Đề thi học kì 2 Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT An Dương Vương – TP HCM - Học Tập Trực Tuyến Cấp 1,2,3 - Hoc Online 247

SỞ GD&ĐT TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

TRƯỜNG THPT AN DƯƠNG VƯƠNG Môn Toán - Khối 11- Năm học: 2019 -2020 Thời gian: 90 phút

ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5đ) Tính các giới hạn sau:

a) (0,75đ) lim ³₃ ^{3 7}

2 4 9

A n

n n

 

  b) (0,75đ) ₂

2

4 1 3

lim 4

x

B x

 x

  



Câu 2: (1đ) Cho hàm số:

 

3

2

3 2, khi 1 1

1 , khi 1

2 10

1 , khi 1

12

x x

x

f x x

x

x

   

 



 

 

 



. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x₀ 1.

Câu 3: (1,5 đ)

a) (0,75đ) Tính đạo hàm của hàm số: ^{sin 2}₄ . 1 y x

 x



b)(0,75đ) Cho hàm số: ^{1 3}









y3x  m x  m x Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình:y^/ 0 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 4: (1,5đ)

a) (0,75đ) Chứng minh rằng phương trình: x⁷5x² 2 0 có nghiệm.

b) (0,75đ) Cho hàm số:y x³5x²4 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy.

Câu 5: (1đ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. Biết rằng

3 ; ' 6

AB a AA a

a) (0,5đ) Chứng minh:



 



b) (0,5đ) Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC).

Câu 6: (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2 .a H là trung điểm AB và 15.

SH a Biết rằng hai mặt phẳng (SCH) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) (1đ) Chứng minh: ^SH









b) (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

c) (0,5đ) Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).

d) (0,5đ) Gọi I là trung điểm cạnh SD. Tính khoảng cách giữa IC và AD.

Câu 7: (0,5đ) Tính giới hạn của dãy số

 

1 1 1

... .

2 1 1. 2 3 2 2 3 ( 1) 1

un

n n n n

   

    

HẾT

SỞ GD&ĐT TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG THPT AN DƯƠNG VƯƠNG

ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN KHỐI 11 (NH: 2019 – 2020)

Câu Ý Đáp Án Điểm

1 (1,5đ)

Tính các giới hạn sau:

a) (0,75 đ)

3 3

3 7

lim 2 4 9

A n

n n

 

 

3 3 3

2 3

3 7

lim 4 9

2

n n

n n n

  

 

 

    

 

³

2 3

3 7

lim 4 9

2 n n n





 

0,25*2

3 0 3

2 0 0 2.

  

  0,25

b)

(0,75 đ) 2 2

4 1 3

lim 4

x

B x

 x

  



  

2

4 1 3

lim 2 2

x

x

x x



  

  ^xlim2











   

2

4 1

lim 2 4 1 3 6

x^ x x

 

  

0,25

2 (1đ)

Cho hàm số:

 

3

2

3 2, khi 1 1

1 , khi 1

2 10

1 , khi 1

12

x x

x

f x x

x

x

   

 



 

 

 



.

Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x₀ 1.

*

 

f 12 ;

* ₂

1 1

1 1

lim ( ) lim

2 10 12

x x

f x x

 

 

 

  



  . 0,25

*^{xlim1 f x( )  xlim1 xx 33 21 xlim1}



 x2 xx11 





  

1

1 1

lim .

1 3 2 12

x ^ x x x

 

    0,25

Ta có:

1 1

lim ( ) lim ( ) (1) 1

x f x x f x f 12

 

     nên hàm số f(x)liên tục tại

điểm x0 = 1.

0,25

3 (1,5 đ)

a)

(0,75 đ) Tính đạo hàm của hàm số: ^{sin 2}₄ . 1 y x

 x



Ta có:

       

 

/ 4 4 /

4 2

sin 2 . 1 sin 2 . 1

' 1

x x x x

y x

  

 

0,25

 

 

4 3

4 2

2 1 2 4 .sin 2

1

x cos x x x

x

 

 

0,25*2

b)

(0,75đ) Cho hàm số: ^{1 3}









y3x  m x  m x Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình:y^/0 có 2 nghiệm phân biệt.

 

' 2 2 1 6 22.

y x  m x m 0,25

Phương trình:y^/0 có 2 nghiệm phân biệt _/ ⁰ 0 a

  

2

1 0 ( )

4 21 0

Hien nhien

m m

 

    

0,25

3 7 m m

  

   . Vậy ³ 7 m m

  

  thì thỏa yêu cầu bài toán. 0,25 4

(1,5đ)

a) (0,75 đ)

Chứng minh rằng phương trình: x⁷5x² 2 0 có nghiệm.

Đặt f(x) = x⁷5x²2.Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên _

=> f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] (1)

0,25 Ta có: ^{(0) 2}

(2) 106 f

f

  

 

  f(0). (2)f  212 0 (2) 0,25

Từ (1) và (2), suy ra phương trình ^{f x}

 

 

0,25

b)

(0,75đ) Cho hàm số:yx³5x²4 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy.

Gọi tiếp điểm là M x y( , )_{0 0} . 0,25

Vì M Oy nên x₀0. Ta có: x₀ 0 y₀ 4

2

y' 3 x 10xy x'( )0  y'(0) 0. 0,25

Vậy tiếp tuyến d tại điểmM(0; 4) có phương trình:

4 0.( 0) 4.

y  x  y

0,25 5

(1 đ)

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. Biết rằng AB3 ;a AA'a 6

a) 0,5 đ Chứng minh:



 



Hình vẽ

3a 3a a 6

A'

A

B'

B

C C'

Ta có:

 

 

(Do ABC )

' (Do ' )

; ' ' '

'

BC AB vuong tai B BC AA AA ABC BC AB AA ABB A

AB AA A

  

   

 

  





BC ABB A

  0,25

Vì:

 



 

 



' ' BC ABB A

ABB A BCC B BC BCC B

  

 

0,25

b) 0,5 đ Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC).

3a 3a a 6

A'

A B'

B

C C'

Ta có: A C' (ABC)C và ^{A A' }





 CA là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABC).

 

^{' ;}





A C ABC A C CA A CA

 

  

0,25

+ AC 3a 2 .

Xét tam giác A’CA vuông tại A ta có:

+ tan '^{ ' 6 3}

3 2 3 A A a

A CA AC  a  ^A CA' 30 .⁰ Vậy:^_^{A C ABC' ;}

 

0,25

6

(3 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2 .a H là trung điểm AB và SH a 15. Biết rằng hai mặt phẳng (SCH) và

(SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

a) 1đ Chứng minh: ^SH 









Hình vẽ

a 15

2a 2a

S

C

D

B

A H

Ta có:

   

   

   

SCH ABCD SHD ABCD SCH SHD SH

 

 

  

0,25

 

SH ABCD

  0,25

Ta có:

 

 

( )

(Do )

;

AD AB gt

AD SH SH ABCD AD AB SH SAB

AB SH H

 

   

 

  

0,25

 

AD SAB

  0,25

b) 1 đ Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).

2a

2a

a 15 A

B

D

C S

H M

Ta có: SC(ABCD)C và ^SH 





 CH là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD).

 

^;





SC ABCD SC CH SCH

 

  

0,25

+ H C  H B² B C² a 5 . 0,25

Xét tam giác SCH vuông tại H ta có: tan^{ 15} 3.

5 SH a

SCH CH  a  0,25

 60 .⁰

SCH  Vậy:^_^{SC ABCD;}

 

c) 0,5 đ Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD).

Gọi M là trung điểm CD.

Ta có:

   

 

 

/ \

/

( )

( ,

SCD ABCD CD

Trong ABCD co HM CD tai M Do BCMH la hcn Trong SCD co SM CD tai M Do CD SH CD MH

  

 

   



 

 



 

   0,25

Xét tam giác SMH vuông tại H ta có:

+ tan^{ 15 15}.

2 2

SH a

SMH  MH  a 

 62 41'.⁰

SMH Vậy:^_



 



0,25

d) 0,5 đ Gọi I là trung điểm cạnh SD. Tính khoảng cách giữa IC và AD.

2a

2a

A

B

D

C S

H M

E I

K

Ta có:

/ /

( ) / /( )

( )

AD BC

AD IBC AD IBC BC IBC



 

 

 d AD IC( ; )d AD IBC( ;( ))d A IBC( ;( )).

Gọi E là trung điểm SA. Ta có: IE/ /BC(Cùng // với AD)

 

IE IBC

 

Kẻ AK BE tại K.

Ta có:

 

 

(Do / / )

; AK BE

AK BC BC AD BC SAB AK BE BC IBC

BE BC B

 

    

 

  

 

AK IBC

  tại K d A IBC( ;( )) AK.

0,25

+SA SH²HA² 4 .a

Xét tam giác SHA vuông tại H, ta có:sin^{ 15};cos^{ 1}.

4 4

SAH SH SAH

 SA  

Xét tam giác ABE, ta có:

+ ¹ . .sin^{ 1}2 .2 .sin^{ 2 15}.

2 2 2

ABE

S_  AB AE EAB a a SAH a

+ BE² AB²AE²2ABAE.cos^EAB4a²4a²2.2 .2 .cosa a SAH^6 .a² 6.

BE a

Mặt khác: ¹ . ^{2 10}.

2 2

ABE ABE

S a

S AK BE AK

BE

     

Vậy: ( ; ) ¹⁰.

2 d AD IC  a

0,25

7

(0,5đ) Tính giới hạn của dãy số

 

1 1 ... 1 .

2 1 1. 2 3 2 2 3 ( 1) 1

un

n n n n

   

    

Ta có:

 

1 1 1

( 1) 1 1 1 1

n n

n n n n n n n n n n

   

      

1 1 1

1 1 1

n n

n n n n n n

    

  

Tức là:

1 1 1

2 1 1. 2 1 2

1 1 1

3 2 2 3 2 3

...

1 1 1

(n 1) n n n 1 n n 1

    

    



       

Suy ra: u_n 1 1 1 1 1 1 1

... 1

1 2 2 3 n n 1 n 1

   

        

   

     

0,25

Ta có: lim ¹ 0 lim ¹ 0

1 1

n   n 

 

Vậy: lim lim 1 ¹ 1 lim ¹ 1

1 1

un

n n

 

        . 0,25