LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2020
hoctoanonline.vn
ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2020 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN
QUANG TRUNG, NĂM 2019 - 2020
Đề thi có 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (không kể phát đề)
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Câu 1. Nghiệm của phương trình log5(x−2) = 2 là
A. 27. B. 9. C. 34. D. 12.
Câu 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;−1; 3) và có véc-tơ chỉ phương #»u = (1;−2;−4)là
A. x+ 2
1 = y−1
2 = z+ 3
−4 . B. x−2
1 = y+ 1
−2 = z−3
−4 . C. x−1
2 = y−2
−1 = z+ 4
3 . D. x+ 1
2 = y+ 2
−1 = z−4 3 .
Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2;−5)và vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x+ 3y−4z+ 5 = 0 là
A.
x= 1 + 2t y= 2 + 3t z =−5−4t
. B.
x= 1 + 2t y= 2 + 3t z =−5 + 4t
. C.
x= 2 +t y = 3 + 2t z =−4−5t
. D.
x= 2 +t y= 3 + 2t z = 4 + 5t .
Câu 4. Một hình nón có diện tích xung quanh bằng 2π cm2 và bán kính đáy r = 1
2 cm. Tính độ dài đường sinh của hình nón.
A. 1 cm. B. 4 cm. C. 2cm. D. 3 cm.
Câu 5. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2x+ 2020 là
A. 2x2+C. B. x2+ 2020x+C. C. x2 +C. D. 2x2+ 2020x+C.
Câu 6. Tập nghiệm của bất phương trình3x2+2x >27 là
A. (−∞;−3)∪(1; +∞). B. (−∞;−1)∪(3; +∞).
C. (−1; 3). D. (−3; 1).
Câu 7. Cho hàm sốy= 2x−3
x+ 1 có đồ thị là (C). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. (C) có tiệm cận ngang là y= 2. B. (C) chỉ có một tiệm cận.
C. (C) có tiệm cận đứng là x= 1. D. (C) có tiệm cận ngang là x= 2.
Câu 8. Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh 3a là
A. 72a2. B. 54a2. C. 36a2. D. 9a2. Câu 9. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều caoh là
A. Bh. B. 1
3Bh. C. 4
3Bh. D. 3Bh.
Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 +y2+z2+ 2x−2z−7 = 0.
Bán kính của mặt cầu đã cho bằng A. √
7. B. 3. C. 9. D. √
15.
Câu 11. Từ các chữ số2, 3,4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm4 chữ số?
A. 24. B. 16. C. 120. D. 256.
Câu 12. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, mặt phẳng(P) : x−3z+ 5 = 0 có một véc-tơ pháp tuyến là
A. #»n1 = (1;−3; 5). B. #»n1 = (0; 2;−3). C. #»n1 = (1; 0;−3). D. #»n1 = (1;−3; 0).
Câu 13. Cho hai số phứcz1 = 1 + 2i; z2 = 2−3i. Phần ảo của số phứcw= 3z1−2z2 là
A. 1. B. 11. C. 12. D. 12i.
Câu 14. Cho hàm sốy=f(x) xác định trên R, có bảng biến thiên như sau x
y0
y
−∞ −2 0 2 +∞
+ 0 − 0 + 0 −
−∞
−∞
3 3
−1
−1
3 3
−∞
−∞
Hàm số y=f(x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. (0; 2). B. (−∞; 0). C. (−1; 3). D. (−∞; 3).
Câu 15. Cho các số dươnga, b,c, d. Biểu thứcM = loga
b + logb
c+ log c
d + logd a bằng
A. 1. B. log
Åa b + b
c+ c d + d
a ã
.
C. 0. D. 12.
Câu 16. Cho cấp số cộng(un)có số hạng đầuu1 = 3 và công said= 2. Khi đóu5 có giá trị bằng
A. 15. B. 11. C. 14. D. 12.
Câu 17. Tìm nguyên hàmF(x) = Z
(x+ sinx) dxbiết F(0) = 1.
A. F(x) = x2−cosx+ 20. B. F(x) = 1
2x2−cosx.
C. F(x) = 1
2x2−cosx+ 2. D. F(x) = x2+ cosx+ 20.
Câu 18. Mô-đun của số phứcz = 3−4i bằng
A. 100. B. 5. C. 14. D. √
5.
Câu 19.
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
A. y=x3−3x2−1. B. y=−x3+ 3x2 −1.
C. y=x4−3x2−1. D. y=−x4+ 3x2 −1. x
y
O
−1 1 2
−1 1
¹ hoctoanonline.vn
Câu 20. Khối cầu có bán kính R= 4 có thể tích là A. 64π
3 . B. 64π. C. 256π
3 . D. 12π.
Câu 21. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nàosai?
A. ln(2e2) = 2 + ln 2. B. ln(2e) = 1 + ln 2. C. ln(e2) = 2. D. ln(e2) = 1.
Câu 22. Cho hàm sốy=f(x) có bảng biến thiên x
y0
y
−∞ −1 0 1 +∞
+ 0 − + 0 −
−∞
−∞
2 2
−1 −1
3 3
2 2
Hỏi hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. 3. B. 1. C. 2. D. 4.
Câu 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, khoảng cách từ điểm A(1;−2; 3) đến mặt phẳng (P) : x+ 3y−4z+ 9 = 0 là
A. 17
√26. B. √
8. C.
√26
13 . D. 4√
26 13 .
Câu 24. Cho số phứcz = 1 + 2i. Điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức w=z+iz trên mặt phẳng tọa độ?
A. N(2; 3). B. M(3; 3). C. Q(3; 2). D. P(−3; 3).
Câu 25. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng đi qua A(0; 1; 1), B(−1; 0; 2) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x−y+z+ 1 = 0 là
A. y−z−2 = 0. B. y+z+ 2 = 0. C. y+z−2 = 0. D. −y+z−2 = 0.
Câu 26. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x. A.
Z
3xdx= 3x+1+C. B.
Z
3xdx= 3x ln 3 +C.
C.
Z
3xdx= 3xln 3 +C. D.
Z
3xdx= 3x+1 x+ 1 +C.
Câu 27. Tích phân
2
Z
1
e3x−1dx bằng A. 1
3(e5−e2). B. 1
3(e5+ e2). C. 1
3e5−e2. D. e5−e2. Câu 28.
Cho hàm số y=f(x) =ax3+bx2+cx+d(a;b;c;d∈R)có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 4f(x) + 3 = 0 là
A. 3. B. 0. C. 1. D. 2.
x y
O
2
−2 1 2
Câu 29. Tập nghiệm của bất phương trìnhlog1 2
(x−3)≥log1 2
4 là
A. S = [7; +∞). B. S = (3; 7]. C. S= (−∞; 7]. D. S = [3; 7].
Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất của hàm sốy=x3−2x2−7x+ 1 trên đoạn [−2; 1].
A. 4. B. 6. C. 5. D. 3.
Câu 31. Cho hàm sốy = 2x4−6x2 có đồ thị là(C). Số giao điểm của đồ thị (C)với đường thẳng y= 4 là
A. 4. B. 2. C. 0. D. 1.
Câu 32.
Cho hình lập phươngABCD.A0B0C0D0, gọiϕlà góc giữa hai mặt phẳng (A0BD) và (ABC). Tínhtanϕ.
A. tanϕ= 1
√2. B. tanϕ=
…2 3. C. tanϕ=
…3
2. D. tanϕ=√
2. B A
C D A0
B0 C0 D0
Câu 33. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 0; 2) và B(3;−1;−3). Đường thẳng AB có phương trình là
A. x−1
2 = y
−1 = z−2
5 . B. x−3
2 = y+ 1
−1 = z+ 2
−5 . C. x+ 1
2 = y
−1 = z+ 2
−5 . D. x+ 1
2 = y−1
−1 = z−7
−5 .
Câu 34. Gọi z0 là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình(z−2)2+ 1 = 0. Mô-đun của số phức z0·i bằng
A. 5. B. √
2. C. √
5. D. 2.
Câu 35. Trong không gian với hệ tọa độOxyz, cho điểmA(2; 0;−3)và đường thẳng∆ :
x=−t y= 1 + 3t.
z = 5−t Mặt phẳng đi qua A và vuông góc ∆có phương trình là
A. −x+ 3y−z = 0. B. x−3y+z+ 1 = 0.
C. 3y−z−3 = 0. D. x+ 3y−z−5 = 0.
Câu 36. Một hình trụ có bán kính đáy là r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ đó là
A. 4πr2. B. 6πr2. C. 2πr2. D. 8πr2.
Câu 37. Có8chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên8học sinh, gồm 3học sinh lớp A,3học sinh lớp B và 2học sinh lớp C ngồi vào hàng ghế đó, sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh. Xác xuất để có đúng 2 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau bằng a
b với a, b∈ N, (a, b) = 1. Khi đó giá trịa+b là
A. 43. B. 93. C. 101. D. 21.
Câu 38.
Gọi S là diện tích miền hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Công thức tínhS là
A. S =
2
Z
−1
f(x) dx.
B. S =
1
Z
−1
f(x) dx−
2
Z
1
f(x) dx.
C. S =−
1
Z
−1
f(x) dx+
2
Z
1
f(x) dx.
D. S =−
2
Z
−1
f(x) dx.
x y
1 2 3
−2 2
y=f(x)
−1 O
Câu 39. Choz1,z2 là hai nghiệm phức của phương trìnhz2+ 2z+ 5 = 0, trong đó z1 là số phức có phần ảo âm. Khi đó z1+ 3z2 bằng
A. −4 + 4i. B. 4 + 4i. C. −4−4i. D. 4−4i.
Câu 40.
Cho hình chóp đều S.ABCD, SA=AB = 2a (minh họa như hình bên). Gọi M là trung điểm của SC. Khoảng cách giữa hai đường thẳngAM và CD bằng
A. 2√ 2a
3 . B. 2√ 10a
9 . C. 2√ 22a
11 . D. a.
A
B C
D O
S
M
Câu 41. Cho hàm sốy=ax4+bx2+c, vớia,b,clà các số thực,a 6= 0. Biết lim
x→+∞y= +∞, hàm số có3điểm cực trị và phương trìnhy = 0vô nghiệm. Hỏi trong ba sốa,b,ccó bao nhiêu số dương?
A. 0. B. 3. C. 2. D. 1.
Câu 42. Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên R và có bảng biến thiên của f0(x) như sau x
f0(x)
−∞ −1 1 3 4 +∞
3
−4
3
−2
10
7
Có bao nhiêu số nguyên củam để hàm sốg(x) = f(x)−mx nghịch biến trên khoảng (−∞; 3), đồng thời đồng biến trên khoảng (4; +∞)?
A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.
Câu 43. Số ca nhiễm Covid-19 trong cộng đồng ở một tỉnh vào ngày thứ x trong một giai đoạn được tính theo công thứcf(x) =A·er·x trong đóA là số ca nhiễm ngày đầu của giai đoạn,r là tỉ lệ
gia tăng số ca nhiễm hằng ngày của giai đoạn đó và trong cùng một giai đoạn thìr không đổi. Giai đoạn thứ nhất tính từ ngày tỉnh đó có9ca bệnh đầu tiên và không dùng biện pháp phòng chống lây nhiễm nào thì đến ngày thứ 6số ca bệnh của tỉnh là 180 ca. Giai đoạn hai (kể từ ngày thứ7 trở đi) tỉnh đó áp dụng biện pháp phòng chống lây nhiễm nên tỉ lệ gia tăng số ca hằng ngày giảm đi 10 lần so với giai đoạn trước. Đến ngày thứ6 của giai đoạn hai thì số ca bệnh của tỉnh đó gần nhất với số nào sau đây?
A. 242. B. 90. C. 16. D. 422.
Câu 44.
Cho hình hộp ABCD.A0B0C0D0 có thể tích là V. Một mặt phẳng (Q) đi qua trọng tâm của tam giác ABD và trung điểm CC0 đồng thời (Q) song song với BD. Mặt phẳng (Q) chia khối hộpABCD.A0B0C0D0 thành hai phần. Thể tích của phần chứa A0 bằng
A. 181
216V. B. 187
216V. C. 185
216V. D. 191 216V.
A
B C
D A0
B0 C0
D0
O G
N
Câu 45. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(0) = 2 và f0(x)·ef(x)−x2−2 = 2x,∀x∈[0; 1]. Tính giá trị của
1
Z
0
f(x) dx.
A. 5
3. B. 3. C. 7
3. D. 2.
Câu 46. Xét các số thực dương a, b, c >1với a > b thỏa 4 (logac+ logbc) = 25 logabc. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = logba+ logac+ logcb bằng
A. 5. B. 3. C. 8. D. 17
2 . Câu 47.
Cho hàm sốy =f(x)có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu số nguyên của tham số m để phương trình 1
3fx 2 + 1
+x = m có nghiệm thuộc [−2; 2]?
A. 7. B. 6. C. 8. D. 5.
x y
O 2
−2 4
−2
−4 6
Câu 48. Có bao nhiêu bộ số (a;b;c) với a, b ∈ {−1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} và c > 1 là số thực thỏa mãn loga(b+c) = 2 log10c?
A. 8. B. 10. C. 6. D. 12.
Câu 49.
Cho khối trụ có chiều cao 20 cm. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng được thiết diện là hình elip có độ dài trục lớn bằng 10 cm. Thiết diện chia khối trụ ban đầu thành hai nửa, nửa trên có thể tích V1, nửa dưới có thể tích V2 (như hình vẽ). Khoảng cách từ một điểm thuộc thiết diện gần đáy dưới nhất và điểm thuộc thiết diện xa đáy dưới nhất tới đáy dưới là 8cm và 14cm. Tính tỉ số V1
V2. A. 6
11. B. 9
20. C. 11
20. D. 9
11.
8cm12cm 14cm6cm
10cm
A
V1 B
V2
Câu 50. Cho hàm số f(x) = x+m
2x+ 1. Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m≤7sao cho với mọi bộ số thực a, b, c∈ [2; 3] thì |lnf(a)|, |lnf(b)|, |lnf(c)| là độ dài ba cạnh của một tam giác. Tổng tất cả các phần tử củaS là
A. 10. B. 15. C. 16. D. 14.
ĐÁP ÁN
1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. A 7. A 8. B 9. A
10. B 11. D 12. C 13. C 14. A 15. C 16. B 17. C 18. B 19. D 20. C 21. D 22. C 23. D 24. B 25. C 26. B 27. A 28. A 29. B 30. C 31. B 32. D 33. D 34. C 35. B 36. B 37. A 38. B 39. A 40. C 41. C 42. C 43. A 44. C 45. C 46. A 47. C 48. D 49. D 50. C
ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Điều kiện x >2.
Ta có log5(x−2) = 2⇔x−2 = 52 ⇔x= 27 (nhận).
Chọn đáp án A
Câu 2. Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(2;−1; 3) và có véc-tơ chỉ phương
#»u = (1;−2;−4) có dạng x−2
1 = y+ 1
−2 = z−3
−4 .
Chọn đáp án B
Câu 3. Mặt phẳng (P) : 2x+ 3y−4z+ 5 = 0có véc-tơ pháp tuyến #»n = (2; 3;−4).
Vì d vuông góc với mặt phẳng (P) nên d nhận #»n = (2; 3;−4) làm một véc-tơ chỉ phương.
Khi đó phương trình đường thẳng d đi qua A(1; 2;−5) và vuông góc với mặt phẳng (P) là
x= 1 + 2t y= 2 + 3t z =−5−4t.
Chọn đáp án A
Câu 4. Diện tích xung quanh hình nón S =πrl= 2π⇔π·1
2 ·l = 2π ⇔l = 4 cm.
Chọn đáp án B
Câu 5. Ta có Z
(2x+ 2020) dx=x2+ 2020x+C.
Chọn đáp án B
Câu 6. Ta có 3x2+2x >27⇔3x2+2x >33 ⇔x2+ 2x >3⇔x2+ 2x−3>0⇔
x <−3 x >1.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = (−∞;−3)∪(1; +∞).
Chọn đáp án A
Câu 7. Ta có lim
x→+∞y = 2; lim
x→−∞y = 2 nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Chọn đáp án A
Câu 8. Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh 3a làStp = 6Smb = 6·(3a)2 = 54a2.
Chọn đáp án B
Câu 9. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h làV =Bh.
Chọn đáp án A
Câu 10. Ta có (S) : x2+y2+z2+ 2x−2z−7 = 0 ⇔(x+ 1)2+y2 + (z−1)2 = 32. Vậy bán kính của mặt cầu đã cho bằng 3.
Chọn đáp án B
Câu 11. Gọi số cần tìm dạng abc.
Khi đó,a có 4cách chọn, b có 4 cách chọn,c có4 cách chọn, d có4 cách chọn.
Theo quy tắc nhân có4·4·4·4 = 256số.
Chọn đáp án D
Câu 12. Mặt phẳng (P) : x−3z+ 5 = 0 có một véc-tơ pháp tuyến là #»n1 = (1; 0;−3).
Chọn đáp án C
Câu 13. Ta có w= 3z1−2z2 = 3(1 + 2i)−2(2−3i) = −1 + 12i nên phần ảo củaw là 12.
Chọn đáp án C
Câu 14. Từ bảng biến thiên ta có hàm số y=f(x) đồng biến trên (0; 2).
Chọn đáp án A
Câu 15. Ta có M = loga
b + log b
c + log c
d + logd a = log
Åa b · b
c· c d · d
a ã
= log 1 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 16. Ta có u5 =u1+ 4d= 3 + 4·2 = 11.
Chọn đáp án B
Câu 17. Ta có F(x) = Z
(x+ sinx) dx= Z
xdx+ Z
sinxdx= x2
2 −cosx+C.
Mặt khác ta có F(0) = 1⇔ 02
2 −cos 0 +C = 1 ⇔C= 2.
Vậy F(x) = x2
2 −cosx+ 2.
Chọn đáp án C
Câu 18. Ta có |z|=p
32+ (−4)2 = 5.
Chọn đáp án B
Câu 19. Dựa vào đồ thị ta thấy đây là hàm bậc 4trùng phương có hệ số a <0.
Chọn đáp án D
Câu 20. Ta có V = 4
3πR3 = 4
3π·43 = 256π 3 .
Chọn đáp án C
Câu 21. Ta có ln(e2) = 2 nên ln(e2) = 1 là đẳng thức sai.
Chọn đáp án D
Câu 22. Hàm số đã cho có hai cực trị y= 2 và y= 3.
Chọn đáp án C
Câu 23. Ta có d (A,(P)) = |1 + 3(−2)−4·3 + 9|
p12+ 32+ (−4)2 = 4√ 26 13 .
Chọn đáp án D
Câu 24. Ta có w=z+iz = 1 + 2i+i(1−2i) = 3 + 3i.
Vậy điểm biểu diễn của số phức w=z+iz làM(3; 3).
Chọn đáp án B
Câu 25. Gọi mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (Q).
Vì mặt phẳng(P) : x−y+z+ 1 = 0 nên ta có #»np = (1;−1; 1).
Ta có A(0; 1; 1), B(−1; 0; 2)⇒ # »
AB= (−1;−1; 1).
Do(Q)đi quaA(0; 1; 1), B(−1; 0; 2)và vuông góc với(P) : x−y+z+ 1 = 0nên(Q)đi quaA(0; 1; 1) và nhận #»nQ= [#»np,# »
AB] = (0;−2;−2) làm một véc-tơ pháp tuyến.
Vì vậy phương trình (Q) là 0(x−0)−2(y−1)−2(z−1) = 0⇔y+z−2 = 0.
Chọn đáp án C
Câu 26. Theo bảng nguyên hàm ta có Z
3xdx= 3x ln 3 +C.
Chọn đáp án B
Câu 27. Ta có
2
Z
1
e3x−1dx= Å1
3e3x−1 ã
2
1
= 1
3 e5−e2 .
Chọn đáp án A
Câu 28. Số nghiệm của phương trình 4f(x) + 3 = 0 ⇔ f(x) = −3
4 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số f(x) và đường thẳng y=−3
4.
Quan sát đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số y =f(x) cắt đường thẳng y =−3
4 tại 3 điểm phân biệt.
Vậy phương trình4f(x) + 3 = 0 có3 nghiệm.
Chọn đáp án A
Câu 29. Ta có log1 2
(x−3)≥log1 2
4⇔
x−3>0 x−3≤4
⇔3< x≤7.
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm S= (3; 7].
Chọn đáp án B
Câu 30. Ta có y0 = 3x2−4x−7.
y0 = 0 ⇔
x=−1∈[−2; 1]
x= 7
3 ∈/ [−2; 1].
y(−1) = 5;y(−2) = −1; y(1) =−7⇒max
[−1;2]y= 5.
Câu 31. Phương trình hoành độ giao điểm của (C)và đường thẳng y= 4 là
2x4−6x2 = 4 ⇔2x4−6x2−4 = 0⇔
x2 = 3−√ 17 2 (vn) x2 = 3 +√
17 2
⇔x=±
3 +√ 17
2 .
Vậy số giao điểm của đồ thị(C) với đường thẳngy = 4 là2.
Chọn đáp án B
Câu 32.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có AO là hình chiếu vuông góc củaA0O lên mặt phẳng (ABCD). Khi đó ta có
AO⊥BD A0O ⊥BD suy ra ϕ=A\0OA.
Ta có AO= AC
2 = AB√ 2
2 = AA0√ 2 2
⇒tanϕ= tanA\0OA= AA0 AO =√
2.
A B
C
D A0
B0 C0
D0
O
Chọn đáp án D
Câu 33. Ta có
# »
AB= (2;−1;−5)⇒(AB) :
x= 1 + 2t y=−t z = 2−5t.
Thay tọa độ điểm(−1; 1; 7)vào phương trìnhABthấy thỏa mãn nên đường thẳngABcòn có phương trình là
x+ 1
2 = y−1
−1 = z−7
−5 .
Chọn đáp án D
Câu 34. Ta có
(z−2)2 + 1 = 0⇔(z−2)2 =−1
⇔
z−2 =i z−2 =−i
⇔
z = 2 +i z = 2−i
⇒ z0 = 2−i⇒z0·i= (2−i)i= 2i+ 1
⇒ |2i+ 1|=√ 5.
Chọn đáp án C
Câu 35. Đường thẳng ∆ có véc-tơ chỉ phương #»u = (−1; 3;−1).
Mặt phẳng (P)vuông góc với đường thẳng ∆nên (P) có véc-tơ pháp tuyến #»u = (−1; 3;−1).
Mặt phẳng (P)đi qua A(2; 0;−3)có phương trình là
−1(x−2) + 3(y−0)−1(z+ 3) = 0
⇔ −x+ 3y−z−1 = 0
⇔ x−3y+z+ 1 = 0.
Chọn đáp án B
Câu 36. Thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông nên h=d= 2r.
Diện tích toàn phần của hình trụ là Stp= 2πrh+ 2πr2 = 2πr·2r+ 2πr2 = 6πr2.
Chọn đáp án B
Câu 37. Không gian mẫu có n(Ω) = 8! = 40320.
Gọi A là biến cố có đúng2học sinh lớp Angồi cạnh nhau. Khi đó Alà biến cố không có 2học sinh nào của lớpA ngồi cạnh nhau hoặc 3 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau.
Tính n(A).
Trường hợp 1. Không có2 học sinh nào của lớpA ngồi cạnh nhau:
• Xếp5 học sinh (3 học sinh lớp B,2 học sinh lớp C) thành hàng ngang có 5! cách.
Khi đó tạo ra 6 vị trí để có thể xếp 3 học sinh lớp A.
• Chọn 3vị trí từ 6 vị trí và xếp 3 học sinh lớp A cóC63·3!cách.
Do đó có 5!·C63·3! = 14400 cách trong trường hợp này.
Trường hợp 2. 3 học sinh lớp A ngồi cạnh nhau:
• Xem3học sinh lớp A như một phần tử cùng với5 học sinh còn lại (3 học sinh lớp B, 2 học sinh lớp C) là 6phần tử. Xếp thành hàng ngang có 6!cách.
• Trong bộ 3 học sinh lớp A có3! cách sắp xếp.
Do đó có 6!·3! = 4320 cách trong trường hợp này.
Vậy n(A) = 18720.
Suy ra P(A) = n(A) n(Ω) = 13
28 ⇒P(A) = 1−13 28 = 15
28. Do đóa= 15,b = 28⇒a+b= 43.
Chọn đáp án A
Câu 38. Ta có S =
2
Z
−1
|f(x)|dx=
1
Z
−1
|f(x)|dx+
2
Z
1
|f(x)|dx=
1
Z
−1
f(x) dx−
2
Z
1
f(x) dx.
(vì f(x)≥0,∀x∈[−1; 1] và f(x)≤0,∀x∈[1; 2]).
Câu 39. Phương trình z2+ 2z+ 5 = 0 có hai nghiệm z1 =−1−2i, z2 =−1 + 2i.
Khi đóz1 + 3z2 =−1−2i+ 3(−1 + 2i) =−4 + 4i.
Chọn đáp án A
Câu 40.
z
x y
A
B C
D O
S
M
ABCD là hình vuông ⇒AO= AC
2 = 2a√ 2 2 =a√
2.
SO =√
SA2−AO2 =»
(2a)2 −(a√
2)2 =a√ 2.
Gắn hệ trục tọa độ vớiO là gốc tọa độ, OB nằm trên trục Ox,OC nằm trên trục Oy,SO nằm trên trục Oz.
Ta có A(0;−√
2a; 0), C(0;a√
2; 0),D(−√
2a; 0; 0), S(0; 0;√ 2a).
Vì M là trung điểm SC ⇒M Ç
0;
√2a 2 ;
√2a 2
å .
# » AM =
Ç 0;3√
2a 2 ;
√2a 2
å , # »
CD =Ä
−√
2a;−√ 2a; 0ä
, # » AC =Ä
0; 2√ 2a; 0ä
. î# »
AM ,# » CDó
= (a2;−a2; 3a2)⇒
î# » AM ,# »
CDó =√
11a2. î# »
AM ,# » CDó
·# »
AC =a2·0 + (−a2)·2√
2a+ 3a2·0 =−2√ 2a3. d(AM, CD) =
î# » AM ,# »
CDó
· # » AC
î# » AM ,# »
CDó
= −2√
2a3
√
11a2 = 2√ 22 11 a.
Chọn đáp án C
Câu 41. Ta có lim
x→+∞y= +∞ ⇒ lim
x→+∞ax4 Å
1 + b
ax2 + c ax4
ã
= +∞ ⇒a >0.
Hàm số có3 cực trị⇒ab < 0⇒b <0.
Phương trìnhy= 0 vô nghiệm, suy ra đồ thị nằm phía trên trục Ox⇒y(0) =c >0.
Vậy có hai số dương đó là a, c.
Chọn đáp án C
Câu 42. Ta có g0(x) =f0(x)−m.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 3) thì
g0(x)≤0,∀x∈(−∞; 3)⇔f0(x)≤m,∀x∈(−∞; 3).
⇒m≥3.
Để hàm số đồng biến trên khoảng(4; +∞) thì
g0(x)≥0,∀x∈(4; +∞)⇔f0(x)≥m,∀x∈(4; +∞)
⇒m≤7.
⇒m∈[3; 7]⇒m∈ {3; 4; 5; 6; 7}. Vậy có 5 giá trị nguyên của m.
Chọn đáp án C
Câu 43. Gọi r1 là tỉ lệ gia tăng số ca nhiễm của giai đoạn một.
Gọi A1 là số ca nhiễm ngày đầu của giai đoạn một.
Theo giả thiết ta có 180 =A1·e6·r1 ⇔180 = 9·e6·r1 ⇔r1 ≈0,5.
Gọi r2 là tỉ lệ gia tăng số ca nhiễm của giai đoạn hai.
Suy ra r2 = r1
10 = 0,05.
Đến ngày thứ 6của giai đoạn hai thì thì số ca bệnh của tỉnh đó là 180·e6·r2 = 180·e6·0,05 ≈243.
Chọn đáp án A
Câu 44.
A
B C
D A0
B0 C0
D0
O G H
I
T
S
N
L
Q
Ta có S∆AIH
S∆ABD = AI AD ·AH
AB = 4
9 ⇒S∆AIH = 4
9S∆ABD = 4 9· 1
2S∆ABCD = 2
9S∆ABCD. Gọi h là chiều cao của hình hộp.
Ta có VN CLQ = 1 3 · h
2 ·SCLQ = h
6 ·(SBCDIH + 2S∆HBL) = h 6 ·
Å7
9SABCD+ 2· 1
18SABCD ã
= 4 27V.
VS.LBH = 1
3d (S,(ABCD))·S∆HBL
= 1 3· LS
LN d (N,(ABCD))· 1
18SABCD
= 1 3· 1
4 ·h 2 · 1
18SABCD
= 1
432h·SABCD V
Gọi V1 là thể tích cần tìm.
Suy ra V1 =V −(VN.CLQ−2VS.HBL) = V − Å 4
27V −2 V 432
ã
= 185 216V.
Chọn đáp án C
Câu 45. Ta có f0(x)·ef(x) = ex2+2·2x⇒ Z
f0(x)·ef(x)dx= Z
ex2+2·2xdx⇒ef(x)= ex2+2+C.
Thay x= 0⇒C = 0⇒f(x) = x2+ 2.
Suy ra
1
Z
0
f(x) dx= 7 3.
Chọn đáp án C
Câu 46. Đặt
x= logca y= logcb.
⇒logabc= 1
x+y, với x > y >0.
Ta có 4(logac+ logbc) = 25 logabc⇒4 Å1
x +1 y
ã
= 25· 1 x+y ⇒
x= 4y y= 4x(loại).
Suy ra P = x y + 1
x +y. Với x= 4y⇒P = 4 + 1
4y +y≥4 + 2 1
4y ·y= 5.
Dấu bằng xảy ra ⇔
x= 2 y = 1 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5.
Chọn đáp án A
Câu 47. Đặt t= x 2 + 1.
Vì x∈[−2; 2] ⇒t∈[0; 2].
Ta có 1
3f(t) + 2(t−1) = m.
Xét hàm số g(t) = 1
3f(t) + 2(t−1) trên đoạn [0; 2]
g0(t) = 1
3f0(t) + 2 = f0(t) + 6
3 >0,∀t∈[0; 2].
Như vậy hàm g(t) = 1
3f(t) + 2(t−1) là hàm đồng biến trên[0; 2].
Để phương trình ban đầu có nghiệm x ∈ [−2; 2] thì phương trình 1
3f(t) + 2(t −1) = m phải có nghiệmt ∈[0; 2].
Khi đó
min
[0;2] g(t)≤m≤max
[0;2] g(t) ⇔ g(0)≤m≤g(2)
⇔ 1
3f(0) + 2(0−1)≤m ≤ 1
3f(2) + 2(2−1)
⇔ 1
3(−4)−2≤m≤ 1
3·6 + 2
⇔ −10
3 ≤m ≤4.
Vì m∈Z nên m∈ {−3;−2;−1; 0; 1; 2; 3; 4}.
Vậy có tất cả 8 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án C
Câu 48. Theo giả thiết c >1⇒
b+c >0
loga(b+c) = 2 log10c >0
⇔
b+c >0 a >1.
Đặt loga(b+c) = 2 log10c=t(t >0), ta thu được hệ
b+c=at c=Ä√
10ät
. Suy ra at−b =Ä√
10ät
. Trường hợp 1.a <Ä√
10ä
⇒a∈ {2; 3}.
Khi đób =at−Ä√
10ät
, (t >0) ⇒b =−1.
Trường hợp 2.a >√
10⇒a∈ {4; 5}.
Khi đób =at−Ä√
10ät
>0(t >0)⇒b ∈ {1; 2; 3; 4; 5}.
Với mỗi giá trị dương của t ta thu được1 giá trị của c.
Vậy có tất cả 12bộ số (a;b;c)thỏa mãn đề bài.
Chọn đáp án D
Câu 49.
V2 =πR2
Åh1+h2
2 ã
=πR2
Å8 + 14 2
ã
= 11πR2.
∆ABD vuông tạiD có 2R=AD=√
AB2−BD2 =√
102−62 = 8⇒R= 4.
V =πR2h= 320π.
V2 =π42·11 = 176π.
V1 =V −V2 = 144π ⇒ V1 V2 = 9
11.
8cm12cm 14cm6cm
10cm
A
B
D V1
V2
h1 h2
Chọn đáp án D
Câu 50. Ta có f0(x) = 1−2m (2x+ 1)2.
Vì m∈Z+, m≤7⇒f0(x)<0,∀x∈[2; 3]
⇒f(3) = min
[2;3] f(x) = 3 +m
7 >0; f(2) = max
[2;3] f(x) = 2 +m 5 >0.
Nhận xét: với mỗi bộ x < y < z trong [a;b] thỏa 2a > b ⇔ x, y, z là độ dài ba cạnh một tam giác.
Thật vậy, ta có
⇔ x+y > a+a
⇔ x+y > b > z
⇔ x+y > z.
⇔ x,y, z là độ dài ba cạnh một tam giác.
Ta có f(x) là hàm số giảm trên [2; 3]. Giả sử
2≤a < b < c ≤3 ⇒ f(2)≥f(a)> f(b)> f(c)≥f(3)
⇒ lnf(2)≥lnf(a)>lnf(b)>lnf(c)≥lnf(3).
Trường hợp 1.ln3 +m
7 >0⇔m >4.
Theo nhận xét trên, yêu cầu bài toán
⇔ 2 min
[2;3] |lnf(x)|>max
[2;3] |lnf(x)|
⇔ 2 ln 3 +m
7 >ln2 +m 5
⇔
Å3 +m 7
ã2
> 2 +m 5
⇔ 5m2−19m−53>0
⇔ m ∈ {6; 7}.
Trường hợp 2.ln2 +m
5 <0⇔m <3.
Theo nhận xét trên, yêu cầu bài toán
⇔ 2 min
[2;3] |lnf(x)|>max
[2;3] |lnf(x)|
⇔ −2 ln2 +m
5 >−ln3 +m 7
⇔
Å2 +m 5
ã2
< 3 +m 7
⇔ 7m2+ 3m−47<0
⇔ −3−5√ 53
14 < m < −3 + 5√ 53
14 .
Suy ra ∈ {1; 2}.
Vậy tổng các giá trị của m là 16.
Chọn đáp án C
