Định lí Pi-ta-go và cách giải các dạng bài tập | Toán lớp 7

DẠNG 4: ĐỊNH LÝ PY - TA - GO.

I. LÝ THUYẾT:

1. Định lí Pytago:

Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC² 2. Định lí Pytago đảo:

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

∆ABC có BC² = AB² + AC² thì ∆ABC vuông tại A II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN:

Dạng 4.1: Tính độ dài một cạnh của tam giác vuông khi biết độ dài hai cạnh.

1. Phương pháp giải:

- Sử dụng định lí Py- ta-go trong tam giác vuông

∆ABC vuông tại A: BC² = AB² + AC²

- Có trường hợp phải kẻ thêm đường vuông góc để tạo thành tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Tính độ dài BC, biết HA = 1cm, HC = 8cm.

Giải:

GT ABC, AB=AC

BH⊥AC(H nằm giữa A và C) HA = 1cm, HC = 8cm

KL BC = ?

Ta có AC = AH + HC = 1 + 8 = 9 cm

Lại có ∆ABC cân tại A nên AB = AC = 9 cm

Áp dụng định lí Py-ta-go cho ABH vuông tại H ta có:

AB² = AH² + BH²  BH² = AB² – AH² = 9² – 1² = 80 Áp dụng định lí Py-ta-go cho BCH vuông tại H ta có:

BC² = BH² + CH² = 80 + 8² = 144

 BC = 12

Vậy độ dài BC = 12 cm.

8 1 9

H

B C

A

Ví dụ 2: ChoABC vuông ở A có AB 8

AC =15, BC = 51. Tính AB, AC.

Giải:

Áp dụng định lý Py – ta – go cho ABC vuông tại A có: BC² =AB² +AC² Có ^{AB 8}

AC =15 AB AC

8 15

 =

2 2 2 2 2 2

AB AC AB AC BC 51

64 225 64 225 289 289 9

 = = + = = =

+

AB AC

8 15 3

 = =

Suy ra: AB = 8 . 3 = 24; AC = 15 . 8 = 45 Vậy AB = 24; AC = 45.

Dạng 4.2: Sử dụng định lý Py - ta - go để nhận biết tam giác vuông.

1. Phương pháp giải:

- Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác.

- So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia.

- Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm, AC = 6 cm, BC = 10 cm. Hỏi tam giác ABC là tam giác gì?

Giải:

Ta có 6² =36, 8² = 64, 10² = 100 Mà 100 = 36 + 64 hay 10² = 8² + 6²

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

III. BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Độ dài một cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân bằng 3 cm. Độ dài cạnh huyền bằng?

A. 6 cm B. 12 cm C. 18 cm D. 3,5 cm

Bài 2: Ba số nào dưới đây có thể là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông?

A. 4cm; 5cm; 6cm B. 6cm; 6cm; 9cm C. 5cm; 13cm;15cm D. 20cm; 21cm; 29cm

Bài 3: Tam giác có độ dài ba cạnh bằng 4cm, 7cm, 8cm có là tam giác vuông không? Vì sao?

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, ^{AB 3}

AC= 4. Biết BC = 20cm, tính các độ dài AB, AC.

Bài 5: Tính diện tích của tam giác ABC. Biết rằng AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20cm.

Bài 6: Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc BC (H nằm giữa B và C). Biết BH = 9cm, HC = 16cm, HA = 12cm. Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Cho các độ dài 6cm, 7cm, 8cm, 10cm, 24cm, 26cm. Ba độ dài nào có thể là độ dài các cạnh của tam giác vuông?

Bài 8: Tam giác ABC có góc A tù, C=30 , AB^o =29, AC=40. Vẽ đường cao AH và tính BH.

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC (H nằm giữa A và C). Biết HA = 7cm, HC = 18cm. Tính các độ dài BH và BC.

Bài 10: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là giao điểm của BE và CD.

Chứng minh rằng:

a) BE = CD

b) BMD= CME

c) AM là phân giác của BAC.

Hướng dẫn giải:

Bài 1: Đáp án C.

Bài 2: Đáp án D.

Bài 3: Ta có 4² =16, 7² = 49, 8² = 64 Mà 16 + 49 = 65 ≠ 64

Nên theo định lí Py - ta - go đảo, tam giác có độ dài 3 cạnh 4m, 7m, 8m không là tam giác vuông.

Bài 4: Đặt AB = 3k, AC = 4k Theo định lý Py-ta-go ta có:

AB² + AC² = BC²

 (3k)² + (4k)² = 20²

 k = 4

Vậy AB =12cm; AC = 16cm.

Bài 5: Áp dụng định lý Py-ta-go đảo, ta biết được tam giác ABC vuông tại A.

2 ABC

1 1

S AB.AC .12.16 96cm

2 2

= = =

Bài 6:

+) Áp dụng Py-ta-go cho hai tam giác vuông ABH và ACH được:

AB = 15; AC = 20 +) BC = 25

BC² = AB² + AC² (25² = 15² + 20²).

Theo định lý Py-ta-go đảo, tam giác ABC vuông tại A.

Bài 7: Ba độ dài độ dài các cạnh của tam giác vuông là (6; 8; 10), (10; 24; 26).

Bài 8:

Xét ΔAHC vuông ở H có C=30^o nên AH =¹AC = 20 2

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông ABH ta được BH = 21.

Bài 9:

9 16

12

H C

B

A

30°

40 29

H

C B

A

Tam giác ABC cân tại A nên:

AB = AC = HA + HC = 7 + 18 = 25cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác AHB vuông tại H ta có: BH = 24cm Áp dụng Py-ta-go vào tam giác vuông BHC được BC = 30cm.

Bài 10:

a) ABE= ACD (c.g.c) suy ra BE = CD b) Ta có MDB = MEC (g.c.g)

Do đó: MB = MC

c) AMB = AMC (c.c.c)

Suy ra: MAB=MAC. Hay AM là phân giác của góc BAC.

18 7 25

H

B C

A