|x+ 2|).
Khi đó do|x+ 2| ≥0 nên y0 = 0Ñ
ñx+ 2 = 0
|x+ 2|= 1 Ñ
x =−2 x =−1 x =−3. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị.
Chọn đáp án A
Câu 39. Cách 1:
Dựng hình bình hành ABCD, khi đó BC k AD Ñ BC k (MAD).
Suy ra d (AM, BC) = d (BC,(MAD)) = d (C,(MAD)).
GọiO là tâm hình bình hành ABCD. Vì
®SM =MC AO=OC Ñ
MO k SA OM =
SA 2
= 3 2
Ñ MO ⊥(ABCD).
Trong4AOD hạ OE ⊥ AD thì OE =
d (A, BC) 2
=
√ 2 2
. Ta có
®MO ⊥ AD
OE ⊥ AD Ñ(MAD)⊥(MOE).
Do đó, d (C,(MAD)) = 2d (O,(MAD)) = 2
OM · OE
√OM2+OE2.
Vậy d (AM, BC) = 2
√ 2 2
· 3
… 2 2 4
+ 9 4
= 3
√ 22 11
.
S
M E
B
O
D C
A
Cách 2:
GoiN là trung điểm SB. Do
®SM =MC SN =NB Ñ
MN = BC
2
=
√ 2 MN k BC.
Mà4SAB vuông tại A có AN trung tuyến.
Suy raAN = SB
2
=
√ 9 + 4
2
=
√ 13 2
. Tương tự AM =
SC 2
=
√ 13 2
. Ta có VS.AMN =
SN SB · SM
SC · VS.ABC = 1 4
· 1 3
·3·2 = 1 2 .
S
B A
N
C M
Do BC k MN Ñd (AM, BC) = d (BC,(AMN)) = d (B,(AMN)) = d (S,(AMN)).
Hơn nữa,SAMN = 1 2
· MN ·
…
AM2−MN2 4
=
√ 22 4
. Nên d (S,(AMN)) =
3VS.AMN SAMN =
3
√ 22 11
. Vậy d (AM, BC) =
3
√ 22 11
.
Chọn đáp án A
Câu 40.
E O
B
A S K
C
D
I
DoABCD là hình thang vuông tại Avà Bvà AD= 2AB = 2BC = 2 nên 4CED vuông cân tạiE vớiCD =
√
2 và 4ACD vuông cân tạiC.
GọiI là trung điểm của CD Ñ I là tâm đường tròn ngoại tiếp 4CED.
Qua I kẻ đường thẳng song song với SA, trên đó lấy điểm O sao cho OS =OD.
Khi đó OS=OD =OC =OE =R, tức là, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CED. Đặt OI =d,SA =h; hạOK ⊥ SA.
Xét 4OID vuông tại I ta có R2 =OD2 =OI2+ID2=d2+ 1 2
(1).
Hơn nữa 4ACI vuông tại C nên OK2 =AI2 =AC2+CI2 = 2 + 1 2
= 5 2 . Ta có OS2 =SK2+OK2 Ñ R2 = (h − d
)
2
+ 5 2
(2).
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được 0 =h2−2hd+ 2Ñ d =
h2+ 2 2h =
3 2
Ñ R2 = 9 4
+ 1 2
= 11
4 VậySmc= 4π ·11
4
= 11π.
Chọn đáp án A
Câu 41. Đặt 3
x
=t > 0 thì phương trình ban đầu có dạng t2−
(2m −2)t − m+ 4 = 0 (1)
Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (1) phải có hai nghiệm dương phân biệt.
Suy ra
∆
0
= (m −1)
2−
(−m+ 4)>0 2m −2>0
− m+ 4>0
⇔
m2− m −3>0 m >1
m <4
⇔
m < 1−√ 13 2 m > 1 +
√ 13 2 1< m < 4
⇔ 1 +
√ 13 2
< m <4. Vậy có 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn.
Chọn đáp án A
Câu 42. Ta có |Ω|= C
3
12 = 220.
Số cách chọn ra 3 quả khác màu là|A|= C
1 5
×C
1 4
×C
1 3 = 60.
Vậy PA = 60 220
= 3 11
.
Chọn đáp án A
Câu 43. Mặt phẳng (P) : 2x − y − z+ 6 = 0 Ñ n#»P = (2;−1;−1).
Đường thẳngd đi qua M
(2; 3; 4) và vuông góc với (P) có phương trình
x = 2 + 2t y = 3− t z= 4− t.
Hình chiếu củaM trên (P) là giao điểm của đường thẳng d và (P) nên 2 (2 + 2t)−(3− t)−(4− t) + 6 = 0⇔ t =−1
2 Tọa độ hình chiếu của M trên (P) là
Å 1;
7 2
; 9 2
ã .
Chọn đáp án A
Câu 44. Xét phương trình x3+ 3x2+m+ 1 = 0 ⇔ x3+ 3x2+ 1 = −m(1).
Đặt f(x) =x3+ 3x2+ 1, ta có bảng biến thiên của hàm f(x) như sau x
f0(x) f(x)
−∞ −2 0 1 +∞
+ 0 −
0 + +
−∞
−∞
5 5
1 1
+∞ +∞ 5
Để đồ thị hàm số y =
x −1 x3+ 3x2+m+ 1
có đúng một tiệm cận đứng thì phương trình (1) hoặc là có một nghiệm duy nhất khác 1 hoặc là có một nghiệm bằng 1 một nghiệm kép khác 1.
Từ bảng biến thiên của hàm sốf(x) ta có
ñ− m ≥ 5
− m < 1
⇔
ñm ≤ −5 m > −1 .
Chọn đáp án A
Câu 45. Do hàm số f(x) là hàm số bậc 3 có f0(x) = 3x2+ 2ax+b và f0(t) =f0(t + 5) = 2.
Nên f0(x)−2 = 3 (x − t) (x − t −5) = 3 Å
x − t −5 2
ã2
− 75 4
. Khi đó
I =
t+5
Z
t
f0(x) dx
= Zt+5
t
(f0(x)−2) dx+ Zt+5
t
2 dx
=
t+5
Z
t
ñ
3 Å
x − t −5 2
ã2
−75 4
ô
dx+ 2x
t+5 t
= Å
x − t − 5 2
ã3
t+5 t
− 75 4
x
t+5 t
+ 10
= Å
5 2
ã3
− Å
−5 2
ã3
− 375 4
+ 10
= 125
4
− −375 4
+ 40
4
=−105 2
.
Chọn đáp án A
Câu 46.
B0
B A
A0
M
C
C0
O
O0
G
I
I0
GọiI,I0 lần lượt là trung điểm của BC và B0C0. Khi đó tứ giácAII0A0 là hình bình hành và
AO AI =
A0O0 A0I0 =
2 3 . Suy raS4MOO0 =
1 2
SAOO0A0 = 1 2
· 2 3
SAII0A0 = 1 3
SAII0A0. Hơn nữa G là trọng tâm tam giác B0C0C nên
GI0 CI0 =
1 3 . Do đó
VO0OMG = 1 3
VG.AII0A0 = 1 9
VC.AII0A0
= 2 9
VC.AII0 = 2 9
VI0.AIC
= 1 9
VI0.ABC = 1 9
VB0.ABC = 1 27
VABC.A0B0C0.
(Do I0 thuộc B0C0 song song với BC) Vậyh=
VABC.A0B0C0 S4ABC =
27VO0OMG
a2√ 3 4
= 36a√ 3.
Chọn đáp án A
Câu 47. Điều kiện x >0.
Ta có
xlog2020(x3)−a = 2021⇔log2020
Äxlog2020(x3)−aä
= log20202021
⇔ log2020x
(3 log2020
x − a
) = log20202021
⇔ 3 (log2020x)
2− alog2020x −log20202021 = 0 (1). Đặt t = log2020x thì (1) có dạng 3t2− at −log20202021 = 0 (2).
Do phương trình (2) có 3·(−log20202021)<0 nên (2) luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Hơn nữa a
3
=t
1+t
2 = log2020x
1+ log2020x
2 = log2020(x
1x
2) = log202032.
Vậya = 3 log202032∈ (1; 2].
Chọn đáp án A
Câu 48.
P α
∆ d1
A
H M
A0
Bài toán phụ: Xét mặt phẳng (α) chứa đường thẳng ∆.
Nếu (α)≡(P) thì cosφ= 1.
Nếu (α)∩(P) =d
1. Gọi A0 là hình chiếu của A trên (P).
Gọi giao điểm của ∆ và d
1 là M, hạ A0H ⊥ d
1 Ñ AH ⊥ d
1. Ta có tanAHA0 =
A0A
A0H ≥ A0A
A0M = tanAMA0 ÑAHA’0 ≥AMA÷0 ÑcosAHA0 ≤cosAMA0. Hay cos (∆,(P)) ≥cos ((α); (P)).
Xét mặt phẳng (Q) đi qua A song song với d sao cho khoảng cách giữa d và (Q) là 3 có véc-tơ pháp tuyến
n# »Q = (a;b;c ).
Phương trình mặt phẳng (Q) là a
(x −3) +b
(y+ 1) +c
(z+ 1) = 0.
Hơn nữa, 3· a+ 2· b+ 2· c= 0 (1), d (O; (Q)) =
|−3a+b+c|
√a2+b2+c2 = 3 (2).
Từ (1) suy ra b+c=−3a 2
(3), thay vào (2) ta được
−3a − 3a 2
= 3
√a2+b2+c2
⇔
−3a 2
=
√
a2+b2+c2
⇔ b2+c2 = 5a2
4 (4). Từ (3) và (4) ta có bc=
a2 2
.
Do đó ta có hệ
b+c=−3a 2 bc=
a2 2
.
Nếua = 0Ñ b=c= 0 không thỏa mãn, nên a 6= 0.
Chọna = 2 khi đó ta có
®b+c=−3 bc= 2
Ñ
ñb=−2;c=−1 b=−1;c=−2.
- Trường hợp 1: #»nQ = (2;−2;−1) khi đó cosφ ≥ |2−4−2|
√
12+ 22+ 22·p
22+ (−2)2+ (−1)2
= 4 9 . - Trường hợp 2: #»nQ = (2;−1;−2) khi đó cosφ ≥ |2−2−4|
√
12+ 22+ 22·p
22+ (−1)2+ (−2)2
= 4 9 . Vậy giá trị nhỏ nhất của cosφ là
4 9 .
Chọn đáp án C Câu 49. Điều kiện 0< x < m.
Đặt
®
log2x=a
log3(m − x) =b Ñ
®x = 2
a
m − x = 3
b. Khi đó ta có
®a+b = 2 2
a
+ 3
b
=m Ñ2
a
+ 3
2−a
=m. Xét hàm số f(t) = 2
t
+ 3
2−t
. Ta cóf0(t) = ln 2·2
t −ln 3·3
2−t
. Nên f0(t) = 0⇔ln 2·2
t
= ln 3·3
2−t Ñ6
t
= 9 ln 3
ln 2
Ñ t = log6 Å
9 ln 3 ln 2
ã . Bảng biến thiên của hàm sốf(t) như sau
t f0(t)
f(t)
−∞ log6
9 ln 3 ln 2
+∞
− 0 +
+∞ +∞
f log6
9 ln 3 ln 2
f log6
9 ln 3 ln 2
+∞ +∞
Để phương trình có nghiệm thì m ≥ f Å
log6 Å
9 ln 3 ln 2
ãã
≥5 >0.
Vậy có 15 giá trị củam thỏa mãn.
Chọn đáp án A
Câu 50. Với x ∈D ta cóy0 =m+
m+ 1 2
√x −2 . Để hàm số nghịch biến trên (2; +∞) thì
m+
m+ 1 2
√x −2
≤0, ∀x ∈ (2; +∞)
⇔ mÄ 2
√x −2 + 1 ä
+ 1 ≤0, ∀x ∈
(2; +∞)
⇔ m ≤ − 1 2
√x −2 + 1 , ∀x ∈
(2; +∞).
Xét hàm số g(x) =− 1 2
√x −2 + 1
, với x ∈
(2; +∞).
Ta có g0(x) =
√ 1 x −2
Ä 2
√x −2 + 1 ä2
>0, ∀x ∈ (2; +∞).
Suy rag(x) là hàm đồng biến.
Vậym ≤ g(2) = −1.
Chọn đáp án A
