Tài liệu tự học giới hạn của hàm số - Nguyễn Trọng - TOANMATH.com

(1)

CHƯƠNG

4

GIỚI HẠN

BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Định nghĩa 1 (Giới hạn của hàm số tại một điểm).

Giả sử

(

^{a b}^;

)

là một khoảng chứa điểm x₀ và f là một hàm số xác định trên tập hợp

(

a b;

)  

\ x0 . Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần đến x₀ (hoặc tại điểm x₀) nếu với mọi dãy số

( )

xn trong tập hợp

(

a b;

)  

\ x0 mà limx_n =x₀ ta đều có ^lim f x

( )

n =L.

Khi đó ta viết

( )

0

lim

x x f x L

→ = hoặc ^{f x}

( )

^→^L^khix→x0. Định nghĩa 2 (Giới hạn của hàm số tại vô cực).

Giả sử hàm số f xác định trên khoảng

(

^a^;^+

)

. Ta nói rằng hàm số f có giới hạn là số thực L khi x dần tới + nếu với mọi dãy số

( )

xn trong khoảng

(

^a^;^+

)

^{mà lim}xn = + ta đều có

( )

lim f x_n =L.

Khi đó ta viết ^lim

( )

x f x L

→+ = hoặc ^{f x}

( )

^→^L^khi^x^{→ +}^.

GIỚI HẠN HỮA HẠN GIỚI HẠN VÔ CỰC

Giới hạn đặc biệt 1)

0

lim 0

x x x x

→ = . 2)

0

xlimx c c

→ =

(

^c^

)

^.

Giới hạn đặc biệt 1) lim ^k

x x

→+ = +. 2) lim 0

x k

c

→x = . 3)

0

lim1

x^→⁻ x = −. 4)

0

lim 1

x^→⁺ x= +.

5) ^khi ²

(

⁰

)

lim khi 2

x

k k k

x k

→−

+

= − 



 



Định lí

Nếu

( )

0

lim

x x f x L

→ = và

( )

0

lim

x x g x M

→ = thì

1)

( ) ( )

0

xlimx f x g x L M

→   =  .

2)

( ) ( )

0

lim . .

x x f x g x L M

→  = .

3)

( )

0

xlimx

f x L

g x M

→ = với M 0. Nếu ^{f x}

( )

^⁰^và

( )

0

lim

x x f x L

→ = thì

( )

0

limx x f x L

→ = và

( )

0

xlimx f x L

→ = .

Định lí 1

Nếu

( )

0

lim 0

x x f x L

→ =  và

( )

0

lim

x x f x

→ =  thì

( ) ( ) ( )

( )

0

khi . lim 0

lim .

khi . lim 0

x x x x

x x

L g x

f x g x

L g x

→

+ 



=

  

  −  .

Nếu

( )

0

lim 0

x x g x

→ = thì

( ) ( )

0

khi . 0

lim khi . 0

x x

L g x f x

g x L g x

→

+ 

= 

− 

 .

(2)

Page

2

Giới hạn một bên

( ) ( ) ( )

0 0 0

lim l

i i

l m m

x x

x x x x

f x f x L

f x L ₊ ₋

→ =  → = → = .

B. DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0

0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức.

Phương pháp giải:

Khử dạng vô định bằng cách phân tích thành tích bằng cách chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới, cộng chéo), rồi sau đó đơn giản biểu thức để khử dạng vô định.

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn

2 2 2

2 3 14

lim^x 4

x x

A ^→ x

+ −

= − . Đs: 11 A= 4 . Lời giải

Ta có

2

2 2 2 2

2(x 2)(x 7)

2 3 14 2 2 7 11

lim lim lim

4 (x 2)(x 2) 2 4

x x x

A ^→ x ^→ ^→ x

− +

+ − +

= = = =

− − + +

! Cần nhớ: f x( )=ax²+bx+ =c a x

(

−x1

)(

x−x2

)

với x x₁, ₂là 2 nghiệm của phương trình

( )

⁰

f x = . Học sinh thường quên nhân thêm a . Ví dụ 2. Tính giới hạn

3 2

2

2 5 2 3

lim^x 4 13 4 3

x x x

A ^→ x x x

− − −

= − + − . Đs: 11

A=17. Lời giải

( ) ( )

3 2 2 2

3 3 3

3 2 1

2 5 2 3 2 1 11

lim lim lim

4 13 4 3 3 4 1 4 1 17

x x x

x x x x x

A ^→ x x x ^→ x x x ^→ x x

− + +

− − − + +

= = = =

− + − − − + − +

Nhận xét: Bảng chia Hooc – nơ (đầu rơi, nhân tới cộng chéo) như sau:

Phân tích 2x³−5x²−2x−3thành tích số:

( ) ( )

3 2 2

2x 5x 2x 3 x 3 2x x 1

 − − − = − + +

Phân tích 4x³−13x²+4x−3thành tích số:

(3)

( ) ( )

3 2 2

4x 13x 4x 3 x 3 4x x 1

 − + − = − − + .

Ví dụ 3. Tính giới hạn

100 1 50

2 1

lim^x 2 1

x x

A ^→ x x

− +

= − + . Đs: 49

A=24. Lời giải

Ta có

( ) ( )

100 100 99

50 50 49

1 1 1

1 1

2 1 ( ) ( 1)

lim lim lim

2 1 ( ) ( 1) 1 1

x x x

x x x

x x x x x

A ^→ x x ^→ x x x ^→ x x x

− − −

− + − − −

= = =

− + − − − − − −

( ) ( ) ( )

( ) ( )

98 97 96

48 47 46

1

99 98 97 2

49 48 47 2

1

1 .... 1 1

lim 1 .... 1 1

1 .... 1

lim

1 .... 1

x

x x x x x x x

x x x x x x

→

− + + + + + − −

= − + + + + + − −

− + + + + + −

= − + + + + + −

( )

99 98 97 2

49 48 47 2

1

.... 1 98 49

lim^x .... 1 48 24

x x x x x

→

+ + + + + −

= = =

+ + + + + −

!Cần nhớ: Hằng đẳng thức ^xⁿ^{− =}¹

(

^x⁻¹

) (

^xⁿ⁻¹⁺^xⁿ⁻²⁺^....⁺^x²^{+ +}^x ^{1 .}

)

Chứng minh: Xét cấp số nhân 1, ,x x x², ³,....,xⁿ⁻¹có n số hạng và u1=1,q=x. Khi đó

( ) ( )

2 1 2 1

1

1 1

1 ... 1. 1 1 1 ... .

1 1

n n

n n n

n

q x

S x x x u x x x x x

q x

− − − −

= + + + + = =  − = − + + + +

− −

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

1)

2 2 2

3 2

lim^x 4

x x

A ^→ x

− +

= − . ĐS: ¹

A= 4. 2)

2 1 2

lim 1

3 4

x

A x

x x

→

= −

+ − . ĐS: ² A= 5. 3)

2 3 2

7 12

lim^x 9

x x

A ^→ x

− +

= − . ĐS: 1

A= −6. 4)

2 5 2

9 20 lim^x 5

x x

A ^→ x x

− +

= − . ĐS: 1

A=5. 5)

2 3 2

3 10 3

lim^x 5 6

x x

A ^→ x x

− +

= − + . ĐS: A=8. 6)

2 1 2

2 3

lim^x 2 1

x x

A ^→ x x

+ −

= − − . ĐS: ⁴

A= 3. 7)

4 2 2

lim 16

6 8

x

A x

x x

→−

= −

+ + . ĐS: A= −16. 8)

1

2 3

lim^x 5 4

x x

A ^→ x x

− −

= − + .ĐS: 4

A= −3. 9)

3 2 2

lim 8

3 2

x

A x

x x

→

= −

− + . ĐS: A=12. 10)

3 2 2

lim 8

11 18

x

A x

x x

→−

= +

+ + . ĐS: 12 A= 7 .

(4)

Page

4

1)

3 2

1 2

2 5 2 1

lim^x 1

x x x

A ^→ x

− + +

= − . ĐS: A= −1. 2)

3 1 4

3 2

lim^x 4 3

x x

A ^→ x x

− +

= − + . ĐS: ¹

A= 2. 3)

3 2

1

2 5 4 1

lim 1

x

x x x

A ^→− x x x

+ + +

= + − − . ĐS: ¹

A= 2. 4)

4 3

3 2

1

lim 1

5 7 3

x

x x x

A ^→ x x x

− − +

= − + − . ĐS: 3

A= −2. 5)

3 2

2 3 9 7 3

lim 3

x

x x x

A ^→− x

− + + +

= − . ĐS: ^{18 19 3}

A= +6 . 6)

3 2

4 2

3

5 3 9

lim^x 8 9

x x x

A ^→ x x

− + +

= − − . ĐS: A=0.

7)

3

4 2

1

lim 1

4 3

x

A x

x x

→

= −

− + . ĐS: ³

A= 4. 8) ₃

2

1 12

lim^x 2 8

A ^→ x x

 

=  − − − . ĐS: ¹ A= 2.

9) ₂ ₂

2

1 1

lim^x 3 2 5 6

A ^→ x x x x

 

=  − − + − − . ĐS: A= −2.

10) ₂ ₃

1

1 1

lim^x 2 1

A ^→ x x x

 

=  + − − −  . ĐS: 1 A=9.

Bài 3. Tính các giới hạn sau:

1)

20 1 30

2 1

lim^x 2 1

x x

A ^→ x x

− +

= − + . ĐS: 8

A=14. 2)

50 1 2

lim 1

3 2

x

A x

x x

→

= −

− + . ĐS: A= −50.

3) ¹

( )

²

lim 1

1

n x

x nx n A

→ x

− + −

= − (Với n là số nguyên). ĐS:

2

n n

A −

= .

4)

( )

1 1 2

lim 1

1

n x

x n x n

A

x

+

→

− + +

= − . ĐS:

(

¹

)

2 A n n+

= .

5)

2 3

1

lim ...

...

n x m

x x x x n

A ^→ x x x x m

+ + + + −

= + + + + − (m n, là số nguyên) . ĐS:

( )

1 1 A n n

m m

= +

+ . 6)

lim1

1 ^m 1 ⁿ

x

m n

A ^→ x x

 

=  − − −  . ĐS:

2 A=m n− .

 LỜI GIẢI

Bài 1. 1) Ta có

( )( )

2

2 2 2 2

1 2

3 2 1 1

lim lim lim

4 2 2 2 4

x x x

x x

x x x

A ^→ x ^→ x x ^→ x

− −

− + −

= = = =

− − + + .

2) Ta có

( )( )

2

1 2 1 1

1 1

1 1 2

lim lim lim

3 4 1 4 4 5

x x x

x x

A ^→ x x ^→ x x ^→ x

− +

= = = =

+ − − + + .

3) Ta có

( )( )

2

3 2 3 3

3 4

7 12 4 1

lim lim lim

9 3 3 3 6

x x x

x x

x x x

A ^→ x ^→ x x ^→ x

− −

− + −

= = = = −

− − + + .

(5)

4) Ta có

( )( )

( )

2

5 2 5 5

4 5

9 20 4 1

lim lim lim

5 5 5

x x x

x x

x x x

A ^→ x x ^→ x x ^→ x

− −

− + −

= = = =

− − .

5) Ta có

( )( )

2

3 2 3 3

3 1 3

3 10 3 3 1

lim lim lim 8

5 6 2 3 2

x x x

x x

x x x

A ^→ x x ^→ x x ^→ x

− −

− + −

= = = =

− + − − − .

6) Ta có

( )( )

2

1 2 1 1

1 3

2 3 3 4

lim lim lim

2 1 1 2 1 2 1 3

x x x

x x

x x x

A ^→ x x ^→ x x ^→ x

− +

+ − +

= = = =

− − − + + .

7) Ta có

( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

2 2

4

2 2 2 2

2 2 4 2 4

lim 16 lim lim 16

6 8 2 4 4

x x x

x x x x x

A x

x x x x x

→− →− →−

− + + − +

= − = = = −

+ + + + + .

8) Ta có

( )( )

( )( ) ( )

( )

1 1 1

1 3 3

2 3 4

lim lim lim

5 4 1 4 4 3

x x x

x x

A

x x x x x

→ → →

− + +

− −

= = = = −

− + − − − .

9) Ta có

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2

3

2 2 2 2

2 2 4 2 4

lim 8 lim lim 12

3 2 2 1 1

x x x

x x x x x

A x

x x x x x

→ → →

− + + + +

= − = = =

− + − − − .

! Cần nhớ: Hằng đẳng thức ^a³⁺^b³ ⁼

(

^a⁺^b

) (

^a²⁻^{ab b}⁺ ²

)

^và^a³⁻^b³⁼

(

^{a b}⁻

) (

^a²⁺^{ab b}⁺ ²

)

^.

10) Ta có

( ) ( )

( )( ) ( )

( )

2 2

3

2 2 2 2

2 2 4 2 4

8 12

lim lim lim

11 18 2 9 9 7

x x x

x x x x x

A x

x x x x x

→− →− →−

+ − + − +

= + = = =

+ + + + + .

Bài 2. 1)

( ) ( )

( )( )

3 2 2 2

1 2 1 1

1 2 3 1

2 5 2 1 2 3 1

lim lim lim 1

1 1 1 1

x x x

x x x x x

A ^→ x ^→ x x ^→ x

− − −

− + + − −

= = = = −

− − + + .

2)

( ) ( )

3 2

2

4 2 2

1 1 1

1 2

3 2 2 1

lim lim lim

4 3 1 2 3 2 3 2

x x x

x x

x x x

A ^→ x x ^→ x x x ^→ x x

− +

− + +

= = = =

− + − + + + + .

3)

( ) ( )

3 2 2

2

3 2

1 1 1

1 2 1

2 5 4 1 2 1 1

lim lim lim

1 1 1 1 2

x x x

x x

x x x x

A ^→− x x x ^→− x x ^→− x

+ +

+ + + +

= = = =

+ − − + − − .

4)

( ) ( )

2 2

4 3 2

2

3 2

1 1 1

1 1

1 1 3

lim lim lim

5 7 3 1 3 3 2

x x x

x x x x x

A ^→ x x x ^→ x x ^→ x

− + +

− − + + +

= = = = −

− + − − − − .

5) Ta có

( ) ( ( ) )

( )( )

3 2 2

3 2 3

3 2 3 2 3 7 3 3

2 3 9 7 3

lim lim

3 3 3

x x

x x x

A ^→− x ^→− x x

 + − + + + 

− + + +  

= − = − + − 

( )

2

3

2 3 2 3 7 3 3 18 19 3

lim 3 6

x

x x

→− x

 − + + +  +

 

= − =

 − 

 

.

6) Ta có

( )( )

( ) ( )( ( ) )

3 2 2

1 3 1 3

5 3 9

limx x x lim x x lim x x 0

A − + + − − − −

= = = = .

(6)

Page

6

7) Ta có

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

2 2

3

4 2 3 2 3 2

1 1 1

1 3

lim lim lim

4 3 1 3 3 3 3 4

x x x

x x x x x

A x

x x x x x x x x x

→ → →

− − − − − − −

= − = = =

− + − + − − + − − .

8) Ta có

( ) ( )

3

3 3

2 2

1 12 12 16

lim lim

2 8 2 8

x x

A ^→ x x ^→ x x

− +

 

=  − − − = − −

( )( )

( ) ( )

2

2 2 2

2 2

4 2 4 1

lim lim

2 4 2

2 2 4

x x

x x x

x x

x x x

→ →

+ − +

= = =

+ +

− + + .

9) Ta có

( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2

1 1 5 6 3 2

lim lim

3 2 5 6 3 2 5 6

x x

x x x x

A ^→ x x x x ^→ x x x x

− − + − −

 

=  − − + − − = − − − −

( )

( ) ( )( ) ( )( )

2

2 2 2

lim lim 2

3 1

2 3 1

x x

x

x x

x x x

→ →

= − = = −

− −

− − − .

10) Ta có

( )( ) ( )( )

3 2 3 2

2 3 2 3 2 3

1 1 1

1 1 1 2 1

lim lim lim

2 1 2 1 2 1

x x x

x x x x x x

A ^→ x x x ^→ x x x ^→ x x x

− − − + − − +

 

=  + − − − = + − − = + − −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2 2 2

1 1

1 1 1 1

lim lim

2 1 9

1 2 1

x x

x x x

x x x x

→ →

− + +

= = =

+ + +

− + + + .

Bài 3. 1) Ta có

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

20 19 20

30 30 29

1 1 1

1 1

2 1 1

lim lim lim

2 1 1 1 1

x x x

x x x

x x x

x x

A ^→ x x ^→ x x x ^→ x x x

− − −

− +

= = =

− + − − − − − −

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

18 17 19 18

28 27 29 28

1 1

1 ... 1 1 1 ... 1

lim lim

1 ... 1 1 1 ... 1

x x

x x x x x x x x x x

→ →

− + + + + − − − + + + −

= =

− + + + + − − − + + + −

( )

19 18

29 28

1

... 1 18 9

lim^x ... 1 28 24

x x x

→

+ + + −

= = =

+ + + − .

2) Ta có

( ) ( )

( )( )

49 48

50 49 48

1 2 1 1

1 ... x 1

lim lim lim 50

3 2 1 2 2

x x x

A ^→ x x ^→ x x ^→ x

− + + + +

= = = = −

− + − − −

3) Ta có

( ) ( ) ( )

( )

2 2

1 1

lim 1 lim

1 1

n n

x x

x n x

x nx n A

x x

→ →

− − −

− + −

= =

− −

( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 ... x 1 1

lim

1

n n

x

x x x n x

x

− −

→

− + + + + − −

= −

( ) ( )

( )

1 2 1 2

1 2 1

1 ... x 1 ... x 1

lim lim

1 1

n n n n

x x

x x x n x x n

x x

− − − −

→ →

− + + + + − + + + + −

= =

− −

1 2 2

1

1 1 ... x 1 1

lim 1

n n

x

x x x

x

− −

→

− + − + + − + −

= −

(7)

( ) (

² ³

) ( ) (

³ ⁴

) ( )

1

1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1

lim 1

n n n n

x

x x x x x x x

x

− − − −

→

− + + + + + − + + + + + + −

= −

(

² ³

) (

³ ⁴

)

1

lim ⁿ ⁿ ... x 1 ⁿ ⁿ ... x 1 ... 1

x x ⁻ x ⁻ x ⁻ x ⁻

→  

=  + + + + + + + + + + + 

(

¹

) (

²

)

^{... 1} ²

2

n n

n n −

= − + − + + = .

4) Ta có

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 1

2 2 2

1 1 1

lim 1 lim lim

1 1 1

n n

n

x x x

x x n x x x n x

x n x n

A

x x x

+ +

→ → →

− − − − − −

− + +

= = =

− − −

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

1 2 1

2 2

1 1

1 ... x 1 1 1 ... x

lim lim

1 1

n n n n

x x

x x x x n x x x x n

x x

− − −

→ →

− + + + + − − − + + + −

= =

− −

1 2 1 2

1 1

... x 1 1 ... x 1 1

lim lim

1 1

n n n n

x x

x x x n x x x

x x

− −

→ →

+ + + + − − + − + + − + −

= =

− −

( ) (

¹ ²

) ( ) (

² ³

) ( )

1

1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1

lim 1

n n n n

x

x x x x x x x

x

− − − −

→

− + + + + + − + + + + + + −

= −

(

¹ ²

) (

² ³

)

1

lim ⁿ ⁿ ... x 1 ⁿ ⁿ ... x 1 ... 1

x x ⁻ x ⁻ x ⁻ x ⁻

→  

=  + + + + + + + + + + + 

( ) ( ) (

¹

)

1 2 ... 1

2

n n n n n+

= + − + − + + = .

5) Ta có

2 3 1 2

1 1

... 1 1 ... 1 1

lim lim

... 1 1 ... 1 1

n n n

m m m

x x

x x x x n x x x x

A x x x x m x x x x

−

→ → −

+ + + + − − + − + + − + −

= =

+ + + + − − + − + + − + −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 2 3

1

1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1

lim 1 ... x 1 1 ... x 1 ... 1

n n n n

m m m m

x

x x x x x x x

− − − −

→

− + + + + + − + + + + + + −

= − + + + + + − + + + + + + −

( ) ( )

1 2 2 3

1

... x 1 ... x 1 ... 1

lim ... x 1 ... x 1 ... 1

n n n n

m m m m

x

x x x x

− − − −

→

+ + + + + + + + + + +

= + + + + + + + + + + +

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

1 2 ... 1 1

lim^x 1 2 ... 1 1

n n n n n

m m m m m

→

+ − + − + + +

= =

+ − + − + + + .

6) Ta có

1 1

lim lim

1 ^m 1 ⁿ 1 ^m 1 1 ⁿ 1

x x

m n m n

A ^→ x x ^→ x x x x

 

     

=  − − − =  − − −   − − − − 

1 1

lim lim

1 ^m 1 1 ⁿ 1

x x

m n

x x x x

→ →

   

=  − − − −  − − − 

Và

(

² ¹

) ( ) (

²

) (

¹

)

1 1 1

1 ... x 1 1 ... 1 x

lim 1 lim lim

1 1 1 1 x

m m

m m m

x x x

m x x x x

m

x x x

− −

→ → →

− + + + + − + − + + −

 − = =

 − −  − −

 

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 1

1

1 1 1 .... 1 ...

lim 1 1 ...

m x m

x x x x x

x x x x

−

→ −

 

−  + + + + + + + + 

= − + + + +

( ) (

² ²

)

2 1

1

1 1 .... 1 ... 1 2 3 ... 1 1

lim 1 ... 2

m x m

x x x x m m

x x x m

−

→ −

+ + + + + + + + + + + + − −

= = =

+ + + + Tương tự ta có

1

1 1

lim^x 1 ⁿ 1 2

n n

x x

→

 − = −

 − − 

 

(8)

Page

8

Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0

0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức.

Phương pháp giải:

Nhân lượng liên hợp để khử dạng vô định.

 VÍ DỤ

Ví dụ 1. Tính giới hạn

6

3 3

lim^x 6 B x

→ x

− +

= − . Đs: 1

B= −6. Lời giải

Ta có:

( )( )

( ) ( )

6 6

3 3 3 3

3 3

lim lim

6 6 3 3

x x

B x

x x x

→ →

− + + +

− +

= =

− − + +

( )

( ) ( ) ( ) ( )

6 6 6

9 3 6 1 1 1

lim lim lim

3 3 3 6 3 6

6 3 3 6 3 3

x x x

x x

x x x x x

→ → →

− + − − −

= = = = = −

+ + + +

− + + − + +

Ví dụ 2. Tính giới hạn

3 2

3 2 5 6

lim^x 2

x x

E ^→ x

+ − −

= − . Đs:E= −1.

Lời giải

Ta có

3 3

2 2 2

3 2 2 2 5 6 3 2 2 2 5 6

lim lim lim

2 2 2

x x x

A B

x x x x

E x x x

3

2 2 3 2 3

3 2 8

3 2 2

lim lim

2 2 3 2 2. 3 2 4

x x

A x x x x

2 3 2 3 2 3 2 3

3 2 3 1

lim lim

3 2 2. 3 2 4 4

2 3 2 2. 3 2 4

x x

x

x x

x x x

2 2 2

4 5 6 5 2

2 5 6

lim lim lim

2 2 2 5 6 2 2 5 6

x x x

x x

B x

x x x x x

2

5 5

lim^x x 2 2 5x 6 4

Suy ra ¹ ⁵ 1

4 4

E A B .

Ví dụ 3. Tính giới hạn

3 1

5 3 2

lim 1

x

L x

→− x

= − +

+ . Đs: 5

L=12. Lời giải

(9)

Ta có:

3

1 1 3 2 3

5 3 8

5 3 2

lim lim

1 1 5 3 2. 5 3 4

x x

L x x x x

2

1 3 2 3 13 3

5 1 5 5

lim lim

5 3 2. 5 3 4 12

1 5 3 2. 5 3 4

x x

x

x x

x x x

.

3 2

3 2 3 2

lim^x 2

x x

E ^→ x

+ − −

= − . Đs: 1

E −2

= . Lời giải

Ta có

3 3

2 2 2

3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2

lim lim lim

2 2 2

x x x

x x x x

E x x x

2 3 2 3 2

3 2 8 3 2 4

lim lim

2 3 2 2

2 3 2 2. 3 2 4

x x

x x x

2 3 2 3 2

3 2 3 2

lim lim

2 3 2 2

2 3 2 2. 3 2 4

x x

x x x

2 3 2 3 2

3 3 1 3 1

lim lim

4 4 2

3 2 2

3 2 2. 3 2 4

x x x x x

.

3 0

1 2 . 1 4 1 lim

x

x x

F ^→ x

+ + −

= . Đs: 7

F= 3. Lời giải

3 3

0 0

1 2 . 1 4 1 1 2 1

1 2 . 1 4 1

lim lim

x x

x x x

x x

F x x

3

0 0

1 2 . 1 4 1 1 2 1

lim lim

x x

x x x

x x

0 3 2 3 0

1 2 . 1 4 1 1 2 1

lim lim

1 2 1

1 4 1 4 1

x x

x x x

x x

x x x

0 3 2 3 0

4. 1 2 2 4 7

lim lim 1

3 3

1 2 1

1 4 1 4 1

x x

x

x x x

.

 BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

(10)

Page

10

1)

8

lim 8

3 1

x

B x

x . Đs:B 6 2)

2 1

4 2

lim 1

x

x x

B x . Đs: ¹

B 4 3)

2 3

lim^x 2 6

x x x

B x . Đs: ¹

B 4 4) ₂

2

2 2 lim^x 4 B x

x . Đs: ¹

B 16

5) ₂

2

2 3 2

lim^x 4

B x

x . Đs: ³

B 16 6) ₂

9

lim 3 9

x

B x

x x . Đs: ¹

B 54

7) ₂

2

2 2 lim^x 2 10 B x

x x . Đs: ¹

B 36 8) ₂

1

7 2 2

lim 1

x

x x

B x . Đs: ¹

B 3 9)

2 1 2

2 5 2 8

lim 3 2

x

x x x

B x x . Đs: ⁵

B 2

1)

1

3 1 3

lim

8 3

x

x x

B

x . Đs:B 3 2)

1

3 2 lim

4 5 3 6

x

B x

x x . Đs: ³

B 2 3)

2

2 2

lim

1 3

x

x x

B

x x . Đs: ¹

B 4 4)

3

1 3 5

lim^x 2 3 6

x x

B x x . Đs:B 3

5)

2 1 4

2 1

lim

x

x x x

B x x . Đs:B 0 6)

4 1

4 3 1

lim^x 1 B x

x . Đs:B 1

7)

2 2 2

2 1 2 5

lim

1 3

x

x x

B

x x

. Đs: ^{2 5}

B 3

1)

0

9 16 7

lim

x

x x

L x . Đs: ⁷

B 24

2) 1

2 2 5 4 5

lim^x 1

x x

L x . Đs: ⁴

B 3 3)

3

2 6 2 2 8

lim^x 3

x x

L x . Đs: ⁵

L 6 4)

2 2

2 1 8

lim^x 2

x x x

L x . Đs:L 8

5)

6

5 4 2 3 84

lim^x 6

x x x

L x . Đs: ⁷⁴

L 3

(11)

6)

0

1 4 1 6 1

lim

x

x x

L x . Đs:L 5

7) ₂

0

4 3 2 1 3 1

lim^x 2 1

x x x

L x x . Đs: ⁵

L 2

8) ₂

1

3 7 4 3 2 2 1

lim^x 2 1

x x x

L x x . Đs: ¹⁷

L 16

9) ₂

0

4 4 9 6 5

limx

x x

L x . Đs: ⁵

L 12 10)

2 1 2

6 3 2 5

lim

x 1

x x x

L

x

. Đs: ¹¹

L 6

1)

3 2

4 2

lim^x 2 L x

x . Đs: ¹

L 3 2)

3 0

1 1

limx

L x

x . Đs: ¹

L 3

3)

3 2 3

1 2 lim^x 3 L x

x . Đs: ¹

L 2 4)

3 1

7 2 lim

1

x

L x

x . Đs: ¹

L 6 5)

3 8

lim 2

2 9 5

x

L x

x . Đs: ⁵

L 12 6)

3 1 3

lim 1

2 1

x

L x

x . Đs:L 1

7)

3 3 1 2

10 2 1

lim 3 2

x

x x

L x x . Đs: ³

L 2 8)

3 2 2

8 11 7

lim^x 3 2

x x

L x x . Đs: ⁷

L 54 9)

3 2

3 1

7 3

lim^x 1

x x

L x . Đs: ¹

L 4 10)

3 0

2 1 8

lim .

x

x x

L x Đs: ¹¹

L 12 11)

3 2 2 2

2 4 11 7

lim .

4

x

x x x

L x Đs: ⁵

L 72 12)

3 0 2

4 . 8 3 4

lim .

x

x x

L x x Đs: L 1

1) 0

1 1

lim .

n x

F ax

x Đs: ^a

n

(12)

Page

12

2)

0

1 1

lim .

n m

x

ax bx

F x Đs: ^a ^b

n m

3)

0

1 1

lim ( 0).

1 1

n x m

F ax ab

bx Đs: ^am

bn 4)

0

1 1

lim .

1 1

n m

x

ax bx

F x Đs: 2 a b

n m

 LỜI GIẢI Bài 1. 1)

8 8 8

8 3 1 8 3 1

lim 8 lim lim

9 1

3 1 3 1 3 1

x x x

x x x x

B x

x x x x

8 8

8 3 1

lim lim 3 1 6

8

x x

x x .

2)

2 2

2

1 1 2

4 2 4 2

4 2

lim lim

1 1 4 2

x x

x x x x

x x

B x x x x

2

1 2 1 2 1 2

4 4 1 1

lim lim lim

4 2 4

1 4 2 1 4 2

x x x

x x x x x

x x

x x x x x x

.

3)

2 2

2

3 3 2

2 3 2 3

2 3

lim lim

2 6 2 6 2 3

x x

x x x x x x

x x x

B x x x x x

3 2 3 2

3 1

lim lim

2 3 2 3 2 2 3 4

x x

x x x

x x x x x x x

.

4) ₂

2 2 2

2 2 2 2

2 2

lim lim

4 4 2 2

x x

B x

x x x

2

lim 2

2 2 2 2

x

x x x ²

1 1

lim^x x 2 x 2 2 16 .

5) ₂

2 2

2 2 2

2 3 2 2 3 2 4 3 2

2 3 2

lim lim lim

4 4 2 3 2 4 2 3 2

x x x

B x

x x x x x

2 2

3 2 3 3

lim lim

2 2 2 3 2 2 2 3 2 16

x x

x

x x x x x

.

6) ₂

9 9 2 9

3 3

3 9

lim lim lim

9 9 3 9 3

x x x

x x

B x x x x x x x x ⁹

1 1

lim^x x x 3 54 .

(13)

7) ₂

2 2

2 2 2

lim lim

2 10 2 2 5 2 2

x x

B x x x x x ²

1 1

lim^x 2x 5 x 2 2 36 .

8)

2

2 2

1 1

7 2 2

lim lim

1 1 7 2 2

x x

B x x x x

2 1 2

2 3

lim

1 7 2 2

x

x x

x x x

1

lim 1 3

1 1 7 2 2

x

x x

x x x x ¹

3 1

lim 1 7 2 2 3

x

x x x

.

9)

2 2

2

1 2 1 2 2

2 5 2 8

lim lim

3 2 3 2 2 5 2 8

x x

x x x

B x x x x x x x

2

1 2 2 1 2

1 2 17

2 19 17

lim lim

3 2 2 5 2 8 1 2 2 5 2 8

x x

x x x x x x x x x x

1 2

2 17 5

lim 2 2 5 2 8 2

x

x x x x

.

Bài 2. 1)

1 1 1

2 1 8 3 2 8 3

3 1 3

lim lim lim 3

8 3 1 3 1 3 3 1 3

x x x

x x

B

x x x x x x

2)

1

3 2 lim^x 4 5 3 6 B x

x x ¹

1 4 5 3 6

lim

1 3 2

x

x x x

x x

1

4 5 3 6

lim^x 3 2

x x

x

3 2.

3) 2

2 2

lim

1 3

x

x x

B

x x ²

2 1 3

lim

2 2 2 2

x

x x x

x x x ²

1 3

lim

2 2 2

x

x x

1 4.

4) 3

1 3 5

lim^x 2 3 6

x x

B x x ³

2 3 2 3 6

lim^x