CẤP SỐ CỘNG

CẤP SỐ CỘNG

GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 3 : Cho ba số a, b, c lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng : a) a² + 8bc = (2b + c)². b) a² + 2bc = c² + 2ab

 Hướng dẫn :

1)

a² + 8bc = (2b + c)².

Vì a, b, c lập thành một cấp số cộng nên 2b a c a 2b c 2

c

b a      

Khi đó : a² + 8bc = (2b – c)² + 8bc = 4b² – 4bc + c² + 8bc = 4b² + 4bc + c² = (2b + c)²

2)

a² + 2bc = c² + 2ab

Vì a, b, c lập thành một cấp số cộng nên 2b a c 2

c

b a   

Khi đó : a² + 2bc = a² + (a + c)c = a² + ac + c² = a(a + c) + c² = 2ab + c²

BÀI 4 : Tìm x để ba số x² + 1 ; x – 2 ; 1 – 3x lập thành một cấp số cộng. ĐS : x = 2  x = 3.

 Hướng dẫn :

Ba số x² + 1 ; x – 2 ; 1 – 3x lập thành một cấp số cộng

   

_{2x 4 x 1 1 3x}

2 x 3 1 1 2 x

x ²       ²   





  x² – 5x + 6 = 0  x = 2  x = 3

BÀI 5 : Tìm k sao cho các số C^k₇, C^k₇^1, C^k₇^2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. ĐS : k = 1  k = 4.

 Hướng dẫn : Điều kiện :









 





























*

*

N k

5 k 0 N

k

0 2 k 7

0 1 k 7

0 k 7

Các số C , ^k₇ C^k₇^1, C^k₇^2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ^k₇ ^{1 k7 7k 2} 2 C^k₇ ¹ C^k₇ C^k₇ ² 2

C

C ^ C  ^   ^   ^





                

k 2



k 1



1 k

6 k 7

1 k

6 1 k

2

! k 5

! 2 k

! 7

! k 7

! k

! 7

! k 6

! 1 k

! 7 . 2



 



 



 



 

 



 

 

 







 







 k 4 nhận

nhận 1

0 k 4 k 5

k² . Vậy k = 1  k = 4.

BÀI 6 : Cho ba số dương a, b, c.

1) b c 1

 ; a c

1

 ; b a

1

 lập thành một csc. 2)

c b

1

 ;

a c

1

 ;

b a

1

 lập thành một csc.

 Hướng dẫn :

1)

b c 1

 ; a c

1

 ; b a

1

 lập thành một cấp số cộng

a c

1 b a

1 c b

1 a c

1

 

 

 

 

           

a b

b c c _ b

a b a c b a

b c c

b a c

a b a

c b a

b a a c c b a c

a c c b



 

 





 





 









 









  (do a + c > 0)

 b² – a² = c² – b²  a², b², c² lập thành một cấp số cộng

2)

b c 1

 ;

a c

1

 ;

b a

1

 lập thành một cấp số cộng

b a

1 c

b 1 a

c 2

 

 

 



^{b c}



^{a b}

 

^{c a}



^{a b}

 

^{c a}



^{b c}



2        

²



^{abb ac bc}



^{ ac bca ab bcc ab ac2bac}



 a, b, c lập thành một cấp số cộng

* Hoặc :

c b

1

 ;

a c

1

 ;

b a

1

 lập thành một cấp số cộng

a c

1 b

a 1 c

b 1 a

c 1

 

 

 

 

      

^{b a}



^{b a}

 

^{c b}



^{c b}



a c b a

b c c

b a c

a

b      





 





 

 b – a = c – b  a, b, c lập thành một cấp số cộng.

BÀI 7 : Cho 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng.

Chứng minh rằng ba số (a² + ab + b²), (a² + ac + c²), (b² + bc + c²) cũng lập thành một cấp số cộng.

 Hướng dẫn :

Ta có a, b, c lập thành một cấp số cộng nên b – a = c – b.

 (c – b)(a + b + c) = (b – a)(b + a + c).

 a(c – b) + (c – b)(c + b) = (b – a)(b + a) + c(b – a).

 ac – ab + c² – b² = b² – a² + bc – ac.

 (a² + ac + c²) – (a² + ab + b²) = (b² + bc + c²) – (a² + ac + c²)

Vậy (a² + ab + b²), (a² + ac + c²), (b² + bc + c²) cũng lập thành một cấp số cộng.

BÀI 8 : Hãy viết thêm 6 số nữa vào khoảng giữa số 3 và số 31 để tạo thành một cấp số cộng. Hãy viết dãy

cấp số cộng đó. ĐS : 1)



3, 7, 11 , 15 , 19 , 23 , 27, 31.

 Hướng dẫn :

Cấp số cộng có tám số hạng với u1 = 3 và u8 = 31

Ta có : u8 = u1 + (n – 1)d  31 = 3 + 7d  d = 4. Vậy sáu số phải tìm là : 7, 11, 15, 19, 23, 27.

BÀI 9 : Tìm số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng biết :

1) u5 = 19 và u9 = 35 2) u7 = 8 và u13 = 23 ĐS : 1) u1 = 3 ; d = 4 2) u1 = –7 ; d = 5/2

 Hướng dẫn :

1)





 











 









3 u

4 d 35 d 8 u

19 d 4 u 35 u

19 u

1 1

1 9

5

2)

Tương tự : ĐS : u1 = 7 ; 2 d 5

BÀI 10 : (SGK) Một cấp số cộng có 5 số hạng mà tổng của số hạng đầu và số hạng thứ ba bằng 28, tổng của số hạng thứ ba và số hạng cuối bằng 40. Hãy tìm cấp số cộâng đó. ĐS :

 11

, 14, 17 , 20 , 23.

 Hướng dẫn :







 











 

















 













3 d

11 u 40 d 6 u 2

28 d 2 u 2 40 d 4 u d 2 u

28 d 2 u u 40 u u

28 u

u ₁

1 1 1

1 1 1 5

3 3 1

Vậy  11, 14, 17, 20, 23.

BÀI 11 : Xác định số hạng đầu tiên và công sai của mỗi cấp số cộng dưới đây biết :

1)







 















3 d

4 a 13

a a

3 a a

a ₁

6 3

4 3

1 2)







 















3 d

1 u 17

u u

10 u u

u ₁

6 1

5 3 2

3)   

_^   

 













 

















 













0 51 u 14 u

2 d 75 d 6 d u d 6 u u

8 d 4 75 d 6 u d u

8 d 2 u d 6 u 75 u u

8 u u

2 1 2 1

1 2 1

1 1 1

1 1

7 2

3 7







 









 

3 u

2 d 17 u

2 d

1 1

4)





 









 













3 d

3 u 15

d

33 u

54 u u

36 u u

u _{1 1}

3 2

6 4 2

5)  

     

















 













2 122 d

6 u d 2 u

1 4

d 6 u u 122 u

u

4 u u

2 1 2 1

1 1 2

7 2 3

7 1

(1)  u1 + 3d = 2  u1 = 2 – 3d

Thế vào (2), ta có : (2 – d)² + (2 + 3d)² = 122  5d² + 4d – 57 = 0  d = 3  d = 5

19

 Nếu d = 3  u1 = 2 – 9 = 7

 Nếu d = 5

19  u1 = 5 67

6)















 







 















5 d 17

5 a 57 2 d

3 a 26

a a

18 a

a ₁ ¹

2 5 2 3

8 6

7)  

 

_^













 









 

















 







14 d 19

14 u 81 12

d 21 u 7

15 d 3 u 4 12 d 6 u 2 2 7

15 d 3 u 2 2 4 12 S

15

S ¹

1 1

1 1

7 4

8)  















 









 



















 









2 d 7

2 u 17 129

d 66 u 12

2 d 3 u 129

d 11 u 2 2 17

4 d 4 u d 2 u 129

S

4 u

u ¹

1 1 1

1 1

12 5 3

9)  

   

_









 













 

















 











3

d 2

u 27 0

81 d 21 d 2

d 2 7 u 130 d 4 u d 3 u

35 d 4 u 2 2 5 130 u

u 35

S ₁

2 1

1 1

1 5

4 5

10)











101 u

u

11 u u

234 231

34

31 (d > 0)

        

2

 

2



31 34



²



34 31 2 34 31 2

34 2

31 11 u u

2 u 1

u u

2 u u 1

u

101        



u31u34



² 2101121819²

 (1)

Vì d > 0 nên u1 < u34. Do đó từ (1) ta có :

u31 – u34 = 9  9 = u31 – u34 = (u1 + 30d) – (u1 + 33d) = 3d  d = 3

* Chú ý : ^{a2b2 } ₂¹

 ab 2  ab2

11)











153 u

u

9 u u

2 20 2 17

20 17

9 = u17 – u20 = (u1 + 16d) – (u1 + 19d) = 3d  d = 3

        

2

 

2



17 20



²



20 17 2 20 17 2

20 2

17 9 u u

2 u 1

u u

2 u u 1

u

153         



u₁₇u₂₀



² 21538122515² Trường hợp 1 : u17 + u20 = 15

Khi đó : 15 = (u1 + 16d) + (u1 + 19d) = 2u1 + 35d = 2u1 + 35(3) = 2u1 – 105  u1 = 60 Trường hợp 2 : u17 + u20 = 15

Khi đó : 15 = (u1 + 16d) + (u1 + 19d) = 2u1 + 35d = 2u1 + 35(3) = 2u1 – 105  u1 = 45 Vậy cấp số cộng đã cho có :









 











3 d

45 u 3 d

60

u_{1 1}

12)







 













5 d

95 u

450 u

u

30 u

u ₁

223 172

17 23

BÀI 12 : Một cấp số cộng có số hạng thứ 4 bằng 15 và số hạng thứ 10 bằng 39. Tìm số hạng thứ 8 và thứ 15 của cấp số cộng đó. ĐS : u8 = 31 ; u15 = 59

 Hướng dẫn :

1) 























 







 











 









59 4 14 3 d 14 u u

31 4 7 3 d 7 u u 4 d

3 u 39 d 9 u

15 d 3 u 39 u

15 u

1 15

1 8 1

1 1 10

4

BÀI 15 : Cho cấp số cộng :



1 , 5 , 9 , 13 , 17 , …

Tìm số hạng u16 , số hạng tổng quát un và tính S16. ĐS : u16 = 61 ; un = 4n – 3 ; S16 = 496

 Hướng dẫn :

61 4 15 1 d 15 u 4 u

1 5 u u d

1 u

1 16 1

2

1       

















un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1)4 = 4n – 3

  

1 61



496

2 u 16 2 u

S_n 16 ₁ ₁₆   

BÀI 16 : Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0,

u31 + u34 = 11 và u312 + u342 = 101. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng đó. ĐS : un = 3n – 92

 Hướng dẫn : Tìm được









 3 d

89 u₁

do giải hệ













101 u

u

11 u u

2 34 2 31

34

31 (với d > 0)

 un = 89 + (n + 1)3 = 3n – 92

BÀI 17 : Tính tổng 10 số hạng đầu của csc biết : 1)







 50 u

5 u

10

1 ĐS : 275 2)







 5 u

1 u

2

1 ĐS : 190

 Hướng dẫn :

1)

Áp dụng công thức : _n



u₁ u_n



2

S  n  , ta có :



5 50



5

 

55 275 2

S₁₀ 10    

2)

Áp dụng công thức :



2u



n 1



d



2

S_n  n ₁  với d = u2 – u1 = 5 – 1 = 4



2u 9d

 

52 1 9 4



190 2

S₁₀ 10 ₁     



BÀI 18 : Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng các số hạng là 176, hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30.

Tìm cấp số cộng đó. ĐS :



1, 4, 7 , … , 31.

 Hướng dẫn :

Ta có : u11 – u1 = 30  u1 + 10d – u1 = 30  d = 10 30 = 3

Từ đó ta có :

   

1

22 22 22

330 u 352

330 u 22 352 3

10 u 2 2 176 11 d

10 u 2 2

S₁₁ 11 _{1 1 1 1}   























Vậy cấp số cộng là :  1, 4, 7, … , 31

BÀI 19 : (SGK) Cho cấp số cộng (un) có u2 + u22 = 60. Tính tổng S23 của 23 số hạng đầu tiên của cấp số

cộng đó. ĐS : S23 = 690.

 Hướng dẫn :

Ta có u2 + u22 = 60  u1 + d + u1 + 21d = 60  2u1 + 22d = 60  u1 + 11d = 30 Mặt khác, ta có :

  

2



u 11d

 

23



u 11d



23 30 690

2 d 23 22 u 2 2

S₂₃  23 ₁  ₁  ₁   

BÀI 20 : Cho dãy số (un) xác định bởi : un = 4n + 3.

Chứng minh dãy số này là cấp số cộng, hãy tính u1, d và tính S13. ĐS : u1 = 7 ; d = 4 ; S13 = 403

 Hướng dẫn :

Ta có : un = 4n + 3  un + 1 = 4(n + 1) + 3  un + 1 – un = 4(n + 1) + 3 – (4n + 3) = 4 , n  N^* (hằng số)

 dãy un là một cấp số cộng với













 4 d

7 3 1 4 u₁

và

  

2 7 12 4



403

2 d 13 12 u 2 2

S₁₃ 13 ₁      BÀI 21 : Cho dãy số (un) xác định bởi : u1 = 5 và u_nu_n12,n2.

a) Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un). b) Hãy tính 100 số hạng đầu của dãy số (un).

ĐS : un = 7 – 2n ; S100 = –9400

 Hướng dẫn :

1)

Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un).

 Cách 1 :

Từ giả thiết, ta có : u1 = 5 ; u2 = u1 – 2 ; u3 = u2 – 2 ; … ; un = un – 1 – 2 Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta có : un = 5 – 2(n – 1) = 7 – 2n Vậy ta có : un = 7 – 2n

 Cách 2 :

Ta có : u1 = 5 = 72.1 ; u2 = 5 – 2 = 3 = 72.2 ; u3 = 3 – 2 = 1 = 72.3 Dự đoán un = 7 – 2n (1)

Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp qui nạp.

 Với n = 1, ta có : u1 = 721 = 5  (1) đúng với n = 1

 Giả sử (1) đúng với n = k (k  N^*), tức là : uk = 7 – 2k

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1, tức là : uk + 1 = 7 – 2(k + 1) Thật vậy, ta có : uk + 1 = uk – 2 (vì un = un – 1 – 2)

uk + 1 = 7 – 2k – 2 = 7 – 2(k + 1)  (1) đúng với n = k + 1 Vậy ta có : un = 7 – 2n

2)

Hãy tính 100 số hạng đầu của dãy số (un).

Ta thấy (un) là một cấp số cộng có u1 = 5 và d = 2

Do đó :

    

2 5 99

 

2



9400

2 d 100 1 100 u

2 2

S₁₀₀100 ₁       

BÀI 22 : Tính tổng 21 số hạng đầu của cấp số cộng dưới đây biết :













1170 u

u

60 u

u

2 12 2 4

15

7

ĐS : S21 = 630

 Hướng dẫn :

Ta có :

   

 



 











 



















 













2 585

d 65 d u 14 u

1 30

d 10 u 1170 d

11 u d 3 u

60 d 14 u d 6 u 1170 u

u

60 u u

1 2 21

1 2

1 2 1

1 1

122 24

15 7

Từ (1) ta có : u1 = 30 – 10d

Thế vào (2) ta có : 5d² – 36d + 63 = 0













5 d 21

3 d

a) Với d = 3  u1 = 0, ta có :

  

0 60



630 2

d 21 20 u 2 2

S₂₁21 ₁   

b) Với d =

21  u5 1 = 12, ta có :

  

24 84



630 2

d 21 20 u 2 2

S₂₁21 ₁    

BÀI 25 : Tìm số hạng thứ un của một cấp số cộng biết u5 = 19 ; u9 = 35 và tổng n số hạng đầu của cấp số cộng đó bằng 666.

 Hướng dẫn : Ta có :







 











 









4 d

3 u 35 d 8 u

19 d 4 u 35 u

19

u ₁

1 1 9

5

Ta cũng có :

        

6 4n 4



2 666 n 4

1 n 3 2 2 666 n d

1 n u 2 2

S_n  n ₁           

 

 























 ² _*

N n do loại 2

n 37

nhận 18

n 0 666 n n 2

Vậy u_n u₁₈u₁17d317471 BÀI 26 : Tìm x biết :

1) 2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 155 ĐS : x = 29 2) 1 + 6 + 11 + 16 + … + x = 970 ĐS : x = 96

3) (x + 1) + (x + 4) + … + (x + 28) = 155 ĐS : x = 1

 Hướng dẫn :

1)

2 + 5 + 8 + 11 + … + x = 155 ĐS : x = 29 Gọi x là số hạng thứ n của một cấp số cộng có u1 = 2 và d = 3

 

      

4 3n 3



2 155 n 3

1 n 2 2 2 155 n d

1 n u 2 2

S_n  n ₁           

 

 





















 loại

6 n 62

nhận 10

n 0 310 n n 3 ²

Vậy x = u10 = u1 + 9d = 293 = 29

2)

1 + 6 + 11 + 16 + … + x = 970 ĐS : x = 96 Ta có cấp số cộng với u1 = 1, d = 5, Sn = 970 và un = x

 



^{2u n 1d}



⁹⁷⁰ ₂ⁿ



²



^{n 1}



⁵



^{5n 3n 1940 0 n 20}

2

S_n  n ₁        ²     

Suy ra x = u20 = 1195 = 96

3)

(x + 1) + (x + 4) + … + (x + 28) = 155

Ta có cấp số cộng với u1 = x + 1 ; d = 3 ; un = x + 28 và Sn = 155

Áp dụng công thức un = u1 + (n – 1)d, ta có : x + 28 = x + 1 + (n – 1)3  n = 10

Từ công thức :

  

x 1 x 28



155 5



2x 29



x 1

2 155 10 u

2 u

S_n  n ₁ _n          

BÀI 27 : Tính tổng :

1) S = 105 + 110 + 115 + … + 995. ĐS : 98450 2) S = 100²99²98²97²...2²1 ĐS : 5050

 Hướng dẫn :

1)

S = 105 + 110 + 115 + … + 995. ĐS : 98450 Dãy 105, 110, 115, … , 995 là một dãy cấp số cộng có







 5 d

105 u₁

Gọi x là số hạng thứ n của cấp số cộng, ta có : x = un = 995 = u1 + (n – 1)d  995 = 105



n1



5

 995 = 105 + 5n – 5  5n = 895  n = 179  số hạng 995 là số hạng thứ 179

Do đó :

  

105 995



98450

2 u 179 2 u

S₁₇₉179 ₁ ₁₇₉   

2)

S = 100²99²98²97²...2²1 ĐS : 5050

Ta có : S = 100² – 99² + 98² – 97² + … + 2² – 1² = (100² – 99²) + (98² – 97²) + … + (2² – 1²)

= (100 + 99)(100 – 99) + (98 + 97)(98 – 97) + … + (2 + 1)(2 – 1) = 199 + 195 + … + 3

Xét cấp số cộng (un) có u1 = 199 và d = 4, ta có : 3 = un = u1 + (n – 1)d  3 = 199 + (n – 1)(4)  n = 50

Vậy

  

199 3



5050

2 u 50 2 u

S 50

S ₅₀  ₁ ₅₀    .

BÀI 28 : Tính tổng :

1) 1 + 2 + 3 + … + n ĐS : Sn = 2

) 1 n ( n  2) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) ĐS : Sn = n² 3) 1 + 4 + 7 + … + (3n + 1) ĐS : Sn =

2 ) 1 n )(

2 n 3

(  

 Hướng dẫn :

1)

1 + 2 + 3 + … + n ĐS : Sn = 2

) 1 n ( n  Ta có : 1, 2, 3, … , n là một cấp số cộng có u1 = 1 và d = 1

Số hạng ux = n = u1 + (x – 1)d  n1



x1



1  n = 1 + x – 1  x = n

 1, 2, 3, … , n là một cấp số cộng có n số hạng nên :

     

2 1 n n n 2 1 u n 2 u

n n ...

3 2 1

S_n       ₁ _n    

2)

1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) ĐS : Sn = n²

Ta có : 1, 3, 5, … , 2n – 1 là một cấp số cộng có u1 = 1 và d = 2

Số hạng ux = 2n – 1 = u1 + (x – 1)d  2n – 1 = 1 + (x – 1)2  2n – 1 = 2x – 1  x = n

 dãy số trên có n số hạng nên : n

  

1 n

 

1 2n 1



n² 2

u n 2 u 1 n n 2 ...

5 3 1

S            

3)

1 + 4 + 7 + … + (3n + 1) ĐS : Sn =

2 ) 1 n )(

2 n 3

(  

Ta có : 1, 4, 7, … , 3n + 1 là một cấp số cộng có u1 = 1 và d = 3

Số hạng ux = 3n + 1 = u1 + (x – 1)d  3n + 1 = 1 + (x – 1)3  3n + 1 = 3x – 2  3x = 3n + 3  x = n + 1

 dãy số trên có n + 1 số hạng nên :

      

2 2 n 3 1 1 n

n 3 2 1

1 1 n

n 3 ...

7 4 1

S_n1            

BÀI 30 : Bốn số lập thành một cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm bốn số đó.

ĐS : Nếu u1 = 1, d = 3 và có



1, 4, 7, 10. Nếu u1 = 10, d = –3 và có



10, 7, 4, 1.

 Hướng dẫn :

 Cách 1 :

Theo giả thiết, ta có :

     

     































 





















166 d

3 u d 2 u d u u

22 d 3 u d 2 u d u u 166 u

u u u

22 u u u u

2 1 2 1 2 1 2 1

1 1

1 1 2

4 2 3 2 2 2 1

4 3 2 1

 



 











 

2 166

d 14 d u 12 u 4

1 11

d 3 u 2

1 2 12

1

Từ (1), ta có :

2 d 3

u₁ 11 (3)

Thế (3) vào (2), ta có : d 14d 166



11 3d



6



11 3d



14d 166 2

d 3 12 11 2

d 3

4 11 ^{2 2 2}

2















 



 



  



 



 

 d² = 9  d = 3 Với d = 3  u1 =

2 9

11 = 1  các số phải tìm là : 1, 4, 7, 10 Với d = 3  u1 =

2 9

11 = 10  các số phải tìm là : 10, 7, 4, 1

 Cách 2 :

Gọi bốn số phải tìm là : x – 3r ; x – r ; x + r ; x + 3r (d = 2r là công sai)

Theo giả thiết, ta có :

         

         





































2 166 r

3 x r x r x r 3 x

1 22

r 3 x r x r x r 3 x

2 2

2 2

Từ (1)  4x = 22

2 11 4 x22 

 (3)

Thế (3) vào (2), ta có : 20r 166

4 4 121 166

r 2 3 r 11 2 r 11 2 r 11 2 3

11 2

2 2

2 2









 



 



 

 



 



 

 



 



 

 



 



 

 20r² = 166 – 121 = 45

2 r 3 4 9 20

r² 45   



Với 2 x11 và

2

r3, ta có : 1 2 3 3 2

11   ; 4

2 3 2

11  ; 7

2 3 2

11  ; 10

2 9 2 11 

Với 2 x11 và

2

r3, ta có : 10 2 3 3 2

11   ; 7 2 3 2

11  ; 4 2 3 2

11  ; 1

2 3 9 2

11  

BÀI 31 : Bốn số nguyên lập thành 1 cấp số cộng. Tổng của chúng bằng 20, tổng các nghịch đảo của chúng bằng

24

25. Tìm bốn số đó. ĐS : 2, 4, 6, 8.

 Hướng dẫn :

 Cách 1 :

Theo giả thiết, ta có :























24 25 u

1 u

1 u

1 u

1

20 u u u u

4 3 2 1

4 3 2 1

  2, 4, 6, 8

 Cách 2 :

Gọi bốn số phải tìm là : x – 3r ; x – r ; x + r ; x + 3r (d = 2r là công sai)

Theo giả thiết, ta có :

         



 





 

 

 

 

















24 2 25 r 3 x

1 r x

1 r x

1 r 3 x

1

1 20

r 3 x r x r x r 3 x

Từ (1) ta có : x = 5 (3) Thế (3) vào (2), ta có :

24 25 r 5

1 r 5

1 r

3 5

1 r 3 5

1 24

25 r 3 5

1 r 5

1 r 5

1 r 3 5

1 



 





 

 



 





 

 

 

 

 

 



²

 

²

 

²



²



2 2

2

2 4825 r 4825 9r 525 9r 25 r

24 5 r 25

2 r

9 25

2 24

25 r 25

10 r

9 25

10        

 

 

 

 



 1200 – 48r² + 1200 – 432r² = 3125 – 1250r² + 45r⁴  9r⁴ – 154r² + 145 = 0

 



















 loạivì không làsố nguyên 9

r 145

1 r 1 r

2 2

 Với r = 1  d = 2   2, 4, 6, 8

 Với r = 1  d = 2   8, 6, 4, 2

BÀI 32 : Năm số lập thành một cấp số cộng. Biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 45. Tìm 5 số đó. ĐS : 1) u1 = –3, d = 2 và có



–3, –1, 1, 3, 5. 2) u1 = 5, d = –2 và có



5, 3, 1, –1, –3

 Hướng dẫn :

 Cách 1 :















 

























3 , 1 , 1 , 3 , 5

5 , 3 , 1 , 1 , 3 45

u u u u u

5 u u u u u

5 4 3 2 1

5 4 3 2 1

 Cách 2 :

         

     

































45 d 2 x d x x d x d 2 x

d là sai công có 5 d 2 x d x x d x d 2 x

BÀI 33 : Sáu số lập thành một csc. Biết tổng của chúng bằng 12 và tổng các bình phương của chúng bằng 94. Tìm 6 số đó. ĐS :



–3, –1, 1, 3, 5, 7.

 Hướng dẫn :

 Cách 1 :





























94 u u u u u u

12 u u u u u u

26 25 24 23 22 21

6 5 4 3 2

1   3, 1, 1, 3, 5, 7

 Cách 2 :

           

           





















































94 r 5 x r 3 x r x r x r 9 x r 5 x

12 r 5 x r 3 x r x r x r 9 x r 5 x

2 2

2 2

2 2

BÀI 35 : Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9. ĐS : 50.000 số.

 Hướng dẫn :

 Nhận xét :

Một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số chia hết cho 9.

Các số có 6 chữ số chia hết cho 9 là : 100008, 100017, 100026, 100035, … , 999999 Các số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9 là : 100017, 100035, 100053, … , 999999 Các số lẻ này lập thành một cấp số cộng với u1 = 100017, un = 999999 và d = 18 Do đó : un = u1 + (n – 1)d  999999 = 100017 +



n1



18  n = 50000

Vậy có 50000 số lẻ chia hết cho 9.

BÀI 36 : Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, v.v… Hỏi có bao nhiêu hàng ? ĐS : 77

 Hướng dẫn : Gọi n là số hàng cây.

Khi đó số cây trên các hàng lần lượt là : 1, 2, 3, … , n

Theo giả thiết : 1 + 2 + 3 + … + n = 3003

   

 









 









 

 n 77 nhận

loại 78

0 n 6006 n

n 2 3003

1 n

n 2

Vậy có 77 hàng cây.

 Chú ý :

1, 2, 3, … , n là một dãy cấp số cộng có u1 = 1, d = 1 và ux = n Ta có : ux = u1 + (x – 1)d  n = 1 +



x1



1  x = n

 dãy 1, 2, 3, … , n là một cấp số cộng có n số hạng nên

   

2 1 n n n 2 1 n n ...

3 2 1

S_n         

BÀI 40 : Cho cấp số cộng (un) thỏa u2 – u3 + u5 = 10 và u1 + u6 = 17. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên và tính tổng S’ = u5 + u6 + … + u24. ĐS : 830

 Hướng dẫn :

 

  

2 1



20 1



3



590

2 d 20 1 20 u 2 2 S 20 3 d

1 u 17

u u

10 u u u

1 20

1 6

1

5 3

2          







 















 S’ =

    

2



1 4 3

 

20 1



3



830 2

d 20 1 20 u 2 2 20

5          

BÀI 41^KT :

1) Tính tổng : S = 2 + 8 + 14 + … + 794.

2) Cho cấp số cộng có :











440 S

32 u u

20 12

3 . Tìm u1, d và tính tổng : u1 + u3 + u5 + … + u99

ĐS : 1) S133 = 52934 ; 2) d = 2 ; u1 = 3 ; S = 5050

 Hướng dẫn :

1)

Tính tổng : S = 2 + 8 + 14 + … + 794.

Cấp số cộng có u1 = 2, d = 6 và un = 794

Từ un = u1 + (n – 1)d  794 = 2 + (n – 1)  n = 133



2 794



52934 2

S₁₃₃133  



2)

Cho cấp số cộng có :











440 S

32 u u

20 12

3 . Tìm u1, d và tính tổng : u1 + u3 + u5 + … + u99

Ta có :

 

^_^{ }



















 









2 d

3 u d

19 u 2 2 440 20

32 d 11 u d 2 u 440

S

32 u

u ₁

1 1 1

20 12

3  cấp số cộng là :  3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …

Ta có : u99 = u1 + 98d = 3 + 982 = 3 + 196 = 199  u1 + u3 + u5 + … + u99 = 3 + 7 + 11 + … + 199 Dãy số 3, 7, 11, … , 199 là một dãy cấp số cộng có a1 = 3, d’ = 4 và an = 199

an = a1 + (n – 1)d’  199 = 3 +



n1



4  n = 50 Vậy u1 + u3 + u5 + … + u99 =



3 199



2

50  = 5050

BÀI 42 : (KT)



















15 u

u u

8 u u

7 5 3

8 1

1) u1 = 3 và d = 2

2) Tính tổng u10 + u11 + … + u19

 Hướng dẫn :

Ta có : u1 + u2 + u3 + … + u19 = S19  u10 + u11 + … + u19 = S19 – S9

  

2u 8d



2 d 9 18 u 2 2 19

1

1  



  

10



285 45 240 2

30 9 2

19      



CẤP SỐ NHÂN GVBM : ĐOÀN NGỌC DŨNG

BÀI 2 : Cho cấp số nhân (un) có u2 = 12, u4 = 192 và u7 = –12288. Tìm các số hạng u5, u6

ĐS : u1 = –3 và q = –4 ta có : u5 = –768 ; u6 = 3072.

 Hướng dẫn : Theo giả thiết, ta có :















12288 u

192 u

12 u

7 4 2

 



 









 









2 192 q

u

1 12

q u 192 u

12 u

1 3 1 4

2

Chia (2) cho (1) ta có : q² = 16  q = 4

 Khi q = 4 3 4 u₁ 12 



12288 4

3 q u

u₇  ₁ ⁶   ⁶  (loại)

 Khi q = 4 3 4 u₁ 12 

 



 

3 4 12288 q

u

u₇  ₁ ⁶    ⁶  (nhận)

   

3 4 768 q

u

u₅  ₁ ⁴     ⁴ 

 ; u₆ u₁q⁵ 

   

3  4 ⁵ 3072

BÀI 3 : Tìm công bội q của một cấp số nhân biết u1 = 2 và số hạng cuối cùng u11 = 64 ĐS : q =

 2

 Hướng dẫn :

 

^_^{ }



















 







 









2 q

2 u 2

2 2 32

q 64 2 u 64 q u

2 u 64 u

2

u 1

5 10 10

1 10

1 1 11

1

BÀI 4 : (SGK) Cho cấp số nhân (un) có công bội q < 0. Biết u2 = 4 và và u4 = 9. Tìm u1. ĐS : u1 = –8/3

 Hướng dẫn :

 

 













































































 

















 













2 q 3

3 u 8

0 q

4 q u

nhận 2

q 3

loại 2

q 3

0 q

4 q

u 4

q 9

0 q

9 q u

4 q u

0 q

9 u

4

u ₁

1 1

2

3 1 1 4

2

BÀI 5 : Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng : 1) (a² + b²)(b² + c²) = (ab + bc)². 2)a²4c²4ab8bc(a2b2c)².

 Hướng dẫn :

1)

a, b, c lập thành cấp số nhân  b² a.c

Ta có :



^abbc



^{2 b2}



^ac



^{2 b2}



^{a2 2b2 c2}

 

^{do b2 ac}





^{2 2 2 2}

 

^{2 2 4}

 

^{2 2 2}

 

^{2 2 2 2}

 

^{2 2 2}



2 a b b c a b b b b c a b a c b b c

b           





do b² ac





^{2 2}

 

^{2 2 2}



2 b c b b c

a   



Vậy



^abbc



^{2 }



^{b2 c2}



^{a2 b2}



2)

a, b, c lập thành cấp số nhân  b² a.c

Ta có :



a2b2c



² 



a2



bc

 

² a²4



bc



²4a



bc



a²4b²4c²8bc4ab4ac

 

ac 4ac 4

bc 8 ab 4 c 4

a² ²   





do b² ac



Vậy



a2b2c



² a² 4c² 4ab8bc.

BÀI 9 : Trong các cấp số nhân dưới đây, tính số hạng đầu và công bội của nó, biết : 1) 









144 u

u

72 u u

3 5

2

4 2)















325 u

u

65 u u u

7 1

5 3

1 3)







 192 u

96 u

9

5

4) 









240 u

u

90 u u

6 2

5

3 5)















195 u

u

156 u

u u

7 1

5 3

1 6)





















85 u u u u

15 u u u u

2 4 2 3 2 2 2 1

4 3 2 1

ĐS : 1) u1 = 12 ; q = 2 ; 2) u1 = 5 ; q =  2 ; 3) u1 = 48 ; q =  ⁴ 2 ; 4) u1 = 1 và q = –3 ; u1 = 729 và q = 1/3 5) u1 = 5 ; q =  1/2 ; 6) u1 = 1 và q = 2 ; u1 = 8 và q = 1/2.

 Hướng dẫn :

1)  

 





 













 













 













12 u

2 q 144 1 q q u

72 1 q q u 144 q

u q u

72 q u q u 144 u

u

72 u u

2 1 2 1 1 2 2

1 4 1

3 1 1 3

5 2 4

2)  

   

  



















 















 















 















325 q

q 1 q 1 u

65 q q 1 u 325

q 1 u

65 q q 1 u 325

q u u

65 q u q u u 325

u u

65 u u u

4 2 1 2

4 2 1 1 6

4 2 1 1 6

1

4 1 2 1 1 7

1

5 3 1

   







 













 















 

5 u

2 q 65 16 4 1 u

2 q 65 q q 1 u

5 q 1

1 4 1

2 1

2

6)  

 





















 





















 





















85 q q q 1 u

15 q q q 1 u 85 q u q u q u u

15 q u q u q u u 85 u u u u

15 u u u u

6 4 2 2 1

3 1 2

6 2 1 4 2 1 2 2 1 2 1

1 3 1 2 1 1 2

4 2 3 2 2 2 1

4 3 2 1

   

 

   

             

    

















 

















 





















 

2 85

q 1 q 1 u

1 225

q 1 q 1 u 85 q 1 q 1 u

15 q 1 q 1 u 85 q

1 q q 1 u

15 q 1 q q 1 u

4 2 2 1

2 2 2 2 1 4

2 2 1 1 2 2

4 2 2 1 1 2

Lấy (1) chia (2) ta có :

   

17 45 85 225 q

1

q 1 q 1

4 2 2



 







^{1 2q q2}



^{1 q2}

 

^{451 q4}



¹⁷



^{1 q2 2q 2q3 q2 q4}



^{45 45q4}

17             



0 28 q 34 q 34 q 34 q 28 q

45 45 q 17 q 34 q 34 q 34

17 ²  ³ ⁴   ⁴  ⁴ ³ ²  



0 14 q 17 q 17 q 17 q

14 ⁴ ³ ²  

 (phương trình phản thương)

Chia hai vế cho q² ta có : 17 0

q q 1 q 17

q 1 14 q 0

14 q 17 17 q 17 q

14 ² ₂ ² ₂  

 



 





 



 













Đặt x 2

q q 1 q 2 1 q q x

q 1

x   ²  ²  ₂  ² ₂  ² , ta có : ¹⁴



^x22



^{17x17014x217x450}

 

















 



































 7q q 7 0 vônghiệm

0 2 q 5 q 2 7 9 q q 1

2 5 q q 1

7 x 9

2 x 5

2 2



















 u 8

2 q 1

1 u 2 q

1 1

BÀI 12 : Tìm tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân : ;...

81

; 8 27

; 4 9

; 2 3

1 ĐS : S10 = 1 –

10

3 2 



 





 Hướng dẫn : Ta có :

3 1,

9 2,

27 4 ,

818 , … có ¹⁰

10

10 3

1 2 3 1

2 3 1 2 3 S 1 3 2 1 3 9 2 3 19 2

q 



 









 



 



















BÀI 13 : Một cấp số nhân có 9 số hạng, biết u1 = 5 và u9 = 1280, tính công bội q và tổng S các số hạng.

ĐS : q = 2 thì S9 = 2555 ; q = –2 thì S9 = 855

 Hướng dẫn : Ta có :



















 







 







 







 









2 q

2 q

5 u 2

256 q

5 u 1280 q

5 5 u 1280 q

u 5 u 1280 u

5

u ¹

8 8

1 8

1 8

1 1 9

1

 Với u1 = 5 và q = 2, ta có : 2555 1

2 1 5 2

1 q

1 u q

S_{9 1} ^{9 9} 



 

 

 



 Với u1 = 5 và q = 2, ta có :

 

₁₁₉₇

1 2

1 5 2

1 q

1 u q

S_{9 1} ^{9 9} 







 

 

 



BÀI 14 : (SGK) Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng

thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366. ĐS : S8 = 59040.

 Hướng dẫn :

Ta có : 3

u q u 54 u

18 u

1 2 2

1   









8 n 3 2187 3

3 . 18 39366 q

. u

u_n  ₁ ^n1  ^n1